導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第30講 最大值的最小值問題（單峰函數(shù)、鉛錘距離）（含答案及解析）

第30講最大值的最小值問題（單峰函數(shù)、鉛錘距離）【典型例題】例1．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，則的最小值為A． B． C． D．1例2．已知，，記的最大值為，則的最小值是A． B． C． D．例3．已知函數(shù)定義域?yàn)?，，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．例4．已知，，，若對于任意的恒成立，則．例5．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為．例6．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，則的最小值等于．例7．已知三次函數(shù)，，，．（1）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，，使得任意，，均有，如存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)定義域?yàn)?，，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．2．已知函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．，3．設(shè)函數(shù)，若對任意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，4．已知函數(shù)，對于任意的，，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，5．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，若的最小值為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C．， D．二．填空題6．設(shè)命題：“存在，，使得，其中，，．”若無論，取何值時(shí)，命題都是真命題，則的最大值為．7．已知函數(shù)．當(dāng)，，的最大值為，則的最小值為．8．設(shè)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記的最大值為，則的最小值為．9．設(shè)函數(shù)，，．若對任意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．10．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)，，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．11．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是．12．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)和，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為13．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為（a），則（a）的最小值為．

第30講最大值的最小值問題（單峰函數(shù)、鉛錘距離）【典型例題】例1．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，則的最小值為A． B． C． D．1【解析】解：函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，可得，，①（1），②（4），③由①②③，可得，，，，則，即有的最小值為，故選：．例2．已知，，記的最大值為，則的最小值是A． B． C． D．【解析】解：由題意，即求函數(shù)最大值中的最小值，，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時(shí)，兩縱坐標(biāo)的豎直距離，作示意圖如下，由圖觀察可知，當(dāng)位于直線和直線正中間時(shí)，函數(shù)取得最大值的最小值，易知，直線的方程為，又，令，解得，則直線的方程為（1），．故選：．例3．已知函數(shù)定義域?yàn)椋?，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．【解析】解：函數(shù)定義域?yàn)?，，記的最大值為，可得，?），（2），由于，可得，，可得的最小值為2．故選：．例4．已知，，，若對于任意的恒成立，則．【解析】解：由恒成立，可得，則，當(dāng)時(shí)，可得，即，當(dāng)時(shí)，可得，．那么：；綜上可得．故答案為：．例5．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為．【解析】解：函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的最大值為，可得，，，可得，，，，即，即有，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得等號，則的最小值為，故答案為：．例6．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，則的最小值等于．【解析】解：函數(shù)，，即四分之一圓，，上的點(diǎn)到直線的最大距離為，此時(shí)圓上點(diǎn)記作，如圖所示，只有過的中點(diǎn)且平行于直線的直線才能滿足條件，故當(dāng)，時(shí)，的最小值為，，與的縱向距離，即的最小值為．故答案為：．解法二：解：函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，可得，，，可得，，，，即，即有，則的最小值為，故答案為：．例7．已知三次函數(shù)，，，．（1）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，，使得任意，，均有，如存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）三次函數(shù)，，，，可得在上有兩個(gè)零點(diǎn)，可得△，，，，即，在直角坐標(biāo)系中作出的可行域，求得，，，由過時(shí)，可得，由過時(shí)，可得，由過時(shí)，可得，可得的取值范圍是；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得任意，，均有，可取，，可得，，，，化為，，，，猜想，滿足上面四式，證明任意，，均有，由，可得，可得的極值點(diǎn)為，由，（1），，，可得的值域?yàn)椋?，滿足題意．故存在，，且，成立．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)定義域?yàn)?，，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．【解析】解：函數(shù)定義域?yàn)?，，記的最大值為，可得，?），（2），可得，即為，可得的最小值為2．