線性代數(shù) 課件 趙建紅第8-10章 線性變換；位似變換和伸縮變換；旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換和反射變換

第八章線性變換第八章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容變換線性變換變是絕對(duì)的，不變是相對(duì)的，數(shù)學(xué)就是在研究變與不變的客觀規(guī)律.變換是一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種關(guān)系可以用點(diǎn)的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系來刻畫；剛好矩陣可以用來反映坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，是研究變換的有力工具.本章主要介紹線性代數(shù)中變換和線性性的基本概念，以及線性變換的重要性和應(yīng)用.【導(dǎo)入】在日常生活中，如縮放、旋轉(zhuǎn)、投影等現(xiàn)象，都是線性代數(shù)中的變換用相機(jī)拍出的照片，可根據(jù)人們的需求進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s小或放大，見圖8-1.

圖8-1生活中常見的圖片放縮.第一節(jié)變換如果只考慮拍照，拍照前，現(xiàn)實(shí)世界中的事物是原像，拍照后，相機(jī)拍出的照片是像，所以也叫相片.如果考慮縮放變換，相機(jī)拍出的照片的每個(gè)點(diǎn)稱為原像，原像的集合就是定義域，而將其進(jìn)行縮放后的圖片對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為原像在這個(gè)縮放變換下的像，像的集合就是變換的值域.第一節(jié)變換地球每天都在圍繞其自轉(zhuǎn)軸和公轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，某個(gè)圖形繞一個(gè)具體的點(diǎn)按照一個(gè)具體方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度等，見圖8-2.圖8-2地球自轉(zhuǎn)可看成繞軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換

圖8-3地球表面的點(diǎn)可以看成隨自轉(zhuǎn)進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換夏天大樹在陽光下的陰影可以看成大樹這個(gè)立體對(duì)地面的投影，同樣地將大樹上任意一點(diǎn)叫作原像，對(duì)應(yīng)到地面上的影子為該點(diǎn)在投影變換下的像，見圖8-4.當(dāng)然處理力學(xué)問題時(shí)討論力的分解，也可以看成合力在水平、垂直方向的兩個(gè)投影變換.圖8-4三維空間在平面上的投影“變”這一現(xiàn)象在宇宙中無時(shí)無刻都在進(jìn)行著，不光上面介紹的例子.更一般的，斗轉(zhuǎn)星移、萬物生長(zhǎng)、量子糾纏、測(cè)量物體等都物體前后對(duì)應(yīng)的關(guān)系都可以看成數(shù)學(xué)上的變換.數(shù)學(xué)上將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為映射，而在以往的學(xué)習(xí)中最常見的映射就是函數(shù).上面提到的變換就是一種映射，它將變化前后的對(duì)象以一種特殊但是確定的方式聯(lián)系在一起，這里的對(duì)象可以是數(shù)字、向量、函數(shù)、或是任何物體.第一節(jié)變換在8.1節(jié)中介紹到的所有變換在生活或是專業(yè)上經(jīng)常遇到的，如果想要了解到這些變換的更多的性質(zhì)，需要借助數(shù)學(xué)思維將這些含有實(shí)際背景的變換抽離出來.如果不考慮其他的因素，將現(xiàn)實(shí)世界中的景物拍成照片的過程就可以看作景物對(duì)底片做了一次投影變換。第二節(jié)線性變換僅考慮投影這一動(dòng)作會(huì)發(fā)現(xiàn)還有許多這樣的例子，計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT）同樣是將病人體內(nèi)的器官投影到影片上，繪制地圖的時(shí)候也可以看成將地球（曲面）投影到平面上.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換在觀察某些星系的時(shí)候需要在特定的季節(jié)，特定的位置進(jìn)行觀測(cè)，如何通過地球自、公轉(zhuǎn)的規(guī)律確定下一個(gè)觀測(cè)時(shí)間和地點(diǎn)？在進(jìn)行CT掃描時(shí)，如何確定投影平面才能得到所需內(nèi)部器官的信息？這些問題都可以總結(jié)為變換是如何實(shí)現(xiàn)的？這樣的變換在工程應(yīng)用上又有怎樣的用途？為了弄清這些問題，線性代數(shù)發(fā)展出一系列的工具來研究說明這一主題.第二節(jié)線性變換

前面所提到的例子中，無論是投影變換、伸縮變換還是旋轉(zhuǎn)變換都有一個(gè)現(xiàn)象：在同一條直線上的原像經(jīng)過變換后得到的像仍舊在一條直線上.

