專題01二次根式化簡(jiǎn)的四種題型全攻略(原卷版+解析)

專題01二次根式化簡(jiǎn)的四種題型全攻略類型一、利用被開方數(shù)的非負(fù)性化簡(jiǎn)二次根式例．等式成立的條件是（

）A． B． C．或 D．【變式訓(xùn)練1】已知，為實(shí)數(shù)，且，則________．【變式訓(xùn)練2】已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系的形狀是_______．【變式訓(xùn)練3】若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4】已知a、b、c為一個(gè)等腰三角形的三條邊長(zhǎng)，并且a、b滿足，求此等腰三角形周長(zhǎng)．類型二、利用數(shù)軸化簡(jiǎn)二次根式例．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)＝_____【變式訓(xùn)練2】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】已知實(shí)數(shù)、、表示在數(shù)軸上如圖所示，化簡(jiǎn)．【變式訓(xùn)練4】如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡(jiǎn)：．類型三、利用字母的取值范圍化簡(jiǎn)二次根式例1．已知，化簡(jiǎn)：，__________．例2.的三邊長(zhǎng)分別為1、k、3，則化簡(jiǎn)_____．【變式訓(xùn)練1】已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】若，則_______；【變式訓(xùn)練3】化簡(jiǎn)：_______．【變式訓(xùn)練4】已知.(1)求a的值；(2)若a、b分別為一直角三角形的斜邊長(zhǎng)和一直角邊長(zhǎng)，求另一條直角邊的長(zhǎng)度.類型四、雙重二次根式的化簡(jiǎn)例.閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．（1）化簡(jiǎn)；（2）化簡(jiǎn)；【變式訓(xùn)練1】閱讀理解“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對(duì)于設(shè)，易知故，由解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)【變式訓(xùn)練2】先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡(jiǎn)．經(jīng)過思考，小張解決這個(gè)問題的過程如下：①②③④在上述化簡(jiǎn)過程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為；（2）請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)

①．

②．【變式訓(xùn)練3】先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡(jiǎn)中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：，，所以，問題：（1）填空：__________，____________﹔（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a，b（），使，，即，﹐那么便有：__________．（3）化簡(jiǎn)：（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過程）【變式訓(xùn)練4】閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；（3）化簡(jiǎn)：．課后作業(yè)1．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)滿足，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．8或10 D．92．化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．若，則的平方根是______．5．設(shè)，是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，則___________．6．已知、為實(shí)數(shù)，，則的值等于______．7．已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡(jiǎn)8．閱讀：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有：．根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以將一些“雙重二次根式”去掉一層根號(hào)，達(dá)到化簡(jiǎn)效果．如：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)化簡(jiǎn)．解：設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則．∴由①得，，代入②得：，解得，∴，∴請(qǐng)根據(jù)以上閱讀理解，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出的化簡(jiǎn)結(jié)果是__________；(2)化簡(jiǎn)；(3)判斷能否按照上面的方法化簡(jiǎn)，如果能化簡(jiǎn)，請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)后的結(jié)果，如果不能，請(qǐng)說明理由．9．在二次根式的計(jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果，例如，比較a＝2和b＝3的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請(qǐng)利用“平方法”解決下面問題：(1)比較c＝4，d＝2大小，cd（填寫＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝，n＝之間的大小，并證明．(3)化簡(jiǎn)：＝（直接寫出答案）．10．（1）已知、為實(shí)數(shù)，且，求、的值．（2）已知實(shí)數(shù)滿足，求的值．專題01二次根式化簡(jiǎn)的四種題型全攻略類型一、利用被開方數(shù)的非負(fù)性化簡(jiǎn)二次根式例．等式成立的條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，可得，解不等式組，得，所以，等式成立的條件是．故選：A．【變式訓(xùn)練1】已知，為實(shí)數(shù)，且，則________．【答案】【詳解】依題意可得m-2≥0且2-m≥0，∴m=2，∴n-3=0∴n=3，∴=故答案為：．【變式訓(xùn)練2】已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系的形狀是_______．【答案】等腰直角三角形【詳解】解：，，，，且，為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形．【變式訓(xùn)練3】若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，可得，解得：，故選：B．【變式訓(xùn)練4】已知a、b、c為一個(gè)等腰三角形的三條邊長(zhǎng)，并且a、b滿足，求此等腰三角形周長(zhǎng)．【答案】17【詳解】解：由題意得：，解得：a=3，則b=7，若c=a=3時(shí)，3+3＜7，不能構(gòu)成三角形．若c=b=7，此時(shí)周長(zhǎng)為17．類型二、利用數(shù)軸化簡(jiǎn)二次根式例．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由數(shù)軸知：，∴，∴原式＝＝＝．故選：A．【變式訓(xùn)練1】已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)＝_____【答案】【詳解】解：由數(shù)軸可知：，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，則原式=|a|+|a-b|=-a+b-a=-2a+b．故選：A．【變式訓(xùn)練3】已知實(shí)數(shù)、、表示在數(shù)軸上如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】【詳解】由題意可知：，，，且，∴，，∴原式【變式訓(xùn)練4】如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡(jiǎn)：．【答案】【詳解】解：由圖可知：，，，，∴，，∴．類型三、利用字母的取值范圍化簡(jiǎn)二次根式例1．已知，化簡(jiǎn)：，__________．【答案】##【詳解】解：，，，，故答案為：．例2.的三邊長(zhǎng)分別為1、k、3，則化簡(jiǎn)_____．【答案】1【詳解】解：∵的三邊長(zhǎng)分別為1、k、3，∴，∴，，∴．故答案為：1．【變式訓(xùn)練1】已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，所以a和b同號(hào)，，，故選：D．【變式訓(xùn)練2】若，則_______；【答案】2【詳解】解：∵，∴，故答案為：2．【變式訓(xùn)練3】化簡(jiǎn)：_______．【答案】0【解析】由題意可知：3-x≥0，∴====0故答案為：0．【變式訓(xùn)練4】已知.(1)求a的值；(2)若a、b分別為一直角三角形的斜邊長(zhǎng)和一直角邊長(zhǎng)，求另一條直角邊的長(zhǎng)度.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，解得，、b分別為一直角三角形的斜邊長(zhǎng)和一直角邊長(zhǎng)，另一條直角邊的長(zhǎng)度為：．類型四、雙重二次根式的化簡(jiǎn)例.閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．（1）化簡(jiǎn)；（2）化簡(jiǎn)；【答案】（1）；（2）【詳解】（1）；（2）．【變式訓(xùn)練1】閱讀理解“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對(duì)于設(shè)，易知故，由解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)【答案】【詳解】解：設(shè)，易知，∴∴，∴，∴∵，∴原式【變式訓(xùn)練2】先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡(jiǎn)．經(jīng)過思考，小張解決這個(gè)問題的過程如下：①②③④在上述化簡(jiǎn)過程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為；（2）請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)

