六屆團(tuán)支書聯(lián)席會(huì)復(fù)習(xí)寶典級(jí)線代課件佚名

一、正交變換法

§6.4實(shí)二次型的正慣性指數(shù)二、拉格朗日配方法三、初等變換法問題的產(chǎn)生：1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的非退化線性替換有關(guān).如：二次型作非退化線性替換得標(biāo)準(zhǔn)形得標(biāo)準(zhǔn)形

2、二次型經(jīng)過非退化線性替換所得的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，與所作的非退化線性替換無關(guān).而秩(D)等于D的主對(duì)角線上不為零的元素的個(gè)數(shù).∵若作非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形

，則有3.

問題：如何在一般數(shù)域P上，進(jìn)一步“規(guī)范”平方項(xiàng)非零系數(shù)的形式？（這樣產(chǎn)生了唯一性的問題）一、實(shí)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形再作非退化線性替換

實(shí)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形的定義設(shè)實(shí)二次型經(jīng)過可逆，得標(biāo)準(zhǔn)形

非退化線性替換其中，r=秩f

則稱之為實(shí)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形.①實(shí)二次型的規(guī)范形中平方項(xiàng)的系數(shù)只有1，－1，0.②實(shí)二次型的規(guī)范形中平方項(xiàng)的系數(shù)中1的個(gè)數(shù)與－1的個(gè)數(shù)之和=秩=秩(A)是唯一確定的.③規(guī)范形是唯一的.注意

定理1

任一實(shí)二次型可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一.證明：只證唯一性.2、慣性定理設(shè)實(shí)二次型

經(jīng)過非退化線性替換

化成規(guī)范形

（1）

只需證（2）用反證法，設(shè)由(1)、(2)，有經(jīng)過非退化線性替換化成規(guī)范形（3）（4）則G可逆，且有考慮齊次線性方程組（5）方程組（5）中未知量的個(gè)數(shù)為n，方程的個(gè)數(shù)為所以（5）有非零解.令為（5）的非零解，

則有而不全為0.

將代入（3）的左端，得其值為同理可證，故.

矛盾.所以，得將其代入（3）的右端，得其值為由及定義實(shí)二次型的規(guī)范形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為的正慣性指數(shù)；稱為的負(fù)慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的符號(hào)差.它們的差推論1、任一實(shí)對(duì)稱矩陣A合同于一個(gè)形式為其中的個(gè)數(shù)，+1的個(gè)數(shù)的正慣性指數(shù)；－1的個(gè)數(shù)的負(fù)慣性指數(shù).的對(duì)角矩陣

.推論2、實(shí)二次型具有相同的規(guī)范形，且的正慣性指數(shù)=的正慣性指數(shù).推論3、如果f和g都是n個(gè)變量的實(shí)二次型，它們有相同的秩和正慣性指數(shù)，