【易錯專訓(xùn)】14 圖形的位似（解析版）

【突破易錯·沖刺滿分】2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊期末突破易錯挑戰(zhàn)滿分（北師大版）易錯14圖形的位似【易錯1例題】圖形的位似的性質(zhì)1．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校九年級月考）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，已知BO：OE＝2：1，則△ABC與△DEF的面積比是（）A．9：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的位似比等于相似比，相似相似三角形的面積比等于相似比的平方，進(jìn)而得到答案．【詳解】△ABC與△DEF位似，BO：OE＝2：1，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形的概念、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【易錯2例題】找位似中心2．（2020·長春五十二中赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形和正方形是位似圖形且點(diǎn)與點(diǎn)C是一對對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），則它們的位似中心的坐標(biāo)是______．【答案】（-2，0）【分析】利用待定系數(shù)法求出直線CF的解析式，根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，點(diǎn)F與點(diǎn)C是一對對應(yīng)點(diǎn)，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)，

∴它們的位似中心在x軸上，且與直線CF相交，交點(diǎn)為H，如圖：

設(shè)直線CF的解析式為，則，解得：，∴直線CF的解析式為，

當(dāng)y=0時，x=-2，

∴它們的位似中心的坐標(biāo)是（-2，0），

故答案為：（-2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的確定，掌握如果兩個圖形是相似圖形，它們的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【易錯3例題】作圖3．（2021·山東大學(xué)附屬中學(xué)九年級月考）在如圖的方格紙中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1與△OAB是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形．（1）在圖中標(biāo)出位似中心P的位置，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出△OAB的一個位似△OA2B2，使它與△OAB的位似比為2：1，并寫出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo)．【答案】（1）標(biāo)出位似中心P的位置見解析，P（-5，-1）；（2）作位似圖見解析，B2（-2，-6）．【分析】（1）連接O1O并延長與A1A的延長線相交，交點(diǎn)即為位似中心P，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）延長OA到A2，使AA2=OA，延長OB到B2，使BB2=OB，連接A2B2，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）如圖，P（-5，-1）；（2）如圖，△OA2B2即為所求作．B2（-2，-6）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用位似變換作圖，熟練掌握位似變換的性質(zhì)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2021·重慶八中九年級月考）如圖，與位似，點(diǎn)是它們的位似中心，其中，則與的面積之比是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由位似三角形的含義可得：再利用位似圖形的面積比等于位似比的平方可得答案.【詳解】解：與位似，點(diǎn)是它們的位似中心，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是位似三角形的含義，位似三角形的性質(zhì)，掌握“位似三角形的面積之比等于位似比的平方”是解題的關(guān)鍵.2．（2021·重慶一中九年級期中）如圖，若△ABC與△A'B'C'是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣1）【答案】A【分析】根據(jù)題意延長A′A、B′B交于點(diǎn)P，結(jié)合坐標(biāo)系即可求得的坐標(biāo)．【詳解】如圖，延長A′A、B′B交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P（1，﹣1）為位似中心，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求位似中心，理解位似中心是每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，－），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把C點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以-3即可．【詳解】解：在第三象限內(nèi)與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，相當(dāng)于在第一象限內(nèi)與△OCD的位似比為的位似圖形△OAB．則以點(diǎn)O為位似中心，位似比為，而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，-），∴C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．4．（2021·內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第一中學(xué)九年級月考）已知點(diǎn)A（0，3），B（﹣4，3），以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB縮短為原來的，其中點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)D與點(diǎn)B對應(yīng)．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，） B．（1，﹣）C．（，﹣1）或（﹣，﹣1） D．（﹣1，）或（1，﹣）【答案】D【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：點(diǎn)，，以原點(diǎn)為位似中心，把線段縮短為原來的，得到線段，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：或．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，）或（1，-）故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題5．（2021·山東大學(xué)附屬中學(xué)九年級月考）如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝9，則S△A′B′C′＝___．【答案】【分析】△ABC與△A′B′C′是位似圖形，由OA=2AA′可得兩個圖形的位似比，面積的比等于位似比的平方．【詳解】解：△ABC與△A′B′C′是位似圖形且由OA=2AA′．可得兩位似圖形的位似比為2：3，所以兩位似圖形的面積比為4：9，又S△ABC=9，∴S△A'B'C′=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)：面積的比等于位似比的平方．6．（2021·長春市第一零九中學(xué)九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)B、B′的坐標(biāo)分別為（8，2）、（16，4）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，6），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為___．【答案】【分析】根據(jù)位似比等于相似比，原點(diǎn)O為位似中心，利用B、B′的橫縱坐標(biāo)之比等于、的坐標(biāo)之比即可求得答案．