必考點01與三角形有關的線段(原卷版+解析)

必考點01與三角形有關的線段●題型一三角形的有關概念【例題1】（2021秋?雙牌縣期末）下面是小強用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）A． B． C． D．【例題2】（2021秋?泰山區(qū)校級月考）圖中共有三角形個，其中以AE為邊的三角形有個．【解題技巧提煉】三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．●題型二三角形的分類【例題3】（2022秋?烏魯木齊月考）有下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形；④三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題技巧提煉】1.三角形按三個內(nèi)角的大小，可將三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．2.三角形按邊的相等關系分類：●題型三三角形的三邊關系【例題4】（2022?南京模擬）已知三角形三邊長分別為3，x，14，若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【例題5】（2021秋?海淀區(qū)校級期中）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A．10 B．15 C．17 D．19【解題技巧提煉】1.三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．2.在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．3.在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，容易忽略．●題型四三角形的高、中線與角平分線★★三角形的高【例題6】如圖：（1）在△ABC中，BC邊上的高是．（2）在△AEC中，AE邊上的高是．（3）在△FEC中，EC邊上的高是．（4）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，則S△AEC＝cm2，CE＝cm．★★三角形的中線【例題7】（2022?雁塔區(qū)校級四模）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．22★★三角形的角平分線【例題8】（2021秋?大興區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分線，則∠DAC＝，∠BCE＝，∠ACB＝．★★三角形的角平分線、中線、高的綜合運用【例題9】（2022春?惠州期末）如圖所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．試求：（1）AD的長；（2）△ABE的面積；（3）△ACE和△ABE的周長的差．【解題技巧提煉】1.從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．2.三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．3.三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線，三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個小三角形．4.三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．5.銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．●題型五三角形的穩(wěn)定性【例題10】（2022春?淅川縣期末）如圖所示，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的依據(jù)是．【例題11】（2022?興寧區(qū)校級開學）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【解題技巧提煉】1.當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應用在實際生活中．2．四邊形具有不穩(wěn)定性.◆題型一三角形的有關概念1．（2021春?郟縣期末）如圖，圖中有個三角形，∠B的對邊是．2．（2022春?方城縣期末）如圖所示，點D，E分別是△ABC的邊BC，AB上的點，分別連結AD，DE，則圖中的三角形一共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個◆題型二三角形的分類3．（2022?石家莊二模）下列圖形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．4．（2021秋?東光縣期中）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（）A．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形 B．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形 C．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形 D．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形◆題型三三角形的三邊關系5．（2021秋?八公山區(qū)期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm6．（2022?南京模擬）已知三角形的三邊長分別為3，x，6，則三角形的周長y的取值范圍是．◆題型四三角形的高、中線與角平分線7．（2022?南京模擬）下列各組圖形中，BD是△ABC的高的圖形是（）A． B． C． D．8．（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（）A．三角形的三條高的交點在三角形內(nèi) B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點 C．直角三角形的三條高的交點在直角頂點 D．三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點9．（2022?南京模擬）如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為12，則△BCD的周長是．10．如圖，AE是△ABC的角平分線，AD是∠EAC的角平分線，若∠BAC=80°，則∠EAD=.11．（2021秋?金安區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB＝5，AC＝3．