北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 探索勾股定理 同步測(cè)試

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.1探索勾股定理同步測(cè)試

班級(jí)：姓名：

夯實(shí)基礎(chǔ)聯(lián)，黑/不肌勤學(xué)早.白育方悔父韋遲.

一、單選題

1.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，將△BCM沿CM翻折至ME與AD

相交于點(diǎn)G,CE與AD相交于點(diǎn)F,且AG=GE,則BM的長(zhǎng)度是（）

A.mB.4C.若D.5

2.若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和12,則它的斜邊長(zhǎng)是（）

A.13B.13或V119C.V119D.12或13

3.如圖，在4ABC中，ZACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD,若AC=4,BC=3,則CD的長(zhǎng)度是

()

C.2.5D.5

4.如圖，長(zhǎng)方形OABC中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上.。4=BC=4,AB=0C=8.點(diǎn)D在邊AB

上，點(diǎn)E在邊0C上，將長(zhǎng)方形沿直線DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)0重合.則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

A.(4,4)B.(5,4)C.(3,4)D.(6,4)

5.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,將^ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)3重

合，AE為折痕，則EB長(zhǎng)為（）

A.3cmB.2.5cmC.1.5cmD.1cm

6.如圖，在AABC中,ZC=90°,AC=3,BC=2.以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的

面積是（）

A.5B.6C.12D.13

7.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高12cm.若這支鉛筆長(zhǎng)為

18cm,則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是（)

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

8.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)B

處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A，B'C=3，貝I力M的長(zhǎng)為（）

D

B'

8???,

N

A.1.8B.2C.2.3D.V5

9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AD=9,AB=3,將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF,那么折痕EF

的長(zhǎng)為（）

C

A.3B.V6c.VioD.9

10.一直角三角形的斜邊長(zhǎng)比其中一直角邊長(zhǎng)大3,另一直角邊長(zhǎng)為9,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.15B.12C.10D.9

寶男伴從.啟今出.梅花歲白若4

二、填空題

11.如圖，RtaABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,現(xiàn)將aABC沿BD進(jìn)行翻折，使點(diǎn)A剛好落在BC

上，則CD=.

12.如圖所示，已知直線m〃n,且這兩條平行線間的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P為直線n上一定點(diǎn)，以

P為圓心、大于5個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑畫弧，交直線m于A、B兩點(diǎn).再分別以點(diǎn)A、B為圓心、大于；AB長(zhǎng)

為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q,作直線PQ,交直線m于點(diǎn)0,點(diǎn)H為射線0B上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)0關(guān)于直線PH

的對(duì)稱點(diǎn)0',當(dāng)點(diǎn)0'到直線n的距離為4個(gè)單位時(shí)，線段PH的長(zhǎng)度為.

一

n

13.如圖，。&=4遇2=&&=^3^4==1，2。4遇2=^OA2A3=^OA3A4=^OA4A5

14.在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD±AB,如果AC=5,AD=2,那么AB的長(zhǎng)是.

15.如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”，在Rt^ABC

中，ZC=90°,AC=2,若RtZkABC是“好玩三角形”，則AB=.

優(yōu)尖拔書山與路勤為徑.學(xué)為無(wú)征若作令.

三、解答題

16.如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°

航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島.若C、B兩島相距60海里，問(wèn)乙船的航速是多少.

17.如圖，在Rt4ABC中，NC=90。，AC=5,BC=12,將△ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落

在AB上的點(diǎn)E處，求DB的長(zhǎng).

B

CD

18.如圖，在RtzX//中，N6=90°,AB=9,6c=12,。為仍上一點(diǎn)，連接47,將△46C沿4?折疊,

使點(diǎn)6恰好落在邊4C上的點(diǎn)B'處，求DB,的長(zhǎng)度.

19.如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，ZC=90°,AB=13cm,BC=5cm,將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的

點(diǎn)C'處，折痕為BD（如圖②），求AC和DC的長(zhǎng).

20.如圖，已知長(zhǎng)方形/成技中46=8cm,6C=10cm,在邊切上取一點(diǎn)￡將巫折疊使點(diǎn)，恰好落在

比邊上的點(diǎn)F,求配的長(zhǎng).

21.在AABC中，ZC=90°,AOBC,D是AB的中點(diǎn).E在線段CA的延長(zhǎng)線上，連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DF

±DE,交直線BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF.求證：AE2+BF2=EF2

E

22.如圖，在AABC中，AD±BC,AD=12,BD=16,CD=5.求：ZkABC的周長(zhǎng).

