專題05與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題05與圖形有關(guān)的問題（一元二次方程的應(yīng)用）姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022春·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖是某公園在一長35m，寬23m的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖面面積的，求人行觀景曲橋的寬．若設(shè)人行觀景曲橋的寬為xm，則x滿足的方程為（

）A． B．C． D．2．(本題2分)（2022春·浙江湖州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為，則該有蓋紙盒的高為（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm3．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）空地上有一段長為a米的舊墻MN，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（

）A．若a＝16，S＝196，則有一種圍法 B．若a＝20，S＝198，則有兩種圍法C．若a＝24，S＝198，則有兩種圍法 D．若a＝24，S＝200，則有一種圍法4．(本題2分)（2022春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校校聯(lián)考期末）如圖，某校在操場東邊開發(fā)出一塊邊長分別為米、米的長方形菜園，作為勞動教育系列課程的實驗基地之一．為了便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一縱兩橫三條等寬的小道，要使種植面積為平方米．設(shè)小道的寬為米，可列方程為(

)A．B．C．D．5．(本題2分)（2022春·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，若將如圖1所示的正方形剪成四塊，恰能拼成如圖2所示的長方形，設(shè)，則b的值為（）A． B． C． D．6．(本題2分)（2022春·重慶沙坪壩·八年級統(tǒng)考期末）如圖，把一塊長為，寬為的矩形硬紙板的四角各剪去一個同樣大小的正方形，再折疊成一個無蓋的長方體紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為，設(shè)剪去的小正方形的邊長為，則可列方程為（

）A． B．C． D．7．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個正根．如圖，一張邊長為的正方形的紙片，先折出，的中點，，再沿過點的直線折疊，使點A落在線段上（即處），折痕為，點在邊上，連接，，則長度恰好是方程的一個正根的線段為（

）A． B． C． D．8．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法.以方程即為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖（1），大正方形的面積是，同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則圖（2）是下列哪個方程的幾何解法？（

）A． B．C． D．9．(本題2分)（2023秋·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一塊長為，寬為的長方形土地的周長為，面積為，現(xiàn)將該長方形土地的長、寬都增加，則擴建后的長方形土地的面積為（

）A． B． C． D．10．(本題2分)（2020秋·浙江·八年級期末）一個矩形內(nèi)放入兩個邊長分別為和的小正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為，按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為，若把兩張正方形紙片按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為（

