2024年中考數(shù)學試題分類訓練：分式方程及其應用

專題08分式方程及其應用（32題）

一、單選題

1.（2024.四川德陽?中考真題）分式方程1=三的解是（）

xx+3

33

A.3B.2C.—D.一

24

【答案】D

【分析】本題考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法與步驟是解題關鍵.先去分母化分式方程為整式

方程，求出方程的解后再檢驗即可.

【解析1±=三，去分母，得x+3=5x,解得x==,當無==時，x（x+3）w0,.?/=:是原方程的角和故

xx+344'/4

選D

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售.細

心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子

的原價是X元，所得方程正確的是（)

“240240-B.史-也=1。

A.——--------=10

xx+2xx-2

型-科-2402400

C.=10D.--------------=10

x-2xx+2x

【答案】C

【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程.根據(jù)

降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程.

【解析】由題意可得，4240t-2絲40=10,故選：c.

3.（2024.四川廣元.中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023

年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”.現(xiàn)需要購買42兩種綠植，

已知A種綠植單價是8種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的8種綠植少50

株.設B種綠植單價是尤元，則可列方程是（）

6750s3000「300006750

A.---------50=-------B.--------50--------

3xx3xx

「6750“3000一300006750

C.------+50=-------D.------+50=-------

3xx3xx

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程的應用，設B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是3x元，根據(jù)用6750

元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，列出方程即可.

【解析】設B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是3x元，根據(jù)題意得：等+50=亞四，故選：C.

3xx

4.（2024.黑龍江綏化.中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行120km所

用時間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【分析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速=靜水速+水速，逆水速=靜水速-水速，設未知

數(shù)列出方程，解方程即可求出答案.

【解析】設江水的流速為Xkm/h,根據(jù)題意可得：一匕=--,解得：x=8,經(jīng)檢驗：x=8是原方

40+%40-%

程的根，答：江水的流速為8km/h.故選：D.

5.（2024.廣東省.中考真題）方程三2=±3的解為（）

x-3x

A.x=3B.x=—9C.x=9D.x=—3

【答案】C

【分析】把分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的

解.

【解析】二=9去分母得：2x=3（x-3）,去括號得：2x=3x-9,移項、合并同類項得：-工=-9,解得：

x=9,經(jīng)檢驗：x=9是原分式方程的解，故選：C.

6.（2024?四川達州?中考真題）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先

加工30分鐘后，甲開始加工.甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的1.2倍，最后兩人同時完成.求

乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工x個零件.可列方程為（）

120120”120120”

A.--------——=30B.——=30

1.2xXX1.2%

「120120_30120120_30

C.--------D.

1.2xx60X1.2x60

【答案】D

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設乙每小時加工了個零件，則甲每小時加工L2x個零件,

再根據(jù)時間=工作總量+工作效率結合甲的工作時間比乙的工作時間少30分鐘列出方程即可.

【解析】設乙每小時加工x個零件，則甲每小時加工1.2x個零件，由題意得匕-學=義，故選：D.

x1.2%60

7.（2024.四川瀘州.中考真題）分式方程一1二-3=—7的解是（）

x—22-x

75

A.x=—B.x=—\C.x=—D.x=3

33

2

【答案】D

【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)

化為1,檢驗）求解，即可解題.

1219

【解析】-----3=,--------3=—,l-3（x-2]=-2,l-3x+6=-2,-3x=-9,尤=3,經(jīng)檢驗

x-22—xx—2x—2

x=3是該方程的解，故選：D.

8.（2024?山東?中考真題）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)

100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【分析】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

設改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x,則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（x-100）,根據(jù)“改造后生產(chǎn)600件的

時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可.

【解析】設改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為龍，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（x-100）,根據(jù)題意，得：

眄=上與，解得：》=300,經(jīng)檢驗了=300是分式方程的解，且符合題意，答：改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)

xx-100

品件數(shù)300.故選：B.