23.學(xué)校校園一角有一塊如圖所示的三角形空地ABC,其中AB=13米，BC=14米，AC=15米，計(jì)劃將這

塊空地建成一個(gè)花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計(jì)花園每平方米造價(jià)為60元，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算估計(jì)學(xué)校修建這個(gè)

花園需要投資多少元？

B14米C

*0答案與解析7

1.【答案】c

【解析】【解答】解：設(shè)BM=x,

?.?四邊形ABCD是矩形，

AZA=ZB=90°,

由折疊的性質(zhì)得：ZE=ZB=90°,ME=BM,CE=BC,

在△GAM和aGEF中，

'ZA=NE

AG=GE,

、/力GM=NEGF

.'.△GAM^AGEF(ASA),

/.GM=GF,

.\AF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,

?*.DF=8—x,CF=8-(6—x)=x+2,

在RtaDFC中，由勾股定理得：(x+2)2=(8-x)2+62,

解得：X噂

故答案為：C.

【分析】設(shè)BM=x,由ASA證明△GAM/Z\GEF,得出GM=GF,從而得出AF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,DF=8-

x,CF=x+2,在RtZiDFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：①當(dāng)12為斜邊時(shí)，它的斜邊長(zhǎng)是12；

②當(dāng)12是直角邊時(shí)，它的斜邊長(zhǎng)二/-2+52=13.

故答案為：D.

【分析】分12為斜邊和直角邊兩種情況討論，再利用勾股定理求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：:△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

由勾股定理得：AB=VXC2+BC2=742+32=5,

?.?點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

.\CD=|AB=|X5=2.5,

故答案為：C.

【分析】在RtZkABC中，根據(jù)勾股定理求出AB,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半即可求出

CD長(zhǎng)度.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)AD=x,由折疊的性質(zhì)可知，0D=BD=8-x,

在RtAOAD中，

V0A2+AD2=0D2,

42+X2=(8-X)2,

；.x=3,

，D(3,4),

故答案為：C.

【分析】設(shè)AD=x,由折疊的性質(zhì)可知，0D=BD=8-x,再利用勾股定理列出方程4?+x2=(8-x)＞求解即

可。

5.【答案】C

【解析】【解答】解：根據(jù)折疊可得BE=EB',AB'=AB=3,

設(shè)BE=EB'=x,貝IEC=4—x,

VZB=90°,AB=3,BC=4,

...在RtAABC中，由勾股定理得，AC=〃B2+Be?=732+42=5，

：.B,C=5-3=2,

在RtZSB'EC中，由勾股定理得，x2+22=(4-x)2,

解得x=1.5,

故答案為：C.

【分析】利用折疊得出得BE=EB',AB'=AB=3,設(shè)BE=EB'=x,則EC=4—x,在RtZ\ABC中，由

勾股定理得出AC的值，在RtZ\B'EC中，由勾股定理得出答案。

6.【答案】D

【解析】【解答】M：VZC=90°,

.\AB2=AC2+BC2=32+22=13,

,正方形面積S=AB2=13,

故答案為：D.

【分析】利用勾股定理即可得出答案。

7.【答案】D

【解析】【解答】當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置時(shí)，由勾股定理得：7122+92=15(cm),則鉛筆在筆筒外部

分的最小長(zhǎng)度為:18-15=3(cm);

當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底面放置時(shí)，鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度為18-12=6(cm),即鉛筆在筆筒外面最長(zhǎng)不

超過(guò)6cm,從而鉛筆露出筆筒部分的長(zhǎng)度不短于3cm,不超過(guò)6cm.

所以前三項(xiàng)均不符合題意，只有D選項(xiàng)符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)勾股定理的性質(zhì)判斷即可。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：連接BM,MB7,

在RtZ\ABM中,AB2+AM2=BM2,

在RtZSMDB'中，B'M2=MD2+DBZ2,

?折疊，

AMB=MB/,

.\AB2+AM2=MD2+DBZ2,

gp92+X2=(9-X)2+(9-3)2,

解得x=2,

即AM=2,

故答案為：B.

【分析】連接BM,MB',根據(jù)勾股定理求出AB?和B'M2,再利用MB=MB',可得AB2+AMJMD2+DBZ2,再

將數(shù)據(jù)代入可得鏟+xJ(9-x)2+(9-3)2,最后計(jì)算即可。

9.【答案】C

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)F做FH14。交AD于點(diǎn)H.

