2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：二次函數(shù)壓軸題（20題）解析版

專題12二次函數(shù)壓軸題（20題）

一、單選題

1.（2024.江蘇無錫?中考真題）已知》是X的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)帆n（m<n）,當(dāng)時(shí)，>的取值范

圍是""我們將相稱為這個(gè)函數(shù)的“r級關(guān)聯(lián)范圍例如：函數(shù)y=2x,存在m=1,

n=2,當(dāng)14x<2時(shí)，2<><4,即/=2,所以14x42是函數(shù)y=2x的“2級關(guān)聯(lián)范圍”.下列結(jié)論：

①是函數(shù)y=-尤+4的“1級關(guān)聯(lián)范圍，，；

②0WxW2不是函數(shù)y=/的“2級關(guān)聯(lián)范圍”；

k

③函數(shù)y=-（^>o）總存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”；

X

④函數(shù),=-丁+2了+1不存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”.

其中正確的為（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì).

推出>=-x+4^Ei<x<3時(shí)，14y43,即f=l,即可判斷①；推出y=x?在0WxW2時(shí)，0VyV4,即t=2,

即可判斷②；③設(shè)當(dāng)0<MVXV〃，貝朽

nm

k

—=3m

當(dāng)函數(shù)y=4左>o）存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”時(shí):，整理得-仁=3,即可判斷③；設(shè)根則

x左。mn

一=3n

{-

,，求出加

和”的值，即可判斷④.

【詳解】解：①當(dāng)x=l時(shí)，y=-尤+4=3,當(dāng)x=3時(shí)，y=-x+4=l,

"：a=-l<0,

隨x的增大而減小，

y=—x+4在14x?3時(shí)，14y43,即r=l,

...1VXV3是函數(shù)y=-尤+4的“1級關(guān)聯(lián)范圍”；故①正確，符合題意；

②當(dāng)x=0時(shí)，,=尤2=0,當(dāng)x=2時(shí)，、=尤2=4,

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y=爐對稱軸為y軸，a=l＞0,

.,.當(dāng)xNO時(shí)，y隨x的增大而增大，

y=Y在0?xV2時(shí)，04y44,即。=2,

...0VxV2是函數(shù)y=Y的“2級關(guān)聯(lián)范圍”，故②不正確，不符合題意;

@"：k>0,

該反比例函數(shù)圖象位于第一象限，且在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

kk

設(shè)當(dāng)0〈小貝|—<yW—,

nm

k

—=3m

當(dāng)函數(shù)＞=?左＞0）存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”時(shí)＜n

k

—=3n

整理得：—=3,

mn

?左>0,0<m<x<n,

總存在工=3,

mn

函數(shù)＞=4左＞0）總存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”；故③正確，符合題意;

X

④函數(shù)y=—丁+2%+1的對稱軸為y=--=1,

??"=—IvO,

???當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大,

T§im<x<n<l,貝U-m2+2m+1<y<-rr+2n+l,

-m2+2m+1=4m

當(dāng)函數(shù)y=-Y+2x+1存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”時(shí),

—n2+2"+1=4"

m=—1—A/2

解得：

n=—1+5/2

???一1一拒VxW-1+0是函數(shù)y=—丁+2尤+1的“4級關(guān)聯(lián)范圍”,

???函數(shù)y=-f+2x+l存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”，故④不正確，不符合題意；

綜上：正確的有①③，

故選：A.

2.（2024.山東泰安.中考真題）如圖所示是二次函數(shù)丫=加+及+。（"0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱

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軸是直線x=l,圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,則下列結(jié)論：①2a+b=0；②方程依2+6尤+c=o一定有

3

一個(gè)根在-2和-1之間；③方程以2+灰+。-1=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；@b-a<2.其中，正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)

的關(guān)系、二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：???拋物線的對稱軸為直線x=l,

.?一=1,

2a

??b=-2a,

2a+b=0,故①正確；

:拋物線丁=依2+法+。（。彳0）的對稱軸為直線》=1,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)在2、3之間，

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在-1、0之間，

方程a^+bx+c^0一定有一個(gè)根在-1和0之間，故②錯(cuò)誤；

3

拋物線y=以2+—+。與直線y=,有兩個(gè)交點(diǎn)，

/.方程+bx+c-^=O一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；

:拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在-1,0之間，

??a—Z?+c<0,

圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,

c=2,

??Z?+2<0,

/.b-a>2.故④錯(cuò)誤.

