專題15特殊三角形(精講精練)(原卷版+解析)

第15講特殊三角形（精講）理解線段垂直平分線的概念探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上了解等腰三角形的概念探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合探索并證明等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形（或有一個(gè)角是60°的等腰三角形）是等邊三角形了解直角三角形的概念探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半探索勾股定理、勾股定理的逆定理能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理了1/2解三角形重心的概念TOC\o"1-2"\h\u第15講特殊三角形（精講） 1考點(diǎn)1：等腰三角形及其計(jì)算 2考點(diǎn)2：等邊三角形及其計(jì)算 15考點(diǎn)3：角平分線與垂直平分線 26考點(diǎn)4：直角三角形及其計(jì)算 40課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 62分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 63考點(diǎn)1：等腰三角形及其計(jì)算（1）性質(zhì) ①等邊對(duì)等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合;③對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，直線AD是對(duì)稱軸.（2）判定①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②等角對(duì)等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.｛等腰三角形的性質(zhì)★｝如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿上一點(diǎn)往地面拉兩條長(zhǎng)度相等的固定繩與，當(dāng)固定點(diǎn)，到桿腳的距離相等，且，，在同一直線上時(shí)，電線桿就垂直于，工程人員這種操作方法的依據(jù)是A．等邊對(duì)等角 B．等角對(duì)等邊 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”｛等腰三角形的性質(zhì)★｝如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)、，若，，則的值為A．7 B．8 C．9 D．10｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在中，平分，，，，則的周長(zhǎng)為A． B． C． D．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，已知，，，且，則．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝中，，且上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成了和的兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝如圖，在中，，，點(diǎn)在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)成為等腰三角形時(shí)，其頂角的度數(shù)是．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，在軸上確定一點(diǎn)，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有個(gè)．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)、可在槽中滑動(dòng)．若，則的度數(shù)是．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是，則一個(gè)底角為．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝在中，，，，在射線上有一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形，則．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有個(gè)．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)，，若，，，則．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，以等邊的邊為腰作等腰，使，連接，若，則的度數(shù)為．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，中，平分，平分，過(guò)作直線平行于，交、于、．求證：（1）是等腰三角形；（2）．（2021?本溪）如圖，在中，，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，則的周長(zhǎng)為A． B． C． D．4（2020?福建）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于A．10 B．5 C．4 D．3（2020?自貢）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是A． B． C． D．（2021?牡丹江）過(guò)等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為．（2021?紹興）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)是．考點(diǎn)2：等邊三角形及其計(jì)算（1）性質(zhì)①邊角關(guān)系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對(duì)稱軸.（2）判定①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；③任一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形.｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，已知等邊三角形紙片，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)的位置，且，則．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝將一張等邊三角形紙片ABC和一塊直角三角板DBC（其中∠DBC＝45°）按如圖所示的位置擺放．若BD＝，則點(diǎn)A和點(diǎn)D之間的距離為．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，在中，，，是等邊三角形，若，則線段的長(zhǎng)為．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖：等邊三角形中，，與相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是A． B． C． D．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，則下列結(jié)論：①點(diǎn)在的角平分線上；②；③；④．正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，在中，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在上，是等邊三角形，作的平分線交于點(diǎn)，若，，則8．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，已知是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，，則．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為A．3 B．4 C．5 D．6｛等邊三角形的性質(zhì)★★★｝如圖，在四邊形中，，，，，則的最大值是．（2020?銅仁市）已知等邊三角形一邊上的高為，則它的邊長(zhǎng)為A．2 B．3 C．4 D．（2018?福建）如圖，等邊三角形中，，垂足為，點(diǎn)在線段上，，則等于A． B． C． D．考點(diǎn)3：角平分線與垂直平分線①角平分線（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．即若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.（2）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的角平分線上．②垂直平分線（1）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.（2）判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，的垂直平分線交于，的中垂線交于，，則的度數(shù)為A． B． C． D．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，和的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，則的周長(zhǎng)是A． B． C． D．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，是三角形角平分線的交點(diǎn)，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，，，若，則的大小為A． B． C． D．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，的垂直平分線交于，的垂直平分線交與，則的周長(zhǎng)等于．｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，平分，若，，則的面積為．｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是A．20 B．30 C．50 D．100｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖，已知，，，，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是A．