廣西柳州市重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高考5月模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣西柳州市重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高考5月模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識(shí)別、人臉

識(shí)別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究，且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)

別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480種B.360種C.240種D.120種

2.已知集合加={%]—14尤<5},N={x|國<2},則Mp|N=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{x|0<尤<2}

3.要得到函數(shù)y=6cos2x-sin2x的圖像，只需把函數(shù)y=sin2x-的圖像（）

A.向左平移2IT個(gè)單位B.向左平移上個(gè)單位

212

C.向右平移點(diǎn)個(gè)單位D.向右平移。個(gè)單位

4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：c加3）為（）

5.已知集合4={（乂，）|丁=尤2},B={（x,y）|x2+/=1},則A。8的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)

中成功次數(shù)X的期望為（）

AyB.1C.1D.2

JQ

7.已知x,y^R,則“1＜y”是“一＜1”的（）

y

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.若（近+工）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）

A.85B.84C.57D.56

9.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).

甲：我的成績(jī)比乙高.

乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.

丙：我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?/p>

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

io.設(shè)左＞1,貝！I關(guān)于的方程?！螅?+丁2=左2―1所表示的曲線是（）

A.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓B.長(zhǎng)軸在X軸上的橢圓

c.實(shí)軸在y軸上的雙曲線D.實(shí)軸在x軸上的雙曲線

11.已知拋物線C:/=4x和點(diǎn)。（2,0）,直線尤=9-2與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A,B,直線與拋物線。交于

另一點(diǎn)E.給出以下判斷：

①以助為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離；

②直線OB與直線OE的斜率乘積為-2；

③設(shè)過點(diǎn)A,B,E的圓的圓心坐標(biāo)為S,切，半徑為廠，則Y—r=4.

其中，所有正確判斷的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

12.已知等差數(shù)列｛4｝中，％=7,4=15,則數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)和4=（）

A.100B.210C.380D.400

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛%,｝中，S“為其前”項(xiàng)和，q=l,anan+i=T,則4=，邑。。=.

14.已知函數(shù)/（x）=-丁+sinx,若/（a）=M,則/（一a）=.

15.函數(shù)/(x)=(a—1)，—3(a>l,aw2)過定點(diǎn).

16.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物，連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位：噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年

平均產(chǎn)量是噸.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=l+cosa

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為：\.(a為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，x軸的正

y=sin。

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為：p=26sin?.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；

⑵若直線/：丁=依(左>0)與曲線G交于。，A兩點(diǎn)，與曲線。2交于。，B兩點(diǎn),求|。4|+|。同取得最大值時(shí)直

線/的直角坐標(biāo)方程.

x=cosa

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系九0y中，曲線a的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，將曲線a上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)

y=sma

變?yōu)樵瓉淼?2倍,縱坐標(biāo)不變,得到曲線c2,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線/：夕=。

7T

與曲線c2交于點(diǎn)P,將射線I繞極點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),交曲線于點(diǎn)Q.

(1)求曲線。2的參數(shù)方程；

(2)求APOQ面積的最大值.

19.(12分)已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=x+5+x-'+*的最小值為1.證明：

(1)a2+Z?2+4c2>9s

(2)—+^-+^-<1.

ab2bclac

20.(12分)在AABC,角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、b>c,已知cos3+(cosA—2sinA)cosC=0.

(1)求cos。的值；

(2)若Q=6，AC邊上的中線BM=姮，求AABC的面積.

2

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lux—a—+(〃—辦—+〃+￡R).

(1)若a=0,試討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若0<a<2,b=l,實(shí)數(shù)為方程/(x)=fn-ax2的兩不等實(shí)根，求證：一+—>4-2a.

x1x2

一

22.(10分)在極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=<+

(1)求曲線C與極軸所在直線圍成圖形的面積;

(2)設(shè)曲線C與曲線Psin9=g交于A,B兩點(diǎn),求

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

將人臉識(shí)別方向的人數(shù)分成：有2人、有1人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).

【詳解】

當(dāng)人臉識(shí)別方向有2人時(shí)，有團(tuán)=120種，當(dāng)人臉識(shí)別方向有1人時(shí)，有禺=240種，.??共有360種.

故選：B

本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

考慮既屬于"又屬于N的集合，即得.

【詳解】

N=［x\-2<x<2^,:.MryN={x\-l<x<2}.

故選：A

本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得>=-2sin^2x-1]以及y=2sin12x—g],按四個(gè)選項(xiàng)分別對(duì)

y=2sin12x—W］變形，整理后與y=-25皿12%一三］對(duì)比,

從而可選出正確答案.

