江蘇省射陽縣2024-2025學年高考數(shù)學模擬試題（含解析）

江蘇省射陽縣2024-2025學年高考模擬考試試題（一）數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設a,夕是方程爐—x—1=。的兩個不等實數(shù)根，記a“=a"+〃"（"eN*）?下列兩個命題（）

①數(shù)列｛怎｝的任意一項都是正整數(shù);

②數(shù)列｛a,,｝存在某一項是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯誤

2.國家統(tǒng)計局服務業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造

業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）如下圖所示.則下列結論中錯誤的是（）

（%）50%表示與上月比較無變化

54

53

52

51

50

49

48

2018年10月UJII2JJ2D1W陰3月4）15月6月7月陰9月

1/1

A.12個月的PMI值不低于50%的頻率為g

B.12個月的PMI值的平均值低于50%

C.12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%

D.12個月的PMI值的中位數(shù)為50.3%

3.若直線2x+y+m=0與圓Y+2x+y2—2y—3=0相交所得弦長為2百，則機=（）

A.1B.2C.75D.3

4.過拋物線丁=2/（夕＞0）的焦點歹的直線與拋物線交于A、3兩點，且衣=2麗，拋物線的準線/與％軸交于

C,AACF的面積為8后，則JIAB卜()

A.6B.9C.972D.6叵

5.已知尸是雙曲線C:近2+V=4|Z|(改為常數(shù))的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()

A.2kB.4kC.4D.2

6.以下關于/(x)=sin2%-cos2x的命題，正確的是

A.函數(shù)/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞增

B.直線x=J需是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸

O

C.點］是函數(shù)y=/(x)圖象的一個對稱中心

D.將函數(shù)y=/(x)圖象向左平移需2個單位，可得到y(tǒng)=0sin2x的圖象

8

7.已知全集。=R,函數(shù)y=ln(l—%)的定義域為"，集合N=｛小2—%<o),則下列結論正確的是

A.MCN=NB.MA?N)=0

C.M\JN=UD.

8.已知直線W和平面a,若772_La,貝!!“772J_八,'是“八〃e"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.不充分不必要

9.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關系，共同打

造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年，我

國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是()

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

22

10.已知雙曲線二-4=1（。>0,6>0）的左焦點為B，直線/經(jīng)過點廠且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線/與雙曲

ab

線的左支交于不同的兩點A,B,若赤=2而，則該雙曲線的離心率為（）.

「26

A?丹Vx?------D.73

3

11.記M的最大值和最小值分別為"max和"mm.若平面向量3、b>O滿足同=^=￡/=A（￡+2^—"）=2,

則（）

A「一|G+A/7?I--|A/3--Ji

A.kz-c=-------------B.\a+c\=-------------

IImax2?Imax2

c.la-clD.|a+]=^!1

IImin2?Imin2

12.《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為

（）

左視圖

俯視圖

8

A.4萬B.8萬C.6+4>/2D.—71

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如果拋物線丁=2四上一點4（4,加）到準線的距離是6,那么機=.

x+y<4

則2=筌的最大值為一一一,

14.已知實數(shù)%,y滿足

y>0

15.已知函數(shù)/（%）=百5111（2%+0）-85（2尤+0）（0<0<兀）是定義在人上的奇函數(shù)，則f的值為

16.在AABC中，角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,若c=l,C=60°，則b的取值范圍是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=21n(x+2)-(x+l)2,g(x)=k(x+l).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當k=2時，求證：對于以>—1,f(x)<g(x)恒成立;

(3)若存在天〉-1,使得當xw(-1,%)時，恒有/(x)>g(x)成立，試求上的取值范圍.

18.(12分)已知三棱錐A-BCD中側面的與底面3C。都是邊長為2的等邊三角形,且面ABD±面BCD,M,N

分別為線段AO、A5的中點為線段上的點，且MNLNP.

(1)證明：P為線段的中點；

(2)求二面角A—NP—M的余弦值.

19.(12分)在AA6c中，角AB,C的對邊分別為“,仇c.已知。=舟，且

(a—b+c)(sinA—sinB—sinC)=csinC—2asinB.

(1)求cos。的值；

(2)若△ABC的面積是2&，求△ABC的周長.