例如，拍一張含有道路的照片，如果實(shí)際的道路是筆直的那么照片中呈現(xiàn)的像也將會(huì)是筆直的.可能照片上路的兩邊會(huì)相交在一點(diǎn)，但仍舊是直線，也就是說投影變換能夠保持直線的像仍是直線，或許角度會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)但不影響直線本身的形狀。即是在圖片上繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)大，線性代數(shù)上說所說的伸縮變換是將圖片的一邊或是兩邊同時(shí)進(jìn)行拉伸，圖片上的景物可能會(huì)傾斜但筆直的公路仍然是筆直的.同樣在旋轉(zhuǎn)變換中也能清楚的看到這一性質(zhì)：地球表面筆直的公路不會(huì)因?yàn)樾D(zhuǎn)變換而變得彎曲，無論自轉(zhuǎn)還是公轉(zhuǎn)也就是不管春夏秋冬、白天夜晚筆直的路都不會(huì)因?yàn)椋▎渭兊模┬D(zhuǎn)變換而變得彎曲。這些變換有一些共同的特質(zhì)性質(zhì)：在處理兩個(gè)東西的時(shí)候會(huì)遵循向量的加法，而在處理一個(gè)東西被放大的時(shí)候會(huì)遵循數(shù)乘性.第二節(jié)線性變換這種規(guī)律不僅在數(shù)學(xué)中有用，在生活中也能幫助我們更好地理解變換的工作原理.數(shù)學(xué)上將這種性質(zhì)稱為變換的線性性，即可以將線段變?yōu)榫€段.有線性性的變換稱為線性變換，是線性代數(shù)中最重要的變換，也是現(xiàn)實(shí)世界中最常見的變換.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換比如：旋轉(zhuǎn)變換不會(huì)改變向量之間的角度，因此它保持向量之間的線性關(guān)系.縮放變換會(huì)改變向量的大小，但不會(huì)改變它們之間的方向，因此它也保持向量之間的線性關(guān)系.可以簡(jiǎn)單地說變換是將一個(gè)對(duì)象映射到另一個(gè)對(duì)象的函數(shù).

線性變換是一種特殊的變換，它保持向量加法和標(biāo)量乘法.在后面的介紹中，還將知道線性變換可以用矩陣表示，并具有許多重要的性質(zhì).第二節(jié)線性變換但是并不是所有的變換都具有線性性，就像8.1節(jié)中最后提到的動(dòng)植物的生長(zhǎng)就不具有線性性，因?yàn)樯镌谏L(zhǎng)的過程中的變化并不一致，會(huì)在某一特殊時(shí)間段內(nèi)生長(zhǎng)得快一些。同樣類似量子糾纏的雙星系統(tǒng)或者多體系統(tǒng)的軌道也不能由具有線性性的變換得到.生活中的變換大多都不具有嚴(yán)格的線性性，如果把煮面條看作一個(gè)變換，那這個(gè)變換也不具有線性性，因?yàn)樵瓉砜醋骶€段的面條經(jīng)過“煮”變換后不都會(huì)呈現(xiàn)線段狀，這說明這個(gè)變換在作用的過程中不是“均勻的”.第二節(jié)線性變換事實(shí)上，這是數(shù)學(xué)物理中一個(gè)復(fù)雜的過程，但是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中總是先簡(jiǎn)單后復(fù)雜，先陌生后熟悉，就像微積分中的微分可以用來以直代曲，在實(shí)際應(yīng)用中也可以通過一些手段用比較簡(jiǎn)單的線性變換去近似復(fù)雜的變換，這也是在大學(xué)的階段除了專業(yè)課程之外還需學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因.第二節(jié)線性變換后面將介紹在線性代數(shù)理論基礎(chǔ)上的線性變換，主要有位似變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換和切變變換等幾類最常見的線性變換.