（1）邊BC的取值范圍是；（2）△ABD與△ACD的周長之差為；（3）在△ABC中，若AB邊上的高為2，求AC邊上的高．◆題型五三角形的穩(wěn)定性12．（2022春?香坊區(qū)校級期末）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（）A．正方形 B．長方形 C．梯形 D．三角形13．（2022?上杭縣校級開學）下列生活實物中，沒有應用到三角形的穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．1．若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有對．2．（2022秋?烏魯木齊月考）如圖，以點A為頂點的三角形有個，它們分別是．3．（2022春?館陶縣期末）有下列兩種圖示均表示三角形分類，則正確的是（）A．①對，②不對 B．②對，①不對 C．①、②都不對 D．①、②都對4．（2022春?遂寧期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上的一點，CF⊥AD于H．下列判斷正確的是（）5．（2022春?南召縣期末）如圖，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中線和角平分線，下列表達式中錯誤的是（）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE6．（2022春?信都區(qū)期末）如圖，BE是某個三角形的高，則這個三角形是（）A．△ABE B．△ABD C．△CBE D．△ABC7．（2022春?市中區(qū)期末）如圖，窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，其所運用的幾何原理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．三角形具有穩(wěn)定性8．（2022春?南陽期末）下列生產(chǎn)和生活實例：①用人字架來建筑房屋；②用窗鉤來固定窗扇；③在柵欄門上斜釘著一根木條；④商店的推拉活動防盜門等．其中，用到三角形的穩(wěn)定性的有（填寫序號）．9．（2022春?雨花區(qū)校級期末）如圖，BD是△ABC的中線，AB＝8，BC＝5，△ABD和△BCD的周長的差是．10．（2022春?包頭期中）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c為奇數(shù)，則△ABC的周長為．11．（2021春?惠安縣期末）如圖，直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長為．12．（2022春?沭陽縣校級月考）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，則DE＝．13．觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有個三角形，圖②中共有個三角形，圖③中共有個三角形．（2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有個三角形．14．（2022春?榆樹市期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ABD的周長比△ADC的周長多1，AB與AC的和為11．（1）求AB、AC的長；（2）求BC邊的取值范圍．15．（2022春?嵩縣期末）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，（1）填入“＞、＜或＝”號：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中線BD把三角形的周長分為15cm和30cm的兩個部分，求：三角形的三邊長．17．（2022春?資陽期末）已知a、b、c為△ABC的三邊長；①b、c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|a﹣4|＝2的解，求出該三角形的周長，并判斷△ABC的形狀．②若a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長的最大值和最小值．18．（2022春?鼓樓區(qū)期末）如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，求證：AB+AC＞PB+PC．19.（2021秋?趙縣月考）在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點．（1）如圖1，若S△ABC＝1cm2，求△BEF的面積．（2）如圖2，若S△BFC＝1cm2，則S△ABC＝．20.（2022春?方城縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，點P從點A出發(fā)，沿射線AB以2cm/s的速度運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CB以1cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q運動到點B時P、Q停止運動，設Q點的運動時間為t秒．（1）當t＝時，BP＝2CQ；（2）當t＝時，BP＝BQ；（3）畫CD⊥AB于點D，并求出CD的值；（4）當t＝時，有S△ACP＝2S△ABQ．必考點01與三角形有關的線段●題型一三角形的有關概念【例題1】（2021秋?雙牌縣期末）下面是小強用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）A． B． C． D．【分析】因為三角形的定義為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．【解答】解：因為三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：C．【點評】此題考查了三角形的定義．解題的關鍵是熟練記住定義．【例題2】（2021秋?泰山區(qū)校級月考）圖中共有三角形個，其中以AE為邊的三角形有個．【分析】觀察圖形先找出圖中基本的三角形△BDO，△ABO，△AOE，再找出復合組成的三角形即可；利用前面的結論即可得到以AE為邊的三角形；【解答】解：（1）①△BDO，△ABO，△AOE，共3個；②△ABD，△ADC，2個；③△ABE，△BCE，2個；④△ABC，1個；綜上，圖中共有共8個三角形；（2）以AE為邊的三角形有：△AOE，△ABE，2個；故答案為：8；2．【點評】此題主要考查了三角形定義，關鍵是要細心、仔細的數(shù)出三角形的個數(shù)．【解題技巧提煉】三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．●題型二三角形的分類【例題3】（2022秋?