2

20.(12分)如圖，已知拋物線E：>2=4%與圓以：(%-3)+/=產(chǎn)(r>0)相交于A,B,C,。四個

(1)求廠的取值范圍；

(2)設四邊形ABC。的面積為S,當S最大時，求直線AD與直線的交點P的坐標.

21.(12分)隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強，人民的生活水平逐步提高，為了進一步改善民生，2019年1

月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：(1)個稅起征點為5000元；(2)每月應納稅所得

額（含稅）=收入一個稅起征點-專項附加扣除；（3）專項附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費用②子女教育費用③繼續(xù)教育

費用④大病醫(yī)療費用……等.其中前兩項的扣除標準為：①贍養(yǎng)老人費用：每月扣除2000元②子女教育費用：每個

子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：

級數(shù)一級二級三級四級

超過3000元超過12000元超過25000元

每月應納稅所不超過3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得額（含稅）元的部分

部分部分部分

稅率（%）3102025

（1）現(xiàn)有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要贍養(yǎng)老人，除此之外，無其它專項附加扣除.請問李某月應繳

納的個稅金額為多少？

（2）為研究月薪為20000元的群體的納稅情況，現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領的相關資料，通過整理資料可知，

有一個孩子的有400人，沒有孩子的有100人，有一個孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人，沒有孩子的人中有50人需

要贍養(yǎng)老人，并且他們均不符合其它專項附加扣除（受統(tǒng)計的500人中，任何兩人均不在一個家庭）.若他們的月收入

均為20000元，依據(jù)樣本估計總體的思想，試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額X的分布列與期望.

22.（10分）已知函數(shù)/（%）=/03工

（1）若x<0,求證：

（2）若x>0,恒有若（x）2（>+3）x+21nx+l,求實數(shù)上的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

利用韋達定理可得a+4=1,3=—1,結合?！?a"+，"可推出4+1=an+an_x，再計算出q=1,%=3，從而推出①

正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷②的正誤.

【詳解】

因為e,￡是方程式_%_1=0的兩個不等實數(shù)根，

所以<7+尸=1,。/?=一1,

因為4=["+，"，

所以a.M=a"+i+,"+i

=+夕，）a++吟°-/3na-an（3

=（a"+尸”）（a+尸）_初（優(yōu)1+Q

=（俄+如+（―+8T）=a“+a…

即當〃N3時，數(shù)列｛an｝中的任一項都等于其前兩項之和，

又％=a+/?=1,g=a?+￡2_+,）2—2oc/3—3,

所以〃3=%+=4,〃4=4+%=7,%=%+〃3=11，

以此類推，即可知數(shù)列｛4｝的任意一項都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列｛a,J存在某一項是5的倍數(shù)，則此項個位數(shù)字應當為。或5,

由q=1,4=3，依次計算可知，

數(shù)列｛??｝中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,639,2為周期，

故數(shù)列｛%｝中不存在個位數(shù)字為0或5的項，故②錯誤;

故選:A.

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導，考查數(shù)列性質(zhì)的應用，考查學生的綜合分析以及計算能力.

2.D

【解析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.

【詳解】

41

對A,從圖中數(shù)據(jù)變化看，耳〃值不低于50%的月份有4個，所以12個月的PA〃值不低于50%的頻率為一=—,故

123

A正確；

對2,由圖可以看出，值的平均值低于50%,故B正確；

對C,12個月的PA〃值的眾數(shù)為49.4%,故C正確，；

對。，12個月的值的中位數(shù)為49.6%,故D錯誤

故選：D.

本題考查頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.

3.A

【解析】

將圓的方程化簡成標準方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓Y+2x+V—2y_3=0的標準方程（X+1）2+（y—1）2=5，圓心坐標為（-1,1），半徑為J5,因為直線2x+y+m=0

與圓必+2%+丁2—2丁一3=0相交所得弦長為2君,所以直線2x+y+m=0過圓心，得2x（—l）+l+〃z=0,即m=1.

故選：A

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎題.