因此，線性變換是一類特殊的變換，最特殊的是線性變換可以保持變換前的直線依舊是直線，而變換僅僅是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，它不需要變換前后的物體一定要保持線性性，見圖8-5圖8-5線性代數(shù)上幾種重要的線性變換

圖8-6變換的定義域、取值空間和值域變換；線性變換?；仡櫯c小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第一題的1、5。作業(yè)題：無復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第九章位似變換與伸縮變換第九章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣位似變換及其矩陣表示

伸縮變換及其矩陣表示

伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)圖形的伸縮在生活中被廣泛的應(yīng)用.比如，在查看不同比例尺的地圖時(shí)，就是在進(jìn)行位似變換。地圖的縮放可以讓使用者在不同比例下觀察到相同區(qū)域的形狀和相對(duì)位置，而不改變它們的相似性.在數(shù)碼攝影中，拍攝者可以使用變焦鏡頭進(jìn)行縮放。這是一種位似變換，因?yàn)樗瑫r(shí)改變了場(chǎng)景的大小和形狀，但保持了物體之間的相對(duì)位置和幾何形狀，見圖9-1.【導(dǎo)入】圖9-1保持圖形相似的位似變換在幾何學(xué)中，如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，它們被認(rèn)為是相似的.通過位似變換，可以將一個(gè)相似三角形轉(zhuǎn)換為另一個(gè)，保持它們的形狀和角度關(guān)系.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的圖像處理涉及到位似變換.通過縮放和旋轉(zhuǎn)，可以調(diào)整圖像的大小和方向，而仍然保持物體之間的幾何相似性.在三維建模和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）中，位似變換用于調(diào)整和編輯三維模型的大小和形狀，同時(shí)保持模型內(nèi)部的比例關(guān)系.本章主要介紹一種特殊的線性變換：位似變換，主要闡述其標(biāo)準(zhǔn)矩陣通過矩陣乘法作用在向量上實(shí)現(xiàn)變換.緊接著介紹位似變換的一種更一般的形式：伸縮變換，它可以改變圖形的形狀和比例，常用于圖像編輯、地理信息系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域.主要通過數(shù)學(xué)表達(dá)和幾何解釋介紹了位似變換和伸縮變換的概念和實(shí)現(xiàn)方式，包括它們的標(biāo)準(zhǔn)矩陣表示和幾何意義并得到一般性的結(jié)論。最后提到了一個(gè)有用的推論，即如果變換前后的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一次式，那么這個(gè)變換一定是線性變換.另外在第三小節(jié)展現(xiàn)了伸縮變換在數(shù)據(jù)處理中的作用.

先考慮將某張圖片“擴(kuò)大”3倍，將圖像的每個(gè)維度（寬度和高度）都增加到原始尺寸的3倍，見圖9-2，這是通過縮放操作來實(shí)現(xiàn)的.第一節(jié)位似變換及其矩陣表示圖9-2將原圖形“擴(kuò)大”3倍觀察圖9-1可以發(fā)現(xiàn)除了落在坐標(biāo)原點(diǎn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)未發(fā)生改變外，其余所有的坐標(biāo)均變?cè)鴺?biāo)的3倍.在工程應(yīng)用上，建立線性變換的時(shí)候通常是觀察其表現(xiàn)即點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到其幾何表現(xiàn)或是語言描述.就像8.1節(jié)中，通過文字的描述可以得到一個(gè)給定的點(diǎn)經(jīng)過變換之后像的位置.思考：線性變換有沒有可以進(jìn)行直接計(jì)算的顯式公式？第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