綜上，①③正確，共2個(gè).

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故選：B.

二、填空題

3.（2024.四川巴中.中考真題）若二次函數(shù)y=a?+bx+c（a>0）的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于y軸

對稱.則下列說法正確的序號為.（少選得1分，錯(cuò)選得0分，選全得滿分）

①心2

a

②當(dāng)3:VaW5士時(shí)，代數(shù)式儲(chǔ)+〃_5。+8的最小值為3

22

③對于任意實(shí)數(shù)"?，不等式（2療+6帆-。+620一定成立

④外石,%），%）為該二次函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且再<工2.當(dāng)王+馬+2>0時(shí)，一定有

【答案】①③④

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，拋物線的增減性的應(yīng)用，利用的應(yīng)用二次

函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

由二次函數(shù)y=◎2+6x+c（a>0）的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于y軸對稱.可得-霖+1=0,可得①

符合題意；由6=2〃，可得/+〃-56+8=5（a-l）2+3,結(jié)合可得②不符合題意；由對稱軸為

直線尸-1,結(jié)合4>0,可得③符合題意；分三種情況分析④當(dāng)花<-1〈尤2時(shí)，當(dāng)-1<玉時(shí)，滿足

國+%+2>0,當(dāng)西<無2<-1時(shí)，不滿足％+%+2>。，不符合題意，舍去，可得④符合題意；

【詳解】解：..?二次函數(shù)廣/+法+?>0）的圖象的對稱軸為直線彳=-奈

而二次函數(shù)>=依2+法+4。>0）的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于y軸對稱.

--+1=0,

2a

b

：.-=!,故①符合題意；

a

b=2a,

a2+b2-5b+S

—5a2—10〃+89

=5（tz-l）2+3,

35

*：-<a<~,

22

317

當(dāng)“==時(shí)，°2+〃-5/?+8取最小值"，故②不符合題意；

24

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???對稱軸為直線產(chǎn)-1,

*.*tz>0,

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值4—Z?+C,

當(dāng)％二加時(shí)，函數(shù)值為々/+Z?/n+c,

am12+bm+c>a—b+c,

???對于任意實(shí)數(shù)加，不等式a機(jī)2+匕口—a+bzo一定成立，故③符合題意；

當(dāng)項(xiàng)<一1V%2時(shí)，

X]+電+2>0,

X2+1>—1-玉，

??>1<%，

當(dāng)一1<玉<X2時(shí)，滿足玉+工2+2>0,

:，玉+1</+1,

X<%，

當(dāng)玉<%<T時(shí)，不滿足％+%+2>0,不符合題意，舍去，故④符合題意；

綜上：符合題意的有①③④；

故答案為：①③④.

4.（2024.黑龍江大慶?中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱

為“倍值函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“倍值點(diǎn)”.例如：“倍值函數(shù)"y=3x+l,其“倍值點(diǎn)”為（-1，-2）.下列說法不F

頸的序號為.

①函數(shù)y=2尤+4是“倍值函數(shù)”；

Q

②函數(shù)y=：的圖象上的“倍值點(diǎn)”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若關(guān)于％的函數(shù)）=（加-1）%2+儂+1根的圖象上有兩個(gè)“倍值點(diǎn)”，則m的取值范圍是根<-；

④若關(guān)于x的函數(shù)y=f+（7〃-左+2〃+￡-5的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”，且當(dāng)-1W%W3時(shí)，W的最小

值為總則女的值為土好.

2

【答案】①③④

【分析】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函

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數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題.根據(jù)“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可.

