專題16作輔助線構(gòu)造全等三角形

專題16作輔助線構(gòu)造全等三角形題型一倍長中線1．已知在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍A． B． C． D．【解答】解：如圖，延長到，使，是邊上的中線，，在和中，，，，，，即，．故選：．2．如圖，在四邊形中，，為的中點，連接、，延長交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，求證：．【解答】證明：（1）理由如下：（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），是的中點（已知），（中點的定義）．在與中，，；（2）由（1）知，，，，，即，在與中，，，，；3．已知：如圖，、分別是和的中線，且，求證：．【解答】證明：延長至，使，連接．是的中線，．，．，．，，．，，．是的中線，．．．，即．4．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的延長至使連接利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是；中線的取值范圍是．（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若．求證：．【解答】（1）解：是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，；故答案為：；；（2）證明：延長至點，使，連接、，如圖2所示：同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，5．（1）如圖①，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個三角形中即可判斷．，，之間的等量關(guān)系；（2）問題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）理由如下：是的平分線，點是的中點，在和中，，（2）理由如下：如圖②，延長交的延長線于點是的中點，，，．在和中，，是的平分線，，，，，6．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是________．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．

【問題解決】

（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝DE,∠ADC＝∠BDE,BD＝CD))，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8－6＜2AD＜8＋6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中EQ\B\lc\{(\a\al(DC＝DB,∠ADC＝∠MDB,DA＝DM))∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．7．已知：點為的邊的中點，點為射線上的一個點（點不與點重合），分別過點、向直線作垂線，垂足分別為、．（1）當點與點重合時，如圖1，求證：；（2）直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當時，①當點在線段上，如圖2，猜想線段、、之間又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明；②當點在線段的延長線上，如圖3，線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論，并說明理由．（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）【解答】解：（1），，，在和中，，，；（2）①圖2中的結(jié)論為：，證明如下：延長交于點，，，，，在和中，，，，，在中，，，，，是等邊三角形，，，，，．②圖3的結(jié)論，證明如下：延長交的延長線于點，，，，，在和中，，，，，在中，，，，，是等邊三角形，，，，，．題型二角平分線8．如圖，的面積為，平分，過點作于，則的面積為12.5．【解答】解：延長交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故答案為：12.5．9．已知，如圖中，，，的平分線交于點，，求證：．【解答】證明：如圖，延長交的延長線于，，，平分．10．如圖，的面積為，是的平分線，于，則的面積為A． B． C．6 D．7【解答】解：延長交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故選：．11．如圖，已知的面積為，為的角平分線，垂直于點，則的面積為4．【解答】解：延長交于，垂直的平分線于，，又知，，在與中，，，，和等底同高，，設(shè)的面積為，．故答案為：4．12．如圖：在中，，是的平分線，于，在上，，，，則的面積為6．【解答】解：是的平分線，于，，在中，在中，．即，在中，的面積為故答案為6．13．如圖，在四邊形中，，，，為邊中點，若平分，平分，，則的長為26．【解答】解：如圖，在線段上截取，，連接，．是的中點，，，，，，同法可證，，，，，，，，，，，，是等邊三角形．，，，故答案為26．14．觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，平分，在，上分別取，，使，再在上任取一點，連接，．請你猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．拓展應(yīng)用：如圖2，在中，是直角，，，分別是，的平分線，，相交于點，請你寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）．理由：平分，，，，，．（2）．理由：如圖2，在上截取，連接，，，．是直角，即，又，，，分別是，的平分線，，，，，又為公共邊，，，．15．如圖，在中，的平分線與的外角的平分線相交于點，連接．（1）求證：平分的外角；（2）過點作，是垂足，并延長交于點．求證：．【解答】證明：（1）過作于，于，于，如圖，在中，的平分線與的外角的平分線相交于點，，，，平分，即平分的外角；（2）平分的外角，，，，在和中，．16．已知等腰直角三角形，是斜邊．的角平分線交于，過作與垂直且交延長線于，求證：．【解答】證明：如圖，分別延長，交于一點．，，平分，，又，．．．，，，，．又，，．．，．17．（1）如圖1，中，作、的角平分線相交于點，過點作分別交、于、．①求證：；②若的周長是25，，試求出的周長；（2）如圖2，若的平分線與外角的平分線相交于點，連接，試探求與的數(shù)量關(guān)系式．【解答】解：（1）①平分，，，，，；②的周長；（2）解：延長，做，，，平分，，，平分，，，，，，，．18．已知：．小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識后，做了一個夾角為（即的角尺來作的角平分線．（1）如圖1，他先在邊和上分別取，再移動角尺使，然后他就說射線是的角平分線．試根據(jù)小新的做法證明射線是的角平分線；（2）如圖2，小新在確認射線是的角平分線后，一時興起，將角尺繞點旋轉(zhuǎn)了一定的角度，他認為旋轉(zhuǎn)后的線段和仍然相等．請問小新的觀點是否正確，為什么？（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得，請判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：如圖1中，在和中，，，．（2）解：結(jié)論正確．理由：如圖2中，過點作于，于．，，，，，平分，，，，，在和中，，，，在和中，，，．（3）解：結(jié)論：．理由：如圖3中，在上取一點，使得，連接．平分，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．19．是等邊三角形，點、分別在邊、上，、交于點，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，為的角平分線，點在的延長線上，，連接、，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求長．【解答】證明：（1）如圖1，是等邊三角形，，在和中，，，，，；（2）如圖2，作交的延長線于，作于，，，為的角平分線，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，作于，于，為的角平分線，，，，在（2）中已證，，的面積的面積，，，，．題型三截長補短20．如圖，在中，，，垂足為，且，則的度數(shù)是．【解答】解：延長至，使，連接．（已知），（等量代換），即；，（外角定理）；，（三角形內(nèi)角和定理）．故答案是：．21．（1）如圖1，四邊形中，，，的角平分線交于邊上的點，求證：①；②是的中點；（2）如圖2，（1）中的條件“”改為“條件”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否都依然成立？請什么理由．【解答】（1）證明：如圖中，過點作于點．，分別平分，，且，，即是中點，在和中，，，，同法可得：，．（2）解：結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2中，在上截取，連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．22．如圖，在中，，、分別平分、．（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）圖中還有相等的線段嗎？請找出來（不用說明理由）．【解答】解：（1）如圖1，在上截取，連接，平分，，在和中，，，，、分別平分，，；（2），，，在和中，，，；（3），如圖2，過作，，垂足分別為、，、為角平分線，點在的平分線上，，，，平分，平分，，，，，，在四邊形中，，，，，在和中，，，．23．如圖，已知在中，，，是的平分線．（1）．（2）求證：．【解答】（1）解：，，，平分，，，故答案為；（2）證明：延長使，連接，，，，在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．24．在等腰中，，為邊上的高，點在的外部且，，連接交直線于點，連接．（1）如圖①，當時，求證：；（2）如圖②，當時，求的度數(shù)；（3）如圖③，當時，求證：．【解答】解：（1）證明：為邊上的高，，，，，，，；（2），，，，，，，，，；（3）如圖③，在上截取一點，使，連接，，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，．25．如圖．已知，，，，垂足為．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）請問線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【解答】（1）證明：，，，，在和中，，；（2）解：，，，由（1）知，，，，，，，；（3）解：；理由如下：延長到，使得，連接，如圖所示：，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，．26．如圖：在中，，，射線、的夾角為，過點作于點，直線交