專(zhuān)題21.2公式法因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系（八大考點(diǎn)）

專(zhuān)題21.2公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一元二次方程的解法——公式法】 1【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 4【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】 8【考點(diǎn)五一元二次方程的解法——因式分解法】 12【考點(diǎn)六換元法解一元二次方程】 15【考點(diǎn)七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 18【考點(diǎn)八利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】 20【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 24【典型例題】【考點(diǎn)一一元二次方程的解法——公式法】【例題1】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，原方程的解為：，；（2）解：，，，，，原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2022秋·青海西寧·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋海ü椒ǎ敬鸢浮俊痉治觥坷霉椒ń獯?，即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮?，【分析】用公式法解此方程即可．【詳解】解：，，此方程的解為：，．【點(diǎn)睛】此題考查的是用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握公式法解方程的步驟．【變式13】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）運(yùn)用公式法求解即可；（2）運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．【變式14】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可．【詳解】（1）∵，∴∴，，，∴∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即，．（2）∵，∴，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例題2】（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】由一元二次方程根的判別式：時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有無(wú)的實(shí)數(shù)根；據(jù)此對(duì)方程進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意得，，，，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式確定方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，掌握根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程跟的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)A符合題意；B．，∵，，，∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)B不符合題意；C．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)C不符合題意；D．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程：若，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；是解本題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）方程根的情況是（

）A．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【答案】C【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【變式23】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解 B．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 D．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解【答案】D【分析】直接利用一元二次方程根的判別式分析求出即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，方程為，解得，故當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故A不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為一元二次方程，，當(dāng)時(shí)，方程有相等的實(shí)數(shù)根，故B不符合題意，CD、當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為為一元二次方程，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故C不符合題意，D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，正確把握其定義是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例題3】（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】分當(dāng)時(shí)和當(dāng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程為，解得，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程若有實(shí)數(shù)根，則有，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判別式，利用分類(lèi)討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【變式31】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有，得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識(shí)，理解并正確運(yùn)用一元二次方程的根的判別式是解題關(guān)鍵．【變式32】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴且，故答案為：且，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【變式33】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤絷P(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為_(kāi)__________．【答案】6【分析】要使一元二次方程沒(méi)有實(shí)根，只需二次項(xiàng)系數(shù)不等于0且根的判別式小于0，由此可求出k的范圍，再找出最小值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴且，解得，，∴，∴整數(shù)k的最小值是6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的構(gòu)成條件、解一元一次不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式：對(duì)于一元二次方程，時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例題4】（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于0，求的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求出判別式，利用配方法變?yōu)橥耆椒绞郊纯桑?）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，讓其一根小于0，求出范圍即可．【詳解】（1）解：，，，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：，，，方程有一根小于0，，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的范圍問(wèn)題，掌握根的判別式的用途，會(huì)用根的判別式解決方程根的情況，會(huì)利用求根公式解方程，會(huì)用條件利用不等式，會(huì)解不等式是關(guān)鍵．【變式41】（2023春·浙江衢州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或3，當(dāng)時(shí)，方程的解為；當(dāng)時(shí)，方程的解為；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判別式，再證明判別式大于0即可解答；（2）令判別式等于5求得或3，然后分和兩種情況，分別代入方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：令，則，解得：或3當(dāng)時(shí)，原方程可化為：∴∴；當(dāng)時(shí)，原方程可化為：∴∴；綜上，當(dāng)時(shí)，方程的解為；當(dāng)時(shí)，方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，由方程根的情況得到判別式的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判別式為，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到是原方程的根，根據(jù)方程兩個(gè)根均為正整數(shù)，可求m的最小值．【詳解】（1）證明：由得，，∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）∵，∴，∴，∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，∴．∴．∴m的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式及解一元二次方程，在解答（2）時(shí)得到方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說(shuō)明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．【答案】(1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)可得，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求出m的值，最后將m的值代入原方程，即可求解．【詳解】（1）解：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根理由：，∵，∴，∴這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，∴，∵該一元二次方程的兩根為a，b，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴這個(gè)一元二次方程為，解得．∴這個(gè)矩形對(duì)角線的長(zhǎng)是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)五一元二次方程的解法——因式分解法】【例題5】（2023春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）移項(xiàng)變?yōu)橐话阈问胶?，利用因式分解求解即可；?）利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得因式分解，得，∴，（2）因式分解，得則或解得，【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，或，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：，，，或，或，故方程的解為．（2）解：方程中的，這個(gè)方程的根的判別式為，所以方程的解為，即．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．【變式53】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）解方程(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先將方程整理為一般形式，再利用因式分解法求解即可．【詳解】（1），，，或，，．（2），，，或，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的各種解法，并能選擇合適的方法求解方程是解題的關(guān)鍵．【變式54】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（3）根據(jù)公式法解一元二次方程；（4）將看作整體，根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∴，∴，即，∴，∴，（2）∴，∴，∴或，∴，；（3），∵，∴，∴，∴，；（4）∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六換元法解一元二次方程】【例題6】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）實(shí)數(shù)滿足方程，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】運(yùn)用換元法解方程，再根據(jù)根的判別式判斷根的情況，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則原式變形得，因式分解法解一元二次方程得，，∴，，當(dāng)時(shí)，，變形得，，根據(jù)判別式，無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，變形得，，根據(jù)判別式，方程有兩個(gè)實(shí)根；∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法解高次方程，掌握換元法解方程的方法，根的判別式判斷根的情況等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3【答案】C【分析】利用換元法求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∴或，解得或，∴或，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，熟知換元法是解題的關(guān)鍵．【變式62】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若，則______．【答案】【分析】設(shè)．則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，即；然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：設(shè)．則，即，解得，或不合題意，舍去)；故．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程．解答該題時(shí)，注意中的的取值范圍：．【變式63】（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料，解答問(wèn)題.解方程：.解：把視為一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．解得：，，或，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到簡(jiǎn)化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請(qǐng)仿照材料解決下列問(wèn)題：(1)解方程；(2)已知，求的值.【答案】(1)，(2)的值是6【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息，利用換元法解方程即可；（2）設(shè)，原方程可化為，解關(guān)于a的一元二次方程，最后注意，不合題意，舍去，即可得出答案．【詳解】（1）解：，設(shè)，則原方程可化為，整理，得，解得，，當(dāng)時(shí)，即，解得：；當(dāng)時(shí)，即，解得；綜上所述，原方程的解為，；（2）解：設(shè)，則原方程可化為，整理，得，分解因式得：，解得，，∵

