七年級(jí)-初中-有理數(shù)運(yùn)算-拔高題-綜合題-壓軸題(含答案)

一．解答題（共15小題）1．?dāng)?shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其它兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿(mǎn)足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱(chēng)該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）若點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B表示數(shù)1，下列各數(shù)﹣1，2，4，6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是C1，C2，C3，C4，其中是點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是；（2）點(diǎn)A表示數(shù)﹣10，點(diǎn)B表示數(shù)15，P為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P，A，B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．2．在一個(gè)3×3的方格中填寫(xiě)了9個(gè)數(shù)字，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等，得到的3×3的方格稱(chēng)為一個(gè)三階幻方．（1）在圖1中空格處填上合適的數(shù)字，使它構(gòu)成一個(gè)三階幻方；（2）如圖2的方格中填寫(xiě)了一些數(shù)和字母，當(dāng)x+y的值為多少時(shí)，它能構(gòu)成一個(gè)三階幻方．3．?dāng)?shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算：”，小明仔細(xì)思考了一番，用了一種不同的方法解決了這個(gè)問(wèn)題：原式的倒數(shù)為＝＝﹣4+10＝6，所以．（1）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證小明的解法的正確性．（2）由此可以得到結(jié)論：一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)等于．（3）請(qǐng)你運(yùn)用小明的解法計(jì)算：．4．將0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)分別填入圖中的7個(gè)空格內(nèi)，使每行的3個(gè)數(shù)、每列的3個(gè)數(shù)、斜對(duì)角的3個(gè)數(shù)相加的和都等于6．5．在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如圖所示．設(shè)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)數(shù)的和是p．（1）若以B為原點(diǎn)，則點(diǎn)A，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，p的值為；（2）若以C為原點(diǎn)，p的值為；（3）若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且CO＝28，求p的值．6．閱讀理解：|5|＝|5﹣0|，它在數(shù)軸上的意義可以理解為：表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離；|6﹣3|＝3，它在數(shù)軸上的意義可以理解為：表示6的點(diǎn)與3的點(diǎn)之間的距離為3；類(lèi)似的：|﹣6﹣3|＝，它在數(shù)軸上的意義表示的點(diǎn)與的點(diǎn)之間的距離是，并在下面數(shù)軸上標(biāo)出這兩個(gè)數(shù)，畫(huà)出它們之間的距離．歸納：|a﹣b|它在數(shù)軸上的意義表示的點(diǎn)與的點(diǎn)之間的距離．應(yīng)用：|a+5|＝1，它在數(shù)軸上的意義表示的點(diǎn)與的點(diǎn)之間的距離為1，所以a的值為．7．有理數(shù)x，y在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示：（1）在數(shù)軸上表示﹣x，|y|；（2）試把x，y，0，﹣x，|y|這五個(gè)數(shù)從小到大用“＜”號(hào)連接，（3）化簡(jiǎn)：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．8．觀察下列兩個(gè)等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，給出定義如下：我們稱(chēng)使等式a+b＝ab﹣1成立的一對(duì)有理數(shù)a，b為“椒江有理數(shù)對(duì)”，記為（a，b），如：數(shù)對(duì)（3，2），（4，）都是“椒江有理數(shù)對(duì)”．（1）數(shù)對(duì)（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理數(shù)對(duì)”的是；（2）若（a，3）是“椒江有理數(shù)對(duì)”，求a的值；（3）若（m，n）是“椒江有理數(shù)對(duì)”，則（﹣n，﹣m）“椒江有理數(shù)對(duì)”（填“是”、“不是”或“不確定”）．（4）請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一對(duì)符合條件的“椒江有理數(shù)對(duì)”（注意：不能與題目中已有的“椒江有理數(shù)對(duì)”重復(fù)）9．如圖，A、B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣20，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100．（1）請(qǐng)寫(xiě)出與A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，你知道C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少嗎？（3）若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長(zhǎng)度？10．已知點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b．（1）對(duì)照數(shù)軸，填寫(xiě)下表：a6﹣6﹣6﹣62﹣1.5b404﹣4﹣10﹣1.5A、B兩點(diǎn)的距離（2）若A、B兩點(diǎn)間的距離記為d，試問(wèn)d和a、b之間有何數(shù)量關(guān)系？用數(shù)學(xué)式子表示．（3）求所有到表示數(shù)5和﹣5的距離之和為10的整數(shù)的和．列式計(jì)算．