4.B

【解析】

設點4（王，弘）、8（22），并設直線A5的方程為工=加y+微，由麗=2而得以=一2%，將直線的方程代

入韋達定理，求得|x|，結合AACF的面積求得。的值，結合焦點弦長公式可求得

【詳解】

設點5（尤2，%），并設直線AB的方程為1孫+，

將直線A5的方程與拋物線方程聯(lián)立<X~my+l,消去X得y2——/=0,

y2=2px

由韋達定理得M+%=2p加，

——；\p\-=*(D)uumUUL

4/=[耳—/，一％J,FB=\x2--,y2\,Q=2F3，二一%=2為，；J=-2%，

2

■.yiy2=-2yl=-p,可得昆|=/夕，氏|=2|%|=0〃，

拋物線的準線/與x軸交于C1-5,01

AACF的面積為:xpx應0=2°2=80，解得，=4,則拋物線的方程為/=8x,

52

所以'[A同=石+々+0=X+4=^—+p=9,

故選：B.

本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.

5.D

【解析】

分析可得k<0,再去絕對值化簡成標準形式，進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

2v2

當左之0時，等式kx2+y2^4\k\不是雙曲線的方程；當k<0時，就2+/=41左|=一4左，可化為上一—匚=1,可得虛

-4k4

半軸長b=2,所以點P到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.

故選：D

本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.

6.D

【解析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)得到/(x)=J5sin(2x-：),再逐項判斷正誤得到答案.

【詳解】

f(x)=sin2x-cos2x=41sin(2x--)

fOA1Q

A選項，xe0,——2x--G(一■7,-7^-)函數(shù)先增后減，錯誤

I3J4412

B選項，x=gn2x-f=。不是函數(shù)對稱軸，錯誤

84

C選項，x=-^2x--=-,不是對稱中心，錯誤

444

D選項，圖象向左平移需(個單位得到y(tǒng)=J^sin(2(x+|0—?)=后sin2x,正確

故答案選D

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，其中化簡三

角函數(shù)是解題的關鍵.

7.A

【解析】

求函數(shù)定義域得集合M,N后，再判斷.

【詳解】

由題意M={x|x<l},?/={x10<x<1},：.M^\N=N.

故選A.

本題考查集合的運算，解題關鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，

還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定.

8.B

【解析】

由線面關系可知根_L〃，不能確定〃與平面。的關系，若〃〃。一定可得m_L〃，即可求出答案.

【詳解】

?/m±6Z,m±n,

不能確定〃ua還是〃<za,

nila,

當n//a時，存在aua,nila.,

由根_1_1=>根_1_〃，

又M/a,可得加，

所以“加_L〃”是“nlla”的必要不充分條件，

故選：B

本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.

9.D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進行判斷即可.

【詳解】

對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；

對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；

對D項，由統(tǒng)計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；

故選：D

本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎題.

10.A

【解析】

b

直線I的方程為x=—y-c,令和雙曲線方程聯(lián)立，再由通=2而得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可?

a

【詳解】

b

由題意可知直線I的方程為x=-y-c，不妨設a=l.

a

則》=力一。，且"=°2一1

4

將X=紗—C代入雙曲線方程好一方=1中，得至僅4—]),2—2b3“+b=0

設

?2b3cy

則n乂+%=「*?%=時

2盼c

一—一%=仃

由A尸=2/fi，可得％=-2%，故｛4

〔A』

,1

則8氏2=1_",解得

貝!1C="2+1=

3

cTio

所以雙曲線離心率

a3

故選：A

此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.

11.A

【解析】

設6?為％、B的夾角，根據(jù)題意求得6然后建立平面直角坐標系，設Z=厲=(2,0),b=OB=(l,s/3),

c=OC=(%,j),根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點C的軌跡方程，將歸-4和卜+(轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距

離，利用數(shù)形結合思想可得出結果.

【詳解】

由已知可得a4=Hjqcose=2,則cos9=；,QO<0<TV,:.0=^,

建立平面直角坐標系，設日=礪=(2,0),^=05=(1,73),c=OC=(x,y),

由c-(a+2B-c)=2,可得(x,y)-(4-2x,2G-2y)=2,

即4x-2八2底-2/=2,

化簡得點C的軌跡方程為(x—+y—當=|,則"卜J(x_2,+y2,

=；上的點與點(2,0)的距離，.[￡—4卜?n16=6+療

2Imax

7

幣-6

2~

轉(zhuǎn)化為圓a=；上的點與點(—2,0)的距離，

H.="曰［小迤F

1ImaxAlI.2)221u12)22

故選：A.