1?四邊形EFCB是四邊形EFCD沿EF折疊所得,

AED=BE,CF=CF,BC'=CD=3

VED=BE,DE=AD-AE=9-AE

.\BE=9-AE

'：RtAABE,AB=3,BE=9-AE

A(9-AE)2=32+AE2

AAE=4

ADE=5

CF=BC—BF=9—BF

：.RtABCF,BC=3,CF=9-BF

(9-BF)2+32=BF2

，BF=5,EH=1

V/?t△EFH,HF=3,EH=1

'-EF=y/EH2+HF2=V32+I2=V10

故答案為：C.

【分析】過(guò)點(diǎn)F做FH14。交AD于點(diǎn)H,由折疊的性質(zhì)可得ED=BE,CF=CF,BC/=CD=3,再求出

BE=9-AE,根據(jù)勾股定理可列（9—AE,=32+4產(chǎn)，從而可求出AE、DE,再根據(jù)勾股定理可列

（9-BF）2+32=BF2,從而可求出BF、EH,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求出EF.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)斜邊長(zhǎng)為x,則一直角邊長(zhǎng)為x-3,

根據(jù)勾股定理得92+（X-3）2=X2,

解得x=15.

故答案為：A.

【分析】設(shè)斜邊長(zhǎng)為X,則一直角邊長(zhǎng)為X-3,然后根據(jù)勾股定理建立方程，求解即可.

11.【答案】|

【解析】【解答】解：設(shè)CD=x,則AD=A'D=4-x.

在直角三角形ABC中，BC=y]AB2+AC2=5.則A'C=BC-AB=BC-AzB=5-3=2.

在直角三角形A'DC中：AD2+AC2=CD2.

即：（4-x）2+22=x2.

解得:x=|.

故答案為:|.

【分析】設(shè)CD=x,則AD=A'D=4-x,在RtZiABC中，根據(jù)勾股定理求出BC,則A'C=BC-AB=BC-

A'B=2,然后在RtaA'DC中，應(yīng)用勾股定理求解即可.

12.【答案】5VTU或殳翳

PE=VPO2-F02=3,

則。。=PE=3,O'D=DE—O'E=l,

設(shè)0H=x,可知，DH=(3-x),

(3-%)2+l2=%2

解得，x=]

PH=VPO2+OH2=

如圖所示，過(guò)點(diǎn)O'作直線n的垂線，交m、n于點(diǎn)D、E,連接O'H,

由作圖可知，P01m,PO=P。，=5,點(diǎn)O'到直線n的距離為4個(gè)單位，即EO'=,

PE=<PO2-EO2=3,

則。。=PE=3,。/Q=DE+OE=9,

設(shè)OH=x,可知，DH=(x-3),

(%-3)2+92=x2

解得，x=15,

PH=VPO2+OH2=5V10;

故答案為：5J1U或守.

【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)0'在直線n的上方；②當(dāng)點(diǎn)0'在直線n的下方，據(jù)此畫出圖形并解答即

可.

13.【答案】V5

【解析】【解答】M：???ZOArA2=^OA2A3=NCM3Z4=^OA4A5=90°,OAr=71^2=A2A3=

A3A4=A4A5=1

OA2=[(MJ+&&2=Vl2+I2=V2,

2222

OA3=JOA2+A2A3=J(V2)+l=V3,

22

OA4=JOA3+A3A4=J(a2+12=2,

2222

CM5=JOA4+A4A5=V2+l=Vs-

故答案為：V5.

【分析】利用勾股定理分別求出OA,0A2,0A3,OA”的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出品的長(zhǎng).

14.【答案】3

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB交AD延長(zhǎng)線于E,

D

R

TAD是BC邊上的中線，

ABD=CD,

VAD±AB,CE//AB,

.\AD±CE,NABD二NECD,

AZE=90°,

在AABD和AECD中

(NADB=NEDC

|^ABD=NECD，

(BD=CD

.,.△ABD^AECD(AAS),

.\AB=EC,AD=ED=2,

AAE=2AD=4,

在RtAAEC中，CE=y/AC2-AE2=V52-42=3,

.\AB=CE=3.

故答案為：3.