9.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）已知關于x的分式方程---2=--無解，則Z的值為（）

x-33—x

A.左=2或左=—1B.k——2C.左=2或左=1D.k——l

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵.先將分式方程去分

母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【解析】去分母得，履-2（》-3）=-3,整理得，（k-2）x=-9,當％=2時，方程無解，當心2時，令x=3,

解得左=—1,所以關于X的分式方程個-2=4無解時，％=2或女=—1.故選：A.

x-33-x

1m

10.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關于X的分式方程上-/一=0的解是負數(shù)，那么實數(shù)，"的取值

xX+1

范圍是（）

A.能<1且相力0B.m<lC./n>1D.m<1且

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的

解是負數(shù)得到租-1<0,并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出加的取值范圍即可，熟練掌握

解分式方程的步驟是解題的關鍵.

【解析】方程兩邊同時乘以x（x+l）得，x+l-nu=o,解得X=一二，?.?分式方程的解是負數(shù)，.?.%一1<0,

m-L

m<1,又?.,x（x+l）wO,.??%+lwO,.?.—-—。一1,???加。0,???加<1且機wO,故選：A.

m-1

11.（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程一2七=1TH-'\的解為正數(shù)，則加的取值范圍（）

x-1x-1

A.m>-3B.機>一3且相。一2

C.m<3D.加<3且加。一2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解

的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵.

2

【解析】方程兩邊同時乘以得，2=x-l-m,解得兄=機+3,???分式方程三=1-YH3的解為正數(shù)，??.

x-1x-1

m+3>0,/.m>-3,又TXWI,即機+3wl,.??根W-2,?,?根的取值范圍為根〉一3且相。一2,故選：B.

二、填空題

12.（2024?四川宜賓?中考真題）分式方程J-3=0的解為________.

無一1

【答案】無=2

【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關鍵；先去分母，化為整式方程，再解

方程并檢驗即可.

丫-I-1

【解析】--3=0,.-.x+l-3（x-l）=0,;.-2x=T,解得：x=2,經(jīng)檢驗：尤=2是原方程的根，.?.方程

的根為x=2,故答案為：x=2.

13.（2024?四川廣元?中考真題）若點。（x,y）滿足,+'=則稱點0為“美好點”，寫出一個“美好點”的

xyxy

坐標.

【答案】（2,T）（答案不唯一）

【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以沖后去分母，令x代入一個數(shù)值，得到y(tǒng)的值,

以此為點的坐標即可，正確解分式方程是解題的關鍵

【解析】等式兩邊都乘以孫，得無+y=l,令x=2,則>=-1,美好點”的坐標為（2,-1）,故答案為（2,-1）

（答案不唯一）

2

14.（2024?湖南省?中考真題）分式方程一-=1的解是_____.

X+1

【答案】x=l

4

【分析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1,把分式方程轉化為整式方程2=x+L求解后并檢驗即可.

【解析】方程的兩邊同乘x+1,得2=x+L解得x=l.檢驗：當x=l時，x+l=2R0.所以原方程的解為

X=l.故答案為：x=l.

15.（2024?湖北武漢?中考真題）分式方程」的解是____.

x-3x-1

【答案】x=-3

【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關鍵.首先等號兩邊同時

乘以（x-3乂彳-1）完成去分母，再按照去括號，移項、合并同類項的步驟求解，檢驗即可獲得答案.

【解析】一三==，等號兩邊同時乘以（》-3）（彳-1）,得（x—l）x=（x—3）（x+l）,去括號，得

x~3x~l

22

X-X=X-2X-3,移項、合并同類項，得了=-3,經(jīng)檢驗，x=-3是該分式方程的解，所以，該分式方

程的解為x=-3.故答案為：x=-3.

16.（2024?四川達州?中考真題）若關于x的方程一二-口=1無解，則上的值為____.

x-2x—2

【答案】-1或2

【分析】本題主要考查了分式方程無解問題,先解分式方程得到X=￡,再根據(jù)分式方程無解得到左+1=0

k+l

或=2,解關于k的方程即可得到答案.

k+1

4Izjr_163IcX—1

【解析】三一J=1去分母得：3-京+l=x-2,解得：*=三，?.?關于龍的方程二一J=1無

x-2x-2化+1x-2x-2

解，，當％+1=0或工=2時，分式方程無解，解得：k=7或k=2（經(jīng)檢驗是原方程的解），即％=-1或

Z+1

7c3kx-l1十左刀4X?依4d|V

k=2,-------=l無斛.故答案為：-1或2.

x-2x-2

17.（2024?北京?中考真題）方程『二+'=0的解為________.