24 B．28 C．30 D．32｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，點(diǎn)是邊和的垂直平分線、的交點(diǎn)，若，則這兩條垂直平分線相交所成銳角的度數(shù)為A． B． C． D．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．（2020?懷化）在中，，平分，交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為A．3 B． C．2 D．6（2020?牡丹江）如圖，直線、、表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有A．一處 B．二處 C．三處 D．四處（2018?遼陽(yáng)）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，再分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線．若，，則點(diǎn)到的距離為A．5 B． C．4 D．（2021?福建）如圖，是的角平分線．若，，則點(diǎn)到的距離是．（2020?南京）如圖，線段、的垂直平分線、相交于點(diǎn)，若，則．考點(diǎn)4：直角三角形及其計(jì)算①直角三角形的性質(zhì)(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；(3)斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即a2＋b2＝c2.②直角三角形的判定(1)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則△ABC是Rt△；(2)如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.｛勾股定理★★｝下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是A．6，8，10 B．1，， C．0.3，0.4，0.5 D．，，｛勾股定理★★｝如圖，在四邊形中，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，則四邊形的面積為．｛勾股定理★★｝在中，，，是邊所在直線上的點(diǎn)，，，則．｛勾股定理★★｝如圖所示，四邊形中，，，，，，該四邊形的面積是．｛勾股定理★★｝如圖，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的著名的“趙爽弦圖”，其中、、和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理，設(shè)，，，取，，則．｛勾股定理★★｝如圖，，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，則陰影部分的面積為．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，，則的面積為．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝（2020?荊門）中，，，，為的中點(diǎn)，，則的面積為A． B． C． D．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，一棵直立的大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分線分別交AC，AB于D，E，連接BD，則CD的長(zhǎng)為．｛勾股定理★★｝在中，，，的對(duì)邊分別為，，，有以下4個(gè)條件：①；②；③；④，⑤；其中，能判斷是直角三角形的是（填序號(hào)）．｛勾股定理★★｝已知三角形的三邊分別為6，8，10，則最長(zhǎng)邊上的高等于．｛勾股定理★★｝我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是和，那么的值為．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，中，，是斜邊的中點(diǎn)．為邊上一點(diǎn)，且滿足．已知，．則的長(zhǎng)為．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線、交于點(diǎn)．若，，則169．｛勾股定理★★★｝如圖，在中，，以，和為邊向上作正方形和正方形和正方形，點(diǎn)落在上，若，空白部分面積為16，則圖中陰影部分的面積是．（2021?福建）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校與河對(duì)岸工廠之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得，，．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于A． B． C． D．（2019?陜西）如圖，在中，，，為邊上的中線，平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的度數(shù)為A． B． C． D．（2019?黃石）如圖，在中，，于點(diǎn)，和的角平分線相交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，，則A． B． C． D．（2021?資陽(yáng)）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形．連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．（2021?襄陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭jiā生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深幾何．”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺（2020?哈爾濱）在中，，為邊上的高，，，則的長(zhǎng)為．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．有一題目：“如圖，，平分，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若點(diǎn)在上，且滿足，求的度數(shù)．”小賢的解答：以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓交于點(diǎn)，連接，則，由圖形的對(duì)稱性可得．結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得．而小軍說(shuō)：“小賢考慮的不周全，還應(yīng)有另一個(gè)不同的值”．下列判斷正確的是A．小軍說(shuō)的對(duì)，且的另一個(gè)值是 B．小軍說(shuō)的不對(duì)，只有一個(gè)值 C．小賢求的結(jié)果不對(duì)，應(yīng)該是 D．兩人都不對(duì)，應(yīng)有3個(gè)不同值2．如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)、，若，，則的值為A．3 B．4 C．5 D．93．如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分，．下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論共有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，為邊上一點(diǎn)，且．點(diǎn)，分別在邊，上，且，為邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．5．如圖，，，，若，則A．3 B．4 C．5 D．66．已知：如圖，和都是等邊三角形，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，則下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等邊三角形．其中，正確的有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7．如圖，已知，直角頂點(diǎn)在上，已知，則A． B． C． D．8．如圖，沿直線折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，若，，則等于A． B． C． D．9．如圖所示，在中，，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．10．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的度數(shù)為A． B． C． D．11．具備下列條件的中，不是直角三角形的是A． B． C． D．12．如圖，分別以的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為A．4 B．8 C．10 D．1213．小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點(diǎn)短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)徑，口杯內(nèi)部高度，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是．A．9 B．10 C．11 D．1214．如圖，是的角平分線，，垂足為，，，則．15．如圖所示，三角形的面積為．垂直的平分線于點(diǎn)．則三角形的面積是．16．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④為等邊三角形；⑤．其中正確的有．（注把你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫上）17．如圖，已知中高恰好平分邊，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)且，下面的結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④．其中正確的為．（填序號(hào)）18．如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個(gè)，，并畫出了兩銳角的角平分線，及其交點(diǎn)．小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎樣變動(dòng)的形狀和大小，的度數(shù)是定值．這個(gè)定值為．19．如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作三個(gè)正方形、、．