圖9-3矩陣乘法作用在向量上的效果第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示

第一節(jié)位似變換及其矩陣表示注意到位似變換的效果是將圖形在各個(gè)方向上進(jìn)行相同程度的伸縮，但是現(xiàn)實(shí)生活中可能遇到并不需要這種保持圖形一直相似的變化，像是在圖像編輯軟件中，將圖像縮小以適應(yīng)網(wǎng)頁布局或?qū)D像放大以用于打印。這類變換主要用于改變圖像中特定區(qū)域的大小，進(jìn)行圖像修復(fù)或圖像合成等操作。將這種更一般的變換稱為伸縮變換，與位似變換不同的是在伸縮變換過程中可能會(huì)使圖形失去原來的比例，見圖9-4.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示圖9-4伸縮變換可能會(huì)改變?cè)瓐D形的形狀實(shí)際生活中，常常使用這樣的變換。在地理信息系統(tǒng)（GIS）中，伸縮變換用于調(diào)整地圖的比例尺。通過伸縮變換，可以將地圖的大小調(diào)整到適合特定的顯示尺寸，讓使用者能夠更清晰地觀察地圖上的細(xì)節(jié)或?qū)⑵渑c其他地圖進(jìn)行比較.在生產(chǎn)過程中可能需要將零件的尺寸放大或縮小以滿足特定的要求。此外，伸縮變換也可以用于調(diào)整產(chǎn)品的比例，進(jìn)行模型測(cè)試或設(shè)計(jì)優(yōu)化.伸縮變換還可用于調(diào)整醫(yī)學(xué)圖像的比例尺，使醫(yī)生能夠更準(zhǔn)確地測(cè)量和分析病變區(qū)域的大小。此外，伸縮變換還可以用于醫(yī)學(xué)圖像的增強(qiáng)和重建，以提供更清晰的圖像.在地震學(xué)和地質(zhì)學(xué)中，伸縮變換可用于處理地震數(shù)據(jù)和地質(zhì)數(shù)據(jù)，以研究地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和特征。通過對(duì)地震波形數(shù)據(jù)進(jìn)行伸縮變換，可以更準(zhǔn)確地分析地球內(nèi)部的地質(zhì)結(jié)構(gòu)和地震活動(dòng).第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示思考：在已有位似變換的基礎(chǔ)上，怎么通過調(diào)整位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣得到拉伸或者收縮變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣？位似變換與伸縮變換的作用均是將圖形進(jìn)行拉伸和伸縮.通過簡(jiǎn)單的分析可以知道伸縮變換與位似變換的區(qū)別在于位似變換是在所有方向上均做同等程度的伸縮，一直保持物體的相似性.而伸縮變換僅在某些方向是進(jìn)行伸縮并且伸縮的程度不一致.兩種變換均表現(xiàn)為“伸”或“縮”的變化，于是可以將位似變換看作特殊的伸縮變換.所以僅需在位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣中找到如何表現(xiàn)這種差異的部分就可以解決伸縮變換表達(dá)式的問題第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示思考：在已有位似變換的基礎(chǔ)上，怎么通過調(diào)整位似變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣得到拉伸或者收縮變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣？位似變換與伸縮變換的作用均是將圖形進(jìn)行拉伸和伸縮.

