蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)軸對(duì)稱(chēng)圖形（單元測(cè)試 培優(yōu)卷）

第2章軸對(duì)稱(chēng)圖形（單元測(cè)試?培優(yōu)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列安全指示牌分別代表"禁止攀爬""禁止高空拋物""注意安全""注意摔滑"，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A⑥BC△。瓜

2.小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)"蝴蝶"的平面圖案.如圖，其中△OA3與AODC都是等腰三

角形，且它們關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)E,尸分別是底邊AB,CD的中點(diǎn)，OELOF.下列推斷錯(cuò)誤的是（）

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

3.如圖，ZB=ZC=36°,ZADE=ZAED=12°,則圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）

4.如圖，。為VABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分/ACS,BD1CD,ZA=ZABD,若AC=5,BC=3,則30的

長(zhǎng)為（）

B

5.如圖，直線(xiàn)aHb,等邊VA3C的頂點(diǎn)C在直線(xiàn)6上，若4=42。，則N2的度數(shù)為（）

A

\2

Cb

A.92°B.102°C：.112°D.114°

6.如圖，在VA3C中，ZB=34°,NACB=7￡『，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可知Nc=()

A.66°B.77°C：.78°D.101°

7.在四邊形A5CD中，ZABC=ZADC=90°,點(diǎn)￡為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，NBC4=43。，ZACD=25°,

連接89,BE,DE,則==（）

A

c

A.25°B.22°C.30°D.32°

8.如圖，ZACB=ZAED=90°,NCAE=ZBAD,BC=DE,若3￡>〃AC,則/ABC與NC4E間的數(shù)

量關(guān)系為（）

匕BC

A.IZABC^ACAEB.ZABC=NCAE

C.ZABC+2ZCAE=90°D.2ZABC+ZC4E=180°

9.如圖，在VABC中，NACB為一個(gè)鈍角，CD,BC交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E在8。上，且NDCE=NACD=12。,

AC+CE=AB.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZBCE=78°B.ZACB=102°C.ZCDE=56°D.ZABC=48°

10.如圖，點(diǎn)P是線(xiàn)段3c上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,ACrBC,ABAC=ZPAQ=60°,AC=2,連接CQ.當(dāng)

AQ=AP時(shí)，線(xiàn)段c。的最小值為（）

D.2

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.如圖，VABC與AAB'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，且4=78。，ZC=48°,則的度數(shù)是

12.如圖，長(zhǎng)方形ACE尸沿OO折疊至點(diǎn)3,若/3OC=120。，那么NBDO=

13.點(diǎn)尸是正五邊形ABCDE邊DE的中點(diǎn)，連接3尸并延長(zhǎng)與CD延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,則N8GC的度數(shù)為

A

14.（23-24七年級(jí)下,山東煙臺(tái)?期末）如圖，ZA=ZEGF,F為BE,CG的中點(diǎn)，DB=4,DE=8,貝UAD

的長(zhǎng)為.

15.已知，在VA3C中，AB=AC,3。_LAC于點(diǎn)。，AEJ_5c于點(diǎn)E,若/a4C=50。，貝!]NDCO=

16.如圖，已知VABC是等邊三角形，點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，DE1AC于點(diǎn)E,作￡F〃AB,交BC于點(diǎn)F,

若AD=4,則EF=

".如圖，VABC中，AC=3C,且點(diǎn)。在VABC外，。在AC的垂直平分線(xiàn)上，連接5。，若ND3C=30。,

ZACD=12°,則NA=°,

BC

18.如圖，在△BCD中，ZBCD<120°,分別以BC、CD和為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等

邊三角形CDE和等邊三角形瓦加，連接AD、BE和CE交于點(diǎn)尸，則24、PB、PC、尸￡>中某三條線(xiàn)段

存在等量關(guān)系是.

三、解答題(本大題共6小題，共58分)

19.(8分)如圖，在VABC中，D、E分別是AB、AC上兩點(diǎn)，VADE與VEDE關(guān)于DE軸對(duì)稱(chēng)，DF交AC

于點(diǎn)P,已知/A=45°,ZPEF=30°.