【詳解】解：①函數(shù)y=2x+4中，令y=2x,則2x=2x+4,無解，故函數(shù)y=2x+4不是“倍值函數(shù)”，故

①說法錯(cuò)誤；

OQ

②函數(shù)y=2中，令y=2%,則2x二一，

解得x=2或x=—2,

經(jīng)檢驗(yàn)X=2或x=-2都是原方程的解,

Q

故函數(shù)y的圖象上的“倍值點(diǎn)”是（2,4）和（-2,-4）,故②說法正確；

③在y=（加-1）/+如+；加中，

令y=2x,貝（J2%=（機(jī)一+^^十；相，

整理得（根—I）/+（m-2）x+-^-m=0,

:關(guān)于X的函數(shù)y=（〃?-1）X2++；〃7的圖象上有兩個(gè)“倍值點(diǎn)”,

4

解得機(jī)且根W1,故③說法錯(cuò)誤;

nk,

④在y=x2+（加一%+2）x-i------中，

42

令3=2%,貝！j2%=f+（加一%+2）%+/一亨

nk

整理得f+（機(jī)-左）x-\--------=0,

42

:該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”,

nk

.?.,=（m-%）2-4x=0,

4-2

整理得〃=（加一%丫+2左，

「?對稱軸為相=左，此時(shí)〃的最小值為2左,

根據(jù)題意分類討論,

-l<k<3

n^n=2k=k，解得k=0；

k>3

無解;

2

?nun=（3-k）+2k=k

k<-l‘解得人￥或心乎

（舍去）,

2

?mi?=（-l-k）+2k=k

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綜上，上的值為0或土好，故④說法錯(cuò)誤；

2

故答案為：①③④.

5.（2024.四川南充?中考真題）已知拋物線6：丫=犬+〃吠+川與苫軸交于兩點(diǎn)八，B（A在B的左側(cè)），拋

物線C2：y=x2+n%+〃（根4〃）與x軸交于兩點(diǎn)C,￡）（C在。的左側(cè)），且AB=CD.下列四個(gè)結(jié)論：①G

與C?交點(diǎn)為（-U）；@m+n=4；③20；④A,。兩點(diǎn)關(guān)于（-1,0）對稱.其中正確的結(jié)論是—.（填

寫序號）

【答案】①②④

【分析】由題意得/+/蛆+加=/+依+〃，根據(jù)〃件〃可以判斷①；令尸0求出XL""，j"

2

x=-n士4a,由AB=CO可以判斷②；拋物線G：V=/+??x+機(jī)與無軸交于兩點(diǎn)A,B（A在8的

2

左側(cè)），拋物線G：y=/+〃x+九（相二九）與x軸交于兩點(diǎn)c,。（C在。的左側(cè)），根據(jù)根的判別式得出根<o

或〃?>4,〃<0或">4,可以判斷③，利用兩點(diǎn)間的距離可以判斷④.

【詳解】解：①由題意得％2+njx+m=x2+nx+rif

[m-n)x=n-m,

；H2W〃，

當(dāng)％二一1時(shí)，y=lf

???。1與6交點(diǎn)為（-1」），故①正確,

當(dāng)y=o時(shí)，尤2+血+〃？=0,解得尤=-"吐’/—4:咒

2

—m+y/m1-4m—m-y/m2-4m

???AB==yjm2-4m,

22

當(dāng)y=0時(shí)，%2+nx+n=0,解得x="'"

2

—/+J/—4幾—n—yjn1—4n

：.CD=

22

?:AB=CD,

,,,府—4m=J/_4zz，即覆—4m=n2—4M，

Am2-n2=4m-4n,則有：(m+n)(m-n)=4(m-n),

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m+n=4,故②正確;

③???拋物線G：y=必+鹿：+m與x軸交于兩點(diǎn)A,B（A在與的左側(cè)），拋物線。2：y=%2+加+〃（相?！ǎ┡c

X軸交于兩點(diǎn)c,D（C在。的左側(cè)）,

=m2-4m>0,=—4〃>0,

解得："zvO或〃t>4,〃v0或幾>4,

由②得相+〃=4,

m=4—n,

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，〃〉4,或當(dāng)相〉4時(shí)，n<0,

mn<0,故③錯(cuò)誤;