【詳解】

解：

y=^3cos2x-sin2x=2cos2x-sin2x=2sinr-2x]=-2sin12x-g1

-f)-

y=sin2x-V3cos2X=2—sin2x----cos2x=2sin2%

(22J

(71(兀、=-2sin^2%-^.

對(duì)于A：可得y=2sin2lx+—l-y=2sinl2x-y+1

故選:A.

本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是

在平移時(shí)，忘記乘了自變量前的系數(shù).

4.D

【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.

【詳解】

如圖，該幾何體為正方體去掉三棱錐用-4￡E,

1122

所以該幾何體的體積為：V一,

V^rA\DB\C^LDJ—-/Aij.2B5]C-|DL/|,~ZBJ|―-A,CE=2X2X2——Qx-r\x2x2xl=Q

故選：D

本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.

5.C

【解析】

求出An§的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù).

【詳解】

小2非-2出6-2

2x=------x=--------------

y=x22

由＜22，解得或＜4口8中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè).

U+/=1A/5-IV5-1

故選：C.

本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí)，本題中集合

A,8都是曲線上的點(diǎn)集.

6.C

【解析】

每一次成功的概率為二=三=』，二服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.

§3

【詳解】

每一次成功的概率為二=；=』，二服從二項(xiàng)分布，故二［二：=；xS=j.

故選：二

本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

7.D

【解析】

XX

不能得到一＜i,一＜1成立也不能推出xvy,即可得到答案.

【詳解】

因?yàn)閤,y^R,

、1%C1

當(dāng)時(shí)，不妨取x=—I,y=—，—=2＞lf

2y

故時(shí)，一＜i不成乂，

y

當(dāng)一＜1時(shí)，不妨取x=2,y=—I,則xvy不成立，

y

綜上可知，“1＜丁”是"一＜「’的既不充分也不必要條件，

y

故選：D

本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.

8.A

【解析】

先求九，再確定展開式中的有理項(xiàng)，最后求系數(shù)之和.

【詳解】

解：］近的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256

故2"=256，?=8

8-r8-4r

Tr+l==禺…

要求展開式中的有理項(xiàng)，則r=2,5,8

則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為：C；+C；+C：=85

故選：A

考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.

【詳解】

若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲，乙，丙；若乙

預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙

比甲，乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A.

本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

10.C

【解析】

22

根據(jù)條件，方程（1—左）/+_/=左2—1.即，------=1,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.

'7k2-lk+1

【詳解】

解:"：k>l,：.l+k>0,F-l>0,

22

方程。一左）￡+/=/一1,即黃1=1，表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線，

故選c

22

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為-4--------=1是關(guān)鍵.

k2-lk+1

11.D

【解析】

對(duì)于①，利用拋物線的定義，利用4=4±莊=”也也>些=7?可判斷；

222

對(duì)于②，設(shè)直線。石的方程為％=磔+2,與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線08與直線OE的斜率乘積，即可判斷;

對(duì)于③，將彳="-2代入拋物線c的方程可得，以為=8,從而，%=-%，利用韋達(dá)定理可得

|BE|2=16m4+48m2+32,再由「=|的『若］，可用m表示嚴(yán)，線段助的中垂線與x軸的交點(diǎn)（即圓心

N）橫坐標(biāo)為2"/+4,可得a,即可判斷.

【詳解】

如圖，設(shè)R為拋物線C的焦點(diǎn)，以線段3E為直徑的圓為“，則圓心M為線段BE的中點(diǎn).

設(shè)6,E到準(zhǔn)線的距離分別為4，4，的半徑為R，點(diǎn)”到準(zhǔn)線的距離為d,

顯然3,E，尸三點(diǎn)不共線，

則公勺=^^＞中=心所以①正確.

222

由題意可設(shè)直線DE的方程為x=my+2,

代入拋物線。的方程，有丁―4年-8=0.

設(shè)點(diǎn)3,E的坐標(biāo)分別為（七,%）,（兀2，%），

則%+%=4根，%%=—8.

所以王/=（沖1+2）（my2+2）=/+2Mx+%）+4=4.

則直線08與直線OE的斜率乘積為"=-2.所以②正確.

xxx2

將龍=9-2代入拋物線C的方程可得，力為=8,從而，以=-乂?根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，

A，E兩點(diǎn)關(guān)于％軸對(duì)稱，所以過點(diǎn)A，B,E的圓的圓心N在％軸上.