(1)求/FPC的度數(shù).

(2)若DF〃BC,求的度數(shù).

20.(8分)如圖，E是AD中點(diǎn)，BE平分/ABC.

(1)若ZA=/D=90。，求證：CE平分/OC瓦

(2)若BELEC,求證：AB+CD=BC.

DC

21.(10分)如圖，在VA3C中，AD平分NCAB,過(guò)點(diǎn)。作ZW上AB于M,￡>N1AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,

且3M=C7V.

(1)求證：點(diǎn)。在BC的垂直平分線(xiàn)上；

(2)若A3=8,AC=4,求8M的長(zhǎng).

22.(10分)如圖，等腰0ABe中，CA=CB=^,0ACB=12O°,點(diǎn)D在線(xiàn)段A8上運(yùn)動(dòng)(不與A、2重合)，將

0CAD與EIC8。分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到EICAP與EICB。.

(1)證明：CP=CQ；

(2)求"C。的度數(shù)；

(3)當(dāng)點(diǎn)。是AB中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出SP。。是何種三角形.

ADB

23.(10分)在RtAABC中，AB=AC,/DEF=45。且NDEF的頂點(diǎn)E在邊5c上移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中,

邊DE,E歹分別與AB,AC交于點(diǎn)M,N,

(1)當(dāng)3E=OV且〃與A重合時(shí)，求證：AABE會(huì)4ECN

(2)當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，連接MN,求證：NC=AM+MN

24.（12分）在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E、產(chǎn)分別是A3,AC上的動(dòng)點(diǎn)(不與8,C重

合)，點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，連接AO.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)NEOF=90。時(shí)，請(qǐng)問(wèn)△AEO與△CFO全等嗎？如果全等請(qǐng)證明，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)如圖2,在(1)的條件下,過(guò)點(diǎn)。作O"，AC,垂足為H,若AE=4,AF=1O,請(qǐng)求麻的長(zhǎng);

(3)如圖3,當(dāng)NEOF=45。時(shí)，連接環(huán)，若AO=7,AE:AF:EF=3:4:5,請(qǐng)求AAO尸的面積.

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義判斷選擇即可.本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形即沿著某條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的

部分完全重合；熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】

回不符合題意;

△是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

回符合題意；

不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，.

團(tuán)不符合題意；

故選C.

2.B

【分析】本題考查了對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；

A.由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得/A03=NO0C,由等腰三角形的性質(zhì)得ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,即可判

22

斷；

B./30c不一定等于—AQB,即可判斷；

C.由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得^OAB^AODC,由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；

D.過(guò)。作可得ZGOD=ZBOH,由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得=同理可證=，

即可判斷;

掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.vOEA.OF,

ZBOE+Z.BOF=90°,

由對(duì)稱(chēng)得ZAOB=ZDOC,

；點(diǎn)、E,P分別是底邊AB,CD的中點(diǎn)，△OAB與AODC都是等腰三角形,

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.NBOF+NDOF=90°,

OB±OD,結(jié)論正確，故不符合題意；

B./3OC不一定等于/AC?,結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；

C.由對(duì)稱(chēng)得A。鉆絲AODC,

回點(diǎn)E,F分別是底邊AB,CD的中點(diǎn)，

:.OE=OF,結(jié)論正確，故不符合題意；

過(guò)。作GM_LO〃，

:.ZGOD+ZDOH^90°,

?;NBOH+NDOH=90。,

ZGOD=ZBOH,由對(duì)稱(chēng)得/BOH=ZCOH,

:.ZGOD=ZCOH,

同理可證ZAOM=/BOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+/DOG=180°,結(jié)論正確，故不符合題意；

故選：B.

3.D

【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定,根據(jù)三角形內(nèi)角和分別計(jì)算出/BAD、NDAE、/EAC、NBAE、

NC4Z）的度數(shù)，再根據(jù)等角對(duì)等邊可判斷出等腰三角形的個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定方法.