）A． B． C． D．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2021春·浙江·八年級期中）某公園準(zhǔn)備圍建一個矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，其他三邊用長為54米的籬笆圍成，已知墻EF長為28米，并且與墻平行的一面BC上要預(yù)留2米寬的入口（如圖MN所示，不用圍籬笆），若花園的面積為320平方米，則AB＝_____．12．(本題2分)（2020秋·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，cm，cm，如果按圖中所示的方法將沿折疊，使點落在邊上的點，那么=______________．13．(本題2分)（2022春·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，點P在射線BA上（不與A、B重合），過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足為C、D．當(dāng)矩形OCPD的面積為1時，點P的坐標(biāo)為_____．14．(本題2分)（2022春·吉林·八年級吉林省第二實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗重園，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，苗重園的面積為y平方米．當(dāng)y=72時，則x=_____．15．(本題2分)（2021春·山東威?！ぐ四昙壭？计谥校┰谝粋€長為米，完為米的矩形空地上，建造一個花園，要求花園的面積占整塊矩形面積的，建造如圖所示的寬度相同的角路，則角路的寬度為_________．16．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）從前有一個人拿著竹竿進(jìn)城，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比城門寬，豎著比城門高，另一個人告訴他沿著城門的兩對角斜著拿竿，這個人一試，不多不少剛好進(jìn)去了，則竹竿的長度為______．17．(本題2分)（2022秋·重慶·八年級重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）開學(xué)伊始，各校新生都組織了軍訓(xùn)，某校軍訓(xùn)匯演的場地為一塊長方形地塊，某班準(zhǔn)備學(xué)生在場地內(nèi)站成行距、列距均為的方陣，場地邊緣不站人，且最靠邊的行、列距離邊緣都是．但后來發(fā)現(xiàn)這樣安排只能剛好站下參加匯演的所有女生，就決定男生站在邊緣一圈的位置，且行、列與女生對齊，發(fā)現(xiàn)剛好占滿所有可以站人的位置．匯報演出時男生揮舞彩旗，女生搖動啦啦球，采購彩旗和啦啦球時發(fā)現(xiàn)啦啦球的單價是彩旗的4倍，而啦啦球的總價是彩旗總價的4.8倍．如果場地面積不超過，那么場地的面積為___________．18．(本題2分)（2019春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一塊矩形鐵皮的長是寬的2倍，將這個鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，若盒子的容積是240cm3，則原鐵皮的寬為______cm．19．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知在長方形紙片中，，，現(xiàn)將兩個邊長分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片中均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為；若時，則_________；若再在邊長為大正方形的左上角擺放一個邊長為的小正方形（如圖3），當(dāng)時，則圖3中陰影部分的面積_________．20．(本題2分)（2022秋·上海·八年級上海市黃浦大同初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在《代數(shù)學(xué)》中記載了求方程正數(shù)解的幾何方法：如圖1，先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．小明嘗試用此方法解關(guān)于x的方程時，構(gòu)造出如圖2所示正方形，已知圖2中陰影部分的面積和為．該方程的正數(shù)解為___________．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題8分)（2022春·八年級課時練習(xí)）將一個容積為的包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示．圖中應(yīng)滿足怎樣的方程？22．(本題8分)（2023春·八年級課時練習(xí)）某商店需要在外墻安裝落地窗，用總長為6米的鋁合金做成一個如圖所示的“日”字型窗框，設(shè)窗框的寬度為x米，落地窗的面積為y平方米．落地窗的高不小于2米．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)能否使窗的面積達(dá)到2平方米，如果能，窗的高度和寬度各是多少？如果不能，試說明理由．23．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，將一張寬的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個正方形，兩個矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側(cè)面積），紙盒側(cè)面積為，求該有蓋紙盒的底面邊長．（單位：）24．(本題8分)（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┮粔K長方形空地的長是24米，寬是12米．現(xiàn)要在它的中央劃一個小長方形區(qū)域種植花卉，其余四周植草．如果四周的寬度相同，小長方形面積是原長方形面積的，那么四周的寬度是多少米？25．(本題8分)（2020春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）學(xué)校有一塊長14米，寬10米的矩形空地，準(zhǔn)備將其規(guī)劃，設(shè)計圖案如圖，陰影應(yīng)為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)為全等的矩形），空白區(qū)為路面，且四周出口一樣寬廣且寬度不小于2米，不大于5米，路面造價為每平方米200元，綠化區(qū)為每平方米150元，設(shè)綠化區(qū)的長邊長為x米．（1）用x表示綠化區(qū)短邊的長為______米，x的取值范圍為______．（2）學(xué)校計劃投資25000元用于此項工程建設(shè)，求綠化區(qū)的長邊長．26．(本題10分)（2022春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）如圖，要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場．為了節(jié)約材料，使養(yǎng)雞場的一邊靠著原有的一面墻，墻長為a，另三邊用竹籬笆圍成．已知籬笆總長為40m．求養(yǎng)雞場的長與寬各為多少米？27．(本題10分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）有一塊長為米，寬為米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為米的縱橫小路（陰影部分），余下的場地建成草坪．(1)如圖，在矩形場地上修筑兩條的縱橫小路．請寫出兩條小路的面積之和______（用含、的代數(shù)式表示）；若，且草坪的總面積為，求原來矩形場地的長與寬各為多少米？(2)如圖，在矩形場地上修筑多條的縱橫小路，其中條水平方向的小路，條豎直方向的小路（為常數(shù)），若，且草坪的總面積為平方米，求的值．2022-2023學(xué)年浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題05與圖形有關(guān)的問題（一元二次方程的應(yīng)用）評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022春·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖是某公園在一長35m，寬23m的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖面面積的，求人行觀景曲橋的寬．若設(shè)人行觀景曲橋的寬為xm，則x滿足的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)圖中曲橋分布，列出方程即可；【規(guī)范解答】解：如圖，將曲橋移至同一水平上可得，故選：C【考點評析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2022春·浙江湖州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為，則該有蓋紙盒的高為（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【思路點撥】設(shè)當(dāng)紙盒的高為xcm時，紙盒的底面積是48cm2，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是48cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設(shè)當(dāng)紙盒的高為xcm時，紙盒的底面積是48cm2，依題意，得：，化簡，得：x2-15x+26=0，解得：x1=2，x2=13．當(dāng)x=2時，10-2x=6＞0，符合題意；當(dāng)x=13時，10-2x=-16＜0，不符合題意，舍去，答：若紙盒的底面積是48cm2，紙盒的高為2cm．故選：C．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）空地上有一段長為a米的舊墻MN，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（