烏魯木齊月考）有下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形；④三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①根據(jù)等腰三角形的定義判定等邊三角形是等腰三角形；②舉出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形共三條邊，若按邊分類，可分為三條邊都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等邊三角形），等腰三角形包含等邊三角形；④三角形中最大的角可能是銳角可能是直角，也可能是鈍角，按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．【解答】①有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等邊三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正確；②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正確；③三角形共三條邊，若按邊分類，分為三條邊都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等邊三角形），等腰三角形包含等邊三角形，故③錯誤；④根據(jù)三角形中最大的角可以分為銳角、直角、鈍角，所以按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，故④正確．故選：C．【點評】本題考查三角形，熟練掌握三角形的定義及分類是解題的關鍵．【解題技巧提煉】1.三角形按三個內(nèi)角的大小，可將三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．2.三角形按邊的相等關系分類：●題型三三角形的三邊關系【例題4】（2022?南京模擬）已知三角形三邊長分別為3，x，14，若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】直接根據(jù)三角形的三邊關系求出x的取值范圍，進而可得出結論．【解答】解：∵三角形三邊長分別為3，x，14，∴14﹣3＜x＜14+3，即11＜x＜17．∵x為正整數(shù)，x＝12，13，14，15，16，即這樣的三角形有5個．故選：B．【點評】本題考查的是三角形的三邊關系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解答此題的關鍵．【例題5】（2021秋?海淀區(qū)校級期中）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A．10 B．15 C．17 D．19【分析】等腰三角形條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【解答】解：①當腰是3，底邊是7時，3+3＜7，不滿足三角形的三邊關系，因此舍去．②當?shù)走吺?，腰長是7時，3+7＞7，能構成三角形，則其周長＝3+7+7＝17．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這是解題的關鍵．【解題技巧提煉】1.三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．2.在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．3.在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，容易忽略．●題型四三角形的高、中線與角平分線★★三角形的高【例題6】如圖：（1）在△ABC中，BC邊上的高是．（2）在△AEC中，AE邊上的高是．（3）在△FEC中，EC邊上的高是．（4）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，則S△AEC＝cm2，CE＝cm．【分析】（1）（2）（3）三角形的高即從三角形的頂點向對邊引垂線，頂點和垂足間的線段；（4）在△AEC中，要看作AE是底，CD是AE上的高，由面積公式計算，也可把CE看作底，AB是高，故也可求得CE的長．【解答】解：（1）在△ABC中，BC邊上的高是AB；（2）在△AEC中，AE邊上的高是CD；（3）在△FEC中，EC邊上的高是FE；（4）∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC=12AE?CD＝3cm∵S△AEC=12AB?CE＝3cm∴CE＝3cm．故S△AEC＝3cm2，CE＝3cm．【點評】本題考查了三角形高線的概念及直角三角形的面積公式．★★三角形的中線【例題7】（2022?雁塔區(qū)校級四模）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．22【分析】根據(jù)線段中點的概念得到BD＝CD，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【解答】解：∵點D是BC邊上的中點，∴BD＝CD，∵△ACD的周長為20，∴AC+AD+CD＝20，∵AC＝8，∴AD+CD＝AD+BD＝12，∵AB＝10，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝22，故選：D．【點評】本題考查的是三角形的中線的概念，掌握三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線是解題的關鍵．★★三角形的角平分線【例題8】（2021秋?大興區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分線，則∠DAC＝，∠BCE＝，∠ACB＝．【分析】由AD平分∠ABC，得∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°．由CE平分∠BCA【解答】解：∵AD平分∠ABC，∴∠DAC=1∵CE平分∠BCA，∴∠BCE＝∠ACE=1∴∠BCE＝40°，∠BCA＝2∠ACE＝2×40°＝80°．故答案為：30°、40°、80°．【點評】本題主要考查角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解決本題的關鍵．★★三角形的角平分線、中線、高的綜合運用【例題9】（2022春?惠州期末）如圖所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．試求：（1）AD的長；（2）△ABE的面積；（3）△ACE和△ABE的周長的差．