【詳解】團(tuán)N3=NC,ZADE=ZAED,

0VABC和VAD石是等腰三角形，

團(tuán)ZB=36。，ZADE=72°f

團(tuán)NBAD=36。,

團(tuán)AD=RD,

回△AB。是等腰三角形，

同理△AEC是等腰三角形，

?NADE=/AED=72。,

國(guó)NDAE=36°,

^ZCAD=36°+36°=72°f

o

J?JZCAD=ZCDA=72f

團(tuán)"DC是等腰三角形，

同理可得AABE是等腰三角形，

綜上所述，等腰三角形有6個(gè)，

故選：D.

4.A

【分析】延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)E,由題意可推出m=越，依據(jù)垂線(xiàn)的定義，角平分線(xiàn)的定義和三角形的

內(nèi)角和定理，可證得ABCE為等腰三角形，于是可得BC=CE,=根據(jù)AC=5,BC=3即可推

出的長(zhǎng)度.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)80與AC交于點(diǎn)E,

'：ZA=ZABD,

:.BE=AE,

?.?BD_LCD,

LCD,

.\ZCDB=ZCDE=90°,

???CQ平分NAC5,

.?.NBCD=NECD,

又???ZCDB+/BCD+ZCBD=ZCDE+ZECD+ZCED=180。，

:.NCBD=NCED,

.?.△5。石為等腰三角形，

.e.BC-CE,

?;BELCD,

:.BD=DE=-BE,

2

?/AC=5,BC=3,

CE=BC=3,

\AE^AC-CE=5-3=2,

:.BE=AE=2,

:.BD=-BE=-x2=l,

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂線(xiàn)的定義，角平分線(xiàn)的定義，三角形的內(nèi)角和定理

等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)建等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì).根據(jù)等邊三角形的三個(gè)角都

是60?？傻肗A=60。，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和求出/D￡C=102。，根據(jù)兩直線(xiàn)平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解.

【詳解】解：如圖：AB,AC分別交直線(xiàn)。于點(diǎn)。，E,

團(tuán)VABC是等邊三角形,

0ZA=6O°,

又EINADE=N1=42°,

ElZ.DEC=ZADE+AA=600+42°=102°,

又回?！?，

0Z2=ZDEC=1O2°.

故選：B.

6.C

【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),先用三角形內(nèi)角和求出/BAC,

再用角平分線(xiàn)求出/B4D，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)知4CF=N3=34。，然后用外角性質(zhì)求出NA/C,最后根

據(jù)三角形的內(nèi)角和求出Za.

【詳解】解：,??在VABC中，NB=34。，ZACB=18°,

ABAC=180°-ZB-ZACB=180°-34°-78°=68°,

由作圖可知，A。平分NBAC,Eb垂直平分BC,

???/BAD=-ABAC=34°,NBCF=NB=34°,

2

ZAFC=ZB+ZBCF=68°,

Z(z=180°-ZAFC-ZBAD=180°-68°-34°=78°,

故選：C.

7.B

【分析】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，理解

掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.證明￡4=EB=EC=￡E>,可得NECB=NEBC,ZECD=ZEDC,可得

/BED=2(ZBC4+ZACD)=136°,再利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：回/ABC=NADC=90。，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，

0EA=EB=EC=ED,

0ZECB=/EBC,/ECD=/EDC,

在.ABE中，ZAEB=NECB+Z.EBC=2Z.BCA,

同理可得：ZAED=ZECD+ZEDC=2ZACD,

0ABED=ZAEB+ZAED=2(ZBCA+ZACD)=2x(43°+25°)=136°,

0EB=ED,

180°-ZBED。。"。=

回NBDE=NDBE=IS22,

22

故選:B.

8.A

【分析】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等

三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，等邊對(duì)等角.