）A．若a＝16，S＝196，則有一種圍法 B．若a＝20，S＝198，則有兩種圍法C．若a＝24，S＝198，則有兩種圍法 D．若a＝24，S＝200，則有一種圍法【答案】A【思路點撥】分兩種情況討論：采用圖1圍法，圖2圍法，設(shè)矩形菜園的寬為x米，分別表示矩形的長，再利用矩形面積列方程，解方程，注意檢驗x的范圍，從而可得答案．【規(guī)范解答】解：設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：此時都不符合題意，采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗不符合題意，綜上：若a＝16，S＝196，則沒有圍法，故A符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗符合題意，綜上：若a＝20，S＝198，則有兩種圍法，故B不符合題意；同理可得：C不符合題意，D不符合題意；故選A【考點評析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，表示圖2中矩形的長是解本題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2022春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校校聯(lián)考期末）如圖，某校在操場東邊開發(fā)出一塊邊長分別為米、米的長方形菜園，作為勞動教育系列課程的實驗基地之一．為了便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一縱兩橫三條等寬的小道，要使種植面積為平方米．設(shè)小道的寬為米，可列方程為(

)A．B．C．D．【答案】A【思路點撥】由小道的寬為米，可得出種植菜園的部分可合成長為米，寬為米的長方形，再根據(jù)種植面積為平方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【規(guī)范解答】解：小道的寬為米，種植菜園的部分可合成長為米，寬為米的長方形．依題意得：．故選：．【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022春·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，若將如圖1所示的正方形剪成四塊，恰能拼成如圖2所示的長方形，設(shè)，則b的值為（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)上圖可知正方形的邊長為a+b，下圖長方形的長為a+b+b，寬為b，并且它們的面積相等，由此可列出，解方程即可求得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得：正方形的邊長為a+b，長方形的長為a+b+b，寬為b，則，即，∵ab≠0，∴，解得：，∵＞0，∴，∴當(dāng)a=1時，，故選：B．【考點評析】本題考查了圖形的拼接、解一元二次方程、正方形的面積、長方形的面積，正確理解題意，找到隱含的數(shù)量關(guān)系列出方程是解答的關(guān)鍵．6．(本題2分)（2022春·重慶沙坪壩·八年級統(tǒng)考期末）如圖，把一塊長為，寬為的矩形硬紙板的四角各剪去一個同樣大小的正方形，再折疊成一個無蓋的長方體紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為，設(shè)剪去的小正方形的邊長為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【思路點撥】根據(jù)“剪去的小正方形的邊長為”，則紙盒的底面為長，寬為的長方形，再根據(jù)紙盒的底面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【規(guī)范解答】解：設(shè)剪去小正方形的邊長為,則紙盒的底面為長，寬為的長方形，依題意，得：在．故選：D．【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個正根．如圖，一張邊長為的正方形的紙片，先折出，的中點，，再沿過點的直線折疊，使點A落在線段上（即處），折痕為，點在邊上，連接，，則長度恰好是方程的一個正根的線段為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知≌，是的中點，則，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解決問題．【規(guī)范解答】解：設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知：≌，是的中點，，，根據(jù)勾股定理得：，，，解得：，的解為：，取正值為，這條線段是線段．故選B．【考點評析】此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，運用勾股定理和面積法找到線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法.以方程即為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖（1），大正方形的面積是，同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則圖（2）是下列哪個方程的幾何解法？（