若，，則．1．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，已知，，則的長(zhǎng)為A．6 B．7 C．8 D．92．如圖，是的平分線，于，連接，若的面積為，則的面積為A． B． C． D．不能確定3．下列說(shuō)法正確的是①等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；②有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形；③三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；④有兩個(gè)內(nèi)角分別是和的三角形是等腰三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．已知，如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，連接、，，，下列結(jié)論：①為等腰三角形；②；③；④平分．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)是A． B． C．5 D．46．如圖，在中，，，分別平分和，且相交于，，于點(diǎn)，則下列結(jié)論①；②平分；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④7．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，則四邊形的面積為A．10 B．11 C．12 D．138．如圖，在中，，以的三邊為邊向外做正方形，正方形，正方形，連結(jié)，，作交于點(diǎn)，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則等于A． B． C． D．9．如圖，在中，，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，線段的最小值是A． B．1 C．2 D．10．如圖，在中，，，的角平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，則．11．如圖，在中，，、分別在邊、上，，，，，則線段的長(zhǎng)為．12．（1）小同學(xué)在網(wǎng)絡(luò)直播課中學(xué)習(xí)了勾股定理，他想把這一知識(shí)應(yīng)用在等邊三角形中：邊長(zhǎng)為的等邊三角形面積是（用含的代數(shù)式表示）；（2）小同學(xué)進(jìn)一步思考：是否可以將正方形剪拼成一個(gè)等邊三角形（不重疊、無(wú)縫隙）？①如果將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形紙片剪拼等邊三角形，那么該三角形邊長(zhǎng)的平方是；②小同學(xué)按圖切割方法將正方形剪拼成一個(gè)等邊三角形、分別為、邊上的中點(diǎn)，、是邊、上兩點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，畫出拼成正三角形的各部分分割線，并標(biāo)號(hào)；③正方形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)，則．1．如圖，在中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)與的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成，，均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)．2．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合）．若，則的取值范圍是．3．如圖，是等邊三角形，高、相交于點(diǎn)，，在上截取，以為邊作等邊三角形，則與重疊（陰影）部分的面積為．4．如圖，在四邊形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，且，，則的值是．5．如圖，在中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，連接．為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形的面積為．6．如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，，，連接交于，若，，，則線段的長(zhǎng)度為．第15講特殊三角形（精講）理解線段垂直平分線的概念探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上了解等腰三角形的概念探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合探索并證明等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形（或有一個(gè)角是60°的等腰三角形）是等邊三角形了解直角三角形的概念探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半探索勾股定理、勾股定理的逆定理能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理了1/2解三角形重心的概念TOC\o"1-2"\h\u第15講特殊三角形（精講） 1考點(diǎn)1：等腰三角形及其計(jì)算 2考點(diǎn)2：等邊三角形及其計(jì)算 15考點(diǎn)3：角平分線與垂直平分線 26考點(diǎn)4：直角三角形及其計(jì)算 40課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 62分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 63考點(diǎn)1：等腰三角形及其計(jì)算（1）性質(zhì) ①等邊對(duì)等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合;③對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，直線AD是對(duì)稱軸.（2）判定①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②等角對(duì)等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.｛等腰三角形的性質(zhì)★｝如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿上一點(diǎn)往地面拉兩條長(zhǎng)度相等的固定繩與，當(dāng)固定點(diǎn)，到桿腳的距離相等，且，，在同一直線上時(shí)，電線桿就垂直于，工程人員這種操作方法的依據(jù)是A．等邊對(duì)等角 B．等角對(duì)等邊 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛等腰三角形的性質(zhì)★｝如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)、，若，，則的值為A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得，，從而，，從而解決問(wèn)題．【解答】解：，，，和的平分線分別交于點(diǎn)、，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明，是解題的關(guān)鍵．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在中，平分，，，，則的周長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論．【解答】解：平分，，，，，，的周長(zhǎng)，，，的周長(zhǎng)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，已知，，，且，則．【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)可得，求得、、、都在以點(diǎn)為圓心半徑為5的圓上，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)交于，，，，，，、、都在以點(diǎn)為圓心半徑為5的圓上，過(guò)作于，則，是等腰直角三角形，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝中，，且上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成了和的兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)8．【分析】設(shè)，，，再分和兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（不合題意，舍去）．這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)是，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝如圖，在中，，，點(diǎn)在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)成為等腰三角形時(shí)，其頂角的度數(shù)是或或．【分析】作出圖形，然后分點(diǎn)在上與上兩種情況討論求解．【解答】解：①如圖1，點(diǎn)在上時(shí)，，頂角為，②，，，如圖2，點(diǎn)在上時(shí)，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，難點(diǎn)在于要分情況討論求解，作出圖形更形象直觀．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，在軸上確定一點(diǎn)，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有4個(gè)．【分析】使為等腰三角形，只需分兩種情況考慮：當(dāng)?shù)走吇虍?dāng)腰．當(dāng)是底邊時(shí)，則點(diǎn)即為的垂直平分線和軸的交點(diǎn)；當(dāng)是腰時(shí)，則點(diǎn)即為分別以、為圓心，以為半徑的圓和軸的交點(diǎn)（點(diǎn)除外）．【解答】解：（1）若作為腰時(shí)，有兩種情況，當(dāng)是頂角頂點(diǎn)時(shí)，是以為圓心，以為半徑的圓與軸的交點(diǎn)，共有1個(gè)；當(dāng)是頂角頂點(diǎn)時(shí)，是以為圓心，以為半徑的圓與軸的交點(diǎn)，有2個(gè)；（2）若是底邊時(shí)，是的中垂線與軸的交點(diǎn)，有1個(gè)．