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.

12.B

【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.

【詳解】

根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2,側棱長為2且與底面垂

直，因為直三棱柱可以復原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，

則(2R)2=4W=2?+2?=8,那么S外接球=4兀咫=8萬.

故選：B

本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關計算，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.±4A/2

【解析】

先求出拋物線V=2px的準線方程，然后根據(jù)點4(4,到準線的距離為6,列出4+^=6,直接求出結果.

【詳解】

拋物線V=2°x的準線方程為

由題意得4+'=6,解得p=4.

2

?.?點A(4,m)在拋物線y2=2px上，

nr—2x4x4>**?m=+4^/2，

故答案為：±4?.

本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.

4

【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)看作點尸（-2,-1）與可行域的點所構成的直線的斜率，當直線過4（2,2）

時，直線的斜率取得最大值，代入點A的坐標可得答案.

【詳解】

畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，由得點4（2,2）,

目標函數(shù)z=表示點P（-2,-1）與可行域的點所構成的直線的斜率，

x+2

當直線過A（2,2）時，直線的斜率取得最大值，此時z=￡1的最大值為

,3

故答案為：一

本題考查求目標函數(shù)的最值，關鍵在于明確目標函數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

15.-V2

【解析】

先利用輔助角公式將/（尤）=Gsin（2x+o）—cos（2x+°）轉(zhuǎn)化成/（X）=2sin12x+o—d

，根據(jù)函數(shù)是定義在E

上的奇函數(shù)得出（P=彳,從而得出函數(shù)解析式，最后求出/[―即可?

【詳解】

解：f（x）=Gsin（2x+e）-cos（2x+e）=2sin|Ix+cp--,

又因為/（%）定義在R上的奇函數(shù),

則/(O)=2sin[2xO+9-W]=°，

則夕一￡=左乃，又因為

所以9=$,/(x)=2sin(2x),

6

所以=2sin]—(x2]=一虛.

故答案為：—叵

本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值，考查了基本知識的應用能力和計算能力，是基礎題.

【解析】

計算出角3的取值范圍，結合正弦定理可求得b的取值范圍.

【詳解】

QC=60°.則0。<3<120。，所以，0<sinBWl,

b

由正弦定理sin8

因此，b的取值范圍是

故答案為:

本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)單調(diào)減區(qū)間為(_2,士好)，單調(diào)增區(qū)間為(士好,+oo)；(2)詳見解析；(3)(-oo,2).

22

【解析】

試題分析：⑴對函數(shù)/(九)求導后，利用導數(shù)和單調(diào)性的關系，可求得函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.⑵構造函數(shù)

/i(x)=/(x)-g(x),利用導數(shù)求得函數(shù)/i(x)在(—1,+8)上遞減，且網(wǎng)―1)=0,則/z(x)<0,故原不等式成立.(3)

同⑵構造函數(shù)〃(x)=/(x)—g(x),對上分成左(2,左=2,#2三類，討論函數(shù)〃(%)的單調(diào)性、極值和最值，由此

求得上的取值范圍.

試題解析：

2

⑴/'W=~~2(x+l)

■X十乙

-2(X2+3X+1)

=一---------(x>-2)，

x+2

當/'(X)<0時，X2+3X+1>0.

解得4〉.13歧.

當/"(x)＞。時，解得—2＜?。家?；二.

(_3+6

所以/(%)單調(diào)減區(qū)間為-2,—,

I2J

「3+有)

單調(diào)增區(qū)間為一片，+8-

\7

(2)設&⑺=/(%)—g(%)

=21n(x+2)-(x+l)——左(尤+l)(x〉一l),

當左=2時，由題意，當xe(-l,”)時，

/z(x)<0恒成立.

-2(X2+3X+1)

”(%)=

x+2

-2(x+3)(x+l)

x+2

.?.當x＞-l時，"(％)＜0恒成立，力⑺單調(diào)遞減.

