專題03二次根式規(guī)律探究(原卷版+解析)2

專題03二次根式規(guī)律探究專題說明專題說明以二次根式的運(yùn)算為載體的規(guī)律探究題是中考常考題型之一,這類題新穎、獨(dú)特、綜合性強(qiáng).解此類題先要通過觀察題目中所給出的若干個與二次根式有關(guān)的算式,從中尋找它們的共性,進(jìn)而歸納、猜想出一般的結(jié)論,再利用探究的結(jié)論解決新的問題.【典例分析】【典例1】（2021春?西山區(qū)期末）閱讀材料，回答問題：觀察下列各式＝1+﹣＝1；；．請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題：（1）猜想：＝＝；（2）歸納：根據(jù)你的觀察、猜想，寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：＝＝；（3）應(yīng)用：用上述規(guī)律計(jì)算．【變式1-1】（2021?白銀模擬）觀察下列各式：＝1+＝1+（1﹣）；＝1+＝1+（﹣）；＝1+＝1+（﹣）……請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：+++…+其結(jié)果為．【變式1-2】（2021春?利辛縣期末）觀察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題①猜想：＝＝；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：＝＝；③應(yīng)用：計(jì)算．【典例2】（2021秋?思明區(qū)校級期末）觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：＝2；＝3；＝4；…（1）填空：＝5，＝6；（2）計(jì)算（寫出計(jì)算過程）：；（3）請用含自然數(shù)n（n≥1）的代數(shù)式把你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來．【變式2-1】（2022春?黃梅縣期中）小明做數(shù)學(xué)題時，發(fā)現(xiàn)＝；＝；＝；＝；…；按此規(guī)律，若＝（a，b為正整數(shù)），則a+b＝．【變式2-2】（2020秋?欒城區(qū)期末）在學(xué)習(xí)二次根式時，思思同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個這樣的規(guī)律＝2；＝3；＝4，假設(shè)說思思發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的，請你寫出＝4后面連續(xù)的一個等式．【變式2-3】（2021春?惠州期末）觀察下列各式及其驗(yàn)算過程：＝2，驗(yàn)證：＝＝＝2；＝3，驗(yàn)證：＝＝＝3．（1）按照上述兩個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2021春?饒平縣校級期中）觀察分析，探求規(guī)律，然后填空：，2，，，，…，（請?jiān)跈M線上寫出第100個數(shù)）．2．（2021春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）觀察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此規(guī)律，第8個等式的是．3．（2022春?舒城縣校級月考）觀察下列運(yùn)算：①由（+1）（﹣1）＝1，得；②由（+）（﹣）＝1，得；③由，得；…（1）由上述規(guī)律，直接化簡：＝；（2）通過觀察你得出什么規(guī)律？用含n（n≥0且為整數(shù)）的式子表示出來＝﹣；（3）利用（2）中你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算＝．4．（2021春?霍邱縣期中）觀察與思考：①2＝；＝；．式①驗(yàn)證：2＝＝＝＝；式②驗(yàn)證：3＝＝＝＝．（1）仿照上述式①、式②的驗(yàn)證過程，請寫出式③的驗(yàn)證過程；（2）猜想5＝；（3）試用含n（n為自然數(shù)，且n≥2）的等式表示這一規(guī)律，并加以驗(yàn)證．5.（2020秋?安國市期中）觀察下列各式及驗(yàn)證過程＝，驗(yàn)證：＝＝＝；＝，驗(yàn)證：＝＝＝；＝，驗(yàn)證：＝＝＝；（1）按照上述三個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想＝；（2）按照上述三個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；（3）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n≥2的自然數(shù)）表示的等式，并進(jìn)行驗(yàn)證．6．（2020春?官渡區(qū)期末）觀察下列各式：，，，請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，解答下列問題：（1）歸納規(guī)律：＝；（n≥1，且n為整數(shù)）（直接寫出結(jié)果）（2）利用規(guī)律計(jì)算．7．（2022秋?南山區(qū)校級期中）著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請先閱讀下列材料，再解決問題：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號．例如：＝＝＝＝1+．