以上4個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有重合的．故符合條件的點(diǎn)有4個(gè)．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)、可在槽中滑動(dòng)．若，則的度數(shù)是．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由外角性質(zhì)可得，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題關(guān)鍵．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是，則一個(gè)底角為或．【分析】先知三角形有兩種情況（1）（2），求出每種情況的頂角的度數(shù)，再利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)（兩底角相等）和三角形的內(nèi)角和定理，即可求出底角的度數(shù)．【解答】解：有兩種情況；（1）如圖當(dāng)是銳角三角形時(shí)，于，則，已知，，，；（2）如圖，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，于，則，已知，，，，，，，等腰三角形的底角是或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形有關(guān)高問(wèn)題有兩種情況的理解和掌握，能否利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，知三角形的一個(gè)角能否求其它兩角．｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝在中，，，，在射線上有一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形，則或10或16．【分析】當(dāng)為等腰三角形時(shí)應(yīng)分當(dāng)是頂角頂點(diǎn)，當(dāng)是頂角頂點(diǎn)，當(dāng)是頂角的頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，從而求解．【解答】解：①如圖1，當(dāng)時(shí)，在中，根據(jù)勾股定理得到：，即，解得，，則②如圖2，當(dāng)時(shí)．在中，根據(jù)勾股定理得到：，；③如圖3，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的值是：或10或16；故答案是：或10或16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定．解題時(shí)，注意要分類討論，以防漏解．另外，解題過(guò)程中，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有6個(gè)．【分析】分類討論：時(shí)，時(shí)，時(shí)，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，在軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，在軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，在軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，在軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，有1點(diǎn)與時(shí)的軸正半軸的點(diǎn)重合．③當(dāng)時(shí)，在軸、軸上各有一點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，有1點(diǎn)與時(shí)的軸正半軸的點(diǎn)重合．綜上所述：符合條件的點(diǎn)共有6個(gè)．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來(lái)，不遺漏掉任何一種情況是本題的關(guān)鍵．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)，，若，，，則3．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，由角平分線的定義得到，，于是得到，，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，和的平分線分別交于點(diǎn)、，，，，，，，若，，，，即，，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的證明，屬于基礎(chǔ)題．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，以等邊的邊為腰作等腰，使，連接，若，則的度數(shù)為30．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：是等邊三角形，，，，設(shè)，則，，，，，，，，．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，中，平分，平分，過(guò)作直線平行于，交、于、．求證：（1）是等腰三角形；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解出是等腰三角形；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解出是等腰三角形，通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）平分，，，，，，是等腰三角形；（2）平分，，，，，，由（1）得，，．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出相等的邊，進(jìn)而得出結(jié)論．進(jìn)行等量代換是解答本題的關(guān)鍵．（2021?本溪）如圖，在中，，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，則的周長(zhǎng)為A． B． C． D．4【分析】由題意得是的平分線，再由等腰三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，求解即可．【解答】解：由圖中的尺規(guī)作圖得：是的平分線，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，的周長(zhǎng)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、尺規(guī)作圖等知識(shí)；熟練掌握尺規(guī)作圖和等腰三角形的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．（2020?福建）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于A．10 B．5 C．4 D．3【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【解答】解：是等腰三角形的頂角平分線，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．（2020?自貢）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：在中，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．（2021?牡丹江）過(guò)等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為或．【分析】首先根據(jù)題意畫出符合題意的所有圖形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．【解答】解：（1）如圖，中，，，，求的度數(shù)．，，，，，，，，，，（2）如圖，中，，，求的度數(shù)．，，，，，，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．注意分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．（2021?紹興）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)是或．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出的度數(shù)即可．【解答】解：如右圖所示，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，，，，，；由上可得，的度數(shù)是或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出合適的輔助線，利用分類討論的方法解答．考點(diǎn)2：等邊三角形及其計(jì)算（1）性質(zhì)①邊角關(guān)系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對(duì)稱軸.（2）判定①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；③任一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形.｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，已知等邊三角形紙片，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)的位置，且，則．【分析】由翻折的性質(zhì)可知，在中，由三角形內(nèi)角和求解即可．【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知；．為等邊三角形，，，．，為直角三角形，，，．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查是翻折的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)解答．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝將一張等邊三角形紙片ABC和一塊直角三角板DBC（其中∠DBC＝45°）按如圖所示的位置擺放．若BD＝，則點(diǎn)A和點(diǎn)D之間的距離為﹣1．【分析】要求點(diǎn)A和點(diǎn)D之間的距離，所以想到連接AD，由于△ABC與△BDC都是等腰三角形，想到等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，進(jìn)而延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，最后放在兩個(gè)直角三角形中解決即可．