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示

伸縮變換可以用來調(diào)整圖像的寬高比例，改變物體的形狀，或者進(jìn)行透視效果的調(diào)整.例如，修復(fù)圖像中的畸變或調(diào)整圖像中的元素的形狀.位似變換作為伸縮變換的特例：每個(gè)方向都做伸縮因子相同的伸縮變換.觀察上述的例題還可以得到一個(gè)有用的事實(shí).一般地，若變換前后的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一次式，那這個(gè)變換一定是線性變換.這個(gè)結(jié)果在判斷一個(gè)變換是否為線性變換時(shí)簡(jiǎn)單有效，但是在解釋變換的作用的時(shí)候卻不是很直接.第二節(jié)伸縮變換及其矩陣表示線性代數(shù)中的伸縮變換和位似變換是兩種重要的線性變換方法，它們?cè)趲缀螌W(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、物理學(xué)以及工程領(lǐng)域等方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用.這一小節(jié)主要介紹位似變換在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中的作用.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化通常建立數(shù)學(xué)模型的過程包括：首先，確定建模的目標(biāo)和問題類型，明確需要解決的業(yè)務(wù)問題或科學(xué)問題.然后，再收集與問題相關(guān)的數(shù)據(jù)，并對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)為后續(xù)建模提供參考。根據(jù)問題的性質(zhì)和數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，選擇合適的統(tǒng)計(jì)模型或機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行建模，例如線性回歸、邏輯回歸、決策樹、支持向量機(jī)等.之后，就是模型訓(xùn)練、模型評(píng)估、模型調(diào)優(yōu)、模型解釋和應(yīng)用、部署和監(jiān)控、反饋和迭代等步驟。但無論是用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型還是機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行建模，往往不能直接使用收集到的原始數(shù)據(jù)，因?yàn)樵紨?shù)據(jù)可能有表示不同特征的量綱（單位），這會(huì)導(dǎo)致模型在訓(xùn)練過程中對(duì)于不同特征的權(quán)重分配不均勻，進(jìn)而影響模型的性能。因此在得到數(shù)據(jù)一般會(huì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，可以將不同單位的值變換到相同的范圍，消除量綱差異，使得模型更加穩(wěn)定和準(zhǔn)確.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化通過線性變換實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化使得標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)算變得更加簡(jiǎn)潔和直觀.通過縮放原始數(shù)據(jù)，可以將數(shù)據(jù)調(diào)整為具有零均值和單位方差的形式，消除特征間的量綱差異，從而更容易理解和解釋標(biāo)準(zhǔn)化的過程.同時(shí)使用線性變換進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化可以利用線性代數(shù)的性質(zhì)，通過矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)算，從而提高計(jì)算的效率和速度。尤其是在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時(shí)，線性變換可以更快地完成標(biāo)準(zhǔn)化過程，節(jié)省計(jì)算資源和時(shí)間成本并且線性變換具有很好的可擴(kuò)展性，可以輕松應(yīng)用于多維數(shù)據(jù)集和高維特征空間.通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)木€性變換矩陣，可以同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，而不需要分別處理每種特征，從而簡(jiǎn)化了標(biāo)準(zhǔn)化的過程并提高了效率.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化

稱這種在每個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行加減運(yùn)算的作用叫做平移變換，值得注意的平移變換作為生活中常見的簡(jiǎn)單變換但是不屬于線性變換，一般將完整的標(biāo)準(zhǔn)化過程稱為一個(gè)仿射變換，見習(xí)題.最后進(jìn)行本章介紹的兩種重要線性變換的總結(jié).伸縮變換（DilationTransformation）和位似變換（ScalingTransformation）都涉及到改變對(duì)象的大小，但它們之間存在一些關(guān)鍵的不同之處：第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化（1）性質(zhì)不同：伸縮變換是一種線性變換，它沿著每個(gè)坐標(biāo)軸的方向分別縮放或拉伸對(duì)象，使得對(duì)象在每個(gè)方向上的尺寸都發(fā)生變化，但不一定保持角度或比例關(guān)系.位似變換是一種保持對(duì)象形狀和比例關(guān)系的線性變換，它包括縮放、旋轉(zhuǎn)和平移，保持對(duì)象的幾何相似性.（2）影響范圍不同：伸縮變換可以分別沿著每個(gè)坐標(biāo)軸的方向進(jìn)行縮放，可以產(chǎn)生不同的縮放因子，使得對(duì)象在每個(gè)方向上的大小都可以單獨(dú)控制。位似變換通過統(tǒng)一的變換矩陣來同時(shí)影響對(duì)象的所有坐標(biāo)軸方向，以保持對(duì)象的形狀和比例關(guān)系.（3）保持性質(zhì)不同：伸縮變換在進(jìn)行縮放時(shí)，不一定能保持對(duì)象的角度或比例關(guān)系，因?yàn)椴煌较蛏系目s放因子可以是不同的。位似變換保持對(duì)象的幾何相似性，即保持對(duì)象的形狀和比例關(guān)系不變，因此角度和比例關(guān)系會(huì)得到保留.第三節(jié)伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化1.

