2023年北京市初三二模數(shù)學(xué)試題匯編：旋轉(zhuǎn)變換

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編旋轉(zhuǎn)變換一、單選題1．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）下列圖形中，點(diǎn)O是該圖形的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在中，，，點(diǎn)D在邊上（不與點(diǎn)B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明：；(2)過(guò)點(diǎn)C作的平行線，交于點(diǎn)F，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知線段是的弦，點(diǎn)在直線上．對(duì)于弦和點(diǎn)，給出如下定義：若將弦繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，點(diǎn)叫做映射中心，叫做映射角度．

(1)如圖1，點(diǎn)是等邊的中心，作交于點(diǎn)．在三點(diǎn)中，弦關(guān)于點(diǎn)_________中心胦射；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的角平分線交軸于點(diǎn)．若與線段相交所得的弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，直接寫(xiě)出的半徑的取值范圍；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，線段是的弦．對(duì)于每一條弦，都有相應(yīng)的點(diǎn)，使得弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，且映射角度為．設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，直接寫(xiě)出的取值范圍．4．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：，，分別是射線，上的點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；

(2)當(dāng)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

5．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，在中，邊繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，邊繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．

(1)以點(diǎn)F為對(duì)稱中心，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)G，連接．①依題意補(bǔ)全圖形，并證明；②求證：；(2)若，且于H，直接寫(xiě)出用等式表示的與的數(shù)量關(guān)系．

參考答案1．B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)72度與自身重合，點(diǎn)O是旋轉(zhuǎn)中心，故此選項(xiàng)不符合題意；B、圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)181度與自身重合，是中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)O是對(duì)稱中心，故此選項(xiàng)符合題意；C、圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120度與自身重合，點(diǎn)O是旋轉(zhuǎn)中心，故此選項(xiàng)不符合題意；D、圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)72度與自身重合，點(diǎn)O是旋轉(zhuǎn)中心，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念．中心對(duì)稱圖形是圖形繞某點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．這點(diǎn)叫該圖形的對(duì)稱中心．2．(1)補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析；(2)，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向和角度補(bǔ)全圖形，再根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出，，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）作于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，利用證明，可得，，然后求出，可得，再利用證明即可．【詳解】（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示：

證明：∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，即，∴；（2）；證明：如圖，作于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，

∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由（1）可知，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，能夠作出合適的輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．(1)A(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題干中心映射的定義與旋轉(zhuǎn)方向，判斷弦是否仍在上．確定只有點(diǎn)A符合題意．（2）討論與線段相交成弦的范圍，根據(jù)角平分線定理與比例性質(zhì)求解．（3）考慮到對(duì)稱性與不失一般，將H點(diǎn)設(shè)在x軸上，方便得出d的取值范圍．【詳解】（1）根據(jù)中心映射的定義，若將弦繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，點(diǎn)叫做映射中心．由于是等邊三角形，因此直線繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可使弦落在弦上．但直線繞B點(diǎn)、C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，弦無(wú)法與再相交成弦．故只有點(diǎn)A符合映射中心的條件，如下圖．

（2）如下圖，的角平分線交軸于點(diǎn)，過(guò)D作，垂足為G．

則與線段EF相交所得的弦關(guān)于點(diǎn)E中心映射，此時(shí)的半徑r的取值范圍是．在中，平分，過(guò)D作x軸的平行線，與EF交于H，則，又，所以，則．由得，，所以即，。在直角三角形OEF中，．∴，解得．∵，∴在直角與直角相似．∴，即．因此，．所以，的半徑r的取值范圍是．即．（3）考慮到對(duì)稱性與不失一般性，為了研究問(wèn)題的方便，設(shè)弦繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，恰好也是的弦，且與交于x軸，見(jiàn)下圖．

作與交于點(diǎn)F，再過(guò)F作的平行線，是的切線．則滿足條件的弦最大為直徑，最小應(yīng)大于0，所以，．當(dāng)O與H重合時(shí)，，此時(shí)弦為直徑；當(dāng)H與E重合時(shí)，，此時(shí)弦長(zhǎng)度為0．故d的取值范圍是：．由已知條件知．又因，故．在直角中，，則．故d的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題考察了圖形旋轉(zhuǎn)、角平分線性質(zhì)、含30°角的直角三角形等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，深入細(xì)致審題是解本題的關(guān)鍵．4．(1)證明見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析，數(shù)量關(guān)系：，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，證明，可得，從而得證；（1）依題意補(bǔ)全圖2，如圖；數(shù)量關(guān)系：．在上截取，使，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，證明，可得，，然后證明是等邊三角形，從而可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）依題意補(bǔ)全圖2，如圖．?dāng)?shù)量關(guān)系：．證明：在上截取，使，連接，∵線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，四邊形的內(nèi)角和為，等角的補(bǔ)角相等．通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．(1)①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示，先證明，推出，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得結(jié)論；②根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可證明，可得結(jié)論；（2）連接，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合（1）②的結(jié)論可得是等邊三角形，可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示：證明：∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為G，∴，又∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴；

②證明：∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為G，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，如