【分析】（1）利用“面積法”來求線段AD的長度；（2）△AEC與△ABE是等底同高的兩個三角形，它們的面積相等；（3）由于AE是中線，那么BE＝CE，于是△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化簡可得△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC﹣AB，易求其值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的高，∴12AB?AC=12BC∴AD=AB?ACBC=6×810=4.8（（2）方法一：如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴S△ABC=12AB?AC=12又∵AE是邊BC的中線，∴BE＝EC，∴12BE?AD=12EC?AD，即S△ABE＝S∴S△ABE=12S△ABC＝12（cm∴△ABE的面積是12cm2．方法二：因為BE=12BC＝5，由（1）知所以S△ABE=12BE?AD=12∴△ABE的面積是12cm2．（3）∵AE為BC邊上的中線，∴BE＝CE，∴△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周長的差是2cm．【點評】本題考查了中線的定義、三角形周長的計算．解題的關鍵是利用三角形面積的兩個表達式相等，求出AD．【解題技巧提煉】1.從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．2.三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．3.三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線，三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個小三角形．4.三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．5.銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．●題型五三角形的穩(wěn)定性【例題10】（2022春?淅川縣期末）如圖所示，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的依據(jù)是．【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點評】此題考查了三角形的性質，關鍵是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答．【例題11】（2022?興寧區(qū)校級開學）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【分析】所有圖形里，具有穩(wěn)定性的是三角形．據(jù)此作答即可．【解答】解：所有圖形里，只有三角形具有穩(wěn)定性．故選：C．【點評】本題考查三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，屬于基礎題，比較簡單．【解題技巧提煉】1.當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應用在實際生活中．2．四邊形具有不穩(wěn)定性.◆題型一三角形的有關概念1．（2021春?郟縣期末）如圖，圖中有個三角形，∠B的對邊是．【分析】根據(jù)三角形的定義以及三角形的內(nèi)角的對邊的定義解決此題．【解答】解：由圖可知：三角形有△ABD、△ABC、△ADC，共3個，∠B的對邊是AD、AC．故答案為：3，AD、AC．【點評】本題主要考查三角形的定義以及三角形的內(nèi)角的對邊的定義，熟練掌握三角形的定義以及三角形的內(nèi)角的對邊的定義是解決本題的關鍵．2．（2022春?方城縣期末）如圖所示，點D，E分別是△ABC的邊BC，AB上的點，分別連結AD，DE，則圖中的三角形一共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)圖形即可確定三角形的個數(shù)．【解答】解：圖中的三角形有：△BDE，△AED，△ACD，△BDA，△ABC，共有5個三角形，故選：C．【點評】本題考查了三角形的定義，理解三角形的含義是解題的關鍵．◆題型二三角形的分類3．（2022?石家莊二模）下列圖形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、第三個角的度數(shù)是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等邊三角形，不符合題意；B、第三個角的度數(shù)是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合題意；C、第三個角的度數(shù)是180°﹣30°﹣30°＝120°，是鈍角三角形，不符合題意；D、第三個角的度數(shù)是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合題意；故選：B．【點評】此題考查三角形，關鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出第三個角的度數(shù)解答．4．（2021秋?東光縣期中）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（）A．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形 B．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形 C．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形 D．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形【分析】根據(jù)三角形按邊的分類可直接選出答案．【解答】解：三角形根據(jù)邊分類如下：三角形不等邊三角形等腰三角形故選：D．【點評】此題主要考查了三角形的分類，關鍵是掌握分類方法．三角形按邊的關系分為兩類：不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分為底和腰不等的等腰三角形以及等邊三角形．另外，三角形還可以按角進行分類．◆題型三三角形的三邊關系5．（2021秋?八公山區(qū)期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4cm和2cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：①5cm為腰，2cm為底，此時周長為12cm；②5cm為底，2cm為腰，則兩邊和小于第三邊無法構成三角形，故舍去．∴其周長是12cm．故選：D．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質及三角形的三邊關系的掌握情況．已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．6．（2022?