位似變換及其矩陣表示

2.伸縮變換及其矩陣表示

3.伸縮變換的應(yīng)用：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化回顧與小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第一題的4；第四題。作業(yè)題：課后習(xí)題A第八題的1、3、5。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第十章旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換和反射變換第十章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示對(duì)稱變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換、反射變換和對(duì)稱變換是描述和處理幾何對(duì)象的重要工具，它們?cè)趲缀螌W(xué)、線性代數(shù)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.通過對(duì)這些變換的理解和運(yùn)用，可以更好地描述和分析對(duì)象的形狀、方向和位置，從而為各種實(shí)際問題提供有效的解決方案.比如，通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變對(duì)象的方向和位置，而不改變其形狀和大小。旋轉(zhuǎn)變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、物理學(xué)、機(jī)器人學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如在三維建模中調(diào)整物體的方向，或者在機(jī)器人控制中控制機(jī)器人的姿態(tài).【導(dǎo)入】通過反射變換，可以將對(duì)象的左右、上下或前后進(jìn)行鏡像對(duì)稱，而保持其形狀和大小不變。反射變換常被用于鏡面對(duì)稱的幾何問題、光學(xué)中的反射現(xiàn)象以及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的鏡像渲染等領(lǐng)域.通過對(duì)稱變換，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)象的鏡像對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱或軸對(duì)稱等操作，從而產(chǎn)生具有對(duì)稱性的圖形。對(duì)稱變換在幾何學(xué)、藝術(shù)、生物學(xué)等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，例如在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中考慮物體的對(duì)稱性，或者在生物學(xué)中研究生物體的對(duì)稱結(jié)構(gòu).本章主要介紹幾何對(duì)象的常見變換形式，包括旋轉(zhuǎn)變換、反射變換和對(duì)稱變換，并說明了它們?cè)趲缀螌W(xué)、線性代數(shù)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域的重要性和廣泛應(yīng)用.第一節(jié)主要介紹旋轉(zhuǎn)變換，一種基本的幾何變換，通過指定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度來描述對(duì)象的旋轉(zhuǎn).第二部分介紹了對(duì)稱變換，是圍繞某個(gè)中心點(diǎn)、中心線或中心面進(jìn)行的對(duì)稱操作，產(chǎn)生對(duì)稱效果。在這兩個(gè)部分中，還介紹了如何通過矩陣表示這些變換，以及如何利用基底向量的變換來確定線性變換的標(biāo)準(zhǔn)矩陣.最后，簡(jiǎn)單說明反射變換作為一種特殊的對(duì)稱變換，用于描述物體圍繞平面進(jìn)行鏡像翻轉(zhuǎn)的操作.旋轉(zhuǎn)變換是一種基本的幾何變換，它可以描述物體在空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變對(duì)象的方向和位置，但不改變其形狀和大小，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)物體的控制和調(diào)整.旋轉(zhuǎn)變換可以分為二維旋轉(zhuǎn)和三維旋轉(zhuǎn)兩種.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示二維旋轉(zhuǎn)是指將二維平面上圖形繞著一個(gè)中心點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的變換.二維旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)是，圖形的形狀不變，但位置和大小可能會(huì)發(fā)生變化.二維旋轉(zhuǎn)的實(shí)例，旋轉(zhuǎn)圖片：使用旋轉(zhuǎn)變換可以將圖片旋轉(zhuǎn)到任意角度。旋轉(zhuǎn)物體：使用旋轉(zhuǎn)變換可以將物體旋轉(zhuǎn)到任意角度.