，∴∴不合題意，舍去，∴，即的值是6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握解一元二次方程的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算．【考點(diǎn)七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】【例題7】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到，的值，即可求得．【詳解】∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，則原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為_(kāi)_____．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時(shí)，，．【變式72】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)一元二次方程的兩根分別是、，計(jì)算____________．【答案】11【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：、，然后再結(jié)合完全平方公式即可解答．【詳解】解：∵元二次方程的兩根分別是，∴、，∴故答案為：11【點(diǎn)睛】本題主要考考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的一般形式的根與系數(shù)的關(guān)系為（b是一次項(xiàng)數(shù)），（c是常數(shù)項(xiàng)）是解答本題的關(guān)鍵．【變式73】（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為_(kāi)__．【答案】7【分析】根據(jù)題意得出a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故，，把所求式子變形再整體代入可算得答案．【詳解】解：∵a，b滿足，，且，∴a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式．【變式74】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，代入得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的兩根∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義，一元二次工程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．【考點(diǎn)八利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】【例題8】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和，∴，解得；（2）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式81】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用根的判別式判斷即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系式得到，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵∴無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，由得：解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握根的判別式的三種情況及根與系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式82】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)，，代入，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，為正整數(shù)，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式83】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且滿足．求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用整體思想代入求值即可.【詳解】（1）由題意得，．

解得：；（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得．∵，∴．解得：．∵，∴．

∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程判別式與方程根的情況的對(duì)應(yīng)以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·福建福州·九年級(jí)福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮辉畏匠痰母那闆r為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】先計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)判別式的值就可以判斷根的情況．【詳解】解：∵在方程中，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；（3）?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）一元二次方程的兩個(gè)根是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，或，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法是解題關(guān)鍵．3．（2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考二模）已知是一元二次方程的兩根，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，．4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則，整體代入求解即可．【詳解】解：、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，即，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．5．（2023春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍（）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式以及二次根式有意義的條件，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，然后求解即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，∴且，解得：且．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的定義、二次根式有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，列出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形是周長(zhǎng)是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分類(lèi)討論腰與底，利用三角形邊角關(guān)系判斷即可確定出周長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，，，有兩種情況：①三角形的三邊為，，，此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，②三角形的三邊為，，，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定義，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一元二次方程的解是______．【答案】【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）一元二次方程根的判別式的值為_(kāi)_____．【答案】16【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式公式即可求出答案．【詳解】解：∵一元二次方程，∴該方程根的判別式，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的判別式為．9．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若方程的兩根為，，則___________．【答案】4【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵方程的兩根為，，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的兩個(gè)根，，滿足，．10．（2023·廣東陽(yáng)江·統(tǒng)考二模）一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為_(kāi)________．【答案】1【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，即，解得：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．11．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m，n為關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則______.【答案】【分析】先根據(jù)m是的一個(gè)實(shí)數(shù)根得出，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后對(duì)原式進(jìn)行變形后整體代入即可得出答案．【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，即．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法：①若，則它有一根為﹣1；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；其中正確的______．【答案】①②④【分析】利用因式分解法解方程可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根得到，則可判斷，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；由c是方程的一個(gè)根得到，只有當(dāng)時(shí)，，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用計(jì)算根的判別式得到，則根據(jù)根的判別式的意義可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：若時(shí)，則，∴原方程為，∴解得，，故①正確；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則，∴方程的根的判別式，∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②正確；∵c是方程的一個(gè)根，∴，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；若，則，∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．三、解答題13．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市惠興中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可；（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，則，∴或，解得，；（2）解：∵，∴，∴或，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．14．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式進(jìn)而解方程即可；（2）利用公式法解方程得出答案．【詳解】（1）解：，則，故，解得：，；（2），∵，則，解得：，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法以及因式分解法解方程，正確選擇解方程的方法是解題關(guān)鍵．15．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用求根公式直接求解即可；（2）先移項(xiàng)，然后利用平方差公式分解因式求解即可；【詳解】（1）解：原方程可化為：

∴，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

∴，（2）解：原方程移項(xiàng)，得因式分解，得于是得或∴，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程．(1)用配方法解方程：．(2)用公式法解方程．．【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）解：移項(xiàng)得，．配方得，，，，原方程的解為，．（2）解：，，，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練運(yùn)用不同的方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)?？级＃┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(