又可―1)=0,

.?.當xe(-l,+oo)時，人(％)<〃(一1)=0恒成立，即/(x)-g(x)<o.

對于Vx>—1,y(x)<g(x)恒成立.

(3)因為〃，(力=

x+2

2%2+(k+6)x+2k+2

~x+2.

由(2)知，當左=2時，/(x)<g(x)恒成立，

即對于Vx>—1,21n(x+2)-(x+l)2<2(x+l),

不存在滿足條件的天；

當左>2時，對于Vx>—1,x+l>0,

此時2(x+l)<%(x+l).

，21n(x+2)-(x+l)-<2(x+l)<左(九+1),

即/(x)<g(x)恒成立，不存在滿足條件的尤。；

當左<2時，令/(X)=—2%2—(左+6)x—(2左+2),

可知，(九)與"(九)符號相同，

當xe(%o，+so)時，/(%)<0,/:'(%)<0,

網(wǎng)力單調(diào)遞減.

二當XG(-l,Xo)時，入(％)>〃(-1)=0,

即/(九)—g(x)>0恒成立.

綜上，左的取值范圍為(f,2).

點睛：本題主要考查導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，導數(shù)與不等式的證明，導數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

這是導數(shù)問題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導，要注意通分和因式分解.二、三兩問一個是恒成立問

題，一個是存在性問題，要注意取值是最大值還是最小值.

18.(1)見解析；(2)眄

5

【解析】

(1)設。為中點，連結OC,先證明3。，AC,可證得5D,假設尸不為線段BC的中點，可得BD±

平面ABC,這與NDfiC=60°矛盾，即得證；

(2)以。為原點，以OB,OC,Q4分別為X，V，z軸建立空間直角坐標系，分別求解平面ANP,平面跖VP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【詳解】

（1）設。為班）中點，連結。4,OC.

：.OA±BD,OCLBD,

又04。。。=。

???比），平面。1C,

ACu平面。4C,

:.BDLAC.

又M,N分別為ADA3中點，

MN//BD,又MN上NP,

:?BD1NP.

假設P不為線段的中點，

則NP與AC是平面內(nèi)ABC內(nèi)的相交直線，

從而80,平面ABC,

這與NDfiC=60°矛盾，所以P為線段的中點.

（2）以。為原點，由條件面A3DL面BCD,

/.AO±OC,以OB,OC,Q4分別為％，丁，z軸建立空間直角坐標系,

(Ji。?〕JI百?！?/p>

則A倒,0時,M

222222

AN

122J

P2V=[o,-—

I22,W=(1,0,0).

7

設平面A/VP的法向量為用=(%,y,z)

1石c

—x------z=0

m-AN—022

所以《__.n

m?PN=0-2+烏=。

22

取y=l,則z=l,x=60m=

同法可求得平面MNP的法向量為n=(0,1,1)

/ffi-fi2A/10

/.cos(m,""麗=標=可

由圖知二面角A—NP—M為銳二面角,

二面角A—NP—M的余弦值為?.

5

本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學生邏輯推理，空間想象，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

19.(1)cosC=—;(2)2+2A/3+2A/2

3

【解析】

(1)由正弦定理可得,(a—b+c)(a-b-c)^c2-2ab，化簡并結合a=￡b，可求得a,b,c三者間的關系，代入余弦定理

可求得cosC;

(2)由(1)可求得sinC,再結合三角形的面積公式,可求出口,b,c,從而可求出答案.

【詳解】

(1)因為(a—Z?+c)(sinA-sinB—sinC)=csinC-2asinB,

所以(a-b+c)(a-b-c)=。2一2",整理得:〃+〃二?/.

因為a=y/3b，所以4b2=2c2，所以c=yf2b.

，

/h2_23b2+b2-2b2_V3

由余弦定理可得cosC=—-

2ab2x后2-3

（2）由（1）知cosC=g，則sinC=Jf

因為△ABC的面積是2J5,所以g。匕sinC=2J5,

即、技2義邁=2應，解得b=2，則a=2s/3,c=2^/2.

23

故△ABC的周長為:2+2有+2

本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，考查了三角形面積公式的應用,屬于基礎題.