④由①得：x2wc+m=0,解得x=-〃2±冊=”

+t2

TA在3的左側(cè)，C在。的左側(cè),

-m-y/m2-4m）-m+ylm2-4m一n—Jn2-4n、一〃+J/一4幾、

???A---------2---------'°，B,0,C,0,D,0,

222

\77

m=4—n,

一（4一〃）一^（4-n）2-4（4-n）、

A,0,整理得：A,0,

22

7

7

-4+九--4〃+-〃+dn2-An

-------------------二—2,

22

???由對稱性可知：A,。兩點(diǎn)關(guān)于（-1,0）對稱，故④正確;

綜上可知：①②④正確,

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判

別式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

6.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，拋物線丁=-/+灰+。與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,其中8（1,0）,C（0,3）.

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(1)求拋物線的解析式.

(2)在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得aPC的面積最大.若存在，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和△APC

的面積最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-X?-2x+3

、

(2)存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是「卜(了31了5.△APC的面積最大值是2令7

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及與幾何綜合：

(1)將8,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出b,。的值即可；

(2)過點(diǎn)尸作PEA軸于點(diǎn)E,設(shè)尸伍-/-2x+3),且點(diǎn)尸在第二象限，根據(jù)SAPC-SAPE+，梯形PCOE-SAOC

可得二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：將5(1,0),C(0,3)代入y=—f+"+c得,

J—l+Z?+c=0

[c=3

[b=-2

解得：Q

[c=3

y———2x+3

(2)解：對于y=-"2x+3,令y=0,貝!]一/一2犬+3=0,

解得，%=一3,々=1,

??.A(-3,0),

OA=3,

*/C(0,3),

OC=3,

過點(diǎn)P作PELx軸于點(diǎn)E,如圖，

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設(shè)尸（尤,-爐-2尤+3）,且點(diǎn)尸在第二象限,

OE=—X,AE=3+x,

??SAPC=SAPE+S梯形PC0E-SAOC

；（兀）（一兀）（兀）（一兀）一

=3+2—2%+3+^3—2-2%+3-x3x3

2

；.S有最大值，

（、

.??當(dāng)冗=一93時(shí)，S有最大值，最大值為?27，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為-不3，彳15

7.（2024.山東濰坊.中考真題）在光伏發(fā)電系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會(huì)對太陽輻

射的接收產(chǎn)生直接影響.某地區(qū)工作人員對日平均太陽輻射量》（單位：kW-h-lO'.m-d1）和太陽能

板與水平地面的夾角x°（0<x<90）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖2所示的散點(diǎn)圖，已知該散點(diǎn)圖可用二次函數(shù)刻

畫.

y(30.49)

,?

?U0,4S)

10.40)

1020304050MlTilJUI卻＜“)

mi用2

⑴求y關(guān)于1的函數(shù)表達(dá)式;

⑵該地區(qū)太陽能板與水平地面的夾角為多少度時(shí)，日平均太陽輻射量最大？

⑶圖3是該地區(qū)太陽能板安裝后的示意圖（此時(shí)，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大）,

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ZAGD為太陽能板48與水平地面G。的夾角，CO為支撐桿.已知Afi=2m,C是A5的中點(diǎn)，CDJ_GD.在

GD延長線上選取一點(diǎn)在兩點(diǎn)間選取一點(diǎn)E,測得EN=4m,在兩點(diǎn)處分別用測角儀測得

太陽能板頂端A的仰角為30。，45°,該測角儀支架的高為1m.求支撐桿8的長.（精確到0.1m,參考數(shù)

據(jù)：V2?1.414,V3?1.732)

i3

【答案】⑴尸——X2+-X+40

1005

(2)30°

(3)6.0

【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌

握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式為y="2+6x+c,將圖中的點(diǎn)代入即可求出答案；

（2）求出二次函數(shù)的對稱軸，在對稱軸處取最值；

（3）延長NF與過點(diǎn)A作的線交于點(diǎn)H,令FH=a,根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，求出

GC=AG-CA=4括+5即可得到答案.