易得ZABD=90。-ZABC,通過(guò)證明△ABC/AWEjAAS）得出AD=,則NAB。=NAD3=90?！狽ABC,

最后根據(jù)在△AB。中，ZABD+ZADB+ZBAD=180°,即可得出結(jié)論.

【詳解】解:^\BD//AC,

團(tuán)NCBD=180°—/ACB=90°,

0ZABD=90°-ZABC,

SZCAE^ZBAD,

0ZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE,ABAC=Z.DAE,

在VABC和VADE中，

ZACB=NAED

,ABAC=ZDAE,

BC=DE

0AABC/△ADE（AAS）,

團(tuán)AD=AB,

BZABD=ZADB=900-ZABC,

在八ABD中，ZABD+ZADB+ABAD=2（90。—ZA5C）+ZC4E=180°,

整理得：2NABC=NC4E,

故選：A.

9.D

【分析】垂直得到NDCB=90。，角的和差關(guān)系求出/BCE,/ACB的度數(shù)，判斷A,B；延長(zhǎng)AC至點(diǎn)產(chǎn)，使

CF=CE,連接BP,證明AJSCE絲A3CF,得到NP=/3EC,NCBE=NCBF,根據(jù)AC+CE=AB,推出

AB=AF,進(jìn)而得到/鉆尸=/尸，利用四邊形的內(nèi)角和為360度，求出NF=/BEC=NFBE=68°,根據(jù)

三角形的外角判斷C,角的倍數(shù)關(guān)系，判斷D.

【詳解】解：ECD1BC,

BlZDCB=90o,

^1ZDCE=ZACD=12°,

團(tuán)ZBCE=ZDCB-ZDCE=78°,ZACB=ZDCB+ZACD=102°；故選項(xiàng)A,B正確;

延長(zhǎng)AC至點(diǎn)P,使CF=CE,連接BF,如圖,

則：ZBCF=180°-ZACB=78°=ZBCE,

團(tuán)BC—BC,

⑦八BCE%BCF,

ONF=ZBEC,NCBE=NCBF,

^\AB=AC+CE=AC+CF=AF,

^\ZABF=ZF,

在四邊形3￡CF中，ZECF=ZECB+ZFCB=156°,

0ZF+ZBEC+ZFBE=3/BEC=360。一ZECF,

g/F=/BEC=/FBE=68。,

0/ABC=-NFBE=34°；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

2

0ZCEB是KDE的一個(gè)外角，

0ZCDE=ZCEB-ZDCE=56°；故選項(xiàng)C正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，多邊形的內(nèi)角和

等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊圖形和全等三角形.

10.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，找出點(diǎn)P和點(diǎn)

F重合時(shí)，C。最小，最小值為。的長(zhǎng)度是解本題的關(guān)鍵.

如圖：在AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC=2,連接PE,過(guò)點(diǎn)E作EF/BC于憶由AQ=AP,

/54。=/己4。=60。證明4。40也4胡「，由全等三角形的性質(zhì)得出C。=EP,則當(dāng)EF上BC（點(diǎn)P和點(diǎn)

廠重合）時(shí)，PE最小,然后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：如圖：在A5上取一點(diǎn)E,使AE=AC=2,連接尸E,過(guò)點(diǎn)￡作石尸13。于尸,

團(tuán)/B4C=/PAQ=60。，AQ=AP,

團(tuán)4=30。，

0ZE4C=6O°,

回NPAQ=NEAC,

團(tuán)NEAP=NCAQ,

又團(tuán)AE=AC,AQ=APf

團(tuán)△C4Q會(huì)AEA尸，

田CQ=EP,

要使CQ最小，則有PE最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，

團(tuán)當(dāng)EF1BC（點(diǎn)P和點(diǎn)/重合）時(shí)，PE最小，即點(diǎn)P與點(diǎn)/重合，CQ最小，最小值為。的長(zhǎng)度，

在RtZkABC中，ZB=30°,AC=2,

0AB=4,

團(tuán)AE=AC=2,

回BE=AB—AE=2,

在RtZXBFE中，ZB=30°,

0EF=|BE=I,故線(xiàn)段c。長(zhǎng)度的最小值是1,

故選：B.

