數(shù)學(xué)-2021年高三3月大聯(lián)考試題（山東卷）（答案+評分標準+評分細則）

2021年高三3月大聯(lián)考(山東卷)

數(shù)學(xué).答案+評分標準+評分細則

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

12345678

BCACCDBA

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.

9.CD10.BC11.BCD12.BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.314.(1,710)U(I00,-H?)15.皋16.江

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

【解析】⑴由%-2a“+a,i-4=0(”22)得(“_a“)_(%—4i)=4("N2),(2分)

又見-q=6,

所以數(shù)列｛qM-4,｝是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列.(4分)

評分說明：

1.求出首項%-4=6可得1分；

2.不寫"22不扣分.

(2)由(1)得a“+]-a“=6+(〃-l)x4=4"+2,〃eN*,(5分)

所以q,=(a“—a,1)+(?！耙粅一4-2)---n(%—4)+4=(4"—2)+(4〃-6)H----F6+2=1n~,(6分)

,_2_1_11

故"也%〃（〃+1）nn+1(7分)

5“=（1-g+（W）H---F（---^―）=1^-<1,（8分）

223nn+\〃+1

由〃eN*易知S,*￥=g.

綜上，^<5?<1.（10分）

評分說明：

1.若知求錯，則后續(xù)步驟不得分;

2.S.=（1—3+（《-3+…+（,一一二）=1一一二<1這一步中只要求對，=1一一二即可得8分.

223nn+1n+1〃+1

18.（12分）

【解析】選條件①：

由csinA一y/3acos3cos4=G^cos2A及正弦定理，得sinCsinA=GcosA（sinAcosB+cosAsinB）

=gcosAsin（A+8）.（4分）

因為在△ABC中，A+8+C=TT,

所以sinC=sin（A+3）w0,

所以sinA=GcosA，即tanA=g，（8分）

jr

又Ae（0,7r）,所以A=t,（10分）

3

又b=4,a=2<b-sinA,所以不存在這樣的三角形.

因此，選條件①時，問題中的三角形不存在.（12分）

評分說明：

1.對條件05由4-\/54（：053834=，%（：0324，若能正確利用正弦定理，但未得到

sinCsinA=GeosAsin（A+8）可得1分：

2.求角A時未寫角的范圍A￡（0,兀）扣1分.

選條件②：

由（4->/3）sinA—cos2A+1=2\/5及cos2A=1-2sin2A,得2sin2A+（4-百）sinA-26=0，（2分）

解得sinA=正或sinA=-2（舍去）.（4分）

2

因為"a,c成等差數(shù)列，所以Ae（0,；）,

2

所以A=5，（6分）

又。=2,所以6+c=2a=4,

由余弦定理，得〃=〃+/-2〃ccosg,即4=（〃+c）2-36c=16-3bc,

所以阪=4.（10分）

fb+c=4

由，解得b=c=2.故△ABC為正三角形.

\bc=4

因此，選條件②時，問題中的三角形存在，且c=2.（12分）

評分說明：

1.未判斷出Ae（O,7=E）得到兩個解，即A==TT或4=?27r,但在后續(xù)步驟中的分類討論中，正確求解當A二冗

時c=2,并且能正確說明當A=等時無解，不滿足"a,c成等差數(shù)列，則該題不扣分.

選條件③：

TT111TT1

由sin（A+—）=cosA+—,W—sinA——cosA=-,即sin（A——）=—,（3分）

6222262

TTTVSjr

由Ae（0,7i）,得（一:3），（4分）

666

jrIT

所以A—B=（5分）

66

TT

所以A=§,（6分）

由S八ABC='bcsinA=,得bc=3.（8分）

△ABC2433

由余弦定理，得/=4=）2+c?一2Z?ccosA=（。+c）2-3bc,

所以力+c=2\/3，（10分）

從而c=---或c=----.

33

因此，選條件③時，問題中的三角形存在，且。=亞或。=迪.（12分）

33

評分說明：

1.若學(xué)生未能正確求得sin（A-3）=!，但能正確利用兩角和的正弦公式將sin（A+?展開，可得1分;

626

2.求角A-?大小時，不寫角的范圍.）扣1分.

6666

19.（12分）

【解析】（1）由題可得長的觀測值&=l0°xI40*25-25X10）2=迎-9.890>6.635，（2分）

50x50x65x3591

所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為是否為“理性購物者”與性別有關(guān).（4分）

評分說明：

觀測值k的表達式寫對，結(jié)果計算錯誤可得1分；結(jié)果為分數(shù)黑，未化簡為小數(shù)不扣分.

