數(shù)學互動課堂導數(shù)在實際生活中的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導本課時的重點和難點是用導數(shù)解決實際問題.1。導數(shù)在實際生活中有著廣泛的應用，如用料最省、利潤最大、路程最短等問題一般都可以歸結為函數(shù)的最值問題,從而可利用導數(shù)來研究.（1）導數(shù)應用的主要內(nèi)容之一就是求實際問題的最值,其關鍵是分清各量間的關系，建立目標函數(shù),在判斷函數(shù)極值的基礎上就可以確定出函數(shù)的最值情況.（2）能利用導數(shù)求解有關實際問題的最值，學會將實際問題轉化為數(shù)學問題的方法。（3）通過本單元的學習,學會如何建模，如何利用導數(shù)求最值，以提高分析和解決問題的能力。（4）通過本節(jié)課的學習,體會數(shù)學來源于生活，應用于實踐，提高學習數(shù)學的興趣。2.解應用題，首先要在閱讀材料、理解題意的基礎上,把實際問題抽象成數(shù)學問題.就是從實際問題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；其次，利用數(shù)學知識對數(shù)學模型進行分析、研究，得到數(shù)學結論；最后再把數(shù)學結論返回到實際問題中去.其思路如下：（1)審題:閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系。（2）建模：將文字語言轉化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型。(3)解模：把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解。（4)對結果進行驗證評估,定性定量分析，作出正確的判斷,確定其答案.3。用導數(shù)解決優(yōu)化問題主要指函數(shù)類型中求最值的問題，其思路是：4。實際應用問題利用導數(shù)求f（x)在（a,b)上的最值時，f′（x）=0在（a，b)的解只有一個，由題意最值確實存在，則使f′(x）=0的解就是最值點。案例1(2005全國高考Ⅲ)用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成(如下圖)，問該容器的高為多少時，容器的容積最大?最大容積是多少?【探究】設容器高為xcm,容器的容積為V(x)cm3,則V（x）=x(90-2x)(48-2x）=4x3-276x2+4320x(0＜x＜24).求V（x）的導數(shù)，得V′(x）=12x2-552x+4320=12（x2—46x+360）=12（x-10）（x-36）。令V′(x)=0,得x1=10，x2=36(舍去）.當0＜x＜10時,V′(x)＞0，那么V(x）為增函數(shù)；當10＜x＜24時，V′(x）＜0，那么V（x)為減函數(shù)。因此,在定義域（0，24)內(nèi)，函數(shù)V（x)只有當x=10時取得最大值，其最大值為V（10）=10×（90—20)×（48-20）=19600(cm3).所以當容器的高為10cm時，容器的容積最大，最大容積為19600cm3?！疽?guī)律總結】本題主要考查函數(shù)的概念，運用導數(shù)求函數(shù)最值的方法,以及運用數(shù)學知識建立簡單數(shù)學模型并解決實際問題的能力.實際應用問題要根據(jù)題目的條件，寫出相應關系式，是解決此類問題的關鍵.案例2有甲、乙兩個工廠,甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km,兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？【探究】根據(jù)題設條件作出圖形,分析各已知條件之間的關系,借助圖形的特征,合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式,適當選定變元，構造相應的函數(shù)關系，通過求導的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點C的位置.解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，如圖所示，設C點距D點xkm,則∵BD=40，AC=50—x，∴BC=，又設總水管費用為y元，依題意有y=3a(50—x）+(0＜x＜50)。y′=-3a+.令y′=0，得=3a（a≠0).解得x=30.在（0,50）上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值,此時，AC=50—x=20（km）.∴供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省.解法二：設∠BCD=θ，如圖所示,則BC=，CD=40cotθ（).∴AC=50—CD=50—40cotθ設總的水管費用為f(θ）,依題意，有f(θ)=3a(50-40cotθ）+5a·。=150a+40a.∴f′（θ）=40a.。令f′（θ)=0，得cosθ=。根據(jù)問題的實際意義,當cosθ=時,函數(shù)取得最小值，此時sinθ=,∴cotθ=，∴AC=50-40cotθ=20（km),即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省。案例3某工地備有直徑為R的圓柱形木料(足夠長），若所需的是橫斷面為矩形的承重木梁，且已知木梁的承重強度(P）與梁寬及梁高的平方的乘積成正比,問如何截可使截得的木梁的承重強度最大？【探究】設木梁的橫斷面的寬為x1，高為y,則x2+y2=R2。