（4）若數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，|x+1|+|x﹣2|的值最小？最小值是多少？直接寫(xiě)出結(jié)論．11．已知a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，表示有理數(shù)d的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4，求a﹣b﹣c+d的值．12．閱讀下列材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示兩個(gè)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)間的距離記為|AB|，O表示原點(diǎn)．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A為原點(diǎn)，如圖1，則|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖2，若點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊時(shí)，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖3，若點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊時(shí)，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如圖4，若點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊時(shí)，|AB|＝|OB|+|OA|＝|b|+|a|＝﹣b+a＝|a﹣b|．回答下列問(wèn)題：（1）綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離為|AB|＝．（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為3，點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣4，則A、B兩點(diǎn)間的距離為；（3）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣2，則|AB|＝，若|AB|＝3，則x的值為．13．【閱讀】我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法法則與有理數(shù)的乘法法則，在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，掌握了法則，同時(shí)也學(xué)會(huì)了分類(lèi)思考，下面請(qǐng)?zhí)剿魉伎迹咎剿鳌浚?）若a+b＝﹣5，則ab的值為：①負(fù)數(shù)②正數(shù)③0．你認(rèn)為結(jié)果可能為（只填序號(hào)）（2）若a+b＝﹣5，且a、b為整數(shù)，則ab的最大值為【拓展】（3）數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)a、b，若a+b＞0，試比較ab與0的大?。?4．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：2③＝，（﹣）⑤＝；（2）關(guān)于除方，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對(duì)于任何正整數(shù)n，1?＝1；C．3④＝4③；D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝．（2）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫(xiě)成冪的形式等于；（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．1．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C1表示的數(shù)為﹣1，∴AC1＝1，BC1＝2，∴C1是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；∵點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C2表示的數(shù)為2，∴AC2＝4，BC1＝1，∴C2不是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；∵點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C3表示的數(shù)為4，∴AC3＝6，BC3＝3，∴C3是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；∵點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B表示數(shù)1，C4表示的數(shù)為6，∴AC4＝8，BC4＝5，∴C4不是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；故答案為：C1，C3；（2）①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在A的左側(cè)時(shí)，則有：2PA＝PB，即，2（﹣10﹣x）＝15﹣x，解得，x＝﹣35；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，有2PA＝PB或PA＝2PB，即有，2（x+10）＝15﹣x或x+10＝2（15﹣x），解得，x＝﹣或x＝；因此點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣35或﹣或；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，（Ⅰ）若點(diǎn)P是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則有，2PB＝PA，即2（x﹣15）＝x+10，解得，x＝40；（Ⅱ）若點(diǎn)B是點(diǎn)A、P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則有，2AB＝PB或AB＝2PB，即2（15+10）＝x﹣15或15+10＝2（x﹣15），得，x＝65或x＝；（Ⅲ）若點(diǎn)A是點(diǎn)B、P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則有，2AB＝PA，即2（15+10）＝x+10，解得，x＝40；因此點(diǎn)P表示的數(shù)為40或65或；2．【解答】解：（1）2+3+4＝9，9﹣6﹣4＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣2﹣7＝0，9﹣4﹣0＝5，如圖所示：（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，﹣2+1+4＝3，如圖所示：x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，x+y＝5+8＝13．