2x+3x

【答案】x=-l

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關鍵.

先去分母，轉化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根.

【解析x+2x+3=0,解得：x=-l,經(jīng)檢驗：尸一1是原方程的解,所以，原方程的解為x=-l,

2%+3x

故答案為：x=-l.

2

18.（2024?浙江?中考真題）若一-=1,則兀=________

x-1

【答案】3

【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.解

分式方程一定注意要驗根.分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解析】去分母得：2=x-l,移項合并得：-％=-3,解得：尤=3,經(jīng)檢驗，x=3是分式方程的解，故

答案為：3

19.(2024?四川涼山?中考真題)方程三=±的解是_____

x-3x

【答案】x=9

【分析】觀察可得最簡公分母是x(x-3),方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解.

【解析】方程的兩邊同乘x(x-3),得3x-9=2x,解得x=9.檢驗：把x=9代入x(x-3)=54^0.

???原方程的解為：x=9.故答案為：x=9.

20.(2024?四川成都?中考真題)分式方程一二=?的解是—.

x-2x

【答案】x=3

【解析】試題分析：分式方程去分母轉化為整式方程x=3(x-2),求出整式方程的解得到x=3,經(jīng)檢驗

x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解.

考點：解分式方程

21.(2024.重慶?中考真題)若關于x的一元一次不等式組3-的解集為xV4,且關于V的分式

4x-2<3尤

方程Y-一三=i的解均為負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是______.

y+2y+2

【答案】12

【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的

兩個不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出。>2；解分式方程得到y(tǒng)再由關于丁的分式方程

V—一々=1的解均為負整數(shù)，推出。<10且。片6且a是偶數(shù)，貝|2<。<10且。片6且a是偶數(shù)，據(jù)止匕

y+2y+2

確定符合題意的a的值，最后求和即可.

2%+1<3?

【解析】3"解不等式①得：無<4,解不等式②得：x<a+2,?不等式組的解集為x<4,

4x—2<3x+a(2)

.-.a+2>4,.-.a>2；解分式方程-一%=1得廣三3，?.?關于y的分式方程空|一一弋=1的解均

y+2y+22y+2y+2

為負整數(shù)，.??￡^<0且￡^是整數(shù)且y+2=^^+2f0,.?.a<10且。力6且a是偶數(shù)，.?.2<。<10且

ar6且a是偶數(shù)，.??滿足題意的a的值可以為4或8,??.所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是4+8=12.故答

案為：12.

6

22.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若分式方程上7=3-產(chǎn)的解為正整數(shù)，則整數(shù)相的值為____.

x-11-x

【答案】-1

【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)機的值即可.

【解析】一^7=3-3，化簡得：+去分母得：尤=3（》-1）+皿，移項合并得：（2+m）x=3,

x-11-xx-1x-1

3

解得：x=--,由方程的解是正整數(shù)，得到尤為正整數(shù)，即2+m=1或2+加=3,解得：m=-l^m=l（舍

2+m

去，會使得分式無意義）.故答案為：-1.

三、解答題

23.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）（1）先化簡，再求值：（X+1）2-2（X+1）,其中％=2忘.

E-2=上

（2）解方程:

x-4x-4

【答案】（1）M-1,7；（2）x=3

【分析】本題考查了整式的運算，二次根式的運算，解分式方程等知識，解題的關鍵是:

（1）先利用完全平方公式、去括號法則化簡，然后把x的值代入計算即可；

（2）先去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1,檢驗，解分式方程即可.

解：（1）（x+1）-2（x+l）

=x2+2尤+1—2尤一2

=%2—1,

當x=2無時，原式=僅0了一1=7；

,、x-2-x

（2）------2=——

x-4尤一4

去分母，得x-2-2（x-4）=x,

解得x=3,

把x=3代入x—4=3—4=-1/0,

.?.x=3是原方程的解.

