專題9.8三角形中位線（知識解讀）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊《考點解讀專題訓(xùn)練》（蘇科版）

專題9.8三角形中位線（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握三角形中位線的概念、性質(zhì)，會利用性質(zhì)解決有關(guān)問題。2.經(jīng)歷探索三角形中位線性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。3.通過對問題的探索研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、合理論證的科學(xué)精神【知識點梳理】知識點1：三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.注意：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.知識點2：順次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀順次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.【典例分析】【考點1：三角形中位線】 【典例1】（2022春?東平縣校級月考）如圖，在ABC中，AB＝13，BC＝12，D、E分別是AB、BC的中點，連接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周長為（）A．25 B．18.5 C．17.5 D．18【答案】D【解答】解：∵D，E分別是AB，BC的中點，∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中點，∴直線DE是線段BC的垂直平分線，∴DC＝BD，∴△ACD的周長＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，故選：D．【變式11】（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，A、B兩點被一座山隔開，M、N分別是AC、BC中點，測量MN的長度為30m，那么AB的長度為（）A．30m B．60m C．120m D．160m【答案】B【解答】解：∵M(jìn)、N分別是AC、BC中點，∴MN是△ABC的中位線，∴AB＝2MN，∵M(jìn)N＝30m，∴AB＝60m，故選：B．【變式12】（2022秋?雙陽區(qū)期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，E、F分別為AC、AD的中點，若EF＝1，則AB＝．【答案】4【解答】解：∵E、F分別為AC、AD的中點，∴CD＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CD＝4，故答案為：4．【變式13】（2022秋?新城區(qū)校級月考）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CD為中線，延長CB至點E．使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE中點，連接BF，若BF＝4，則BC的長為（）A．6 B．8 C． D．【答案】D【解答】解：∵F為DE中點，∴EF＝DF，∵BE＝BC，∴BF是△CDE的中位線，∴CD＝2BF＝8，∵∠ACB＝90°，CD為AB邊的中線，∴AB＝2CD＝16，∵AC＝8，∴BC＝＝＝8，故選：D．【典例2】（2022秋?泰山區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，點E是BC的中點，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，線段DE的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解答】解：如圖，延長CD交AB于F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠FAD，∵AD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（ASA），∴AF＝AC＝5cm，CD＝FD，∴BF＝AB﹣AE＝9﹣5＝4cm，∵CD＝FD，點E為BC的中點，∴DE是△BCF的中位線，∴DE＝BF＝2cm，故選：B．【變式21】（2019秋?碑林區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC中點，連接DE，則DE的長是（）A．1 B．1.5 C．2 D．4【答案】C【解答】解：延長BD交AC于F，在△ADB和△ADF中，，∴△ADB≌△ADF（ASA），∴AF＝AB＝6，BD＝DF，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵BD＝DF，BE＝EC，∴DE＝CF＝2，故選：C．【變式22】（2021秋?芝罘區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分別是角平分線和中線，過點C作CF⊥AD于點F，連接EF，則線段EF的長為（）A．1 B．2 C．4 D．【答案】A【解答】解：延長CF交AB于G，∵AD為△ABC的角平分線，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，F(xiàn)G＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE為△ABC的中線，∴EF是△BCG的中位線，∴EF＝BG＝1，故選：A．【變式23】（2022?黑龍江模擬）如圖，在△ABC中，CE是中線，CD是角平分線，AF⊥CD交CD延長線于點F，AC＝7，BC＝4，則EF的長為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【解答】解：延長AF、BC交于點G，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，在△ACF和△GCF中，，∴△ACF≌△GCF（ASA），∴CG＝AC＝7，AF＝FG，∴BG＝CG﹣CB＝3，∵AE＝EB，AF＝FG，∴EF＝BG＝1.5，故選：A．【典例3】（2022秋?萊陽市期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，AB的中點，點F是CB延長線上一點，且CF＝3BF，連接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．