3．【解答】解：（1）計(jì)算：（﹣）÷（﹣）＝（﹣）÷（﹣）＝答：小明的解法正確．（2）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)等于本身．故答案為本身．（3）原式的倒數(shù)為（﹣+）÷（﹣）＝（﹣+）×（﹣24）＝﹣8+4﹣9＝﹣13所以（﹣）÷（﹣+）＝﹣．4．【解答】解：根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，使每行的3個(gè)數(shù)、每列的3個(gè)數(shù)、斜對(duì)角的3個(gè)數(shù)相加的和都等于6．如圖：5．【解答】解：（1）若以B為原點(diǎn)，則點(diǎn)A，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣2、1，﹣2+1＝﹣1故答案為﹣2、1，﹣1．（2）若C為原點(diǎn)，則A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣1、﹣3，所以p的值為﹣1+（﹣3）＝﹣4．故答案為﹣4．（3）由題意知：C點(diǎn)表示的數(shù)為﹣28，B點(diǎn)表示的數(shù)為﹣29，A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣31，P＝﹣28+（﹣29）+（﹣31）＝﹣88，或p＝（﹣28）+（﹣28﹣1）+（﹣28﹣3）＝﹣28﹣29﹣31＝﹣88．答：p的值為﹣88．6．【解答】解：類(lèi)似的：|﹣6﹣3|＝9，表示﹣6的點(diǎn)與3的點(diǎn)之間的距離為9，如圖：故答案為9、﹣6、3、9．歸納：|a﹣b||它在數(shù)軸上的意義表示a的點(diǎn)與b的點(diǎn)之間的距離．故答案為a、b．應(yīng)用：|a+5|＝1，它在數(shù)軸上的意義表示a的點(diǎn)與﹣5的點(diǎn)之間的距離為1．所以a的值﹣4或﹣6．故答案為a、﹣5、﹣4或﹣6．7．【解答】解：（1）如圖，；（2）根據(jù)圖象，﹣x＜y＜0＜|y|＜x；（3）根據(jù)圖象，x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，∴x+y＞0，y﹣x＜0，∴|x+y|﹣|y﹣x|+|y|＝x+y+y﹣x﹣y＝y(tǒng)．8．【解答】解：（1）﹣2+1＝﹣1，﹣2×1﹣1＝﹣3，∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，∴（﹣2，1）不是“椒江有理數(shù)對(duì)”，∵5+＝，5×﹣1＝，∴5+＝5×﹣1，∴（5，）中是“椒江有理數(shù)對(duì)”；（2）由題意得：a+3＝3a﹣1，解得a＝2；（3）不是．理由：﹣n+（﹣m）＝﹣n﹣m，﹣n?（﹣m）﹣1＝mn﹣1，∵（m，n）是“椒江有理數(shù)對(duì)”，∴m+n＝mn﹣1，∴﹣n﹣m＝﹣（mn﹣1）＝﹣（﹣n）×（﹣m）+1＝﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]，∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理數(shù)對(duì)”；（4）（6，1.4）等．故答案為：（5，）；不是；（6，1.4）．9．【解答】解：（1）M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（﹣20+100）÷2＝40；（2）它們的相遇時(shí)間是120÷（6+4）＝12（秒），即相同時(shí)間Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為：12×4＝48（個(gè)單位），即從數(shù)﹣20向右運(yùn)動(dòng)48個(gè)單位到數(shù)28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)50秒或70秒時(shí)間時(shí)，兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長(zhǎng)度．10．【解答】解：（1）填表如下：a6﹣6﹣6﹣62﹣1.5b404﹣4﹣10﹣1.5A、B兩點(diǎn)的距離26102120（2）d和a、b之間有的數(shù)量關(guān)系：d＝|a﹣b|；（3）∵5﹣（﹣5）＝5+5＝10，∴點(diǎn)P為﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝0；（4）∵﹣1到2的距離是2﹣（﹣1）＝2+1＝3，∴點(diǎn)C在﹣1到2之間時(shí)，|x+1|+|x﹣2|取得的值最小，最小值是3．故答案為：2，6，10，2，12，0．11．【解答】解：∵a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，表示有理數(shù)d的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4，∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝±4，則當(dāng)a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝﹣4時(shí)，a﹣b﹣c+d＝1+1﹣0﹣4＝﹣2；當(dāng)a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝4時(shí)，a﹣b﹣c+d＝1+1﹣0+4＝6．故a﹣b﹣c+d的值為﹣2或6．12．【解答】解：（1）數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離為|AB|＝|a﹣b|；（2）|AB|＝|3﹣（﹣4）|＝7；（3）|AB|＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∵|AB|＝3，∴|x+2|＝3，∴x+2＝±3，解得x＝﹣5或1．故答案為：|a﹣b|；7；|x+2|，﹣5或1．13．【解答】解：（1）若a＝﹣6，b＝1，則ab＝﹣6，則①成立；若a＝﹣2，b＝﹣3，則ab＝6，則②成立；若a＝﹣5，b＝0，則ab＝0，則③成立．故答案為：①②③．（2）∵a+b＝﹣5，且a、b為整數(shù)，要使得ab的最大值，則a，b必須同為負(fù)號(hào)，∵（﹣2）×（﹣3）＞（﹣1）（﹣4），∴ab的最大值為6．故答案為：6．（3）a、b至少有一個(gè)正數(shù)，①當(dāng)a、b都為正數(shù)時(shí)，ab為正，ab＞0②當(dāng)一個(gè)為正數(shù)、另一個(gè)為0時(shí)，ab＝0③當(dāng)一個(gè)為正數(shù)、另一個(gè)為負(fù)數(shù)；且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，ab＜0．14．【解答】解：【概念學(xué)習(xí)】（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣8故答案為：，﹣8；（2）A、任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個(gè)相同數(shù)相除，所以都等于1；所以選項(xiàng)A