（2）由題可得，購物總金額在［3000,4000）內(nèi)，優(yōu)惠300x3=900元，

購物總金額在14000,5000）內(nèi)，優(yōu)惠300x4=1200元,（5分）

則隨機變量X的所有可能取值為180（）,2100,2400,（6分）

￡LP（X=1800）=-x-=l,P（X=2IOO）--xl+lx-=l,尸（X=2400）=，*，=，，（9分）

23323232236

所以X的分布列為

X180021002400

1J_￡

p（10分）

326

所以E(X)=1800X』+2100XL+2400X1=2050.(12分)

326

評分說明:

E（X）表達式寫對，結(jié)果計算錯誤扣1分.

20.（12分）

【解析】（1）因為四邊形/WEF為矩形，

所以尸，所以BE〃平面4）尸.（1分）

又BEu平面BDE,平面皿也與平面尸的交線為/,

所以〃/BE.（3分）

因為巫_L45,平面45EF_L平面4BC。，平面A8EF口平面ABC。=",

所以的工平面/^口？，（4分）

所以/I平面ABCD.（5分）

（2）設(shè)A8的中點為。，CO的中點為G,斯的中點為M,則OA,OG,OM兩兩垂直，以。為坐標原

點，礪，詼，兩的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），（6分）

設(shè)4尸=々＞0）,則點F的坐標為（L0J）,點E的坐標為（-L0J）.

作Z）〃J_43，交43于點“，在RtAADH中，AH=-,DH=—

22

所以點。的坐標為,點C的坐標為（_±#,0）,

所以訪=（|,當T）面=（g岑,T）.（8分）

旦o

2--

-ED=0rz

設(shè)平面CQE的法向量為％=（x,y,z）,貝I卜旦

-EC=0rzo

2--

令Z=E，解得x=0,y=2r,所以平面COE的一個法向量為勺=（02,G）.（10分）

取平面CD4的一個法向量為〃2=（0,0,1）,

因為二面角E-C。-4的大小為60。，所以COS603號含，即〈=半等旦，

同怩12“產(chǎn)+3x1

解得f=°（負值不合題意，已舍去），

2

3

所以線段AF的長度為（12分）

評分說明：

1.若學(xué)生第（1）問未給出正確證明，不影響第（2）問得分；

2.對其他正確建系方法要按照本參考答案評分標準的相應(yīng)步驟給分.

21.（12分）

【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線C的方程為V=2px（p>0）,

則|研=1+"=2,即P=2,（2分）

2

所以拋物線C的標準方程為丁=4x.（4分）

評分說明：

L若拋物線方程求錯，則第（2）問不得分；

2.若只給出結(jié)論y?=4x而沒有步驟，則第（1）問只得2分，但不影響第（2）問得分.

（2）由題意知，F(xiàn)（l,0）,直線”的斜率不為0,可設(shè)直線機的方程為x="+l,（5分）

聯(lián)立方程得）,消去工并化簡得9―4）-4=0,（6分）

x=ty+\

設(shè)A（再,乃）,次冬,以），P（%o，No），則X+>2=4，，%為二-4.。分）

因為AP兩點在拋物線C上，所以）?二4",兩式相減，得此一火=4（與一不）,

3=4為

所以工…4,4

,同理可得%=——（8分）

則…二仁+&T祭流筌T-"NT，（如

所以8f+4%=T+4仇+y：,即y：+(4—4)%-8—4=0,(*)(10分)

因為』=（4，-4）2+4（8/+4）=16（r+2）>0,所以方程（*）有兩個不同的解，（11分）

故滿足勺+抬=2的點p的個數(shù)為2.(12分)

評分說明：

若設(shè)直線心的方程為y="x-D,則按照本參考答案評分標準給分，但需要討論直線機斜率不存在的

情況，否則扣1分.

22.(12分)

【解析】(1)當。=1時，f(x)=-x2+COSX-1,xe［0,+oo),

則尸(x)=x-sinx,(1分)

☆/z(x)=x-sinx(xN()),則/?'(x)=l-cosx20恒成立，(2分)

所以函數(shù)Mx)在［0,+◎上單調(diào)遞增，所以〃(x"〃(0)=0,(3分)

所以尸(x)20,所以函數(shù)/(x)在?”)上單調(diào)遞增，(4分)

所以函數(shù)/(X)的最小值為"0)=0.(5分)

(2)由題可知當。=0且xNO時，sinx-cosx+lMe*-l恒成立，

即Nsinx-cosx+2恒成立，(6分)

令40)二百*(工20),