【詳解】（1）解：設(shè)〉關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為＞="2+法+。,

將(0,40),(10,45),(30,49)代入,

40=。

得［45=100Q+10"C,

49=900a+30。+c

1

u=-------

100

3

解得。與，

c=40

y=———x2+—X+4Q；

1005

3

bq

（2）解：根據(jù)函數(shù)解析式得函數(shù)對稱軸》=-丁=--f—=30,

故陽能板與水平地面的夾角為30度時(shí)，日平均太陽輻射量最大;

131

(3)解：y=------X2+-X+4Q=-----(九一30)2+49,

1005100

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延長N5與過點(diǎn)A作A"，GN的線交于點(diǎn)“，令FH=a,

AH=a,AN=2AH=2a,

/.HN=y]AN2-AH2=耳=1.7〃，

HN=HF+FN=4+af

y/3ci=4+a,

/.a—2^/3+2,

A/V=4g+4,

延長AN交GM與J點(diǎn)，

ZAJG=ZAGJ,

AJ=AG,

NM人值/

AJ=AN+---------=4。3+6,

cos60°

AG=4A/3+6,

GC=AG-CA=4A/3+5,

CD=CGsin30°=—=-+2^^2.5+2x1.732?=6.0.

22

圖3

8.(2024.四川雅安?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a?+bx+3的圖象與x軸交于4(1,0),

3(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

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⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖①，若點(diǎn)尸是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)2,C重合)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)。，

當(dāng)線段P。的長度最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點(diǎn)。的直線與拋物線交于點(diǎn)Z),且NCQO=2NOCQ.在y軸上是否存在

點(diǎn)E，使得二皮汨為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=f-4x+3

⑵。

⑶存在，點(diǎn)E（0,8+743）或（0,8-而）或（0,5）或（0,?。┗颍?,-759）

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)由=—x+3—(x?—4x+3)=—x?+3x,即可求解；

(3)先求出點(diǎn)。(5,8),再分類求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得：y=a(無一1)(*一3)=。(三一4》+3)=依2+法+3,

則4=1,

則拋物線的表達(dá)式為：y=/-4x+3；

(2)解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0,3),

由點(diǎn)2、C的坐標(biāo)得，直線CB的表達(dá)式為：丫=-尤+3,

設(shè)點(diǎn)Q(x,V-4x+3),則點(diǎn)尸(x,-x+3),

貝"尸。=_尤+3—（尤2—4x+3）=-x2+3x,

V-l<0,故PQ有最大值,

33

此時(shí)x=則丁=%2_以+3=一二，

24

33、

即點(diǎn)。2,-4r

(3)解：存在，理由:

設(shè)直線CQ的表達(dá)式為y=mx+nf

335

--——TYl+￥1m=——

由點(diǎn)CQ的坐標(biāo)得，42,解得:2,

3=n〃=3

???直線CQ的表達(dá)式為：y=-1.r+3,

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I6，故咕小

令y=0,x=

5

過點(diǎn)。作TQ〃y軸交X軸于點(diǎn)T,則Z.TQC=ZQCO,

QNCQD=2ZOCQ,Z.TQC=ZQCO,

即直線CQ和。2關(guān)于直線QT對稱，故

設(shè)直線DQ的表達(dá)式為y=dx+c,

33」

——=—a+c

3_342

代入。,得,

2，-49

0——d+c

5

解得："I

9

2

59

則直線。。的表達(dá)式為:y=—x——

22

聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：x2-4x+3=j5x-j9,

3

解得：x=5(舍去)或5,

即點(diǎn)。(5,8)；

設(shè)點(diǎn)E(O,y),由民的坐標(biāo)得，BD-=68,DE2=25+(y-8)2,B￡2=9+/,

當(dāng)=時(shí)，則68=25+(y-8)2,

解得：y=8±V43,即點(diǎn)E(0,8+屈)或E(0,8-A)；

當(dāng)DE=BE或=5E時(shí)，

同理可得：25+(y-8)2=9+y2或9+9=68,

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解得：y=5或土病,

即點(diǎn)E（0,5）或（0,屈）或（0,-回）；

綜上，點(diǎn)￡（0,8+履）或（0,8-回）或（0,5）或（0,屈）或（0,-屈）.