【解答】解：連接AD，并延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝60°，∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，∴∠DCB＝90°﹣∠DBC＝45°，∴DB＝DC，∴AD是BC的垂直平分線，即AE⊥BC，BE＝EC，在Rt△BDE中，sin45°＝，cos45°＝，∴DE＝sin45°＝1，BE＝cos45°＝1，在Rt△ABE中，tan60°＝，∴AE＝BEtan60°＝，∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，在中，，，是等邊三角形，若，則線段的長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以得到的度數(shù)和，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可以得到和的關(guān)系，然后根據(jù)，即可求得的長(zhǎng)，從而可以得到的長(zhǎng)．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖：等邊三角形中，，與相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目已知條件可證，再利用全等三角形的性質(zhì)及三角形外角和定理求解．【解答】解：等邊，，，在與中，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)來(lái)為三角形全等的判定創(chuàng)造條件，是中考的熱點(diǎn)．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，是等邊三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，則下列結(jié)論：①點(diǎn)在的角平分線上；②；③；④．正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得平分，從而判斷出①正確，然后證明出與全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到②正確，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，然后得到，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得，從而判斷出③正確；④由，，即可得到④正確．【解答】解：是等邊三角形，，，且，在的平分線上，故①正確；，，，，故②正確；，，，故③正確；由③得，是等邊三角形，，又由②可知，④，故④也正確，①②③④都正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，在中，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在上，是等邊三角形，作的平分線交于點(diǎn)，若，，則8．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，求得，，是的平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到答案．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，是的平分線，，，即，，，，．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證得是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，已知是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，，則．【分析】連接，證明和，然后由，可得．【解答】解：連接，為等邊三角形，，，，，又，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過(guò)添加輔助線，根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)求解．｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，，根據(jù)，得，故，在中，，在中，，，即可得答案．【解答】解：是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，在中，，，在中，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明，從而用勾股定理解決問(wèn)題．｛等邊三角形的性質(zhì)★★★｝如圖，在四邊形中，，，，，則的最大值是．【分析】以為邊作等邊，連結(jié)，根據(jù)題意得到為等邊三角形，，進(jìn)而利用證明，得出，從而得出動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的上，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得出是的最大值，在等邊中，根據(jù)三線合一的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到．【解答】解：如圖，以為邊作等邊，連結(jié)，，，，，為等邊三角形，，，，，在和中，，，，在中，，，以為直徑作，則半徑為，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的上，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，在等邊中，，為的中點(diǎn)，，，即的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)及確定是的最大值是解題的關(guān)鍵．（2020?銅仁市）已知等邊三角形一邊上的高為，則它的邊長(zhǎng)為A．2 B．3 C．4 D．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理求解即可．【解答】解：根據(jù)等邊三角形：三線合一，設(shè)它的邊長(zhǎng)為，可得：，解得：，（舍去），故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，較為簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．（2018?福建）如圖，等邊三角形中，，垂足為，點(diǎn)在線段上，，則等于A． B． C． D．【分析】先判斷出是的垂直平分線，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論．【解答】解：等邊三角形中，，，即：是的垂直平分線，點(diǎn)在上，，，，，是等邊三角形，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：角平分線與垂直平分線①角平分線（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．即若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.（2）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的角平分線上．②垂直平分線（1）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.（2）判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，的垂直平分線交于，的中垂線交于，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，同理可得，，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：，的垂直平分線交于，，，的中垂線交于，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，和的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，則的周長(zhǎng)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：和的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，，，的周長(zhǎng)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，是三角形角平分線的交點(diǎn)，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，，，若，則的大小為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，，求出，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接，，，，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，，，平分，平分，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，的垂直平分線交于，的垂直平分線交與，則的周長(zhǎng)等于10．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，從而可得答案．【解答】解：的垂直平分線交于，，的垂直平分線交與，，，，，的周長(zhǎng)為10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，平分，若，，則的面積為5．【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，，平分，，的面積．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并求出邊上的高是解題的關(guān)鍵．｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是A．20 B．30 C．50 D．100【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，最后用三角形的面積公式即可解答．【解答】解：過(guò)作于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，，的面積，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出解答．｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖，已知，，，，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】過(guò)作于，根據(jù)角平分線的小足球場(chǎng)，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出即可．【解答】解：過(guò)作于，，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是A．24 B．28 C．30 D．32【分析】過(guò)點(diǎn)作于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式，利用進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖，平分，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，點(diǎn)是邊和的垂直平分線、的交點(diǎn)，若，則這兩條垂直平分線相交所成銳角的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，，求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于求出答案即可．【解答】解：連接，點(diǎn)是邊和的垂直平分線、的交點(diǎn)，，，，，，，，，，，即，點(diǎn)是邊和的垂直平分線、的交點(diǎn)，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解此題的關(guān)鍵．｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【解答】解：如圖，連接，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．（2020?懷化）在中，，平分，交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為A．3 B． C．2 D．6【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得．【解答】解：，，又平分，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵（2020?牡丹江）如圖，直線、、表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【分析】作直線、、所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點(diǎn)、、，內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：作直線、、所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點(diǎn)、、，內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到這4個(gè)點(diǎn)到三條公路的距離分別相等．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．（2018?遼陽(yáng)）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，再分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線．若，，則點(diǎn)到的距離為A．5 B． C．4 D．【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可以求得點(diǎn)到的距離，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，為的角平分線，，平分，，設(shè)與交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，解得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（2021?福建）如圖，是的角平分線．若，，則點(diǎn)到的距離是．【分析】由角平分線的性質(zhì)可求，即可求解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，是的角平分線．，，，點(diǎn)到的距離為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．（2020?南京）如圖，線段、的垂直平分線、相交于點(diǎn)，若，則．【分析】解法一：連接，并延長(zhǎng)到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得和，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為得，根據(jù)外角的性質(zhì)得，，相加可得結(jié)論．解法二：連接，同理得，由等腰三角形三線合一得，，由平角的定義得，最后由周角的定義可得結(jié)論．【解答】解：解法一：連接，并延長(zhǎng)到，線段、的垂直平分線、相交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，；解法二：連接，線段、的垂直平分線、相交于點(diǎn)，，，，，，，即，，；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：直角三角形及其計(jì)算①直角三角形的性質(zhì)(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；(3)斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即a2＋b2＝c2.②直角三角形的判定(1)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則△ABC是Rt△；(2)如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.｛勾股定理★★｝下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是A．6，8，10 B．1，， C．0.3，0.4，0.5 D．，，【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)判定即可．【解答】解：、，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，符合題意；、不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；、不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；、不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)的定義，注意：一組勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；②兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．｛勾股定理★★｝如圖，在四邊形中，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，則四邊形的面積為．【分析】連接，根據(jù)為的中點(diǎn)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：連接，為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，是直角三角形，四邊形的面積，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．｛勾股定理★★｝在中，，，是邊所在直線上的點(diǎn)，，，則25或7．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)在線段上或點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．依據(jù)勾股定理的逆定理即可得到為直角，再根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)，進(jìn)而利用線段的和差關(guān)系得出的長(zhǎng)．【解答】解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，，是直角三角形，且，，，；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，，；由于，所以點(diǎn)不在的延長(zhǎng)線上．綜上所述，的長(zhǎng)度為25或7．故答案為：25或7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用分類思想進(jìn)行求解．｛勾股定理★★｝如圖所示，四邊形中，，，，，，該四邊形的面積是144．【分析】先根據(jù)勾股定理，在直角中計(jì)算出，再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在直角中，，，，在中，，，，為直角三角形，且，．故答案為：144．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是熟練掌握：勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．｛勾股定理★★｝如圖，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的著名的“趙爽弦圖”，其中、、和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理，設(shè)，，，取，，則196．【分析】由題意可知，可求得正方形的面積，利用四個(gè)直角三角形的面積和正方形的面積正方形的面積，利用勾股定理可求得的值，利用四個(gè)直角三角形的面積可求得，則可求得答案．【解答】解：，，，，四個(gè)直角三角形的面積和，，解得，，，故答案為：196．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的證明及應(yīng)用，理解圖形中四個(gè)三角形的面積和等于大正方形的面積與小正方形面積的差是解題的關(guān)鍵．｛勾股定理★★｝如圖，，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，則陰影部分的面積為12．【分析】根據(jù)勾股定理求出，分別求出三個(gè)半圓的面積和的面積，即可得出答案．【解答】解：在中，，，，由勾股定理得：，所以陰影部分的面積，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和三角形的面積、圓的面積，能把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在中，，，則的面積為16．