數(shù)學互動課堂線性回歸方程

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1。變量之間的關系在實際問題中,變量之間的常見關系的有兩類:一類是確定性的函數(shù)關系；另一類是變量間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達，它們的關系帶有隨機性,我們說這兩個變量具有相關關系.疑難疏引（1）對相關關系的理解應當注意以下幾點:其一是相關關系與函數(shù)關系不同,因為函數(shù)關系是一種非常確定的關系,而相關關系是一種非確定性關系,即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系.而函數(shù)關系可以看成是兩個非隨機變量之間的關系.因此，不能把相關關系等同于函數(shù)關系.其二是函數(shù)關系是一種因果關系,而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系.例如,有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童,鞋的大小與閱讀能力有很強的相關關系.然而,學會新詞并不能使腳變大,而是涉及到第三個因素——年齡.當兒童長大一些,他們的閱讀能力會提高,而且由于長大，腳也變大.其三是在現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系,如何判斷和描述相關關系,統(tǒng)計學發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關關系帶有不確定性,這需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律,才能作出科學的判斷。（2）在考慮相關關系中的兩個量的關系時，為了對變量之間的關系有一個大致的了解,我們通常將變量所對應的點描出來,這些點就組成了具有相關關系的變量之間的一組數(shù)據(jù)的圖形，通常稱這種圖為變量之間的散點圖。根據(jù)散點圖中變量的對應點的離散程度，我們也可以準確地判斷兩個變量是否具有相關關系。散點圖中變量的對應點如果分布在某條直線的周圍，我們就可以得出結論,這兩個變量具有相關關系。如果變量的對應點分布沒有規(guī)律，我們就可以得出結論：這兩個變量不具有相關關系.案例1下列關系中,帶有隨機性相關關系的是____________.①正方形的邊長與面積之間的關系②水稻產量與施肥量之間的關系③人的身高與年齡之間的關系④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系【探究】兩變量之間的關系有兩種:函數(shù)關系與帶有隨機性的相關關系。①正方形的邊長與面積之間的關系是函數(shù)關系。②水稻產量與施肥量之間不是嚴格的函數(shù)關系,但是具有相關性，因而是相關關系。③人的身高與年齡之間的關系既不是函數(shù)關系，也不是相關關系,因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具相關關系.④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關關系。答案：②④規(guī)律總結準確理解變量間的相關關系是解答本題的關鍵。要準確區(qū)分兩變量間相關關系和函數(shù)關系，事實上,現(xiàn)實生活中相關關系是到處存在的,從某種意義上講,函數(shù)關系可以看作一種理想關系模型，而相關關系是一種普遍的關系。兩者區(qū)別的關鍵點是“確定性”還是“隨機性"。案例25個學生的數(shù)學和物理成績如下表:學科學生ABCDE數(shù)學8075706560物理7066686462畫出散點圖，并判斷它們是否有相關關系.【探究】涉及兩個變量：數(shù)學成績與物理成績,可以以數(shù)學成績?yōu)樽宰兞?，考查因變量物理成績的變化趨?以x軸表示數(shù)學成績，y軸表示物理成績，可得相應的散點圖。由散點圖(上圖）可見,兩者之間具有相關關系。規(guī)律總結判斷變量之間有無相關關系，一種常用的簡便可行的方法是繪散點圖，散點圖是由數(shù)據(jù)點分布構成，是分析研究兩個變量相關關系的重要手段.從散點圖中,如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量是線性相關的。2.最小二乘法（最小平方法）、線性回歸方程(1）線性相關關系如果散點圖中，相應于具有相關關系的兩個變量所有觀察值的數(shù)據(jù)點分布在一條直線的附近，我們稱這兩個變量之間具有線性相關關系。