三維旋轉(zhuǎn)是指將三維空間中的物體繞著一個(gè)中心點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的變換.三維旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)是，物體的形狀和大小不變，但位置和姿態(tài)可能會(huì)發(fā)生變化.三維旋轉(zhuǎn)的實(shí)例，地球自轉(zhuǎn)：地球自轉(zhuǎn)就是一種三維旋轉(zhuǎn)。地球繞著地軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致地球上不同地區(qū)出現(xiàn)了晝夜變化.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換通常通過指定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度來進(jìn)行描述，其中旋轉(zhuǎn)中心可以是任意點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸可以是任意直線或向量，旋轉(zhuǎn)角度可以是任意實(shí)數(shù).自然界中有許多與旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)、物理、工程和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域也都有著廣泛的應(yīng)用。第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換被廣泛應(yīng)用于圖形處理、動(dòng)畫制作和虛擬現(xiàn)實(shí)等方面.通過旋轉(zhuǎn)變換，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像和物體的旋轉(zhuǎn)效果，從而產(chǎn)生生動(dòng)和逼真的視覺效果.旋轉(zhuǎn)變換還被用于飛行器的姿態(tài)控制和導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計(jì)。通過旋轉(zhuǎn)變換，可以調(diào)整飛行器的姿態(tài)和方向，實(shí)現(xiàn)精確的航向控制和航行路徑規(guī)劃.行星圍繞自身的軸線進(jìn)行自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了晝夜交替和地球自轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。行星和星系圍繞中心點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了星空的變化和行星的季節(jié)變化。這種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)影響了天體的運(yùn)行軌跡和星系的結(jié)構(gòu)，對(duì)宇宙中的各種現(xiàn)象產(chǎn)生了重要影響.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-1反比例函數(shù)的圖像可經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-2旋轉(zhuǎn)變換作用在單位正方形例10.1.1在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在的剛體運(yùn)動(dòng)，比如行駛中的車輪，自轉(zhuǎn)中的地球。在剛體運(yùn)動(dòng)中，物體剛體的每一點(diǎn)都按照相同的方式運(yùn)動(dòng)，因此其物體形狀和大小在運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生改變。因此車輪上的點(diǎn)可以看作以軸所在直線為圓心的圓周，研究這樣的圓周運(yùn)動(dòng)就可以看成一點(diǎn)繞圓心旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)。因?yàn)閳A周上的點(diǎn)到圓心的距離相同，一旦確定某一點(diǎn)后圓周上的任意一點(diǎn)都可由這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，見圖10-3第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-3圓周可以看成由一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得通過圓的定義可以知道，通過旋轉(zhuǎn)之后像和原像均落在同一圓周上，因此它們到圓心的距離均為半徑.事實(shí)上如果一開始確定圓周上的兩點(diǎn)（兩個(gè)原像），在經(jīng)過同一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換（Rotation）（比如都沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°）后得到圓周上的另外兩個(gè)點(diǎn)（兩個(gè)像）。通過簡(jiǎn)單的計(jì)算可以得到兩個(gè)原像之間的距離和兩個(gè)像之間的距離是一樣，也就是說旋轉(zhuǎn)變換不會(huì)改變兩點(diǎn)之間的距離，因此稱旋轉(zhuǎn)變換是保長(zhǎng)的.