【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的

思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.

9.（2024?四川巴中?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=改2+樂+3.力0）經(jīng)過A（T,0）,3（3,0）兩

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）如圖1,過點(diǎn)P作PDLx軸，交直線BC于點(diǎn)E,若PE=2ED,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）如圖2,連接AC、PC、AP,AP與BC交于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作尸尸〃AC交2C于點(diǎn)尸.記ACG、PCG、

PGF的面積分別為外邑、邑.當(dāng)含+[取得最大值時(shí)，求sin/BCP的值.

【答案】⑴y=+2尤+3

（2）P（2,3）

小、3M

⑶何

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）令x=0時(shí)，y=-x2+2x+3=3,求出C（0,3）,進(jìn)一步求出直線BC的解析式為y=—x+3,設(shè)

P（m,-m2+2m+3）,貝!]PD=_加+2〃z+3,表示出-m+3）,￡＞（m,0）,利用尸E=2￡D,可得利=2,

可得P（2,3）；

邑S,2PF

（3）由PF〃AC得至UACGsPFG,進(jìn)而得到肅+苦=丁，作AN〃3C交y軸于N,作PQ〃'軸交3C

2KJ]2*,

于。，求出直線AN的解析式為產(chǎn)-》-1,進(jìn)而得到N（0,-l）,求出C7V=4,再證明-C4Ns,尸產(chǎn)Q,設(shè)

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-?2+2?+3）,則Q（〃,一"+3）,得至IJPQ=-/+3”，得至ij區(qū)+色=把=一![一3]+2,

即可得到

S2S]AC212）8

31533，求出尸0=5—3=：，°。=

此時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為|-3

25Z292

oc

證明.WQsjvc隊(duì)得到NBCP=NC4B,由sinNBC?=sinNC4B=——即可求出答案.

AC

【詳解】（1）解：；拋物線廣加+法+3（"0）與x軸交于點(diǎn)A（T,O）,3（3,0）,

J〃-/?+3=0

[9a+3Z?+3=0

a=-1

解得:

b=2

拋物線解析式為.y=-x2+2x+3；

（2）解：,?當(dāng)x=0時(shí)，y=-x2+2x+3=3,

.*.C（0,3）,

設(shè)直線BC的解析式為y^kx+n,

.13左+〃=0

[n=3

[k=—l

解得：。,

[n=3

直線BC的解析式為y=f+3,

2

設(shè)尸（見-荷+2m+3）,則PD=-m+2m+3,

?.?尸軸于點(diǎn)。，

,D（m,0）,

DE=—m+3,

PE'=P￡）-D￡,=—m2+2m+3-（-m+3）=—m2+3m,

?:PE=2ED,

-m2+3m=2（-m+3）,

解得叫=2,加2=3（此時(shí)B,。重合，不合題意舍去）,

m=2,

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???尸（2,3）；

(3)解：VPF//AC,

ACGS_PFG,

ACAGCG

PF-PG-FG

GF_PFS2PG_PF

CGAC'IAGAC

S2_2PF

作AN〃5C交y軸于N,作PQ〃，軸交3C于Q,

直線3C的解析式為y=-x+3,AN//BC,

「?直線AN的解析式為＞=—x+b',

將A（-l,O）代入y=—X+//,得：0=_（_1）+少,

解得：b=-If

直線AN的解析式為y=-x-l,

當(dāng)x=0時(shí)，yN=-l,

??.N(O,-1),

JON=1,CN=ON+CO=4,

AN//BC,PQ//y,

：.ZPQF=ZNCB=ZANC,ZPFC=ZACFf

?：ZPFC=ZFPQ+ZPQF,ZACF=ZNCB+ZACN,

：.ZFPQ=ZACN,

:?KANSdPFQ,

PFPQ

,AC-GV*

設(shè)尸(〃,—/+2〃+3),則Q(〃,-n+3),

PQ=—n2+3n,

邑+22PF2PQ-2n2+6nif3?9

--=-----=—n—H—

$2H~\C

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ON=OA=1,OB=OC=3,

:.ZOBC=ZANC=45°,

ZANC=ZPQFf

/.ZOBC=ZPQF,

BC=^(3-0)2+(0-3)2=372,AB=4,

9還

,PQ=CQ='=3人,

一法―京一丁，耘一^―-丁

,PQ=CQ

??BC-AB'

:.CPQSACB,

:.ZBCP=/CAB,

AC=^(-l-O)2+(O-3)2=Vio

../R3_.3_3回

..sin/BCP=sin^.CAB=----=~■-(==--------.

ACM10

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和

性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

10.(2024?江蘇常州?中考真題)將邊長均為6cm的等邊三角形紙片ABC、疊放在一起，使點(diǎn)E、8分

別在邊AC、DFk(端點(diǎn)除外)，邊AB、EF相交于點(diǎn)G,邊BC、DE相交于點(diǎn)H.

(1)如圖1,當(dāng)E是邊AC的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是；

(2)如圖2,若EF〃BC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3,當(dāng)AE>EC,時(shí)，AE與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由.

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【答案】(1)菱形

力2

(2)-----cm

2

(3)AE=B尸，理由見解析

【分析】(1)連接BE,CD,由等邊三角形的性質(zhì)可得/ACB=/￡/?=60。，則3、D、C、E四點(diǎn)共圓，

由三線合一定理得到ZB￡C=9O。，則3c為過3、D、C、E的圓的直徑，再由DE=3C=6cm,得到DE為

過3、D、C、E的圓的直徑，則點(diǎn)”為圓心，據(jù)此可證明/6￡6=/￡?〃=/63￡=/班”=30。，推出

四邊形BHEG是平行四邊形，進(jìn)而可證明四邊形3HEG是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)得到NABC=NOEF=NC=60。，AC=BC=6cm,則由平行線的性質(zhì)可推出

/ABC=/CHE,進(jìn)而可證明四邊形BHEG是平行四邊形，再證明△E"C是等邊三角形，則可設(shè)

EH=CH=2xcm,貝！|8//=(6-2x)cm,HT=gcH=xcm,由勾股定理得到ET=《EH?-HT?=Arm，

2

可得S重疊=SMBHEC=BH-ET=-273[一I)+竽，則當(dāng)X=3時(shí)，S群有最大值，最大值為竽cm；

(3)過點(diǎn)B作氏0_LAC于M,過點(diǎn)E作EN_LD產(chǎn)于N,連接BE,則AM=-V=!。尸=LAC=3cm,

22

EF=AB=6cm,BE=BE,證明EN=3M,進(jìn)而可證明RtNBE^RtMEB(HL),得到NB=ME,則

FN+BN=AM+ME,即AE=BF.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接BE,CD

；AABC,△DEF都是等邊三角形，

ZACB=ZEDF=6O°,

:.B、D、C、E四點(diǎn)共圓，

:點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

ZBEC=90°,

：.BC為過B、D、C、E的圓的直徑，

又；DE=BC=6cm,

:.DE為過B、D、C、E的圓的直徑，

六點(diǎn)〃為圓心，

：.EH=BH,

：.ZHBE=ZHEB=30°,

ZGEB=ZEBH=ZGBE=NBEH=30°,

BG//EH,BH//EG,

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，四邊形BHEG是平行四邊形,

又：EH=BH,

，四邊形3HEG是菱形,

，兩張紙片重疊部分的形狀是菱形;