也就是說能用直線方程=bx+a近似表示的相關關系叫線性相關關系.(2）最小二乘法（最小平方法）如果n個點:（x1，y1)，（x2,y2）,…，(xn,yn)，可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y=a+bx的接近程度：［y1—(a+bx1)］2+［y2—（a+bx2）］2+…+［yn-(a+bxn)］2.使得上式達到最小值的直線=bx+a就是我們所要求的直線,這種方法稱為最小二乘法。（3）線性回歸方程記線性回歸方程為=bx+a，則系數(shù)a、b滿足：b=（※）疑難疏引（1）我們知道,回歸直線是與數(shù)據(jù)點最接近的直線，反映貼近程度的數(shù)據(jù)是：離差的平方和，即總離差Q=（yi—a—bxi）2。這樣,回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條。這樣使“離差平方和為最小"的方法，叫做最小二乘法.（最小平方法）(2）利用最小二乘法求回歸系數(shù)a、b時，是將離差的平方和Q轉化為關于a或b的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)知識求得的.（3)借助散點圖,可以直觀地看出兩個變量之間是否具有相關關系.用最小二乘法思想建立的回歸直線方程,能定量地描述兩個變量的關系?；貧w系數(shù)a和b，刻畫了兩個變量之間的變化趨勢.利用回歸直線,可以對問題進行預測，由一個變量的變化去推測另一個變量的變化。（4）求線性回歸方程的一般步驟：①根據(jù)兩組數(shù)據(jù)計算，，xi，yi，，xiyi;②代入（*）計算求a、b的值;③代入=a+bx.一般情況下,求線性回歸方程可借助計算器和計算機來完成。另外，回歸系數(shù)可簡化為：b=，a=-b,這里x=xi,y=yi案例3某產品的廣告支出x與銷售收入y(單位:萬元）之間有下表所對應的數(shù)據(jù)。廣告支出x（單位:萬元）1234銷售收入y(單位：萬元)12284256（1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；（2）求出y對x的回歸直線方程；(3）若廣告費為9萬元，則銷售收入約為多少萬元？【探究】只有散點圖大致表現(xiàn)為線性時，求回歸直線方程才有實際意義.【解析】（1）散點圖如下：（2）觀察散點圖可知各點大致分布在一條直線附近，列出下列表格，以備計算a、b.序號xyx2y2xy111211441222284784563342917641264456163136224∑10138305828418于是=,=，=30,=5828，xyi=418，代入公式得：b==，a=—b=×=—2.故y對x的回歸直線方程為=x—2，其中回歸系數(shù)b=，它的意義是：廣告支出每增加1萬元,銷售收入y平均增加萬元.(3)當x=9萬元時，=×9-2=129。4萬元.即廣告費為9萬元,則銷售收入為129.4萬元.規(guī)律總結(1）對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時,應先畫出其散點圖，看其是否呈直線形,再依系數(shù)a、b的計算公式,算出a、b,由于計算量較大，所以在計算時應借助技術手段，認真細致,謹防計算中產生錯誤.（2）在利用公式：b=,a=—b來計算回歸系數(shù)時,為了方便常制表對應出xiyi，，以利于求和。（3)研究變量間的相關關系，求得回歸直線方程能幫助發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的一些規(guī)律，補充積累資料的不足,估計預測某些數(shù)據(jù),為我們的判斷和決策提供依據(jù)?；顚W巧用1.下列兩變量中具有相關關系的是（）A.正方體的體積與邊長B.勻速行駛的車輛的行駛距離與時間C。人的身高與體重D。人的身高與視力解析：選C.本題主要考查變量間的相關性,其中A，B均為函數(shù)關系，D則無相關關系。答案：C2.下列各關系中不屬于相關關系的是（)A。產品成本與生產數(shù)量B。球的表面積與體積C。家庭的支出與收入D.人的年齡與體重解析:球的表面積與體積之間是函數(shù)關系，不屬于相關關系，選B.答案：B3.下列關系屬于負相關的是（）A.父母的身高與子女身高的關系B。農作物產量與施肥量的關系C。吸煙與健康的關系D。數(shù)學成績與物理成績的關系解析：吸煙有害健康,因此,吸煙與健康之間的關系屬于負相關。答案：C4.