第5講方程與一元一次方程

第5講方程與一元一次方程方程與一元一次方程是初中數(shù)學(xué)六年級(jí)下學(xué)期第2章第1節(jié)和第2節(jié)的內(nèi)容．在預(yù)習(xí)階段，本講主要講解方程和一元一次方程的相關(guān)概念，方程的解的檢驗(yàn)，一元一次方程的解法及一元一次方程的簡單應(yīng)用．重點(diǎn)在于理解一元一次方程的概念，熟練掌握一元一次方程的解法，為后續(xù)重點(diǎn)學(xué)習(xí)一元一次方程的應(yīng)用做好準(zhǔn)備．模塊一：方程與方程的解知識(shí)精講方程及其相關(guān)概念（1）未知數(shù)：用字母x、y…等表示所要求的未知的數(shù)量，這些字母稱為未知數(shù)；（2）方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程；（3）元：在方程中，所含的未知數(shù)又稱為元；（4）列方程：為了求得未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立一種等量關(guān)系式，就是列方程；（5）項(xiàng)：在方程中，被“+”、“”號(hào)隔開的每一部分（包括這部分前面的“+”、“”號(hào)在內(nèi)）稱為一項(xiàng)；如在方程和中，x、2.5、、都是方程中的一項(xiàng)；（6）系數(shù)：在一項(xiàng)中，數(shù)字或者表示已知數(shù)的字母因數(shù)叫做未知數(shù)的系數(shù)；如x的系數(shù)為1，的系數(shù)為；（7）次數(shù)：在一項(xiàng)中，所含有的未知數(shù)的指數(shù)和稱為這一項(xiàng)的次數(shù)；如x、的次數(shù)都是1；（8）常數(shù)項(xiàng)：不含未知數(shù)的項(xiàng)稱為常數(shù)項(xiàng)；如2.5，．方程的解如果未知數(shù)所取的某個(gè)值能使方程左右兩邊的值相等，那么這個(gè)未知數(shù)的值叫做方程的解．例題解析例1.判斷下列各式，哪些是方程？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【難度】★【答案】（1）、（3）、（4）、（6）、（7）．【解析】含有未知數(shù)的等式叫做方程．故（1）是；（2）不含有未知數(shù)，不是；（3）是；（4）是；（5）不是等式，不是；（6）是；（7）是；（8）π不是未知數(shù)，不是．【總結(jié)】考查方程的概念．例2.（1）方程中，項(xiàng)的系數(shù)是______，次數(shù)是______；（2）方程中，項(xiàng)的次數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______．【難度】★【答案】（1）、1（2）2、6．【解析】（1）在一項(xiàng)中，數(shù)字或者表示已知數(shù)的字母因數(shù)叫做未知數(shù)的系數(shù)；（2）在一項(xiàng)中，所含有的未知數(shù)的指數(shù)和稱為這一項(xiàng)的次數(shù)．【總結(jié)】考查方程的系數(shù)及次數(shù)的概念．例3.列方程：（1）x的與3的和為5；（2）m的相反數(shù)與2的差為2；（3）a的三次方與b的平方的和為10；（4）x、y的積減去19的差的一半為．【難度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】根據(jù)題意即可列出方程．【總結(jié)】考查列方程的運(yùn)用．例4.檢驗(yàn)是不是方程的解．【難度】★【答案】是．【解析】當(dāng)時(shí)，左邊=16，右邊=16，左=右，所以是方程的解．【總結(jié)】本題主要考查方程的解的概念．例5.在下列問題中，引入未知數(shù)，列出方程：（1）某數(shù)的3倍與的和等于91，求這個(gè)數(shù)；（2）一個(gè)數(shù)與它的一半的和為，求這個(gè)數(shù)；（3）長方形的長比寬多4厘米，長方形的周長是30厘米，求長方形的長．【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則；（2）設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則；（3）設(shè)長為x，則．【總結(jié)】本題主要考查列方程的運(yùn)用，注意本題不需要解方程．例6.檢驗(yàn)、1是不是方程的解．【難度】★★【答案】均不是．【解析】當(dāng)時(shí)，，所以不是方程的解；當(dāng)時(shí)，，所以不是方程的解．【總結(jié)】考查方程的解的概念及判斷．例7.根據(jù)條件，引入未知數(shù)列方程：學(xué)校開學(xué)安排宿舍時(shí)，如果每間宿舍安排住4人，將會(huì)空出5間宿舍；如果每間宿舍安排住3人，就有100人沒有床位，那么在學(xué)校住宿的學(xué)生有多少人？【難度】★★【答案】．【解析】設(shè)有x個(gè)學(xué)生，則根據(jù)題意，可列方程：．例8.根據(jù)下列條件列出方程：（1）50千克含糖5%的糖水，現(xiàn)在要把它的濃度提高到含糖15%，需加糖x千克；商店對(duì)某種商品調(diào)價(jià)，按原價(jià)的8折出售，此時(shí)商品的利潤率是15%，此商品的原價(jià)為300元，商品的進(jìn)價(jià)為x元．【難度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原來的糖為，現(xiàn)在的糖為(2.5+x)g，現(xiàn)在溶液的重量為（50+x）g，所以可列方程：；（2）因?yàn)?，所以可列方程：．【總結(jié)】本題主要考查根據(jù)題意列方程，注意找到等量關(guān)系．例9.試寫出一個(gè)方程使它的解分別是：（1）；（2）或．思考：滿足條件的方程是唯一的嗎？【難度】★★★【答案】（1）等；（2）等．【解析】根據(jù)方程的解去列方程，可以隨意組合，只要等式成立就可以．【總結(jié)】主要考查對(duì)方程的解的理解及運(yùn)用．例10.引入未知數(shù)，列出方程：如圖，足球上的黑色皮都是五邊形的，白色皮都是六邊形的，白色皮共有20塊，則有多少塊黑色皮？【難度】★★★【答案】12【解析】設(shè)有x塊黑色皮，因?yàn)槊繅K白色皮上都有3邊是與黑色皮公共的邊，所以共有20×3=60條邊是與黑色皮公共的邊，又因?yàn)槊繅K黑色皮有5條邊是與白色皮的公共邊，所以，解得：．