解決問題：（1）在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：＝＝③①：，②：，③．（2）根據(jù)上述思路，化簡并求出+的值．8．（2021春?蒙陰縣期中）觀察下列等式：第1個等式：a1＝＝﹣1；第2個等式：a2＝＝﹣；第3個等式：a3＝＝2﹣；第4個等式：a4＝＝﹣2；…按上述規(guī)律，回答以下問題：（1）請寫出第n個等式：an＝；（2）求a1+a2+a3+…+an的值．9．（2022秋?祁東縣校級期中）【閱讀理解】閱讀下列材料，然后解答下列問題：我們知道形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要先把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)，如：，，這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）化簡：；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：的值．10．（2022秋?浦東新區(qū)期中）觀察下列運(yùn)算：（1）由，得﹣1（2）由，得……問題：（1）通過觀察你得出什么規(guī)律？用含n的式子表示出來；（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．【能力提升】11．（2020春?微山縣期末）在學(xué)完二次根式的乘除法之后，小明借助計(jì)算機(jī)完成了以下計(jì)算：＝10，＝100，＝1000，＝10000，…．通過計(jì)算，小明發(fā)現(xiàn)了其中規(guī)律，那么按照上述規(guī)律，計(jì)算的結(jié)果是（）A．102020 B．102021 C．102022 D．10201912．（2020?曾都區(qū)模擬）請先在草稿紙上計(jì)算下列四個式子的值：①；②；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的值為（）A．350 B．351 C．352 D．35313．（2022春?香河縣期中）觀察下列運(yùn)算：（1）由（+1）（﹣1）＝1，得＝﹣1；（2）由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；（3）由（2+）（2﹣）＝1，得＝；（4）把上述規(guī)律用含n的式子表示出來．14．（2022春?翔安區(qū)期末）觀察下列一組等式，然后解答后面的問題（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1…（1）觀察上面規(guī)律，計(jì)算下面的式子+++…+（2）利用上面的規(guī)律比較﹣與﹣的大?。?5．（2022春?東莞市校級期中）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．OA22＝（）2+1＝2，s1＝；OA32＝12+（）2＝3，S2＝；…OA42＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）請用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：OAn2＝，Sn＝．（2）若一個三角形的面積是2，計(jì)算說明它是第幾個三角形？（3）求出S12+S22+S32+…+S92的值．16．（2021春?饒平縣校級期末）觀察下列等式：回答問題：①＝1+﹣＝1②＝1+﹣＝1③＝1+﹣＝1，…（1）根據(jù)上面三個等式的信息，猜想＝；（2）請按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n表示的等式；（3）驗(yàn)證你的結(jié)果．17．（2020秋?嘉祥縣期末）探索規(guī)律觀察下列各式及驗(yàn)證過程：n＝2時，有式①：；n＝3時，有式②：；式①驗(yàn)證：式②驗(yàn)證：（1）針對上述式①、式②的規(guī)律，請寫出n＝4時的式子；（2）請寫出滿足上述規(guī)律的用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并加以驗(yàn)證．專題03二次根式規(guī)律探究專題說明專題說明以二次根式的運(yùn)算為載體的規(guī)律探究題是中考?？碱}型之一,這類題新穎、獨(dú)特、綜合性強(qiáng).解此類題先要通過觀察題目中所給出的若干個與二次根式有關(guān)的算式,從中尋找它們的共性,進(jìn)而歸納、猜想出一般的結(jié)論,再利用探究的結(jié)論解決新的問題.【典例分析】【典例1】（2021春?西山區(qū)期末）閱讀材料，回答問題：觀察下列各式＝1+﹣＝1；；．請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題：（1）猜想：＝＝；（2）歸納：根據(jù)你的觀察、猜想，寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：＝＝；（3）應(yīng)用：用上述規(guī)律計(jì)算．【答案】（1）1+﹣，1（2）1+﹣，1+（3）9【解答】解：（1）根據(jù)題意可得：＝1+＝1；故答案為：1+﹣，1；（2）根據(jù)題意可得：＝1+﹣＝1+；故答案為：＝1+﹣＝1+；（3）＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+???+1+＝10﹣＝9．【變式1-1】（2021?