下列兩個變量之間的關系哪個不是函數(shù)關系（)A。圓的半徑和它的面積B.正方形邊長和它的面積C.正n邊形的邊數(shù)和頂點角度之和D.期中考試數(shù)學成績與復習時間的投入量解析:期中考試數(shù)學成績與復習時間的投入量是相關關系而不是函數(shù)關系.答案：D5.“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高,學生的水平也越高.那么，教師的水平與學生的水平成什么相關關系？你能舉出更多的描述生活中的兩個變量相關關系的成語嗎?解析：“名師出高徒”的意思是說有名的教師一定能教出高明的徒弟,通常情況下,高水平的教師有很大趨勢教出高水平的學生，所以，教師的水平與學生的水平成正相關關系,生活中這樣的成語很多，如“龍生龍,鳳生鳳,老鼠的孩子會打洞”.6.現(xiàn)隨機抽取某校10名學生在入學考試中的數(shù)學成績x與入學后的第一次數(shù)學成績y，數(shù)據(jù)如下：學號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771問這10名學生的兩次數(shù)學考試成績是否具有相關關系？解析:應用散點圖分析.兩次數(shù)學考試成績散點圖如下圖所示。由散點圖可以看出兩個變量的對應點集中在一條直線的周圍，且y隨x的變大而變大，具有正相關關系.因此，這10名學生的兩次數(shù)學考試成績具有相關關系.7.變量y與x之間的回歸方程（）A.表示y與x之間的函數(shù)關系B。表示y和x之間的不確定性關系C。反映y和x之間真實關系的形式D。反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合解析：回歸直線是與數(shù)據(jù)點最貼近的直線,y與x之間的回歸方程,反映了y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合。答案：D8。設有一個回歸方程=2—1.5x,當變量x增加一個單位時(）A。y平均增加1.5個單位B。y平均增加2個單位C。y平均減少1.5個單位D.y平均減少2個單位解析：=2-1。5（x+1）=2-1.5x—1。5=—1.5。答案：C9。線性回歸方程表示的直線=a+bx必定過(）A。（0,0）點B。（，0)點C.（0,）點D.（,)點解析：回歸直線函數(shù)a、b有公式a=—b，即y=a+b∴直線=a+bx必定過（，）點。答案：D10.回歸直線方程的系數(shù)a,b的最小二乘估計a,b,使函數(shù)Q（a,b)最小,Q函數(shù)指（）A。（yi—a—bxi）2B.｜yi—a—bxi｜C。（yi—a-bxi)2D。｜yi-a—bxi|解析:Q=（y1—bx1-a）2+(y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn—a)2=(yi-bxi-a）2。答案：A11.觀測兩相關變量得如下數(shù)據(jù):xy-1-9-2-7—3—5-4-3-5兩變量間的回歸直線方程是（)A。y=x-1B.y=xC.y=2x+D.y=x+1解析：由線性回歸方程系數(shù)的求解公式,易得b==1，a=-b=0.∴線性回歸方程為y=x。答案：B12。以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積（m2)11511080135105銷售價格(萬元)24.821。618。429.222（1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖;（2)求線性回歸方程,并在散點圖中加上回歸直線；（3）據(jù)（2）的結果估計當房屋面積為150m2解析:(1)數(shù)據(jù)對應的散點圖如下圖所示：（2）=xi=109,（xi-）2=1570，=23。2,（xi-)（yi-)=311.2.設所求回歸直線方程為=bx+a，則==≈0。1982,=—b=23.2—109×0。1982≈1.5962.故所求回歸直線方程為=—0。1982x+1。5962。(3）據(jù)（2),當x=150m2時，銷售價格的估計值為：=0.1982×150+1.5962=31。3262(萬元)。13.為研究某市家庭年平均收入與年平均生活支出的關系，該市統(tǒng)計調查隊隨機調查了10個家庭，得數(shù)據(jù)如下：i(家庭編號）12345678910xi（收入)(千元)0.81.11.31。51.51。82.02。22.42.8yi（支出)（千元）0.71。01。21.01.31.51.31.72。02.5求回歸直線方程.解析:列表i123456