11.54。/54度

［分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得N4=ZA，=78。，NC=NC=48。,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，ZA=ZA-=78°,ZC=ZC=48°,

0/?=180°-78°-48°=54°,

故答案為：54°.

12.30

【分析】此題考查了折疊，根據(jù)折疊得到/8。。=/即。=3（180。-2e）。）=30。即可.

【詳解】解：團(tuán)長(zhǎng)方形ACEF沿OD折疊至點(diǎn)8,ZBDC=120°,

0NBDO=ZEDO=1（180°-NBDC）=30°,

故答案為：30

13.18°/18度

【分析】連接3。，BE,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證AABEgACBD（SAS）,得到助=9，進(jìn)而得到8G是DE

的垂直平分線(xiàn)，即4>PG=90。，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到NFDG=72。，

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解:連接BD,BE,

SAB=BC=CD=AE,ZA=ZC

0AA8E^ACBD（SAS）,

團(tuán)BE=BD,

團(tuán)點(diǎn)尸是QE的中點(diǎn)，

團(tuán)3G是QE的垂直平分線(xiàn)，

0ZZ）FG=9O°,

?上（5-2）x180°

團(tuán)在正五邊形ABCDE中,ZCDE=——』--------=108°,

5

0ZFDG=180?！猌CDE=72°,

團(tuán)/G=180°—ZDFG-NFDG=180°-90°-72°=18°.

故答案為：18。

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的判定，三角形的內(nèi)角

和定理，正確作出輔助線(xiàn)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

14.2

【分析】本題考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定是解答的關(guān)

鍵.先證明AGFE四△CFB(SAS)得到GE=BC,ZEGF=NC,再根據(jù)等角對(duì)等邊得到A。=OG,AB=BC,

設(shè)4)=OG=x,由AB=3C結(jié)合已知列方程求解x值即可.

【詳解】解：F為BE,CG的中點(diǎn)，

GF=CF,EF=BF,

又ZGFE=ZCFB,

AGFE^ACFB(SAS)

GE=BC,NEGF=NC,

ZA=NEGF,ZAGD=NEGF

ZA=ZAGD^ZC,

■■AD=DG,AB=BC,

設(shè)AD=OG=x,

,;DB=4,DE=8,

BC=GE=DE-DG=8-x,AB=4+x,

?e-4+x=8-x,

角軍得x=2,

AD=2,

故答案為：2.

15.40

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判

1QAO_CQO

定，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)得出NABC=/AC3=---=65°,再由3DLAC于

點(diǎn)O可得出—ABO的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得出/O3E=/OCE,據(jù)

此可得出結(jié)論.

【詳解】解：在VABC中，?.,AB=AC,ABAC=50°,

?：BD1AC,

:.ZADB=90°,

.??Z/W。=90?！猌^4D=90。—50。=40。，

ZOBE=ZABC-ZABD=65°-40°=25°.

\AB=AC,AE1BC,

AE是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，

:.OB=OC,

:.ZOBE=ZOCE=25°,

:.ZDCO=ZACB-ZOCD=65°-25°=AQ°.

故答案為：40.

16.6

【分析】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用含30。角

的直角三角形的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)求出所的長(zhǎng)即可，熟

練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團(tuán)VA5C是等邊三角形，

團(tuán)NA=4=NC=60。，AB=AC,

團(tuán)點(diǎn)。為A5的中點(diǎn)，AO=4,

國(guó)AB=2AD=8,

團(tuán)。石1AC于點(diǎn)E,

團(tuán)石=30。，

BAE=-AD=2,

2

團(tuán)CE=AC—AE=6,

^\EF//AB,

團(tuán)NFEC=NA=60。，

團(tuán)NC=60。，

團(tuán)△￡/(是等邊三角形，

出EF=CE=6,

故答案為：6.