【詳解】點(diǎn)B、B′的坐標(biāo)分別為（8，2）、（16，4）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，6），設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為，則，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了位似比等于相似比，求位似圖形對應(yīng)的坐標(biāo)，理解位似比等于相似比是解題的關(guān)鍵．7．（2021·全國九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為1∶3，點(diǎn)A、B、E在x軸上．若正方形的邊長為6，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為______．【答案】（3，6）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到△OBC∽△OEF，且，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OB，得到答案．【詳解】∵正方形與正方形是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為1∶3，∴，且，∴，即，解得，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，6）．故答案為：（3，6）．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵．8．（2021·山東省濟(jì)南第二十中學(xué)九年級月考）如圖，在平直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，．若是以原點(diǎn)為位似中心，的位似圖形（為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)），且與相似比為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】或【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，可得到，從而得到，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵是以原點(diǎn)為位似中心，的位似圖形（為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)），∴點(diǎn)在軸上，∵與相似比為，∴，∵，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形與坐標(biāo)，熟練掌握在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或一k是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2021·太原市志達(dá)中學(xué)校九年級月考）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）以點(diǎn)C為位似中心，將ABC放大兩倍得到△A1B1C，請在坐標(biāo)系中畫；（2）點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為；點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為．【答案】（1）見解析；（2）；．【分析】（1）延長AC到使，延長BC到使，則可得到；（2）根據(jù)在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1及所作圖形，即可得出、的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）如圖，即為所作圖形．（2）∵在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，∴，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖位似變換以及求位似圖形的對應(yīng)坐標(biāo)，畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；最后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．10．（2021·山東省濟(jì)南第二十中學(xué)九年級月考）如圖，每一個小方格正方形的邊長均為一個單位長度，ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）請在網(wǎng)格中畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)O的中心對稱圖形A1B1C1．（2）以點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：1，將ABC放大得到A2B2C2，請在網(wǎng)格中畫出A2B2C2（不要超出方格區(qū)域）．（3）求A2B2C2的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）22【分析】（1）利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別找到點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn)、、，然后順次連接、、即可；（2）把、、的橫縱坐標(biāo)都乘以得到、、的坐標(biāo)，然后順次連接、、即可；（3）利用所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，列式計算即可得解．【詳解】解：（1）如圖，為所作；（2）如圖，為所作；（3）的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或．也考查了中心對稱．11．（2020·重慶梁平·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC進(jìn)行位似變換得到△A1B1C1．（1）求△A1B1C1與△ABC的相似比；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2；（3）設(shè)點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，則依上述兩次變換后，點(diǎn)P在△A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是多少？【答案】（1）2；（2）見解析；（3）（﹣4，3）．【分析】（1）計算A1C1：AC的值可得到相似比；（2）利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（3）先寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)P經(jīng)過位似變換后對應(yīng)點(diǎn)的P1的坐標(biāo)為（4，3），然后寫P1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）∵A1C1＝2，AC＝1，∴A1C1：AC＝2，∴△A1B1C1與△ABC的相似比為2；（2）如圖，△A2B2C2為所作；（3）∵C1C，A1A、B1B都經(jīng)過原點(diǎn)O，∴△A1B1C1與△ABC為位似圖形，位似中心為原點(diǎn)，∵點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，∴P（2，），∴點(diǎn)P經(jīng)過位似變換后對應(yīng)點(diǎn)的P1的坐標(biāo)為（4，3），∵點(diǎn)P1關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，3），∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（﹣4，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；最后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．位似圖形與坐標(biāo)．也考查了軸對稱變換．12．（2021·山東芝罘·八年級期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)分別為，和，與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上．（1）在圖中確定出位似中心的位置，并寫出點(diǎn)及點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出與位似的，使它與的相似比為，并寫出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，寫出在中