）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】根據(jù)題意，觀察圖2，由面積之間的關(guān)系可得到答案．【規(guī)范解答】解：中間小正方形的邊長為，其面積為9，大正方形面積為，邊長為7，∴圖2是，即的幾何解法，故選：A【考點評析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，完全平方公式的幾何背景，通過圖形直觀，得出面積之間的關(guān)系，并用代數(shù)式表示出來是解題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2023秋·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一塊長為，寬為的長方形土地的周長為，面積為，現(xiàn)將該長方形土地的長、寬都增加，則擴建后的長方形土地的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意列出方程組，求出的值，再進(jìn)行計算即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得：，解得：（負(fù)值已舍去），擴建后的長方形土地的面積為m2，故選：B．【考點評析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2020秋·浙江·八年級期末）一個矩形內(nèi)放入兩個邊長分別為和的小正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為，按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為，若把兩張正方形紙片按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】設(shè)矩形的長為，寬為，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合按圖①②兩種放置時未被覆蓋部分的面積，即可得出關(guān)于，的方程組，利用②①可得出③，將③代入②中可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出值，進(jìn)而可得出的值，再利用矩形的面積公式求出按圖③放置時未被覆蓋的兩個小矩形的面積和即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設(shè)矩形的長為，寬為，依題意，得：，②①，得：，③．將③代入②，得：，整理，得：，解得：，（舍去），．按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為．故選：B．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(共20分)11．(本題2分)（2021春·浙江·八年級期中）某公園準(zhǔn)備圍建一個矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，其他三邊用長為54米的籬笆圍成，已知墻EF長為28米，并且與墻平行的一面BC上要預(yù)留2米寬的入口（如圖MN所示，不用圍籬笆），若花園的面積為320平方米，則AB＝_____．【答案】20米【思路點撥】根據(jù)54米的籬笆，即總長度是54米，設(shè)BC＝x米，則AB＝（54-x+2）米，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可完成求解．【規(guī)范解答】設(shè)矩形花園BC的長為x米，則其寬為（54-x+2）米，依題意列方程得：（54-x+2）x＝320x2-56x+640＝0解方程得：x1＝16，x2＝40∵28＜40∴x2＝40（不合題意，舍去）∴x＝16∴AB＝（54-x+2）＝20故答案為：20米．【考點評析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列方程．12．(本題2分)（2020秋·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，cm，cm，如果按圖中所示的方法將沿折疊，使點落在邊上的點，那么=______________．【答案】3cm．【思路點撥】利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AC′=AC，C′D=CD，然后求出BC′，設(shè)CD=x，表示出C′D、BD，然后利用勾股定理列方程求解即可．【規(guī)范解答】解：∵cm，cm，∴AB==10cm．∵由翻折變換的性質(zhì)可知：AC′=AC=6cm，C′D=CD，∴BC′=AB-AC′=10-6=4cm．設(shè)CD=x，則C′D=x，BD=8-x，在Rt△BC′D中，由勾股定理得，BC′2+C′D2=BD2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3．∴CD=3cm．故答案為：3cm．【考點評析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2022春·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，點P在射線BA上（不與A、B重合），過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足為C、D．當(dāng)矩形OCPD的面積為1時，點P的坐標(biāo)為_____．【答案】（1，1）或（，2）或（，）【思路點撥】設(shè)點P橫坐標(biāo)為a，則點P的縱坐標(biāo)為﹣2a+3，然后再利用矩形OCPD的面積為1列出方程，計算出a的值，進(jìn)而可得答案．【規(guī)范解答】解：設(shè)點P橫坐標(biāo)為a，點P在一次函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象上，分兩種情況求解：①∵當(dāng)P在x軸上方時，∴點P的縱坐標(biāo)為﹣2a+3，∵矩形OCPD的面積為1，∴a（﹣2a+3）＝1，解得：a1＝1，a2，當(dāng)a＝1時，﹣2a+3＝1，當(dāng)a時，﹣2a+3＝2，∴點P的坐標(biāo)為（1，1）或（，2），②∵當(dāng)P在x軸下方時，∴點P的縱坐標(biāo)為﹣2a+3，∵矩形OCPD的面積為1，∴a（2a﹣3）＝1，解得：a1（不合題意舍去），a2，當(dāng)a時，﹣2a+3，∴點P的坐標(biāo)為（）．