【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求得的度數(shù)，由含角的直角三角形的性質(zhì)可求解的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求解的面積．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，的面積為：．故答案為16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形的面積，含角的直角三角形的性質(zhì)，求解的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝（2020?荊門）中，，，，為的中點(diǎn)，，則的面積為A． B． C． D．【分析】連接，作于，根據(jù)三線合一得到垂直于，為角平分線，以及底角的度數(shù)，在直角三角形中，利用三角函數(shù)求得，然后利用30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到的長(zhǎng)，再利用三角形相似求出的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式求得結(jié)果．【解答】解：連接，作于，，，為的中點(diǎn)，，平分，在中，，，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，一棵直立的大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長(zhǎng)度，再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度．【解答】解：如圖，根據(jù)題意BC＝2米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分線分別交AC，AB于D，E，連接BD，則CD的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用線段垂直平分線得出AD＝DB，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∵AB的垂直平分線分別交AC，AB于D，E，∴AD＝DB，設(shè)CD為x，AD＝DB＝4﹣x，在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，即x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，即CD＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．｛勾股定理★★｝在中，，，的對(duì)邊分別為，，，有以下4個(gè)條件：①；②；③；④，⑤；其中，能判斷是直角三角形的是②④⑤（填序號(hào)）．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，故不是直角三角形；②當(dāng)時(shí)，，故是直角三角形；③當(dāng)時(shí)，，故不是直角三角形；④當(dāng)時(shí)，，故是直角三角形；⑤當(dāng)時(shí)，，故是直角三角形；故答案為：②④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一個(gè)角是直角，那么這個(gè)三角形是直角三角形；②如果一個(gè)三角形的三邊，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形．｛勾股定理★★｝已知三角形的三邊分別為6，8，10，則最長(zhǎng)邊上的高等于4.8．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式得出，再求出即可．【解答】解：設(shè)三角形的最長(zhǎng)邊上的高的長(zhǎng)度是，三角形的三邊分別為6，8，10，，三角形是直角三角形（斜邊長(zhǎng)是，三角形的面積，解得：，故答案為：4.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積和勾股定理的逆定理，能根據(jù)勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．｛勾股定理★★｝我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是和，那么的值為12．【分析】根據(jù)大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，可得直角三角形的面積，即可求得的值．【解答】解：大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的面積是，又直角三角形的面積是，．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，還要注意圖形的面積和，之間的關(guān)系．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝如圖，中，，是斜邊的中點(diǎn)．為邊上一點(diǎn)，且滿足．已知，．則的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)已知條件：，是斜邊的中點(diǎn)，想到連接，構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，從而得出，所以，再利用已知條件證出，然后在中，再構(gòu)造斜邊上的高，可得證點(diǎn)是的中點(diǎn)，進(jìn)而利用，求出，所以，從而求出．【解答】解：連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，是斜邊的中點(diǎn)，，，又，，，，，又，，，，，又，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊的中線性質(zhì)以及勾股定理，添加輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．｛直角三角形的性質(zhì)★★｝對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線、交于點(diǎn)．若，，則169．【分析】在和中，根據(jù)勾股定理得，，進(jìn)一步得，再根據(jù)，，最后求得．【解答】解：，，在和中，根據(jù)勾股定理得，，，，，，；故答案為：169．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．｛勾股定理★★★｝如圖，在中，，以，和為邊向上作正方形和正方形和正方形，點(diǎn)落在上，若，空白部分面積為16，則圖中陰影部分的面積是．【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)勾股定理得到，解方程組得到，接著通過(guò)證明的面積，依此即可求解．【解答】解：如圖，四邊形是正方形，，，，，，，在中，，，，，，，，，陰影部分的面積和．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的知識(shí)，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．（2021?福建）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校與河對(duì)岸工廠之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得，，．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于A． B． C． D．【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中所對(duì)直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【解答】解：，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．（2019?陜西）如圖，在中，，，為邊上的中線，平分，交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由角平分線定義得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出答案．【解答】解：，為邊上的中線，，，，平分，，，，，；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2019?黃石）如圖，在中，，于點(diǎn)，和的角平分線相交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，即可得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，根據(jù)和的角平分線相交于點(diǎn)，即可得出，即可得到．【解答】解：，為邊的中點(diǎn)，，又，，是等邊三角形，，，，和的角平分線相交于點(diǎn)，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（2021?資陽(yáng)）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形．連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】由大正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，在直角三角形中使用勾股定理可求出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由三角形為等腰直角三角形可證得三角形也為等腰直角三角形，設(shè)，則，由，可解得．進(jìn)而可得．【解答】解：由圖可知，，，大正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，故，設(shè)，則在中，有，即，解得：，（舍去）．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．四邊形為正方形，為對(duì)角線，為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形．設(shè)，則，，解得：．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．（2021?襄陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭jiā生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深幾何．”