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示需要注意的是并不是所有的變換都是保長(zhǎng)的，像上面圖像伸縮的例子中原點(diǎn)到各頂點(diǎn)之間的距離均發(fā)生改變，因此伸縮變換不是保長(zhǎng)的.但是可以發(fā)現(xiàn)定義域中在同一條直線上的原像經(jīng)變換的像仍舊可以連成一條直線，稱這樣的性質(zhì)是線性性（Linearity），滿足線性性的變換稱為線性變換（LinearTransformation）.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示例10.1.2

試確定變換使得圖10-4中的圖形做從左到右的變化，并求出其標(biāo)準(zhǔn)矩陣.第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示圖10-4字符“L”在某個(gè)旋轉(zhuǎn)變換下的作用

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示

第一節(jié)旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣表示對(duì)稱變換是一種幾何變換，一般是將圖形相對(duì)于某個(gè)軸或點(diǎn)進(jìn)行變換，使其與原圖形具有對(duì)稱關(guān)系的一種變換.常見的對(duì)稱變換可以分為以下幾種：（1）軸（關(guān)于直線）對(duì)稱：使像與原像具有關(guān)于該直線的對(duì)稱關(guān)系.（2）中心對(duì)稱：圖形相對(duì)于某個(gè)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)稱變換，使其與原圖形具有中心對(duì)稱關(guān)系.第二節(jié)對(duì)稱變換及其矩陣表示對(duì)稱變換在自然界和生活中許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.通過對(duì)稱變換，可以觀察到自然界中形形色色的對(duì)稱現(xiàn)象，也可以在人類設(shè)計(jì)和藝術(shù)創(chuàng)作中看到對(duì)稱的美學(xué)價(jià)值.同時(shí)，對(duì)稱變換也在科學(xué)研究、工程技術(shù)和日常生活中發(fā)揮著重要作用.自然界中存在許多對(duì)稱現(xiàn)象。例如許多植物的花瓣排列具有對(duì)稱性，例如玫瑰花的五瓣對(duì)稱或向日葵的對(duì)稱排列。這種花瓣的對(duì)稱排列不僅美觀，還有助于吸引傳粉昆蟲，促進(jìn)植物的繁殖和生長(zhǎng)；許多動(dòng)物的身體都具有左右對(duì)稱的特點(diǎn)，例如人類、大多數(shù)哺乳動(dòng)物和昆蟲。這種身體對(duì)稱性有助于動(dòng)物在環(huán)境中的移動(dòng)和捕食，同時(shí)也為生物進(jìn)化提供了重要的適應(yīng)優(yōu)勢(shì)；第二節(jié)對(duì)稱變換及其矩陣表示在化學(xué)和材料科學(xué)中，對(duì)稱變換被用于研究分子結(jié)構(gòu)、晶體結(jié)構(gòu)和材料性質(zhì)。晶體具有各種不同的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，例如立方體、正六角柱等.這些對(duì)稱結(jié)構(gòu)反映了晶體內(nèi)部原子或分子的排列規(guī)律，對(duì)晶體的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)有著重要的影響。通過對(duì)稱性分析，可以揭示分子和晶體的對(duì)稱性和穩(wěn)定性，為材料設(shè)計(jì)和性能優(yōu)化提供理論指導(dǎo)等.這些對(duì)稱現(xiàn)象反映了自然界的秩序和美學(xué)，也為科學(xué)研究提供了重要的線索和啟示.第二節(jié)對(duì)稱變換及其矩陣表示在建筑設(shè)計(jì)和城市規(guī)劃中，對(duì)稱常被用于設(shè)計(jì)建筑物的立面、景觀和城市布局.通過對(duì)稱設(shè)計(jì)，可以提高建筑物和城市的整體美感和視覺效果，增強(qiáng)人們的舒適感和歸屬感，比如故宮幾乎成軸對(duì)稱圖形。在藝術(shù)和設(shè)計(jì)領(lǐng)域，對(duì)稱變換被廣泛應(yīng)用于繪畫、雕塑、建筑和裝飾品設(shè)計(jì)等方面。通過對(duì)稱設(shè)計(jì)，可以創(chuàng)造出具有和諧美感和視覺吸引力的藝術(shù)作品，激發(fā)人們的情感和想象力.第二節(jié)對(duì)稱變換及其矩陣表示線性代數(shù)中的對(duì)稱變換（SymmetryTransformation）是一種幾何變換，它通過圍繞某個(gè)中心點(diǎn)、中心線或中心面進(jìn)行對(duì)稱操作，產(chǎn)生對(duì)稱的效果。對(duì)稱變換可以包括鏡像對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和軸對(duì)稱等操作，它們都是圍繞某個(gè)中心進(jìn)行的對(duì)稱操作。對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)變換之間存在一定的聯(lián)系，但它們是兩種不同的幾何變換.第二節(jié)對(duì)稱變換及其矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換（RotationTransformation）也是一種幾何變換，它將對(duì)象圍繞一個(gè)中心點(diǎn)或坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一定角度。通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變對(duì)象的方向和位置，而不改變其形狀和大小.兩者的關(guān)系在于，旋轉(zhuǎn)變換可以被視為一種特殊的對(duì)稱變換。當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度是180°時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換就等價(jià)于鏡像對(duì)稱；當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度是360°的整數(shù)倍時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換就等價(jià)于恒等變換，即保持不變.