故答案為：（1，1）或（，2）或（，）．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于列出正確的等式．14．(本題2分)（2022春·吉林·八年級吉林省第二實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗重園，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，苗重園的面積為y平方米．當(dāng)y=72時，則x=_____．【答案】12【思路點撥】根據(jù)題意，列出方程（30-2x）x=72，解得x1=12，x2=3，由題可知30-2x≤18，解得x≥6，進(jìn)而求出最后x的值．【規(guī)范解答】解：由題意，得（30-2x）x=72解得x1=12，x2=3又30-2x≤18解得x≥6∴x=12故答案為：12．【考點評析】本題考查一元二次方程與不等式的綜合應(yīng)用，熟練地解一元二次方程和不等式式解決問題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2021春·山東威海·八年級?？计谥校┰谝粋€長為米，完為米的矩形空地上，建造一個花園，要求花園的面積占整塊矩形面積的，建造如圖所示的寬度相同的角路，則角路的寬度為_________．【答案】4米【思路點撥】設(shè)路寬x米，根據(jù)題意，得，解方程即可．【規(guī)范解答】將陰影部分集中梳理得到如下圖形，設(shè)路寬x米，根據(jù)題意，得解得（舍去），故答案為：4米．【考點評析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確處理陰影路是解題的關(guān)鍵．16．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）從前有一個人拿著竹竿進(jìn)城，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比城門寬，豎著比城門高，另一個人告訴他沿著城門的兩對角斜著拿竿，這個人一試，不多不少剛好進(jìn)去了，則竹竿的長度為______．【答案】【思路點撥】設(shè)竹竿的長為x米，根據(jù)門框的邊長的平方和等于竹竿的長的平方列方程，解一元二次方程即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)竹竿的長為x米，由題意得：，解得：，（舍去），故答案為：．【考點評析】考查一元二次方程的應(yīng)用；得到門框的邊長和竹竿長的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2022秋·重慶·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）開學(xué)伊始，各校新生都組織了軍訓(xùn)，某校軍訓(xùn)匯演的場地為一塊長方形地塊，某班準(zhǔn)備學(xué)生在場地內(nèi)站成行距、列距均為的方陣，場地邊緣不站人，且最靠邊的行、列距離邊緣都是．但后來發(fā)現(xiàn)這樣安排只能剛好站下參加匯演的所有女生，就決定男生站在邊緣一圈的位置，且行、列與女生對齊，發(fā)現(xiàn)剛好占滿所有可以站人的位置．匯報演出時男生揮舞彩旗，女生搖動啦啦球，采購彩旗和啦啦球時發(fā)現(xiàn)啦啦球的單價是彩旗的4倍，而啦啦球的總價是彩旗總價的4.8倍．如果場地面積不超過，那么場地的面積為___________．【答案】50【思路點撥】先設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，再根據(jù)題意列出方程，利用實際問題的限制要求，得到a和b的取值范圍，在范圍內(nèi)判斷求解即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)長方形地塊的長為am，寬為bm，彩旗的單價為x元/個；由題意可知女生占地的長為（a-2）m，寬為（b-2）m，由間隔均為1m，可得女生人數(shù)為（a-2+1）(b-2+1)，即為（ab-a-b+1）人，由于男生站在邊緣一圈的位置，且行、列與女生對齊，發(fā)現(xiàn)剛好占滿所有可以站人的位置，所以男生人數(shù)為2（a+1）+2(b-1)，即為（2a+2b）人；∵采購彩旗和啦啦球時發(fā)現(xiàn)啦啦球的單價是彩旗的4倍，而啦啦球的總價是彩旗總價的4.8倍，∴4.8（2a+2b）x=4（ab-a-b+1）x；化簡得：，∵長方形地塊學(xué)生橫縱間距都是1m，且剛好站滿，∴a和b都是正整數(shù)，且∴且為5的整數(shù)倍，∴或，∴；故答案為：50．【考點評析】本題考查了列代數(shù)式和方程在實際問題中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出代數(shù)式，建立方程，通過限定條件，求出未知數(shù)的值．18．(本題2分)（2019春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一塊矩形鐵皮的長是寬的2倍，將這個鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，若盒子的容積是240cm3，則原鐵皮的寬為______cm．【答案】11．【規(guī)范解答】試題分析：設(shè)這塊鐵片的寬為xcm，則鐵片的長為2xcm，由題意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=11，x2=﹣2（不合題意，舍去），答：這塊鐵片的寬為11cm．故答案為11．考點：一元二次方程的應(yīng)用．19．(本題2分)（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知在長方形紙片中，，，現(xiàn)將兩個邊長分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片中均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為；若時，則_________；若再在邊長為大正方形的左上角擺放一個邊長為的小正方形（如圖3），當(dāng)時，則圖3中陰影部分的面積_________．【答案】