白銀模擬）觀察下列各式：＝1+＝1+（1﹣）；＝1+＝1+（﹣）；＝1+＝1+（﹣）……請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：+++…+其結(jié)果為．【答案】2019【解答】解：由題意可得：原式＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+……+1+（﹣）＝2019+1﹣＝2019．故答案為：2019．【變式1-2】（2021春?利辛縣期末）觀察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題①猜想：＝＝；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：＝＝；③應(yīng)用：計(jì)算．【答案】①1+﹣，1②1+﹣，③1【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案為：1+﹣，1；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：＝1+﹣＝；③應(yīng)用：＝＝＝1+﹣＝1．【典例2】（2021秋?思明區(qū)校級期末）觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：＝2；＝3；＝4；…（1）填空：＝5，＝6；（2）計(jì)算（寫出計(jì)算過程）：；（3）請用含自然數(shù)n（n≥1）的代數(shù)式把你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：＝5；＝6；故答案為：5；6；（2）＝＝＝＝2015；（3）歸納總結(jié)得：＝（n+1）（自然數(shù)n≥1）．【變式2-1】（2022春?黃梅縣期中）小明做數(shù)學(xué)題時，發(fā)現(xiàn)＝；＝；＝；＝；…；按此規(guī)律，若＝（a，b為正整數(shù)），則a+b＝．【答案】【解答】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：a＝8，b＝82+1＝65，則a+b＝8+65＝73．故答案為：73．【變式2-2】（2020秋?欒城區(qū)期末）在學(xué)習(xí)二次根式時，思思同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個這樣的規(guī)律＝2；＝3；＝4，假設(shè)說思思發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的，請你寫出＝4后面連續(xù)的一個等式．【答案】＝5【解答】解：第1個等式為＝＝2；第2個等式為＝＝3；第3個等式＝＝4，所以第4個等式為＝＝5．故答案為：＝5．【變式2-3】（2021春?惠州期末）觀察下列各式及其驗(yàn)算過程：＝2，驗(yàn)證：＝＝＝2；＝3，驗(yàn)證：＝＝＝3．（1）按照上述兩個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．【解答】解：（1）∵＝2，＝3，∴＝4＝4＝，驗(yàn)證：＝＝，正確；（2）由（1）中的規(guī)律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴＝，驗(yàn)證：＝＝；正確；【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2021春?饒平縣校級期中）觀察分析，探求規(guī)律，然后填空：，2，，，，…，（請?jiān)跈M線上寫出第100個數(shù)）．【答案】10．【解答】解：因?yàn)?＝，2＝＝，所以此列數(shù)為：，，，，…，則第100個數(shù)是：＝10．故答案是：10．2．（2021春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）觀察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此規(guī)律，第8個等式的是．【答案】＝3﹣2【解答】解：通過觀察等式的中被開方數(shù)與等式的序號的關(guān)系找到規(guī)律為：第n個式子為：，∴第8個等式的是：＝，即：＝3﹣2．故答案為：＝3﹣2．3．（2022春?舒城縣校級月考）觀察下列運(yùn)算：①由（+1）（﹣1）＝1，得；②由（+）（﹣）＝1，得；③由，得；…（1）由上述規(guī)律，直接化簡：＝；（2）通過觀察你得出什么規(guī)律？用含n（n≥0且為整數(shù)）的式子表示出來＝﹣；（3）利用（2）中你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算＝．【解答】解：（1）∵（+2）（﹣2）＝1，∴＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）∵（+）（﹣）＝1，∴＝﹣，故答案為：﹣；（3）＝2﹣2+2﹣2+4﹣2+2﹣4＝2﹣2＝6﹣2，故答案為：6﹣2．故答案為：a2b．4．（2021春?霍邱縣期中）觀察與思考：①2＝；＝；．式①驗(yàn)證：2＝＝＝＝；式②驗(yàn)證：3＝＝＝＝．（1）仿照上述式①、式②的驗(yàn)證過程，請寫出式③的驗(yàn)證過程；（2）猜想5＝；（3）試用含n（n為自然數(shù)，且n≥2）的等式表示這一規(guī)律，并加以驗(yàn)證．【解答】解：（1）4＝＝＝＝；（2）5＝，故答案為：；（3）n＝；證明：n＝＝＝＝．5.（2020秋?