17.72

【分析】過(guò)C作CW，班＞,交班)的延長(zhǎng)線(xiàn)于〃，過(guò)。作DN/AC于N,證明RtADNC絲RtADMC(HL),

得=NACE)=12。，求出/ACB的度數(shù)，則根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和，可求出NA的度數(shù).

【詳解】解：如圖，過(guò)C作交3。的延長(zhǎng)線(xiàn)于過(guò)。作ZW1AC于N,

回點(diǎn)。在AC的垂直平分線(xiàn)上，

EIOV垂直平分AC,

^NC=-AC,

2

團(tuán)AC=BC,

?NC=LBC,

2

在RtZXBMC中，ZDBC=30°,

國(guó)CM」BC,

2

^\CM=CNf

在RtADNC和RLADMC中,

(CD=CD

配,

\CN=CM

回RGDNC絲RSDMC(HL),

^ZDCM=ZACD=12°,

團(tuán)ND5C=30。，

團(tuán)/MCB=60。,

ZACB=60°-12°x2=36°,

又團(tuán)AC=5C,

團(tuán)ZA=；義(180?！?6。)=72°

故答案為：72.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟

知等腰三角形的兩個(gè)底角相等，需要作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

18.PA=PB+PC

【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；

證明△2△CBF(SAS),AACD^ABCE(SAS),可得ABAD=ZBCF,ACAD=ZCBE,求出ZBPC=120°,

在上4上截取PG=P5,連接5G,證明NBG4=NBPC=120。，再證4Gg△3CP(AAS),可得尸C=G4,

進(jìn)而可得E4=P5+FC.

【詳解】解：0VABC,V8Z卯是等邊三角形，

回BA=BC,BD=BF,ZABC=ZDBF=60°f

國(guó)ZABD=NCBF,

團(tuán)△ABD也尸(SAS),

田NBAD=NBCF,

同理可得△ACD之OCEGAS),

⑦NCAD=/CBE,

團(tuán)NBAD+NGW=60。，

國(guó)/BAD+NCBE=60。,

0ZABC=6O°,

^ZBAD+ZABC+ZCBE=ZBAD+ZABE=120°,

^ZBPA=60°f

同理可得NAPC=60。，

0ZBPC=120°,

如圖，在上截取PG=P5,連接5G,

團(tuán)尸G是等邊三角形,

團(tuán)N5GP=60。，

13ZBG4=120o,

SZ.BGA=ZBPC,

又田ZBAG=NBCP,AB=CB,

EIABAG^ABCP（AAS）,

SPC=GA,

^PA=PG+GA^PB+PC,

故答案為：PA=PB+PC.

19.（1）75°

（2）60°

【分析】（1）由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得NA=/尸=45。，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解；

（2）由（1）得，/FPC=75。，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得NC=NEPC=75。，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

即可得解.

【詳解】（1）解：與VFQE1軸對(duì)稱(chēng)，

：.ZA=ZF=45°,

又,；ZPEF=3CP,

ZFPC=ZPEF+ZF=30+45=75°；

（2）解：由（1）得，ZFPC=75°,

X-.DF//BC,

:.ZC=ZFPC=15O,

ZB=180-ZA-ZC

=180°-45°-75°

=60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌

握三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.⑴證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活做輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

（1）過(guò)點(diǎn)E作EH上BC,垂足為“，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)可得胡=ED=9，再由角平分線(xiàn)判定即可得出

結(jié)論；

（2）在8C上截取叱=BA,連接￡F.先證明ABAE四ABFE可得EF=AE,再證ACED^ACEF可得

CD=CF即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)、E作EHJ.BC,垂足為〃，

團(tuán)班平分/A5C,ZA=90°,

S\EA=EH,

又回E是力B中點(diǎn)，即E4=ED,

QEH=ED,

0ZA=ZD=9O°,EHIBC,

0：CE平分NDCB.

(2)解:如圖：在3c上截取跳'=54,連接EP.

:.ZABE=NFBE.

