數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)本課時(shí)的重點(diǎn)是幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。我們知道,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,求函數(shù)y=f(x）的導(dǎo)數(shù),就是求出當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，所趨近的那個(gè)定值。（1)函數(shù)y=f(x）=C的導(dǎo)數(shù).∵Δy=f（x+Δx）—f(x)=C-C=0，∴=0，∴y′==0=0。y′=0表示函數(shù)y=C圖象上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為0，如圖（1）.若y=C表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y′=0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即一直處于靜止?fàn)顟B(tài)。（2）函數(shù)y=f（x）=x的導(dǎo)數(shù)?！擀=（x+Δx)—x=Δx，∴=1.∴y′==1=1。y′=1表示函數(shù)y=x圖象上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都為1,如圖（2).若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y′=1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng).(3)函數(shù)y=f（x）=x2的導(dǎo)數(shù)?！?===2x+Δx,∴y′==(2x+Δx)=2x。y′=2x表示函數(shù)y=x2圖象上點(diǎn)(x，y)處切線(xiàn)的斜率為2x,說(shuō)明隨著x的變化，切線(xiàn)的斜率也在變化，如圖(3)。另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看,y′=2x表明:當(dāng)x＜0時(shí)，隨著x的增加,函數(shù)y=x2減少得越來(lái)越慢；當(dāng)x＞0時(shí),隨著x的增加,函數(shù)y=x2增加得越來(lái)越快。若y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y′=2x可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng),它在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x。（4)函數(shù)y=f（x)=的導(dǎo)數(shù)?！?===，∴y′==［］=.公式:(cosx)′=-sinx的證明∵y=cosx，∴Δy=cos（x+Δx)—cosx=-2sin（x+)sin∴==-sin（x+）·∴y′=(cosx)′==-sin（x+)·=—sinx.對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的鞏固。對(duì)于公式(lnx)′=和（ex）′=ex很好記，但對(duì)于公式（logax)′=logae和（ax）′=axlna的記憶就較難,特別是兩個(gè)常數(shù)logae、lna很容易混淆.應(yīng)從以下幾方面加深對(duì)公式的理解和記憶：①區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征，從縱的方面“（lnx)′與（logax）′”,和(ex)′與(ax)′"區(qū)分，又要從橫的方面“（logax)′與（ax）′”區(qū)分，找出差異，記憶公式。②對(duì)公式（logax)′，用（lnx)′和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則證明來(lái)幫助記憶，即求證對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式（logax）′=logae。證明如下：(logax)′=（)=logae.這樣知道了（logax）′=1xlogae中l(wèi)ogae的來(lái)歷,對(duì)于公式的記憶和區(qū)分是很有必要的.活學(xué)巧用1。求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y=x12；(2）y=；（3)y=。解析:（1）y=（x12)′=12x12-1=12x11;(2)y=(x—4)′=（-4)x—4-1=-4x—5=；(3)y=(）′=（)′==2。某圓形容器的底面直徑為2m，深度為1m，盛滿(mǎn)液體后以0。01m3解析：設(shè)液體放出ts后的液面高度為hm，則由題意得：π·12·h=π·12·1—0。01t，化簡(jiǎn)，得h=,∴液面高度的變化率為:h′=(）′=3.下列結(jié)論不正確的是（)A。若y=3，則y′=0B。若y=則y′=C.若y=，則y′=D.若y=3x，則y′=3解析：∵y′=（)′=(）′=，∴選B。答案：B4.如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為1m的圓上沿逆時(shí)針做勻角速運(yùn)動(dòng),角速度1rad/s，設(shè)A為起始點(diǎn)，求時(shí)刻t時(shí)，點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn)M的速度。解析:時(shí)刻t時(shí),∵角速度1rad/s，∴∠POA=1·t=trad∴∠MPO=∠POA=trad∴OM=OP·sin∠MPO=1·sint∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為y=sint∴v=y′=（sint)′=cost即時(shí)刻t時(shí)，點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn)M的速度為costm/s。5.假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%，物價(jià)p（單位：元)與時(shí)間t(單位:年）有如下函數(shù)關(guān)系：p（t)=p0（1+％）t，其中p0為t=0時(shí)的物價(jià)，假定某種商品的p0=1,那么在第10個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少？（精確到0。01）解析：∵p0=1,∴p(t)=（1+％）t=1。05t.根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表,有p′（t)=(1。05t)′=1。05t·ln1.05?！鄍′（10)=1。0510·ln1。05≈0。08（元/年）.因此,在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約以0.08元/年的速度上漲.6.(2004全國(guó)高考，文19）已知直線(xiàn)l1為曲線(xiàn)y=x2+x—2在（1，0）處的切線(xiàn)，l2為該曲線(xiàn)的另一條切線(xiàn)，且l1⊥l2.（1）求直線(xiàn)l2的方程；(2)求由直線(xiàn)l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積.解析：(1）y′=2x+1.直線(xiàn)l1的方程為y=3x-3。設(shè)直線(xiàn)l2過(guò)曲線(xiàn)y=x2+x-2上的點(diǎn)B(b，b2+b—2)，則l2的方程為y=（2b+1）x—b2—2.因?yàn)閘