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【分析】設(shè)水深為尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出即可．【解答】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理，得，解得，水深為12尺，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．（2020?哈爾濱）在中，，為邊上的高，，，則的長(zhǎng)為5或7．【分析】在中，利用銳角三角函數(shù)的意義，求出的長(zhǎng)，再分類進(jìn)行解答．【解答】解：為邊上的高，為，在中，，，，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，故答案為：7或5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確計(jì)算的前提．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．有一題目：“如圖，，平分，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若點(diǎn)在上，且滿足，求的度數(shù)．”小賢的解答：以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓交于點(diǎn)，連接，則，由圖形的對(duì)稱性可得．結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得．而小軍說(shuō)：“小賢考慮的不周全，還應(yīng)有另一個(gè)不同的值”．下列判斷正確的是A．小軍說(shuō)的對(duì)，且的另一個(gè)值是 B．小軍說(shuō)的不對(duì)，只有一個(gè)值 C．小賢求的結(jié)果不對(duì)，應(yīng)該是 D．兩人都不對(duì)，應(yīng)有3個(gè)不同值【分析】以為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫圓交于，點(diǎn)，連接，，則，由圖形的對(duì)稱性可得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可求解，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，由可求解的度數(shù)．【解答】解：以為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫圓交于，點(diǎn)，連接，，則，，平分，由圖形的對(duì)稱性可知，，，，；當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)、，若，，則的值為A．3 B．4 C．5 D．9【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定證得，即可求得結(jié)果．【解答】解：，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的證明．3．如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分，．下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論共有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明得到答案．【解答】解：平分，，，，，，，是的角平分線，，，②、③選項(xiàng)說(shuō)法正確；在和中，，，，①選項(xiàng)說(shuō)法正確；，，，，④選項(xiàng)正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，為邊上一點(diǎn)，且．點(diǎn)，分別在邊，上，且，為邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)為2，在中求得的長(zhǎng)，再根據(jù)垂直平分，在中求得，最后根據(jù)線段和可得的長(zhǎng)．【解答】解：等邊三角形邊長(zhǎng)為2，，，，等邊三角形中，，，，，，，，，，，如圖，連接，則中，，，是等邊三角形，，垂直平分，，，中，，，為的中點(diǎn)，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等．熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，，，，若，則A．3 B．4 C．5 D．6【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，先證明是等邊三角形，再證明，然后利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理求得的長(zhǎng)，隨后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，最后將與相加即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，是等邊三角形，，，，，，即，是等邊三角形，，平分，，在中，，；方法二、，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，平分，，，，，；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．6．已知：如圖，和都是等邊三角形，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，則下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等邊三角形．其中，正確的有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)先證明，得出，根據(jù)已知給出的條件即可得出答案；【解答】解：和都是等邊三角形，，，，，即，，，故選項(xiàng)①正確；，由得：，，故選項(xiàng)②正確；由得：，是的外角，，又是的外角，，故選項(xiàng)③正確；在和中，，，，故選項(xiàng)④正確；，為等腰三角形，，是等邊三角形，故選項(xiàng)⑤正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度一般，關(guān)鍵是找出條件證明兩個(gè)三角形全等．7．如圖，已知，直角頂點(diǎn)在上，已知，則A． B． C． D．【分析】求出，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．8．如圖，沿直線折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，若，，則等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．9．如圖所示，在中，，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)在中，，，可以求得的度數(shù)，再根據(jù)，可以得到和的關(guān)系，從而可以求得的度數(shù)，本題得以解決．【解答】解：在中，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由三角形內(nèi)角和定理求得；由垂直的定義得到；然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360度進(jìn)行求解．【解答】解：如圖，在中，，，．于點(diǎn)，于點(diǎn)，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)．注意利用隱含在題中的已知條件：三角形內(nèi)角和是、四邊形的內(nèi)角和是．11．具備下列條件的中，不是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】由三角形內(nèi)角和為求得三角形的每一個(gè)角，再判斷形狀．【解答】解：選項(xiàng)，，即，，為直角三角形，不符合題意；選項(xiàng)，，即，，為直角三角形，不符合題意；選項(xiàng)，，即，同選項(xiàng)，不符合題意；選項(xiàng)，，即，三個(gè)角沒(méi)有角，故不是直角三角形，符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】注意直角三角形中有一個(gè)內(nèi)角為．12．如圖，分別以的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為A．4 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的面積公式，可以證明：以直角三角形的兩條直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積．則陰影部分的面積即為以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積的2倍．【解答】解：在中，，，，，同理：，，在中，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的知識(shí)，難度適中，解題關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理證明三個(gè)等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系．13．小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點(diǎn)短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)徑，口杯內(nèi)部高度，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是．A．9 B．10 C．11 D．12【分析】連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再比較大小即可．【解答】解：如圖，連接，由題意知，，，由勾股定理得，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，二次根式的大小比較等知識(shí)，計(jì)算出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，是的角平分線，，垂足為，，，則．【分析】設(shè)，，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出列出方程求出與的值．【解答】解：設(shè)，，即是得角平分線，，，聯(lián)立可得解得：法二，延長(zhǎng)交于，，，，，，是的角平分