在和△BFE中,

AB=BF

<NABE=ZFBE,

BE=BE

:.^BAE^BFE(SAS)

:.EF=AE,ZAEB=ZFEB.

?.?E是A。的中點(diǎn)，

:.DE=AE=EF.

又?.?BE_LEC,

NBEC=90°,

.?.ZAEB+/DEC=ZFEB+ZFEC=90。,

.\ZDEC=ZFEC,

在4CED和△CEF中

DE=EF

</DEC=NFEC.

CE=CE

:.ACED2ACEF,

:.CD=FC,

.\CD+AB=FC+BF,

團(tuán)AB+CD=BC

21.⑴見(jiàn)解析

(2)2

【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定.

(1)連接3。，CD,由角平分線(xiàn)性質(zhì)可得DM=DN,再證明△￡)/出絲(SAS),可得3O=CD,即

點(diǎn)。在BC的垂直平分線(xiàn)上.

(2)證明RtADMA絲RtAim(HL),可得AM=AN,由線(xiàn)段的和差即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接30,CD,

C；是—C鉆的平分線(xiàn)，DMJ.AB,DNJ.AC,

\N

D

/.DM=DN,

在△DM6和△DVC中，

DM=DN

<ZDMB=ZDNC=90°

MB=NC

ADMBmADNC(SAS),

BD=CD,

.??點(diǎn)。在BC的垂直平分線(xiàn)上.

(2)解：在RtAE>M4和RtADNA中，

JAD=AD,

[DM=DN

??RtAZ)M4^RtAZW(HL),

??.AM=AN

vAM=AB-BM,AN=AC+CN,

AB-BM=AC+CN.

???BM=CN

??.2BM=AB-AC=8-4=4,

??.BM=2.

22.(1)見(jiàn)解析；(2)0PCe=12O°；(3)AP。。是等邊三角形.

【分析】(1)由折疊直接得到結(jié)論；

⑵由折疊的性質(zhì)求出團(tuán)ACP+回BCQ=120。，再用周角的意義求出回PCQ=120。；

⑶先判斷出4APD是等邊三角形，反口(!是等邊三角形，再求出團(tuán)PDQ二60。，即可.

【詳解】⑴團(tuán)將ZkCAD與ZkCBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到4CAP與

團(tuán)CP=CD=CQ；

⑵團(tuán)將4CAD與4CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到4CAP與△CBQ,

回團(tuán)ACP二團(tuán)ACD,團(tuán)BCQ二團(tuán)BCD,

團(tuán)團(tuán)ACP+團(tuán)BCQ二團(tuán)ACD+團(tuán)BCD=回ACB=120°,

團(tuán)團(tuán)PCQ=360°-(回ACP+BCQ+團(tuán)ACB)=360°-(120°+120°)=120°；

⑶△PDQ是等邊三角形.

理由：回將ACAD與ACBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到ACAP與ACBQ,

0AD=AP,0DAC=0PAC,

00DAC=3O",

00PAD=6O°,

00APD是等邊三角形，

0PD=AD,EIADP=60o,

同理：ABDQ是等邊三角形，

0DQ=BD,0BDQ=6O°,

03PDQ=6O°,

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)，

BAD=BD,

0PD=DQ,

00DPQ是等邊三角形

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定等，熟

練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

23.⑴見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，

（工）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NABE=NEC7V=45。，利用三角形外角的性質(zhì)與等量代換可得

NBAE=/CEN,在根據(jù)全等三角形的判定即可證明；

（2）連接AE,在AC上截取AM=CG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得鉆=EC,

ZMAE=ZCAE=ZACE=45°,證得,可得ME=GE,ZMEA=Z.GEC,利用等量代

換可得/MEN=NGEN=45。,證得AMEN二屋加V（S4S）,可得MN=GN,即可得證.

【詳解】（1）證明：SAB=AC,ABAC=90°,

團(tuán)NABE=NECN=45。,

團(tuán)ZAEC=ZAEN+ZC