《線性代數(shù)》課件 第3章 高斯消元法

第三章高斯消元法第三章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容高斯消元法求解線性方程組矩陣的秩和可逆矩陣的逆矩陣特殊的可逆矩陣的逆矩陣形式3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法

是數(shù)學(xué)史上最重要的發(fā)現(xiàn)之一，高斯消元法是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，它是以德國數(shù)學(xué)家高斯命名的，出現(xiàn)在19世紀(jì)初。事實(shí)上，這一思想早就在中國古代的《九章算術(shù)》中便初露端倪。具體為《九章算術(shù)》中第八章“方程”中提出的“方程術(shù)”思想，它和高斯消元法有著非常相似的思想。九章算術(shù)高斯消元法文字描述符號表示主要用于求解含有兩個(gè)或三個(gè)未知數(shù)的線性方程組求解含有任意多個(gè)未知數(shù)的線性方程組兩者本質(zhì)上相同，但具體解法略有不同，高斯消元法更為簡潔。兩者的主要區(qū)別3.1高斯消元法求解線性方程組《九章算術(shù)》第八章中以一個(gè)例子介紹“方程術(shù)”“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗．問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?”其中“禾”指的是谷子，“秉”指的是“捆”，“實(shí)”指的是“果實(shí)”。利用這個(gè)例子，劉徽給出了古代解線性方程組的方法。它是中國古代人民的智慧結(jié)晶，比歐洲領(lǐng)先至少一千多年。3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法是指通過線性方程組中各個(gè)方程之間的等價(jià)運(yùn)算，使得方程組中未知數(shù)缺少越少，終極目標(biāo)為：當(dāng)知道某一未知數(shù)的值，即可回代逐一求得全體未知數(shù)的值。當(dāng)然，在消元過程中，也可能出現(xiàn)矛盾等式，此時(shí)方程組無解。實(shí)際上，高斯消元法通過對線性方程組進(jìn)行行變換，將其轉(zhuǎn)化為三角形方程組，然后再通過回代法求解出未知數(shù)的值，由以下例題加以說明。求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解若有解則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數(shù)的取值若無解則結(jié)束3.1高斯消元法求解線性方程組例1.《九章算術(shù)》第八章中介紹“方程術(shù)”的案例為：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗．問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?”將其翻譯過來就是：現(xiàn)有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果實(shí)共計(jì)39斗；上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果實(shí)共計(jì)34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆，下等谷子3捆，果實(shí)共計(jì)26斗，問上等、中等、下等谷子1捆分別是幾斗？3.1高斯消元法求解線性方程組

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數(shù)的取值

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數(shù)的取值例2：求解線性方程組

求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數(shù)的取值解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組

例3求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

待求方程組等價(jià)于：

于是，待求方程組的解為：

為任意實(shí)數(shù).3.1高斯消元法求解線性方程組例4求解線性方程組

3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

解：對應(yīng)的線性方程組為：

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.2

高斯消元法求矩陣的秩主要步驟為：（1）寫出矩陣對應(yīng)的線性方程組；（2）利用高斯消元化簡線性方程組；（3）確定方程組中有效方程的個(gè)數(shù)就是矩陣的秩.一般來說，可以通過高斯消元法求解矩陣的秩.3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

分析：可以根據(jù)逆矩陣的定義利用定義法求逆矩陣.

根據(jù)矩陣相等的定義得：

分別解得

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：（1）對于不是方陣的

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：

3.3

高斯消元法求逆矩陣定理3.3.1可逆矩陣的逆矩陣唯一.

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

分析：利用消元法求逆矩陣.

3.3

高斯消元法求逆矩陣于是

即3.3

高斯消元法求逆矩陣

方程組（3-9）的解為：

利用高斯消元法對方程組（3-9）從上往下消元依次為：利用高斯消元法對方程組（3-10）從上往下消元依次為：

方程組（3-10）的解為：

3.3

高斯消元法求逆矩陣方程組（3-11）的解為：

利用高斯消元法對方程組（3-11）從上往下消元依次為：3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：可逆矩陣的乘積矩陣是否可逆？

3.3

高斯消元法求逆矩陣

解：由題意根據(jù)例8的結(jié)果知3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣3.3

高斯消元法求逆矩陣

回顧與小結(jié)

1.逆矩陣的定義；2.用逆