南京模擬）已知三角形的三邊長分別為3，x，6，則三角形的周長y的取值范圍是．【分析】根據(jù)三角形的三邊關系即可求解．【解答】解：∵三角形的三邊長分別為3、x、6，∴第三邊的取值為6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，∵三角形的周長y＝3+6+x＝9+x，12＜9+x＜18，∴12＜y＜18．故答案為：12＜y＜18．【點評】此題主要考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟知三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊．◆題型四三角形的高、中線與角平分線7．（2022?南京模擬）下列各組圖形中，BD是△ABC的高的圖形是（）A． B． C． D．【分析】三角形的高即從三角形的頂點向對邊引垂線，頂點和垂足間的線段．根據(jù)概念即可得到答案．【解答】解：根據(jù)三角形高的定義可知，只有選項B中的線段BD是△ABC的高，故選：B．【點評】本題考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解題的關鍵．8．（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（）A．三角形的三條高的交點在三角形內(nèi) B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點 C．直角三角形的三條高的交點在直角頂點 D．三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點【分析】根據(jù)三角形的角平分線，中線，高的定義一一判斷即可．【解答】解：A、銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)，故本選項說法錯誤，符合題意；B、三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意；C、直角三角形的三條高的交點在直角頂點，故本選項說法正確，不符合題意；D、三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查三角形的角平分線，中線和高，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．注意：銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形三條高的交點是直角頂點；鈍角三角形三條高所在直線相交于三角形外一點．9．（2022?南京模擬）如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為12，則△BCD的周長是．【分析】先根據(jù)三角形的中線、線段中點的定義可得AD＝CD，再根據(jù)三角形的周長公式即可求出結果．【解答】解：∵BD是△ABC的中線，即點D是線段AC的中點，∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周長為12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．則△BCD的周長是BC+BD+CD＝3+7＝10．故答案為：10．【點評】本題主要考查了三角形的中線、線段中點的定義等知識點，掌握線段中點的定義是解題關鍵．10．如圖，AE是△ABC的角平分線，AD是∠EAC的角平分線，若∠BAC=80°，則∠EAD=.【分析】根據(jù)三角形的角平分線的定義即可求解．【解答】解：∵∠BAC=80°，AE是△ABC的角平分線，∴∠EAC==1∵AD是△AEC的角平分線，∴∠EAD==1故選：C．【點評】本題考查了三角形的角平分線的定義，解決本題的關鍵是熟練運用角平分線定義．11．（2021秋?金安區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB＝5，AC＝3．（1）邊BC的取值范圍是；（2）△ABD與△ACD的周長之差為；（3）在△ABC中，若AB邊上的高為2，求AC邊上的高．【分析】（1）利用三角形三邊關系定理，先確定第三邊的范圍即可；（2）根據(jù)題意，AD是△ABC的邊BC上的中線，可得BD＝CD，進而得出△ABD的周長＝AB+BD+AD，△ACD的周長＝AC+CD+AD，相減即可得到周長差；（3）根據(jù)三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，列出等式，解答出即可；【解答】（1）解：∵AB＝5，AC＝3．∴2＜BC＜8，故答案為：2＜BC＜8；（2）解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△ABD與△ACD的周長之差為：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣CD﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2；故答案為：2；（3）解：設AC邊上的高為h，則S△ABC=1解得，h=10答：AC邊上的高103【點評】本題主要考查了三角形的中線、高和三角形面積的求法，掌握三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半．◆題型五三角形的穩(wěn)定性12．（2022春?香坊區(qū)校級期末）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（）A．正方形 B．長方形 C．梯形 D．三角形【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性判斷即可．【解答】解：A、正方形不具有穩(wěn)定性，本選項不符合題意；B、長方形不具有穩(wěn)定性，本選項不符合題意；C、梯形不具有穩(wěn)定性，本選項不符合題意；D、三角形具有穩(wěn)定性，本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的性質，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．13．（2022?上杭縣校級開學）下列生活實物中，沒有應用到三角形的穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性判斷即可．【解答】解：A、應用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；B、應用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；C、應用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；D、沒有應用到三角形的穩(wěn)定性，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的性質，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．