數學互動課堂隨機事件的概率

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1。隨機事件的概率的定義一般地,如果隨機事件A在ｎ次試驗中發(fā)生了ｍ次，當試驗的次數ｎ很大時,我們可以將事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的近似值,即P(A）≈。疑難疏引(1)頻率與概率有本質的區(qū)別.頻率隨著試驗次數的改變而變化，概率卻是一個常數,它是頻率的科學抽象：當試驗次數越來越大時頻率向概率靠近。（2)正確理解頻率與概率之間的關系。隨機事件的頻率,指此事件發(fā)生的次數與試驗總次數的比值，它具有一定的穩(wěn)定性,總在某個常數附近擺動,且隨著試驗次數的不斷增多,這種擺動幅度越來越小.我們給這個常數取一個名字,叫做這個隨機事件的概率。概率可看作頻率在理論上的期望值，它從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復試驗的前提下可近似地作為這個事件的概率。因而，概率是對大量重復試驗來說存在的一種統(tǒng)計規(guī)律。若擲15次硬幣，正面出現5次就斷定正面出現的概率是，顯然是錯誤的。因為它不是從大量重復的試驗統(tǒng)計出來的.對單次試驗來說,隨機事件的發(fā)生是隨機的，如某種子的發(fā)芽率為80%,隨機選取10粒種子檢測,若前2粒種子都未發(fā)芽,能不能說以下的8粒種子都發(fā)芽呢?不能，對任何一粒種子來說它不發(fā)芽的可能性都是20%。因而在做題時要重點把握概率的意義。(3)概率意義下的“可能性”是大量隨機事件現象的客觀規(guī)律，與我們日常所說的“可能”“估計”是不同的，也就是說:單獨一次結果的不肯定性與積累結果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性",事件A的概率是事件A的本質屬性。(4）概率的這種定義叫做概率的統(tǒng)計定義有了概率的統(tǒng)計定義,我們就可以比較不同事件發(fā)生的可能性的大小了。（5）由概率的統(tǒng)計定義可知，求一個事件概率的基本方法，是通過大量的重復試驗,用這個事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率。2.隨機事件的概率的基本性質必然事件和不可能事件分別用Ω和來表示.不可能事件和必然事件雖然是兩類不同的事件，但它們可以看作是隨機事件的兩個極端情況.用這種對立又統(tǒng)一的觀點去看待它們,有利于認識它們的內在聯系。由概率的定義，顯然有P（Ω）=1；P()=0。又如果隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，則m≤n。所以,我們可以得出概率的基本性質.隨機事件的概率有兩個基本性質:（1)對于任意一個事件A，都有0≤P（A)≤1；（2）必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.案例1下列有三種說法：①概率就是頻率；②某廠產品的次品率為3%,是指“從該廠產品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品；③從一批準備出廠的燈泡中隨機抽取15只進行質量檢測,其中有1只是次品,說明這批燈泡中次品的概率為。我們應該怎樣看待這些說法呢？【探究】我們知道在實驗中,某一事件出現的次數與總實驗次數的比例叫頻率,它是一個確定的值，描述的是已經發(fā)生了的事件的特征.但是對于尚未發(fā)生的事件,我們只能描述它發(fā)生的可能性的大小.不同的人做同一實驗的結果不一定相同,即便是同一人在兩次相同實驗中的結果也可能不同，因而不同的人或同一人做兩次相同實驗，某一事件發(fā)生的頻率可以不同,但隨著實驗次數的增多,在大量重復進行同一實驗時,某一事件發(fā)生的頻率總是接近于某一常數，在它附近擺動,這時就把這個常數叫做事件的概率,它實質上是頻率的近似值，所以說法①是錯誤的;對第②種說法,次品率是3%,只能說明任意抽取一只燈泡進行檢測，檢測出是次品的可能性或概率是3%，并不一定是抽取100件,其中一定有3件次品。在這100件產品中可能一件次品也沒有,可能有2件次品，也可能有3件次品，甚至這100件全是次品,所以說法②是錯誤的；從一批準備出廠的燈泡中隨機抽取15只進行質量檢測,其中有1只是次品，說明抽樣燈泡中次品的頻率為,而并非這批燈泡的次品概率.實際上從這一批燈泡中隨機抽取15只進行質量檢驗相當于進行了15次隨機試驗，而每次試驗的結果也是隨機的,所以這15次試驗的結果也是隨機的?！皬囊慌鷾蕚涑鰪S的燈泡中隨機抽取15只進行質量檢測,其中有1只是次品”這只是多個隨機結果中的一個,它只能說明這次抽樣檢驗的次品的頻率為,而次品的概率則可能比高或比低,并不一定是,所以說法③也是錯誤的.規(guī)律總結正確理解概率的定義,把握好頻率與概率的關系是解題的關鍵。案例2射手甲中靶的概率是0。9，因此,我們認為，即使射手甲比較優(yōu)秀，他射擊10發(fā)子彈也不會全中,其中必有一發(fā)不中，試判斷這種認識是否正確?！咎骄俊可涫旨咨鋼粢淮危邪惺请S機事件，他射擊10次可以看作是重復做了10次試驗，而每次試驗的結果都是隨機的,所以他10次的結果也是隨機的.