24.（2024.四川自貢?中考真題）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動.已知七

（3）班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所

用的時間相同.求甲，乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子.

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用.設乙組每小時包x個粽子，則甲組每小時包（x+20）個粽子,

根據(jù)時間等于總工作量除以工作效率，即可得出關于X的分式方程，解之并檢驗后即可得出結果.

解：設乙組平均每小時包X個粽子，則甲組平均每小時包（x+20）個粽子,

由題意得:

150

—,解得:x=80,

1+20X

經(jīng)檢驗：x=80是分式方程的解，且符合題意,

???分式方程的解為：x=80,

+20=100

答：甲組平均每小時包100個粽子，乙組平均每小時包80個粽子.

.13

25.（2024?廣東廣州.中考真題）解方程：----

2x-5x

【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關鍵，注意檢驗.依次去分母、去括號、

移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案.

去分母得：x=3（2x-5）,

去括號得：x=6x-15,

移項得：x-6x=-15,

合并同類項得：-5》=-15,

解得：x-3,

經(jīng)檢驗，x=3是原方程的解,

該分式方程的解為x=3.

26.（2024?江蘇揚州?中考真題）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、8兩種機器，A型機器比8

型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數(shù)與B型機器處理300噸垃圾所用天數(shù)相

等.8型機器每天處理多少噸垃圾？

【分析】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是正確找出題中的等量關系，本題屬于基礎題型.

設8型機器每天處理x噸垃圾，則A型機器每天處理（x+40）噸垃圾，根據(jù)題意列出方程即可求出答案.

解：設B型機器每天處理x噸垃圾，則A型機器每天處理（彳+40）噸垃圾，

解得x=60.

經(jīng)檢驗，x=60是所列方程的解.

答：B型機器每天處理60噸垃圾.

27.(2024?山東威海?中考真題)某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦?時.后

購進一批相同數(shù)量的8型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦?時.一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈

每年用電量的2倍少32千瓦?時.求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量.

【分析】本題考查分式方程的應用，根據(jù)題意列方程是關鍵，并注意檢驗.根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式

分式方程求解即可.

解：設一盞8型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦?時，

則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為(2x-32)千瓦.時

160009600

2%-32x

整理得5x=3(2x-32)

解得x=96

經(jīng)檢驗：x=96是原分式方程的解.

2x—32=160

答：一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦?時.

28.(2024?陜西?中考真題)解方程：-2^+*x=1.

x-1x-1

【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程

的解進行檢驗即可.

去分母得：2+x(x+l)=%"—1,

去括號得：2+》2+%=彳2-1,

移項，合并同類項得：x=-3,

檢驗：把x=—3代入(x+l)(x_l)得：(-3+1)(-3-1)=8^0,

x=-3是原方程的解.

29.(2024?廣西?中考真題)綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數(shù)學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干.重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達

到洗衣目標.

假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都殘留0.5kg水.

濃度關系式：%=丁上.其中“、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所

加清水量（單位：kg）

【洗衣目標】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務：

（1汝口果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

（3）比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關鍵;

（1）把d后=601%,d前=。-2%代入d后=9強，再解方程即可；

0.5+w

（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

（3）根據(jù)（1）（2）的結果得出結論即可.

（1）解：把金=0.01%,“前=0.2%代入d=9幺

0.5+w

得0.01%=”逆%,

0.5+w

解得w=9.5.經(jīng)檢驗符合題意；

二只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

（2）解：第一次漂洗:

把w=2kg，代入金=藍￡,

_0.5x02%

=0.04%

0.5+2

第二次漂洗:

把「2kg,『。。4%代入y然,

0.5x0.04%

=0.008%

0.5+2

而0.008%<0.01%,

???進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

（3）解：由（1）（2）的計算結果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節(jié)約用水，

???從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習.

30.（2024?重慶?中考真題）某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、

乙兩人分別用A、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半.據(jù)測算需要A、B兩種外墻漆各300千克，購

買外墻漆總費用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價格比3種外墻漆每千克的價格多2元.