①．

②．【答案】（1）④；；（2）①；②【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；==．（2）①===．②==．【變式訓(xùn)練3】先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡(jiǎn)中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：，，所以，問題：（1）填空：__________，____________﹔（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a，b（），使，，即，﹐那么便有：__________．（3）化簡(jiǎn)：（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過程）【答案】（1），；（2）；（3）【詳解】解：（1）；；（2）；（3）==．【變式訓(xùn)練4】閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；（3）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．【詳解】解：（1）∵，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為：m2+6n2，2mn；（2）∵，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵，則．課后作業(yè)1．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)滿足，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．8或10 D．9【答案】B【詳解】解：∵∴，，解得，當(dāng)腰長(zhǎng)為2，底邊為4時(shí)，∵，不滿足三角形三邊條件，不符合題意；當(dāng)腰長(zhǎng)為4，底邊為2時(shí)，∵，，滿足三角形三邊條件，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為．故選：B2．化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意得，，，故選：A．3．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可知，，，∴，，∴．故選：C．4．若，則的平方根是______．【答案】【詳解】解：，，，，，，，，的平方根，故答案為：．5．設(shè)，是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，則___________．【答案】1【詳解】∵，∴把代入方程有，整理得，∵，是整數(shù)，∴，解得，∴．故答案為：16．已知、為實(shí)數(shù)，，則的值等于______．【答案】16【詳解】解：∵，∴，即：，∴，∴；故答案為：．7．已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡(jiǎn)【答案】．【詳解】解：由題意可得，，又∵，∴，，∴，，．8．閱讀：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有：．根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以將一些“雙重二次根式”去掉一層根號(hào)，達(dá)到化簡(jiǎn)效果．如：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)化簡(jiǎn)．解：設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則．∴由①得，，代入②得：，解得，∴，∴請(qǐng)根據(jù)以上閱讀理解，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出的化簡(jiǎn)結(jié)果是__________；(2)化簡(jiǎn)；(3)判斷能否按照上面的方法化簡(jiǎn)，如果能化簡(jiǎn)，請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)后的結(jié)果，如果不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由見解析【詳解】（1）解：＝＝＝＝．故答案為：；（2）設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則，∴，由①得，，代入②得：，解得，，∴，，∴，∴；（3）不能，理由如下：設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則，∴，由①得，，代入②得：，即：，，∴關(guān)于的一元二次方程無解，∴不能按照上面的方法化簡(jiǎn)．9．在二次根式的計(jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果，例如，比較a＝2和b＝3的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請(qǐng)利用“平方法”解決下面問題：(1)比較c＝4，d＝2大小，cd（填寫＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝，n＝之間的大小，并證明．(3)化簡(jiǎn)：＝（直接寫出答案）．【答案】(1)c>d(2)m<n，證明過程見解析(3)4或4【詳解】（1）解：∵c2=32，d2=28，則c