由上，有％+%=4根，%+%2=4〃,+4,

則|BE『=（玉+左2）一一4九1尤2+（%+%）--4%%=16m4+48m2+32.

所以，線段班的中垂線與x軸的交點(diǎn)（即圓心N）橫坐標(biāo)為2〃/+4，所以口=2m2+4.

于是，/=|削|2=12-2+4—%；/]+4m4+12m2+8,

42

代入%]+x2=4〃/+4,%+為=4根，得廠之=4m+16m+12，

所以小一嚴(yán)=Q療+盯_(4“+16m2+12)=4.

所以③正確.

故選：D

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

12.B

【解析】

設(shè)｛4｝公差為d,由已知可得。3,進(jìn)而求出｛4｝的通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】

設(shè)｛a”｝公差為d,%=7,%=15,

a3="=11,d=%一4=4,

/?°10x(3+39)…

an=4fi—1,Si。=-----------=210.

故選：B.

本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前九項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.83x2100-3(寫為2Kxl+2皿一3也得分)

【解析】

x

由6=1,得，/=2.當(dāng)〃22時(shí)，an_xan=T-,所以手=2,所以｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2

an-\

為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.則q=2x2。=8,

lx(l-2100)2x(l-2100)^IOI[.yoo.

邑00=———+———=921OO+29-3=3x2-3.

14.-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(九)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=-x3+sinx,其定義域?yàn)镽,

所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

X/(-x)=-(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin=-/(%),

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，因?yàn)椤╝)=M,

所以/(—a)=—

故答案為:TW

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中

檔題、常考題型.

15.(0,-2)

【解析】

令％=0,/(0)=1-3=-2,與參數(shù)無關(guān)，即可得到定點(diǎn).

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得x=0,函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，

所有f(x)=(a-1廠—3過定點(diǎn)(0,-2).

故答案為：(0,-2)

此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，熟記常見函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.

16.10

【解析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算即得.

【詳解】

-9.4+9.7+9.8+10.3+10.8，八

由題得,x=--------------------------------=10.

5

故答案為：10

本題考查求平均數(shù)，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)曲線￡:p=2cose,曲線：必+b—百『=3.(2)y=gx.

【解析】

%=1+cosax二『cos?！?/p>

(1)用〈和V,八消去參數(shù)a即得q的極坐標(biāo)方程；將P=20sin。兩邊同時(shí)乘以「，然后由

y=sinay二夕sin”

1

p=x2+y2,y=psin。解得直角坐標(biāo)方程.

(2)過極點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為6=。,0＜。＜會(huì),夕?R,代入到G：o=2cos6和。2：2=2Gsin。中，表示出

|OA|+|OB|即可求解.

【詳解】

%=1+cosax=pcosOpcosd—l=costz

解：由V和Vy=〃sing'得,

y=sina夕sin。=sin。

(pcos。-1)2+(psing)2=1,化簡(jiǎn)得。=2cos。

故C\：Q=2cos。

將夕=2石sin。兩邊同時(shí)乘以夕，得夕2=2j^Qsin。

因?yàn)?2=尤2+》2,丁=2sin。，所以％2+丁2-2百丁=。

得。2的直角坐標(biāo)方程02：必+b—GJ=3.

(2)設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程6={0＜°?夕€可

0—(0

由1，得|Q4|=2cos°,

p-2cos。

9=9r

由〈r,得|QB|=26sin0

夕=2,3cos。

故10A|+10B\=2cos(p+2+sin0=4sin

當(dāng)°=?時(shí)，|OA|+|。同取得最大值

jr

此時(shí)直線的極坐標(biāo)方程為：6=

其直角坐標(biāo)方程為：y=瓜.

考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中夕的幾何意義求距離的的最大值方

法；中檔題.

x=^2cosa（a為參數(shù)）；（2）YZ

18.(1)]

y=sma2

【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線G的參數(shù)方程可得出曲線C2的參數(shù)方程;

（2）將曲線G的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2,0），點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為22，。+叁

將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓C的極坐標(biāo)方程，得出A2和Pi關(guān)于。的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換思想即可求出

APOQ面積的最大值.