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB交AD延長(zhǎng)線于E,先利用“AAS”證明4ABD也△￡?口,再利用全等三角形的性

質(zhì)可得AB=EC,AD=ED=2,再利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，即可得到AB二CE二3。

15.【答案】夕或弩I

【解析】【解答】解：當(dāng)AC邊上的中線BD等于AC時(shí)，如圖，

VZC=90°,AC=2,

.\CD=1,BD=2

：.BC2=BD2-CD2=22-l2=3,

.".AB=yjAC2+BC2=V22+3=V7

當(dāng)BC邊上的中線AE等于BC時(shí)，

VAC2=AE2-CE2,

ABC2-(1BO5,

解得，Bg竽，

?'-AB=yjAC2+BC2=J22+

綜上所述，AB=V7或AB必爭(zhēng)，

故答案為V7或緣1

【分析】分兩種情況：當(dāng)AC邊上的中線BD等于AC時(shí)，當(dāng)BC邊上的中線AE等于BC時(shí)，分別畫出圖形

利用勾股定理即可解決問(wèn)題。

16.【答案】解：根據(jù)題意，得NCAB=180°-40°-50°=90°,

VAC=16X3=48（海里），BC=60海里,

...在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=7602-482=36（海里）.

則乙船的速度是364-3=12海里/時(shí).

【解析】【分析】利用平角的定義及方位角可求出ZCAB=180°-40°-50°=90°,再利用勾股定理求出

AB的長(zhǎng)，利用速度=路程?時(shí)間即可求解.

17.【答案】解：由折疊的性質(zhì)可得：AE=AC=5,DC=DE,NAED=NBED=NC=9。°.

：4=90°,AC=5,BC=12,

：.AB=y/AC2+BC2=13,

：.BE=AB-AE^8,

設(shè)。C=%,貝IDE=x,BD=BC-DC=12-x.

在RtABDE中，由勾股定理，DE2+BE2=BD2,

A%2+82=（12-%）2,

解得久=學(xué).

??BD=12-x=?

【解析】【分析】利用折疊的性質(zhì)可證得AE=AC=5,DC=DE,NAED=NBED=NC=90°,利用勾股定理可求出

AB的長(zhǎng)，由此可求出BE的長(zhǎng)；設(shè)DC=x,可表示出DE,BD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，

解方程求出x的值，然后求出BD的長(zhǎng).

18.【答案】解：

由折疊的性質(zhì)可得AB'=AB=9,DB'=DB=9,^AB'D=NB=90°,

NCB'D=180°-NAB'D=90°

VZB=90°,AB=9,BC=12,

'-AC=7AB2+BC2=15,

:C=AC-AB'=6，

設(shè)DB'=DB=x,貝DC=BC-BD=12-x,

在直角三角形BCD中：CD?=DB'+B'C2>

A(12-久,=%2+62,

解得久=2，

:.DB'=3.

【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可得AB'=AB=9,DB,=DB=9,NAB,D=NB=90°,設(shè)

9

DB'=DB=%,貝‘1DC=BC-BD=12-x,在直角三角形BCD中：CD2=DB'+B'C?,

解出x的值即可。

19.【答案】解：由題意可得BC=BC,CD=CD,AC'=AB-BC,=8cm,

根據(jù)勾股定理可得：AC=7AB2一BC?=12cm,

設(shè)CD=xcm,則AD-(12—%)cm,

在Rt△ACD中，AD2=AC2+C'D2即(12-x)2=82+%2,

解得久=學(xué)，

即CD=^-cm.

【解析】【分析】利用折疊的性質(zhì)可知BC=BC',CD=CZD,由此可求出AC'的長(zhǎng)；再利用勾股定理求出

AC的長(zhǎng)；設(shè)CD=xcm,可表示出AD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可

得到CD的長(zhǎng).

20.【答案】解：?..四邊形ABCD是矩形，

?*.AD—■BC--10cm,CD——AB——8cm,

根據(jù)題意得：RtAADE^RtAAFE,

???NAFE=90°,AF=10cm,EF=DE,

設(shè)CE=xcm,貝IDE=EF=CD—CE=8—x,

在RtAABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,

即82+BF2=102,

BF=6cm,

.\CF=BC-BF=10-6=4(cm),

在RtAECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2,

即(8-x)2=X2+42,

Z.64-16X+X2=X2+16,

x=3(cm),

即CE=3cm.

【解析】【分析】根據(jù)題意得：RtAADE^RtAAFE,得出ZAFE=90°,AF=10cm,EF=DE,設(shè)CE=

xcm,則DE=EF=CD-CE=8-x,在RtaABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,在RtAECF中由勾股定理

可得：EF2=CE2+CF2,代入數(shù)值求解即可。

21.【答案】證明：過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接FG,

■：BG//AC,

：.^EAD=NGBD,NDEA