1．若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有對．【分析】以BC為公共邊的“共邊三角形”有：△BDC與△BEC、△BDC與△BAC、△BEC與△BAC三對．【解答】解：△BDC與△BEC、△BDC與△BAC、△BEC與△BAC共三對．故答案為：3．【點評】本題考查了三角形的定義，學生全面準確的識圖能力，正確的識別圖形是解題的關鍵．2．（2022秋?烏魯木齊月考）如圖，以點A為頂點的三角形有個，它們分別是．【分析】根據(jù)三角形的定義得出答案即可．【解答】解：以點A為頂點的三角形有4個，它們分別是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．故答案為：4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．【點評】此題主要考查了三角形的定義，得出三角形個數(shù)是解題關鍵．3．（2022春?館陶縣期末）有下列兩種圖示均表示三角形分類，則正確的是（）A．①對，②不對 B．②對，①不對 C．①、②都不對 D．①、②都對【分析】根據(jù)三角形的分類可直接選出答案．【解答】解：等腰三角形包括等邊三角形，故①的分類不正確；圖②中的三角形的分類正確．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的分類，關鍵是掌握分類方法．按邊的相等關系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．4．（2022春?遂寧期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上的一點，CF⊥AD于H．下列判斷正確的是（）A．線段AD是△ABE的角平分線 B．線段CH為△ACD邊AD上的高 C．線段BE是△ABD邊AD上的中線 D．線段AH為△ABC的角平分線【分析】根據(jù)三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進行判斷．連接三角形的頂點和對邊中點的線段即為三角形的中線；三角形的一個角的角平分線和對邊相交，頂點和交點間的線段叫三角形的角平分線；從三角形的一個頂點向對邊引垂線，頂點和垂足間的線段叫三角形的高．【解答】解：A、，由∠1＝∠2，根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AG是△ABE的角平分線，故本選項錯誤；B、根據(jù)三角形的高的概念，知CH為△ACD的邊AD上的高，故本選項正確；C、根據(jù)三角形的中線的概念，知BG是△ABD的邊AD上的中線，故本選項錯誤；D、根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AD是△ABC的角平分線，故本選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分線、中線、高都是線段，且都是頂點和三角形的某條邊相交的交點之間的線段．透徹理解定義是解題的關鍵．5．（2022春?南召縣期末）如圖，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中線和角平分線，下列表達式中錯誤的是（）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE【分析】根據(jù)三角形的高、中線和角平分線的定義即可求解．【解答】解：A、BE是△ABC的中線，所以AE＝CE，故本表達式正確；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表達式正確；C、CF是△ABC的角平分線，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表達式正確．D、由三角形的高、中線和角平分線的定義無法得出∠CAD＝∠CBE，故本表達式錯誤；故選：D．【點評】本題考查了三角形的高、中線和角平分線的定義，熟記定義是解題的關鍵．6．（2022春?信都區(qū)期末）如圖，BE是某個三角形的高，則這個三角形是（）A．△ABE B．△ABD C．△CBE D．△ABC【分析】根據(jù)圖形可知：DE⊥AB，結合三角形高的定義作出選項．【解答】解：結合圖形可知，只有DE⊥AB，所以BE是△ABE的高．故選：A．【點評】本題主要考查了三角形的角平分線、中線和高．從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．7．（2022春?市中區(qū)期末）如圖，窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，其所運用的幾何原理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)點A、B、O組成一個三角形，利用三角形的穩(wěn)定性解答．【解答】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤將其固定，正好形成三角形的形狀，所以，主要運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．故選：D．【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用．8．（2022春?南陽期末）下列生產(chǎn)和生活實例：①用人字架來建筑房屋；②用窗鉤來固定窗扇；③在柵欄門上斜釘著一根木條；④商店的推拉活動防盜門等．其中，用到三角形的穩(wěn)定性的有（填寫序號）．【分析】根據(jù)生活常識對各小題進行判斷即可得解．【解答】解：①用“人”字梁建筑屋頂，是利用三角形具有穩(wěn)定性，符合題意；②用窗鉤來固定窗扇，是利用三角形具有穩(wěn)定性，符合題意；③在柵欄門上斜釘著一根木條，是利用三角形具有穩(wěn)定性，符合題意；④商店的推拉防盜鐵門，是用四邊形的不穩(wěn)定性，不是用三角形具有穩(wěn)定性，不符合題意；綜上所述：用到三角形穩(wěn)定性的是①②③．故答案為：①②③．【點評】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，比較簡單，要熟悉生活中的物品的形狀．9．（2022春?雨花區(qū)校級期末）如圖，BD是△ABC的中線，AB＝8，BC＝5，△ABD和△BCD的周長的差是．【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得AD＝CD，然后求出△ABD和△BCD的周長差＝AB﹣BC，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【解答】解：∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周長差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，＝AB﹣BC，∵AB＝8，BC＝5，∴△ABD和△BCD的周長差＝8﹣5＝3．