由已知，設P=kxy2（k為常數(shù))，因此P=kx(R2—x2）=kR2x—kx3（0＜x＜R)。因為P′=kR2—3kx2，令P′=0得x=.由于函數(shù)在區(qū)間（0，R）內(nèi)只有一個極值點,因此，當x=,即木梁橫斷面寬為，高為時，木梁的承重強度最大.【規(guī)律總結】解決實際應用問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù),把“問題情景"譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化,抽象成數(shù)學問題，選擇合適的數(shù)學方法求解.對于這類問題，同學們往往忽視了數(shù)學語言與普通語言的理解與轉換，從而造成了解決應用問題的最大思維障礙.活學巧用1。某種型號的電器降價x成(1成為10%），那么銷售數(shù)量就增加mx成(m∈R+）.某商店此種電器的定價為每臺a元，則可以出售b臺，若經(jīng)降價x成后，此種電器營業(yè)額為y元.試建立y與x的函數(shù)關系，并求m=時，每臺降價多少成其營業(yè)額最大?解析：由條件,降低后的營業(yè)額為y=a（1—x）b(1+mx）=ab［-mx2+(m-1）x+1］，∴當m=時，y=ab（—x2+x+1）.∴y′=ab(x+).令y′=0，∴x=,即x=時，ymax=ab，即降價0。1成時,營業(yè)額最大.2.某城市在發(fā)展過程中,交通狀況逐漸受到有關部門更多的關注，據(jù)有關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,從上午6點到中午12點，車輛通過該市某一路段的用時y（分鐘）與車輛進入該路段的時刻t之間關系可近似地用如下函數(shù)給出：y=求從上午6點到中午12點，通過該路程用時最多的時刻.解析：按已給出的分段函數(shù)求導數(shù)。（1）當6≤t＜9時，y′=t+36=(t+12）(t—8)令y′=0得t=-12(舍去）或t=8.當6≤t＜8時,y′＞0；當8＜t＜9時，y′＜0,∴t=8時，y有最大值ymax=18。75（分鐘）。(2)當9≤t≤10時,y=是增函數(shù)，∴t=10時，ymax=15(分鐘)（3）當10＜t≤12時，y=—3(t-11)2+18∴t=11時，ymax=18（分鐘）.綜上所述,上午8時，通過該路段用時最多，為18。75分鐘.3.（廣告費與收益）某集團為了獲得更大的收益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t（百萬元)，可增加的銷售額約為—t2+5t(百萬元）(0≤t≤5）（1）若該公司將當年的廣告費控制在三百萬元之內(nèi)，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？（2）現(xiàn)該公司準備共投入300萬元,分別用于廣告促銷和技術改造.經(jīng)預測,每投入技術改造費x（百萬元)，可增加的銷售額約為+x2+3x（百萬元）.請設計一個資金分配方案,使該公司由此獲得的收益最大？(注：收益=銷售額—投入）。解析:（1）設投入t（百萬元）的廣告費后增加的收益為f（t)(百萬元）,則有f(t)=(—t2+5t）-t=—t2+4t=—（t—2)2+4(0＜t≤3)∴當t=2百萬元時，f（t）取得最大值4百萬元。即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大.(2）設用于技術改造的資金為x（百萬元)，則用于廣告促銷的資金為（3-x）（百萬元)，又設由此獲得的收益是g(x)，則有g(x）=(+x2+3x)+［—(3-x）2+5(3-x）]—3=+4x+3（0≤x≤3）∴g′（x）=-x2+4令g′（x）=0解得x=—2（舍去）若x=2又當0≤x＜2時，g′（x)＞0當2＜x≤3時，g′（x)＜0故g（x)在［0，2］上是增函數(shù)，在［2,3］上是減函數(shù)。所以x=2時，g（x）取最大值,即將2百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大。4。將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截法使正方形與圓面積之和最??？解析:設彎成圓的一段鐵絲長為x，則另一段長為100—x，記正方形與圓的面積之和為S，則正方形的邊長a=,圓的半徑r=.∴S=π()2+()2（0＜x＜100).又S′=+2（）·()′=-.令S′=0，則x=（cm)。由于在（0，100)內(nèi)，函數(shù)S（x)只有一個導數(shù)為0的點，問題中面積之和的最小值顯然存在，故當x=cm時，面積之和最小.5。在某工業(yè)品生產(chǎn)過程中，每日次品數(shù)y是日產(chǎn)量x的函數(shù)該工廠售出一件正品可獲利A元，但生產(chǎn)一件次品就損失元.為了獲得最大利潤，日產(chǎn)量應定為多少？解析：在每天生產(chǎn)的x件產(chǎn)品中,x-y是正品數(shù)，y是次品數(shù)，每日獲利總數(shù)為T(x)=A(x-y)—y。T′(x)=A（1—y）′令T′(x）=0，得y′=。∵y=當x＞100時,每一件產(chǎn)品都是次品，公司要賠錢，最佳日產(chǎn)量只能在x≤100時求得。由y′==得x≈89。4∵產(chǎn)品數(shù)必須是自然數(shù)，∴產(chǎn)品數(shù)是89或90件.∵T(89)≈79.11A,T（90)≈79.09A?！嗝咳諔a(chǎn)89件將獲得最大利潤。6。甲船以20km/h的速度向東航行，正午時在其北面82km處有乙船以16km/h的速度向南航行,問何時兩船相距最近？解析：如圖，正午過后th，乙船到達點A，甲船到達點B，此時AO=82—16t，OB=20t，兩船的距