江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題（日新班）（解析版）

豐城九中2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三日新班第一次段考試卷考試時(shí)間：10月考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法、交集的定義求解即可.，則，即，，解得，故，又，故.故選：B2.歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．已知實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得出，然后指數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.因?yàn)?，所以?故選：B.3.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)在C上，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求得，求出，即可求得的面積.將代入C的方程，得，故，所以，則的面積.故選：A.4.已知，，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：B.5.學(xué)校安排含唐老師、李老師在內(nèi)的5位老師去3個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行招生宣傳，每位老師都必須選1個(gè)學(xué)校宣傳，且每個(gè)學(xué)校至少安排1人.由于唐老師是新教師，學(xué)校安排唐老師和李老師必須在一起，則不同的安排方法有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.60種【答案】B【解析】【分析】把5位老師按和分組，再把分成的3組安排到3所學(xué)校，列式計(jì)算得解.把5位老師按和分組，且唐老師和李老師在一起的不同分組方法數(shù)為，所以不同的安排方法有（種）.故選：B6.從的二項(xiàng)展開(kāi)式中隨機(jī)取出不同的兩項(xiàng)，則這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出二項(xiàng)式展開(kāi)式，再利用古典概型求出這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的概率.展開(kāi)式通項(xiàng)為，則二項(xiàng)展開(kāi)式分別為：，，，，，，將這6項(xiàng)依次記：，從的二項(xiàng)展開(kāi)式中隨機(jī)取出不同的兩項(xiàng)有種情況，所以這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的基本事件為：，，，共6種情況，所以這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的概率為.故選：A.7.已知中，，角的平分線交于點(diǎn)，且，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意，利用平面向量的共線定理，得到，利用余弦定理，求得，得到面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.如圖所示，設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，設(shè)，所以，又因?yàn)榻堑钠椒志€交于點(diǎn)，四邊形為菱形，可得，所以，所以，在中，由余弦定理得，則，所以的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為.故選：C.8.已知函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，再運(yùn)用基本不等式即可求解由得，設(shè)，，設(shè)，，由得，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)橛辛泓c(diǎn)，則，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)(，)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是，先將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，且最大值為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)的表達(dá)式為，即可根據(jù)代入驗(yàn)證法判斷BC，根據(jù)整體法即可求解D.由已知，A錯(cuò)誤；所以，則，所以，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，，即，，而，所以，所以，因?yàn)樽畲笾禐?，所以，則，所以，因?yàn)?，所以為一條對(duì)稱軸，B正確；由于，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，D正確，故選：BD10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像沒(méi)有公切線C.函數(shù)，則有極大值，且極大值點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用與的圖象，知時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得，即可求解；選項(xiàng)B，設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求方程解的個(gè)數(shù)，即可求解；選項(xiàng)C，令，對(duì)求導(dǎo)，求出的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義，即可求解；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到，且等號(hào)不能同時(shí)取到，再利用與圖象間的關(guān)系，即可求解.對(duì)于選項(xiàng)A，易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，由，得到，由，得到，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最小值，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像沒(méi)有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)則，化簡(jiǎn)得：，判斷方程根的個(gè)數(shù)即為公切線條數(shù)，令，則，易知在上恒小于0，當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在上有使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)，所以方程有兩解，與的圖像有兩條公切線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)時(shí)，與重合，當(dāng)時(shí)，的圖象由向右平移，此時(shí)圖象恒在下方，所以，且等號(hào)不能同時(shí)取到，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11.已知，且，則的值可能為（）A. B. C. D.8【答案】ACD【解析】【分析】借助二倍角公式及兩角和差公式化簡(jiǎn)，得到，再利用基本不等式得到其取值范圍，從而得到答案.因?yàn)樗?，，，因?yàn)?，所以，所以，，，又，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)的等號(hào)成立，綜上，，即，故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：靈活變換，利用，兩角和與差公式化簡(jiǎn)已知的等式是解本題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】由利用向量數(shù)量積得，再由計(jì)算即可.，則，由得，所以，于是．故答案為：13.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，若，則an的公差______．【答案】3【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合，可得，與相減可求的值.】由，所以.故答案為：314.在三棱錐中，平面VAC，，，點(diǎn)F為棱AV上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，______．【答案】【解析】【分析】通過(guò)作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說(shuō)明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時(shí)參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，

