專題16作輔助線構(gòu)造全等三角形

專題16作輔助線構(gòu)造全等三角形題型一倍長(zhǎng)中線1．已知在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍A． B． C． D．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)到，使，是邊上的中線，，在和中，，，，，，即，．故選：．2．如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，連接、，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求證：．【解答】證明：（1）理由如下：（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），是的中點(diǎn)（已知），（中點(diǎn)的定義）．在與中，，；（2）由（1）知，，，，，即，在與中，，，，；3．已知：如圖，、分別是和的中線，且，求證：．【解答】證明：延長(zhǎng)至，使，連接．是的中線，．，．，．，，．，，．是的中線，．．．，即．4．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的延長(zhǎng)至使連接利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是；中線的取值范圍是．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若．求證：．【解答】（1）解：是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，；故答案為：；；（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，如圖2所示：同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，5．（1）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷．，，之間的等量關(guān)系；（2）問(wèn)題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）理由如下：是的平分線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在和中，，（2）理由如下：如圖②，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，．在和中，，是的平分線，，，，，6．【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是________．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．

【問(wèn)題解決】

（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝DE,∠ADC＝∠BDE,BD＝CD))，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8－6＜2AD＜8＋6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長(zhǎng)AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中EQ\B\lc\{(\a\al(DC＝DB,∠ADC＝∠MDB,DA＝DM))∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．7．已知：點(diǎn)為的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），分別過(guò)點(diǎn)、向直線作垂線，垂足分別為、．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖1，求證：；（2）直線繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)在線段上，如圖2，猜想線段、、之間又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖3，線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）【解答】解：（1），，，在和中，，，；（2）①圖2中的結(jié)論為：，證明如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，在和中，，，，，在中，，，，，是等邊三角形，，，，，．②圖3的結(jié)論，證明如下：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，在和中，，，，，在中，，，，，是等邊三角形，，，，，．題型二角平分線8．如圖，的面積為，平分，過(guò)點(diǎn)作于，則的面積為12.5．【解答】解：延長(zhǎng)交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故答案為：12.5．9．已知，如圖中，，，的平分線交于點(diǎn)，，求證：．【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，，，平分．10．如圖，的面積為，是的平分線，于，則的面積為A． B． C．6 D．7【解答】解：延長(zhǎng)交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故選：．11．如圖，已知的面積為，為的角平分線，垂直于點(diǎn)，則的面積為4．【解答】解：延長(zhǎng)交于，垂直的平分線于，，又知，，在與中，，，，和等底同高，，設(shè)的面積為，．故答案為：4．12．如圖：在中，，是的平分線，于，在上，，，，則的面積為6．【解答】解：是的平分線，于，，在中，在中，．即，在中，的面積為故答案為6．13．如圖，在四邊形中，，，，為邊中點(diǎn)，若平分，平分，，則的長(zhǎng)為26．【解答】解：如圖，在線段上截取，，連接，．是的中點(diǎn)，，，，，，同法可證，，，，，，，，，，，，是等邊三角形．，，，故答案為26．14．觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，平分，在，上分別取，，使，再在上任取一點(diǎn)，連接，．請(qǐng)你猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用：如圖2，在中，是直角，，，分別是，的平分線，，相交于點(diǎn)，請(qǐng)你寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）．理由：平分，，，，，．（2）．理由：如圖2，在上截取，連接，，，．是直角，即，又，，，分別是，的平分線，，，，，又為公共邊，，，．15．如圖，在中，的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)，連接．（1）求證：平分的外角；（2）過(guò)點(diǎn)作，是垂足，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．【解答】證明：（1）過(guò)作于，于，于，如圖，在中，的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)，，，，平分，即平分的外角；（2）平分的外角，，，，在和中，．16．已知等腰直角三角形，是斜邊．的角平分線交于，過(guò)作與垂直且交延長(zhǎng)線于，求證：．【解答】證明：如圖，分別延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)．，，平分，，又，．．．，，，，．又，，．．，．17．（1）如圖1，中，作、的角平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交、于、．①求證：；②若的周長(zhǎng)是25，，試求出的周長(zhǎng)；（2）如圖2，若的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)，連接，試探求與的數(shù)量關(guān)系式．【解答】解：（1）①平分，，，，，；②的周長(zhǎng)；（2）解：延長(zhǎng)，做，，，平分，，，平分，，，，，，，．18．已知：．小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識(shí)后，做了一個(gè)夾角為（即的角尺來(lái)作的角平分線．（1）如圖1，他先在邊和上分別取，再移動(dòng)角尺使，然后他就說(shuō)射線是的角平分線．試根據(jù)小新的做法證明射線是的角平分線；（2）如圖2，小新在確認(rèn)射線是的角平分線后，一時(shí)興起，將角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了一定的角度，他認(rèn)為旋轉(zhuǎn)后的線段和仍然相等．請(qǐng)問(wèn)小新的觀點(diǎn)是否正確，為什么？（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得，請(qǐng)判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：如圖1中，在和中，，，．（2）解：結(jié)論正確．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)作于，于．，，，，，平分，，，，，在和中，，，，在和中，，，．（3）解：結(jié)論：．理由：如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，連接．平分，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．19．是等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，、交于點(diǎn)，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，為的角平分線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，連接、，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求長(zhǎng)．【解答】證明：（1）如圖1，是等邊三角形，，在和中，，，，，；（2）如圖2，作交的延長(zhǎng)線于，作于，，，為的角平分線，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，作于，于，為的角平分線，，，，在（2）中已證，，的面積的面積，，，，．題型三截長(zhǎng)補(bǔ)短20．如圖，在中，，，垂足為，且，則的度數(shù)是．【解答】解：延長(zhǎng)至，使，連接．（已知），（等量代換），即；，（外角定理）；，（三角形內(nèi)角和定理）．故答案是：．21．（1）如圖1，四邊形中，，，的角平分線交于邊上的點(diǎn)，求證：①；②是的中點(diǎn)；（2）如圖2，（1）中的條件“”改為“條件”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否都依然成立？請(qǐng)什么理由．【解答】（1）證明：如圖中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．，分別平分，，且，，即是中點(diǎn)，在和中，，，，同法可得：，．（2）解：結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2中，在上截取，連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．22．如圖，在中，，、分別平分、．（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）圖中還有相等的線段嗎？請(qǐng)找出來(lái)（不用說(shuō)明理由）．【解答】解：（1）如圖1，在上截取，連接，平分，，在和中，，，，、分別平分，，；（2），，，在和中，，，；（3），如圖2，過(guò)作，，垂足分別為、，、為角平分線，點(diǎn)在的平分線上，，，，平分，平分，，，，，，在四邊形中，，，，，在和中，，，．23．如圖，已知在中，，，是的平分線．（1）．（2）求證：．【解答】（1）解：，，，平分，，，故答案為；（2）證明：延長(zhǎng)使，連接，，，，在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．24．在等腰中，，為邊上的高，點(diǎn)在的外部且，，連接交直線于點(diǎn)，連接．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（3）如圖③，當(dāng)時(shí)，求證：．【解答】解：（1）證明：為邊上的高，，，，，，，；（2），，，，，，，，，；（3）如圖③，在上截取一點(diǎn)，使，連接，，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，．25．如圖．已知，，，，垂足為．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）請(qǐng)問(wèn)線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：，，，，在和中，，；（2）解：，，，由（1）知，，，，，，，；（3）解：；理由如下：延長(zhǎng)到，使得，連接，如圖所示：，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，．26．如圖：在中，，，射線、的夾角為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，直線交