這10次射擊可以一次也不中，也可能中一次、二次……甚至10次都中。雖然中靶是隨機事件,但卻具有一定的規(guī)律性,概率為0。9說明在多數次的試驗中，中靶的可能性穩(wěn)定在0。9.實際上，他10發(fā)子彈全中的概率為0.910≈0。349，這是有可能發(fā)生的.案例3延邊人民出版社對某教輔教材的寫作風格進行了5次“讀者問卷調查”,結果如下：被調查人數n10011000100410031000滿意人數m999998100210021000滿意頻率（1)計算表中的各個頻率;(2)讀者對某教輔教材滿意的概率P（A）約是多少？【探究】（1）表中各個頻率依次是0。998,0。998，0.998，0。999，1.（2）由第（1)問的結果,知延邊人民出版社在5次“讀者問卷調查”中,收到的反饋信息是“讀者對某教輔教材滿意的概率約是P（A）=0。998。”用百分數表示就是P(A）=99.8％.規(guī)律總結(1）概率的本質屬性是:從數量上反映出一個事件發(fā)生的可能性的大小，它的范圍是［0，1］，即任何一個事件A的概率都滿足0≤P（A)≤1。（2）本例中，讀者對某教輔教材滿意的概率可用下圖直觀地表示出來.從圖中可以看出，這個概率值取為0。998,是因為5個頻率數0。998,0.998，0.999，1中有3個（接近亦可）0。998，而5個頻率數中0。999和1都只有1個。另外,從上圖還可以看出,讀者對某教輔教材的滿意程度呈上升趨勢.活學巧用1。下列說法:①頻率反映的是事件發(fā)生的頻繁程度。概率反映的是事件發(fā)生的可能性大小。②做n次隨機試驗。事件A發(fā)生m次,則事件A發(fā)生的頻率就是事件的概率。③百分率是頻率,但不是概率。④頻率是不能脫離具體的n次的試驗值，而概率是確定性的不依賴于試驗次數的理論值.⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.其中正確的說法是____________________.解析：本題概括了概率與頻率的定義、聯系和區(qū)別.由頻率及概率的定義可知①是正確的.在②中，是事件A發(fā)生的頻率，由于概率是與頻率接近一個常數,所以概率不一定等于頻率，故②是錯誤的。概率雖是與頻率接近的常數,但不時與頻率相等（如必然事件)，所以③是不正確的.由概率定義知④⑤是正確的。答案：①④⑤2.從一批準備出廠的電視機中，隨機抽取10臺進行質量檢查，其中有1臺是次品,能否說這批電視機中次品的概率是0.10?解析：不能說這批電視機的次品的概率是0。10,因為這僅是10臺電視機中次品的頻率，由概率的定義可知,頻率值可能等于概率值,也可能只接近于概率.3.某廠產品的次品率為2％，問“從該廠產品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品”這一說法對不對？為什么?解析：這種說法不對。因為產品的次品率為2％，是指產品為次品的可能性為2％，所以從該廠產品中任意地抽取100件，其中可能有2件次品,而不是一定有2件次品。4.試解釋下面情況中概率的意義：（1）某商場為促進銷售，實行有獎銷售活動，凡購買其商品的顧客中獎的概率為0。20。（2）一生產廠家稱：我們廠生產的產品合格的概率是0.98。解析：概率從數量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小.答案:（1)指購買其商品的顧客中獎的可能性是20％.（2）是說其廠生產的產品合格的可能性是98%.5.事件A的概率P（A）滿足（）A。P（A)=0B。P（A）=1C。0≤P（A）≤1D.P(A)＜0或P(A）＞1解析：由概率定義易得0≤P（A）≤1.答案：C6.下列說法正確的是（）A.任一事件的概率總在（0,1）之間B.不可能事件的概率為0C.概率為1的事件并不一定會發(fā)生D。以上均不對解析:∵P（A）∈［0,1],必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.答案：B7。某位同學做四選一的選擇題,由于不會,只能隨機選取一個選項，你認為他做對的概率大約為（）A。0.5B。0。25C。0解析:P=14=0。25答案：B8.從含有20個次品的1000個顯像管中任取一個，則它是正品的概率為（）A。B。C.D。解析：P=。答案:C9.對某廠生產的某種產品進行抽樣檢查，數據如下:抽取件數501002003005001000合格件數4792192285478954請估計該種產品合格的概率.解析：由概率的定義可知,檢測次數越多越接近概率值。故概率P==0。954.10.某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結果如下：投籃次數n8101291016進球次數m6897712進球頻率（1)計算表中進球的頻率；（2)這位運動員投籃一次,進球的概率是多少？解析：(1）由公式可計算出每場比賽該運動員罰球進球的頻率依次為:,。(2）由（1）知，每場比賽進球的頻率雖然不同,但頻率總是在附近擺動,可知該運動員進球的概率為.11。李老師在某大學連續(xù)3年主講經濟學院的高等數學，下表是李老師這門課3年來的考試成績分布：成績人數90分以上4380-89分18270—79分26060—69分9050—59分6250分以下8經濟學院一年級的學生王小慧下學期將修李老師的高等數學課,用