20.（1）2A/2<r<3（2）點P的坐標為（一；,0）

【解析】

（1）將拋物線方程丁=4%與圓方程（x-3）2+V=/聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，拋物線E與圓"有

四個交點需滿足關于X的一元二次方程在（0,+8）上有兩個不等的實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的有關性質(zhì)即可得到關于廠的

不等式組，解不等式即可.

（2）不妨設拋物線E與圓M的四個交點坐標為A（42喜），3（%,-2禽），Cg,-2后,D?,2后,據(jù)此可

表示出直線AO、的方程，聯(lián)立方程即可表示出點尸坐標，再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形A5CD的面積S

的表達式，令t=4區(qū),由t=,9-戶及⑴知0</<1對關于t的面積函數(shù)進行求導，判斷其單調(diào)性和最值，即可求出

四邊形A3CD的面積取得最大值時f的值，進而求出點P坐標.

【詳解】

y=4x,

（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程、2,,

［（x-3）-+/=r2,

消去V,得龍2一2%+9—產(chǎn)=0.

由題意可知V—2%+9-r=0在（0,+。）上有兩個不等的實數(shù)根.

A=4-4（9-r2）>0,廣

所以<,'解得20<13，

9-r2>0,

所以r的取值范圍為re（2夜,3）.

（2）根據(jù)（1）可設方程爐一2%+9-r2=0的兩個根分別為再，%（0<%!<x2）,

則4（七,2"），,。（龍2，-2?"）,。（%2,28"），

且再+%=2,=9一產(chǎn)，

所以直線AO、的方程分別為

y—2嘉=2嘉-2仄

再一九2

y+2惠J?喜+2衣（尸xj,

Xif

聯(lián)立方程可得，點p的坐標為（-7^7,0）,

因為四邊形A3CD為等腰梯形，

所以s=5（|AB|+|CD）（X2-%）=5（4^"+4^^"）（々—xj

=2J%]+々+2J%]/,X]+工21-4X]/=2J2+219-廠,《4―4（9一廠），

令”的-/?0,1）,貝|/（/）=S2=4（2+2r）（4—4產(chǎn)）=—32（/+產(chǎn)—1）,

所以廣⑺=—32（3/+27—1）=—32Q+1）⑶—1）,

因為0<f<l,所以當0</<；時,/'（。>0；當g</<l時,

所以函數(shù)/■?）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,1）上單調(diào)遞減，

即當。=」時，四邊形ABC。的面積S取得最大值，

3

因為-J?%=一/，點P的坐標為（-5司4,0）,

所以當四邊形ABCD的面積S取得最大值時，點P的坐標為（-50）.

本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標準方程及直線與圓錐曲線相關的最值問題；考查運算求解能力、

轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識的綜合運用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難

度大型試題.

21.（1）李某月應繳納的個稅金額為2910元，（2）分布列詳見解析，期望為1150元

【解析】

（1）分段計算個人所得稅額；

（2）隨機變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對應的概率，列出分布列，求期望即可.

【詳解】

解：（1）李某月應納稅所得額（含稅）為：29600-5000T000-2000=21600元

不超過3000的部分稅額為3000x3%=90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000x10%=900元，

超過12000元至25000元的部分稅額為9600x20%=1920元

所以李某月應繳納的個稅金額為90+900+1920=2910元，

(2)有一個孩子需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額(含稅)為：20000-5000-1000-2000=12000元,

月應繳納的個稅金額為：90+900=990元

有一個孩子不需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額(含稅)為：20000-5000-1000=14000元，

月應繳納的個稅金額為：90+900+400=1390元；

沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額(含稅)為：20000-5000-2000=13000元，

月應繳納的個稅金額為：90+900+200=1190元；

沒有孩子不需要贍養(yǎng)老人應納稅所得額(含稅)為：20000-5000=15000元，

月應繳納的個稅金額為：90+900+600=1590元；

3

P(X=990)=-,

P(X=1190)=：,

P(X=1390)=1,

P(X=1590)=—

所以隨機變量X的分布列為:

X990119013901590

3111

p

5io510

3111

E(x)=990x-+1190x—+1390x-+1590x—=1150.

510510