3

6.5##【思路點撥】先將，，用用a，b表示，再分別根據(jù)與，計算即可．【規(guī)范解答】解：在圖1中，根據(jù)題意得：，∴，同理在圖2中，，∴∴，又∵，∴．又∵，即，將代入方程中得：解得：（舍去），∴．在圖3中，∴故答案為：3；．【考點評析】本題考查列代數(shù)式，整式的混合運算，解一元二次方程，掌握相關(guān)知識和技巧是解題的關(guān)鍵．本題難度較大，所列式子較復(fù)雜，需要較強的閱讀理解能力和對數(shù)學(xué)思想的運用能力．20．(本題2分)（2022秋·上海·八年級上海市黃浦大同初級中學(xué)校考階段練習(xí)）在《代數(shù)學(xué)》中記載了求方程正數(shù)解的幾何方法：如圖1，先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．小明嘗試用此方法解關(guān)于x的方程時，構(gòu)造出如圖2所示正方形，已知圖2中陰影部分的面積和為．該方程的正數(shù)解為___________．【答案】【思路點撥】根據(jù)已知的數(shù)學(xué)模型，同理可得空白小正方形的邊長為，先計算出大正方形的面積等于陰影部分的面積加四個小正方形的面積，從而可求得大正方形的邊長，再用其減去兩個空白正方形的邊長即可求解【規(guī)范解答】如圖2所示：先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．故答案為：【考點評析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意并數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題8分)（2022春·八年級課時練習(xí)）將一個容積為的包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示．圖中應(yīng)滿足怎樣的方程？【答案】【思路點撥】根據(jù)題意表示出長方體的長和寬，進(jìn)而表示出長方體的體積即可．【規(guī)范解答】由題意得：長方體的長為15，寬為則根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程為：，整理得：；故答案為：．【考點評析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示長方體的棱長是解題的關(guān)鍵．22．(本題8分)（2023春·八年級課時練習(xí)）某商店需要在外墻安裝落地窗，用總長為6米的鋁合金做成一個如圖所示的“日”字型窗框，設(shè)窗框的寬度為x米，落地窗的面積為y平方米．落地窗的高不小于2米．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)能否使窗的面積達(dá)到2平方米，如果能，窗的高度和寬度各是多少？如果不能，試說明理由．【答案】(1)，(2)不能使窗的面積達(dá)到2平方米，理由見解析【思路點撥】（1）先求出窗框的高，再根據(jù)長方形的面積公式求解即可；（2）把代入（1）所求式子，建立關(guān)于x的一元二次方程，看方程是否有解即可．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)窗框的寬度為x米，則窗框的高為米，∴，∵落地窗的高不小于2米，∴，∴；（2）解；由題意得，∴，∵，∴原方程無實數(shù)根，∴不能使窗的面積達(dá)到2平方米．【考點評析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意列出窗的面積與寬的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，將一張寬的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個正方形，兩個矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側(cè)面積），紙盒側(cè)面積為，求該有蓋紙盒的底面邊長．（單位：）【答案】【思路點撥】設(shè)有蓋紙盒的底面邊長為，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的側(cè)面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取底面積大于側(cè)面積時的即可得出結(jié)論【規(guī)范解答】解：設(shè)有蓋紙盒的底面邊長為，，，，當(dāng)時，，∴不合題意，舍去，∴答：該有蓋紙盒的底面邊長為【考點評析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2022秋·上海青浦·八年級校考期末）一塊長方形空地的長是24米，寬是12米．現(xiàn)要在它的中央劃一個小長方形區(qū)域種植花卉，其余四周植草．如果四周的寬度相同，小長方形面積是原長方形面積的，那么四周的寬度是多少米？【答案】2米【思路點撥】設(shè)四周草地的寬度為x米，由等量關(guān)系：小長方形面積是原長方形面積的，列出方程并解之即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)四周草地的寬度為x米，根據(jù)題意得：，化簡整理得：，即，∴解得：，，由題意得（不合題意舍去），所以；答：四周的寬度為2米．【考點評析】本題考查了一元二次方程在幾何圖形方面的應(yīng)用，理解題意、找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．(本題8分)（2020春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）學(xué)校有一塊長14米，寬10米的矩形空地，準(zhǔn)備將其規(guī)劃，設(shè)計圖案如圖，陰影應(yīng)為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)為全等的矩形），空白區(qū)為路面，且四周出口一樣寬廣且寬度不小于2米，不大于5米，路面造價為每平方米200元，綠化區(qū)為每平方米150元，設(shè)綠化區(qū)的長邊長為x米．（1）用x表示綠化區(qū)短邊的長為______米，x的取值范圍為______．（2）學(xué)校計劃投資25000元用于此項工程建設(shè)，求綠化區(qū)的長邊長．【答案】（1）（x-2），≤x≤6；（2）綠化區(qū)的長邊長為5米．【思路點撥】（1）由路面寬度不小于2米直接列