故選：．2．已知函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解析】解：存在，，使得成立，，對任意的實(shí)數(shù)，，，；可看作橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離，則問題等價(jià)于求函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值；如圖，記，，連接，則圖中直線的斜率為，直線的方程為，設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)相切于點(diǎn)，，又，令，解得，切點(diǎn)，則切線的方程為，當(dāng)直線與直線，平行且與兩直線距離相等時(shí)，即恰好處于兩直線正中間的位置時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離能取得最大值中的最小值，此時(shí)，此時(shí)，，．故選：．法二：記函數(shù)的最大值為，由題意可知，對任意，恒成立，所以，依題意，，，，，分別令，0，2，可得，，，，（2），所以，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以．故選：．3．設(shè)函數(shù)，若對任意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：設(shè)的最大值為（b），令，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，．，．由，解得．①由，時(shí)，（b）；時(shí)，（b）．當(dāng)時(shí)，（b）．②由，（b），（b）．③由時(shí)，，（b），（b）．綜上可得：（b），．故選：．4．已知函數(shù)，對于任意的，，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：的定義域?yàn)?，，，，函?shù)在，上單調(diào)遞增，，（1），存在，使得成立，存在，使的（1）或成立，或，即，或若且，則不存在，使得成立．則，即，，．，故當(dāng)存在，使得成立時(shí)，，實(shí)數(shù)的取值范圍是：，．故選：．5．已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，若的最小值為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C．， D．【解析】解：當(dāng)絕對值內(nèi)兩式同號時(shí)，，當(dāng)絕對值內(nèi)兩式異號時(shí)，．令，，易知，，，，．當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，的最大值的最小值為4，幾何意義是圖象上的點(diǎn)到直線的距離最大值的最小值為4，此時(shí)恰好有；的最大值不超過4，即圖象上的點(diǎn)到直線的距離不超過4，故，解得．故選：．二．填空題6．設(shè)命題：“存在，，使得，其中，，．”若無論，取何值時(shí)，命題都是真命題，則的最大值為．【解析】解：由題意，函數(shù)，其對稱軸．令最小值、最大值分別為，，，對，，命“存在，，使得，即，；根據(jù)二次函數(shù)的最值分布，可令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，的最大值為．故答案為：7．已知函數(shù)．當(dāng)，，的最大值為，則的最小值為．【解析】解：依題意，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號．取，，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，（1）；取，，則，顯然函數(shù)在，上遞減，在，上遞增，，（2），；綜上所述，的最小值為7．故答案為：7．8．設(shè)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記的最大值為，則的最小值為．【解析】解：由去絕對值可得在，的最大值為，（2），，中之一，由題意可得，，（2），，，，，上面四個(gè)式子相加可得，，即有，可得的最小值為．故答案為：．9．設(shè)函數(shù)，，．若對任意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：設(shè)的最大值為（b），令，則在，上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，（b），當(dāng)時(shí)，（b），從而當(dāng)時(shí)，時(shí)，（b）取最小值，（b），當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（b），在，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（b），對任意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立等價(jià)于恒成立，，故答案為：，．10．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)，，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離，作出的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)位于直線與直線正中間時(shí)，函數(shù)取得最大值中的最小值，直線的方程為（2），因?yàn)槭菍春瘮?shù)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得直線的方程為（1），所以，因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)，，總存在使得成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．11．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是．【解析】解：原問題等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，且（1）（3），則，解得，，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時(shí)，兩縱坐標(biāo)的豎直距離，作示意圖如下，由圖顯然，當(dāng)函數(shù)位于直線與直線正中間時(shí)，函數(shù)取得最大值中的最小值，易知，直線的方程為，又，令，解得或（舍去），則直線的方程為，．故答案為：．12．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)和，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為【解析】解：考慮問題的反面：存在實(shí)數(shù)和，對任意的，，使得成立，即，設(shè)，則，易知函數(shù)在上遞增，在上遞減，且（3），（1），而可理解為函數(shù)與直線在橫坐標(biāo)相同時(shí)