（1）求證：DE＝BF；（2）求四邊形DEFB的周長．【解答】（1）證明：∵點D，E分別是AC，AB的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝3BF，∴BF＝BC，∴DE＝BF；（2）解：∵點D是AC的中點，AC＝12，∴CD＝6，∵DE＝4，∴BC＝8，由勾股定理得：DB＝＝＝10，∵DE＝BF，DE∥BC，∴四邊形DBFE為平行四邊形，∴四邊形DEFB的周長＝2×（4+10）＝28．【變式31】（2022春?瑤海區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點（1）若DE＝2，則BC＝；若∠ACB＝70°，則∠AED＝°；（2）連接CD和BE交于點O，求證：CO＝2DO．【解答】（1）解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是三角形的中位線，∴BC＝2DE＝4，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝70°，故答案為：4，70；（2）取BO、CO中點G、H；則GH∥BC，GH＝BC，∵DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥GH，DE＝GH，∴四邊形DGHE為平行四邊形，∴DO＝OH＝HC，即CO＝2DO．【變式32】（2020秋?萊蕪區(qū)期末）如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點．（1）若EF＝5cm，則AB＝cm；若BC＝9cm，則DE＝cm；（2）中線AF與中位線DE有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想．【解答】解：（1）∵在△ABC中，點E、F分別是AC、BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB且EF＝AB．又EF＝5cm，∴AB＝10cm．同理，DE＝BC＝4.5cm；故答案是：10、4.5（2）互相平分，理由：如圖，連接DF，∵AD＝EF，AD∥EF，∴四邊形ADFE為平行四邊形，∴中線AF與DE的關(guān)系是互相平分．【變式33】（2021秋?寶塔區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分別是AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF＝CE，連接DE，EF．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）若DE＝2，求△CEF的面積．【解答】解：（1）：BE⊥AC于E，E是AC的中點，∴AB＝BC．∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°；（2）如圖，過E點作EG⊥BC，∵D、E分別是AB、AC的中點，DE＝2∴BC＝2DE＝4，∵BE⊥AC，∴∠EBC＝∠ABC＝30°，∴CE＝2＝CF，BE＝＝2，∴EG＝BE＝，∴S△ECF＝×CF×EG＝×2×＝．【考點2：中點四邊形】【典例4】（2022秋?鄲城縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．【解答】（1）解：如圖，取BD的中點P，連接EP、FP，∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，AB＝10，CD＝24，∴PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，∴PE∥AB，且，且，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在Rt△EPF中，由勾股定理得：，即EF的長為13；（2）證明：由（1）可知，PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴，∴AB2+CD2＝4EF2．【變式41】（2022秋?安溪縣期中）在四邊形ABCD中，AB＝CD，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點．（1）如圖1，點P為對角線BD的中點，連接PE，PF，若∠PEF＝26°，則∠EPF＝度；（2）如圖2，直線EF分別與BA，CD的延長線交于點M，N．求證：∠BMF＝∠CNF．【解答】（1）解：∵點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，點P為對角線BD的中點，∴PE為△ABD的中位線，PF為△BCD的中位線，∴PE＝AB，PF＝CD，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝26°，∴∠EPF＝180°﹣∠PFE﹣∠PEF＝180°﹣26°﹣26°＝128°，故答案為：128；（2）證明：連接BD，取BD的中點P，連接PE、PF，同（1）得：PE為△ABD的中位線，PF為△BCD的中位線，∴PE∥AB，PF∥CD，PE＝AB，PF＝CD，∴∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠BMF＝∠CNF．【變式42】（2022春?大連期中）如圖，在△ABC中，點D為AC中點，延長CA至E，使AE＝BC，連接BE，點F為BE中點，連接FD并延長交BC延長線于G．（1）求證：CD＝CG；（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的長．【解答】（1）證明：如圖，取AB的中點M，連接FM，DM，∵F為BE中點，M為AB中點，∴FM∥AE，F(xiàn)M＝AE，∴∠MFD＝∠CDG，∵D為AC中點，M為AB中點，∴DM＝BC，DM∥BC，∴∠MDF＝∠G，∵AE＝BC，∴MF＝DM，∴∠MFD＝∠MDF，∵∠G＝∠CDG，∴CD＝CG；（2）解：由（1）知：∠MFD＝∠MDF，∴MF＝MD，如圖，作MN⊥DF于N，∴DN＝NF＝DF，∠MND＝90°，∵∠ACB＝∠CDG+∠G＝60°，∴∠G＝∠CDG＝30°，∴∠MDN＝30°＝∠G，在Rt△DMN中，DM＝BC＝3，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，∴DF＝2DN＝3．【變式43】（2022春?吉水縣期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)