因?yàn)椋瑒t，設(shè)其相似比為，即，則；又因?yàn)?，，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，所以，即，同理可得，即，因?yàn)?，，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，則，在中，.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面平行以及線面垂直說(shuō)明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出最值得解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.下圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.圖（1）是一個(gè)面積為1的實(shí)心正三角形，分別連接這個(gè)正三角形三邊的中點(diǎn)，將原三角形分成4個(gè)小正三角形，并去掉中間的小正三角形得到圖（2），再對(duì)圖（2）中的每個(gè)實(shí)心小正三角形重復(fù)以上操作得到圖（3），再對(duì)圖（3）中的每個(gè)實(shí)心小正三角形重復(fù)以上操作得到圖（4），…，依此類推得到個(gè)圖形.記第個(gè)圖形中實(shí)心三角形的個(gè)數(shù)為，第n個(gè)圖形中實(shí)心區(qū)域的面積為.（1）寫出數(shù)列an和b（2）設(shè)，證明.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由圖形可判斷數(shù)列an和b（2）先由，，得，根據(jù)利用單調(diào)性得，進(jìn)而可得.【小問(wèn)1】由圖知后一個(gè)圖形中實(shí)心三角形的個(gè)數(shù)是前一個(gè)的倍，所以an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，由圖知后一個(gè)圖形中實(shí)心區(qū)域的面積是前一個(gè)的倍，第一個(gè)三角形的面積為，故bn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故【小問(wèn)2】，故，因?yàn)?，故單調(diào)遞增，故，又，故，故，又，故16.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的方程；（2）若函數(shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）令，分離參數(shù)可得，由題意可得方程在上有2個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出其極值和單調(diào)區(qū)間即可得解.【小問(wèn)1】由題意得，，故，解得，而，故所求切線方程為，即；【小問(wèn)2】令，則，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有2個(gè)根，令，，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知四棱錐中，底面是矩形，，M是SB的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，點(diǎn)P是SC上的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與平面所成角的正弦值為，求四面體的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，可證平面，再根據(jù)線面垂直的定義可證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)直線AP與平面所成角的正弦值為，確定點(diǎn)位置，再求四面體的體積.【小問(wèn)1】如圖：取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，又，所以.又，，且，，所以所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2】因?yàn)?，，平面，所以平?又，所以可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，則A0,0,0，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，取設(shè)，.所以.因?yàn)橹本€AP與平面所成角的正弦值為，所以：cos<AP,所以為的中點(diǎn)，所以18.新冠疫情下，為了應(yīng)對(duì)新冠病毒極強(qiáng)的傳染性，每個(gè)人出門做好口罩防護(hù)工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由三道工序組成，每道工序之間相互獨(dú)立，且每道工序加工質(zhì)量分為高和低兩種層次級(jí)別，三道工序加工的質(zhì)量層次決定口罩的過(guò)濾等級(jí)；工序加工質(zhì)量層次均為高時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為100等級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為99.97%)；工序的加工質(zhì)量層次為高，工序至少有一個(gè)質(zhì)量層次為低時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為99等級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為99%)；其余均為95級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為95%)．表①:表示三道工序加工質(zhì)量層次為高的概率；表②:表示加工一個(gè)口罩的利潤(rùn)．表①工序概率表②口罩等級(jí)100等級(jí)99等級(jí)95等級(jí)利潤(rùn)/元（1）表示一個(gè)口罩的利潤(rùn)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由于工廠中工序加工質(zhì)量層次為高的概率較低，工廠計(jì)劃通過(guò)增加檢測(cè)環(huán)節(jié)對(duì)工序進(jìn)行升級(jí)．在升級(jí)過(guò)程中，每個(gè)口罩檢測(cè)成本增加了()元時(shí)，相應(yīng)的工序加工層次為高的概率在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加了;試問(wèn)：若工廠升級(jí)方案后對(duì)一個(gè)口罩利潤(rùn)的期望有所提高，則與應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系?【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）()【解析】【分析】（1）由題意可知：的可能取值為，，，分別求出100等級(jí)，99等級(jí)，95等級(jí)的概率，列分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（2）改良后一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的可能取值為，，，分別求出改良后100等級(jí)，99等級(jí)，95等級(jí)的概率，求出數(shù)學(xué)期望與比較即可.【小問(wèn)1】的可能取值為，，，；；；所以的分布列為【小問(wèn)2】設(shè)升級(jí)后一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為，則的可能取值為，，；；；所以，由得，解得，所以與滿足的關(guān)系為().19.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，得到，進(jìn)而得到的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問(wèn)1】解：由橢圓離心率，且的周長(zhǎng)為，可得，解得，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2】解：依題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立方程，整理得，設(shè)，，則，可得，可得，因?yàn)?，所以，即，所以到的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)