答：△ABD和△BCD的周長差為3．故答案為：3．【點評】本題考查了三角形的中線的定義，是基礎題，數(shù)據(jù)概念并求出△ABD和△BCD的周長差＝AB﹣BC是解題的關鍵．10．（2022春?包頭期中）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c為奇數(shù)，則△ABC的周長為．【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；可求第三邊長的范圍，再根據(jù)奇數(shù)的定義得出答案．【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，解得：a＝7，b＝2，由三角形三邊關系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，又∵c為奇數(shù)，∴c＝7，∴△ABC的周長為7+2+7＝16．故答案為：16．【點評】本題考查了三角形三邊關系以及非負數(shù)的性質，此題實際上就是根據(jù)三角形三邊關系定理列出不等式，然后解不等式即可．11．（2021春?惠安縣期末）如圖，直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長為．【分析】根據(jù)直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，得AD+AE＝BD+CE+BC＝2，進而解決此題．【解答】解：由題意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查三角形的周長，理解題干中直線DE將△ABC分成等周長的兩部分是解決關鍵．12．（2022春?沭陽縣校級月考）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，則DE＝．【分析】由題意，△ABC中，AD為中線，可知△ABD和△ADC的面積相等；利用面積相等，問題可求．【解答】解：∵△ABC中，AD為中線，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，∴12?AB?ED=12?AC∴12×3×ED∴ED＝2，故答案為：2．【點評】此題考查三角形的中線，三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分．本題的解答充分利用了面積相等這個知識點．13．觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有個三角形，圖②中共有個三角形，圖③中共有個三角形．（2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有個三角形．【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出三角形個數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求出即可．【解答】解：（1）如圖所示：圖①中一共有3個三角形，圖②中共有6個三角形，圖③中共有10個三角形．故答案為：3，6，10；（2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，∴第n個圖形共有：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故答案為：(n+1)(n+2)2【點評】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字是連續(xù)整數(shù)的和是解題關鍵．14．（2022春?榆樹市期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ABD的周長比△ADC的周長多1，AB與AC的和為11．（1）求AB、AC的長；（2）求BC邊的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)三角形中線的定義，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周長之差也就是AB與AC的差，然后聯(lián)立關于AB、AC的二元一次方程組，利用加減消元法求解即可．（2）根據(jù)三角形三邊關系解答即可．【解答】解：（1）∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長﹣△ADC的周長＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝11②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝10，解得AC＝5，∴AB和AC的長分別為：AB＝6，AC＝5；（2）∵AB＝6，AC＝5，∴1＜BC＜11．【點評】本題考查了三角形的三邊關系，三角形的中線定義，二元一次方程組的求解，利用加減消元法求解是解題的關鍵．15．（2022春?嵩縣期末）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，（1）填入“＞、＜或＝”號：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【分析】（1）利用三邊關系直接寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）的判斷去掉絕對值符號后合并同類項即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是一個三角形的三邊長，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．故答案為：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．【點評】考查了三角形三邊關系，絕對值的性質，整式的加減，關鍵是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．16．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中線BD把三角形的周長分為15cm和30cm的兩個部分，求：三角形的三邊長．【分析】本題要分情況進行討論：（1）等腰三角形的腰與另一邊腰的中點線段長度的和是15cm；（2）等腰三角形的腰與另一邊腰的中點線段長度的是30cm；據(jù)此解答．【解答】解：如圖：（1）當AB與AD的和是15cm時，AD＝15÷（1+2）＝15÷3＝5（cm），所以AB＝AC＝5×2＝10（cm），BC＝15+30﹣10×2＝25（cm）（不合題意舍去）；（2）當AB與AD的和是30cm時，AD＝30÷（1+2）＝30÷3＝10（