FG

B\/H^C

D

圖1

（2）解：AABC,△￡>砂都是等邊三角形，

ZABC=ZDEF=ZC=60°,AC=BC=6cmf

丁EF//BC,

：./CHE=/DEF=60°,

NABC=NCHE,

：.BG〃EH,

???四邊形BHEG是平行四邊形，

ZC=ZCHE=6O°,

：.△EHC是等邊三角形，

過點(diǎn)E作ETLHC,

設(shè)EH=CH=2xcm,則BH=（6-2x）cm,HT-；CH=xcm,

ET=ylEH2-HT2=瓜cm，

,,,，重疊=§四邊形3HEG=BH.ET=V3%（6-2x）

99

4~4

*.*-273<0,

...當(dāng)尤=:時(shí)，S重疊有最大值，最大值為生8c療;

22

第20頁共59頁

A

圖2

(3)解：AE=BF,理由如下：

如圖所示，過點(diǎn)3作3MLAC于過點(diǎn)E作硒JLDk于N,連接BE,

AABC,△。所都是邊長為6cm的等邊三角形，

/.AMFN=-DFAC^3cm,EF=AB=6cm,BE=BE

22

由勾股定理可得NE=4EF°-FN?=3病m，BM=\/AB2-AM2=36cm，

EN=BM,

又：BE=BE,

RtNBE^RtAffiB(HL),

NB=ME,

：.FN+BN=AM+ME,即AE=5/.

圖3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三

角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，四點(diǎn)共圓，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.（2024?江蘇常州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系宜為中，二次函數(shù)'=-/+打+3的圖像與無軸相交

于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.

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（1）OC=；

（2）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,0）.

①當(dāng)且加＞1時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t,s-t=2,求根的值；

②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)8除外），過點(diǎn)P作尸軸，垂足為。.作

ZDPQ=ZACO,射線尸。交y軸于點(diǎn)。，連接OQ、PC.若DQ=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【答案】⑴3

⑵①0+1;②1或，或7+萬

24

【分析】（1）當(dāng)x=0時(shí)，,=3,即0C=3；

（2）①先求出解析式為丁=-九2+2尤+3,可知對稱軸為直線：x=l,當(dāng)14x4加，且力＞1時(shí)，y隨著力的

增大而減小，故當(dāng)x=l,s=4,當(dāng)％=加時(shí)，t=-m2+2m+3,由s—%=2得，4+m2-2m-3=2,解得

_AO1

m=1+也;②在RtACO中，可求tan/ACO=^=§,由題意得，DP//CQ,DQ=PC,四邊形。PC。

為平行四邊形或等腰梯形，當(dāng)點(diǎn)尸在X軸上方，四邊形QPCQ為平行四邊形時(shí)，則PD=QC,則

tanZ.DPQ=tanZACO=tanZ1=,設(shè)FD=k,OF=n,貝|P￡）=3匕OQ=3〃，貝13左=3+3〃，故〃=左+1,

貝IP（2左+1,3左），將點(diǎn)尸（2%+1,3。代入＞=-父+2戈+3,得一（2左+1）2+2（24+1）+3=33解得上=（,故

13

xP--x2+l--;當(dāng)四邊形OPCQ為等腰梯形時(shí)，貝iJPC=QD,過點(diǎn)P作尸E_Ly軸于點(diǎn)E,則CE=QO,

PE1

由℃+CE=QC+0O,得坐=0。=3,則^=[,設(shè)PE=p,則QE=3o,故3P=3,解得p=l,即與=1；

7QE3

OGDG1

當(dāng)點(diǎn)尸在X軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形。PC。為平行四邊形，貝。而=益=§，設(shè)OG=e,Z）G=g,

則。。=3e,D尸=3g=QC,^OQ-OC=CQ,故3e-3=3g,BPg=^-l,可得尸（26-1,3-36）,將點(diǎn)尸

代入y=-f+2,X+3,得一（2e—iy+2（2e—l）+3=3—3e,解得e二"+巧或e二小阮（舍），因此