安國市期中）觀察下列各式及驗(yàn)證過程＝，驗(yàn)證：＝＝＝；＝，驗(yàn)證：＝＝＝；＝，驗(yàn)證：＝＝＝；（1）按照上述三個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想＝；（2）按照上述三個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；（3）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n≥2的自然數(shù)）表示的等式，并進(jìn)行驗(yàn)證．【答案】（1）（2）略（3）【解答】解：（1）猜想＝，驗(yàn)證：＝＝＝；故答案為：；（2）猜想＝，驗(yàn)證：＝＝＝；（3）＝；驗(yàn)證：＝＝＝6．（2020春?官渡區(qū)期末）觀察下列各式：，，，請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，解答下列問題：（1）歸納規(guī)律：＝；（n≥1，且n為整數(shù)）（直接寫出結(jié)果）（2）利用規(guī)律計(jì)算．【答案】（1）1+﹣（2）2019【解答】解：（1）觀察所給三個等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：歸納規(guī)律：＝1+﹣；（n≥1，且n為整數(shù)）故答案為：1+﹣；（2）根據(jù)以上規(guī)律可得：原式＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2019+（1﹣）＝2019．7．（2022秋?南山區(qū)校級期中）著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請先閱讀下列材料，再解決問題：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號．例如：＝＝＝＝1+．解決問題：（1）在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：＝＝③①：，②：，③．（2）根據(jù)上述思路，化簡并求出+的值．【解答】解：（1）由題意得，＝＝3+，則①＝5，②＝，③＝3+，故答案為：①5；②；③3+；（2）+＝＝＝5﹣＝7．8．（2021春?蒙陰縣期中）觀察下列等式：第1個等式：a1＝＝﹣1；第2個等式：a2＝＝﹣；第3個等式：a3＝＝2﹣；第4個等式：a4＝＝﹣2；…按上述規(guī)律，回答以下問題：（1）請寫出第n個等式：an＝；（2）求a1+a2+a3+…+an的值．【解答】解：（1）an＝＝﹣，故答案為：﹣；（2）a1+a2+a3+…+an，＝﹣1+﹣+…+﹣，＝﹣1．9．（2022秋?祁東縣校級期中）【閱讀理解】閱讀下列材料，然后解答下列問題：我們知道形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要先把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)，如：，，這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）化簡：；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：的值．【解答】解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是﹣，故答案為：，﹣；（2）＝＝＝3+4；（3）＝（﹣1+﹣+﹣+???+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2022﹣1＝2021．10．（2022秋?浦東新區(qū)期中）觀察下列運(yùn)算：（1）由，得﹣1（2）由，得……問題：（1）通過觀察你得出什么規(guī)律？用含n的式子表示出來；（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．【解答】解：（1）＝﹣（n為正整數(shù)）；（2）原式＝（﹣1++﹣+???+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2019﹣1＝2018．【能力提升】11．（2020春?微山縣期末）在學(xué)完二次根式的乘除法之后，小明借助計(jì)算機(jī)完成了以下計(jì)算：＝10，＝100，＝1000，＝10000，…．通過計(jì)算，小明發(fā)現(xiàn)了其中規(guī)律，那么按照上述規(guī)律，計(jì)算的結(jié)果是（）A．102020 B．102021 C．102022 D．102019【答案】B【解答】解：∵＝10，＝100＝102，＝1000＝103，＝10000＝104，…．∴＝102021．故選：B．12．（2020?曾都區(qū)模擬）請先在草稿紙上計(jì)算下列四個式子的值：①；②；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的值為（）A．350 B．351 C．352 D．353【答案】B【解答】解：＝1；＝1+2＝3；＝1+2+3＝6；＝1+2+3+4＝10，所以＝1+2+3+…+26＝＝351．故選：B．13．（2022春?香河縣期中）觀察下列運(yùn)算：（1）由（+1）（﹣1）＝1，得＝﹣1；（2）由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；（3）由（2+）（2﹣）＝1，得＝；（4）把上述規(guī)律用含n的式子表示出來．【解答】解：（3）由（2+）（2﹣）＝1，得＝2﹣，故答案為：2﹣；（4）觀察規(guī)律得：由（n+）（n﹣）＝1，得＝n﹣，故答案為：＝n﹣．14．（2022春?翔安區(qū)期末）觀察下列一組