【詳解】

x=cosa

（1）由于曲線G的參數(shù)方程為《.為參數(shù)），

y=siner

將曲線G上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼暮蟊?，縱坐標(biāo)不變，得到曲線。2,

則曲線的參數(shù)方程為I"—C0Sa（a為參數(shù)）；

y=sina

（2）將曲線。2的參數(shù)方程化為普通方程得;+_/=1,

化為極坐標(biāo)方程得C°S-e+2sin2。=1,即夕2=―2,

21+sin0

設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（月,。），點(diǎn)。的極坐標(biāo)為\p2，（p*

2_2

7乙

將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓C的極坐標(biāo)方程得「「言而,.2(萬、1+COS2(P,

l+sin2U+-I”

???AP。。的面積為

c_1_12________]

2*-2X^

1+sin>)(1+cos>)^/2+sin20cos2(p

1_V2

當(dāng)sin2。=0時(shí)，APOQ的面積取到最大值

V2

本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解三角形面積

的最值問題，要熟悉極坐標(biāo)方程所適用的基本類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

19.(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，注意等號(hào)成立的條件，即可求得最小值，再運(yùn)用柯西不等式，即可得到最小值.

(2)利用基本不等式即可得到結(jié)論，注意等號(hào)成立的條件.

【詳解】

(1)由題意a,b,c>。，則函數(shù)

〃、_1111.1.11111

/⑴=?/+廬+審-"+/—―記)卜記=/+后+石’

又函數(shù)/(%)的最小值為1,即一啜+W+42=L

由柯西不等式得(/+Z?2+4c2)^~r+~r+~~^>(l+l+l)2=9,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=6時(shí)取

故/+/+而29.

112111111

(2)由題意，禾U用基本不等式可得^~+F?，-y\--y>—，fl--——

ababb4cbea4cac

(以上三式當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=6時(shí)同時(shí)取“=”)

上、「111,

由(1)知，一7—7---7=1,

a2b24c2

八一,211J111)c

所以，將以上二式相加得,+—?---2—+—+--^-=2

abbeac\ab4c)

即---1----1---<1.

ab2bclac

本題主要考查絕對(duì)值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

出

20.(1)cosC=—(2)答案不唯一，見解析

5

【解析】

(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得tanC=2,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosC的值;

(2)在AABC中，由余弦定理可得尸一48+3=0,解方程分別由三角形面積公式可得答案.

【詳解】

解：(1)在AABC中，因?yàn)閏os6=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

又已知cosB+(cosA-2sinA)cosC=0,

所以sinAsinC-2sinAcosC=0,

因?yàn)閟inAwO,所以sinC-2cosc=0,于是tanC=2.

所以cosC=".

5

(2)在AABC中，由余弦定理得5M2=502+儂2—2BCOfcosC，

得Z?2—4b+3=o解得匕=1或匕=3,

當(dāng)b=l時(shí)，AABC的面積S=」absinC=l,

2

當(dāng)3=3時(shí)，AABC的面積S=』absinC=3.

2

本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題.

21.(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意得/(%),分匕<一1與/?>—1討論即可得到函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x),得g(%i)=g(%2)=^，參變分離得a—2=;:

分析不等式'+二->4-2a,即轉(zhuǎn)化為工?一三<一21n三，設(shè)乂再構(gòu)造函數(shù)g⑺=21n/T+L利用

*1x2x2X[X[X]'/t

導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.

【詳解】

(1)依題意x>0,當(dāng)a=0時(shí)，r(x)=L—3+1),

X

①當(dāng)時(shí)，/(％)>0恒成立，此時(shí)/(X)在定義域上單調(diào)遞增；

②當(dāng)6>-1時(shí)，若xef'(x)>0；若xeU^+oo],f'(x)<0；

Ib+1J\b+l)

故此時(shí)人無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,Jv1,單調(diào)遞減區(qū)間為(丁[,+s].

[b+1))

(2)方法1：由/(%)=帆—or?得Jn%+(a—2)x+2一6=0

令g(x)=lnx+(a_2)x+2,則g。)=g?)=",

clnx9-Inx.

依題意有InXj+Ca-2)引=Inx2+(?-2)x2,即a-2=----=--------,

Xj—%2

要證」-+」->4-2。，只需證受土強(qiáng)>2(2—。)=—'In/Tn、)(不妨設(shè)&<龍,),

Xx

x2X1%2i-2

即證土一三<-2In三,

x2西西

x1211

令二=々>1),設(shè)g⑺=21n5/+-,則g'(/)=——1--=-(--1)2<0,

tttt

??.g⑺在。,y)單調(diào)遞減,即g?)vg⑴=。,從而有」-+二->4—2〃.

巧x2

方法2：由/(%)=m得inx+(a—2)%+2—根=。

令g(%)=lnx+(a—2)x+2,則g(%)=且區(qū))=加，gf(x)=--(2-a)