故共有12塊黑色皮．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要是觀察黑色皮與白色皮的特征，找到等量關(guān)系，從而列出方程求出方程的解．模塊二：一元一次方程及其解法知識(shí)精講1、一元一次方程的概念只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程．2、解方程求方程的解的過程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步驟（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)；（4）化成（）的形式（5）兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解．例題解析例1.判斷下列方程是否是一元一次方程？如果不是，請(qǐng)說明理由．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【難度】★【答案】（1）、（4）、（6）、（8）是一元一次方程，其余不是．【解析】（1）是；（2）不是，二元一次；（3）不是，無未知數(shù)；（4）是；（5）不是，不是整式方程；（6）是；（7）不是，是二元一次方程；（8）不是，是一元二次方程．【解析】本題主要考查一元一次方程的概念及運(yùn)用．例2.當(dāng)m為______時(shí)，是一元一次方程．【難度】★【答案】3【解析】由，解得．【總結(jié)】考查利用一元一次方程的概念求字母的值．例3方程變形為，其根據(jù)是（）A．方程兩邊同時(shí)加上x B．方程的兩邊同時(shí)乘以C．方程的兩邊同時(shí)乘以 D．方程的兩邊同時(shí)乘以【難度】★【答案】D【解析】考查一元一次方程的解法．例4.解方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【難度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）移項(xiàng)，得：，解得：；（2）移項(xiàng)，得：，合并，得：，解得：；（3）移項(xiàng)，得：，解得：；（4）去括號(hào)，得：，化簡，得：，解得：．【總結(jié)】本題主要考查一元一次方程的解法，注意移項(xiàng)是要改變符號(hào)．例5.下列解方程過程中，變形正確的是（）A．由得B．由得C．由得D．由得【難度】★★【答案】D【解析】A、2x=3+1；B、；C、右邊乘了10，左邊沒變，所以不正確．【總結(jié)】本題主要考查一元一次方程的化簡，注意移項(xiàng)和去括號(hào)都要改變符號(hào)．例6.若方程表示關(guān)于x的一元一次方程，則常數(shù)a、b、c、n必須滿足怎樣的條件？【難度】★★【答案】；；；c為任意實(shí)數(shù)．【解析】因?yàn)榉匠淌且辉淮畏匠?，所以，解得：．【總結(jié)】考查一元一次方程的概念的運(yùn)用．例7.解方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）．【難度】★★【答案】（1）（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】（1）去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，解得：，所以原方程的解為；兩邊同乘100，得：，化簡，得：，解得：；去括號(hào)，得：，化簡，得：，解得：；去分母，得：，去括號(hào)，得：，合并，得：，化簡，得：，解得：；（5）去分母，得：，去括號(hào)，得：，化簡，得：，解得：，所以原方程的解為．【總結(jié)】本題主要考查一元一次方程的解法，注意按照步驟一步一步去解．例8.當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式與的值為互為相反數(shù)．【難度】★★【答案】19．【解析】由題意知，，去括號(hào)，得：，解得：．【總結(jié)】考查相反數(shù)的概念及一元一次方程的解法．例9.已知關(guān)于x的方程的解為，求a的值．【難度】★★★【答案】．【解析】由題已知當(dāng)時(shí)原等式成立，將代入原式，得，去括號(hào)，得：，解得：．【總結(jié)】本題先將方程的解代入方程從而得到關(guān)于a的一元一次方程，再求出解即可．例10.解方程：．【難度】★★★【答案】或．【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查含有絕對(duì)值的方程的解法，注意要分類討論．例11.解方程：．【難度】★★★【答案】．【解析】逆用乘法分配律，得：裂項(xiàng)，得：即，去分母，得：，解得：，所以，原方程的解為．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，一方面考查了分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的運(yùn)用，另一方面考查了一元一次方程的求解，計(jì)算時(shí)要細(xì)心一些．例12.若a、b、c是正數(shù)，解方程：．【難度】★★★【答案】．【解析】由題意，可得：，通分，得：去分母，得：即進(jìn)一步變形，得：解得：，所以原方程的解為．【總結(jié)】本題綜合性非常強(qiáng)，主要考查含字母的一元一次方程的解法，解題時(shí)要注意方法，認(rèn)真觀察每一項(xiàng)的特征，找出公共的因式，然后逆用乘法分配律從而求出方程的解．模塊三：一元一次方程的應(yīng)用知識(shí)精講列方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題：分析題中的條件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)（元）；（3）列方程；（4）解方程；（5）檢驗(yàn)并作答．例題解析例1.列方程求解：（1）某數(shù)與6的和的3倍等于21，求這個(gè)數(shù)；（2）矩形的周長是40，長比寬多10，求矩形的長和寬．【難度】★【答案】（1）1；（2）長是15，寬是5．【解析】（1）設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則，解得：，故這個(gè)數(shù)為1；（2）設(shè)矩形的長為x，則寬為x10，故可列方程為：，解得，所以這個(gè)矩形的長是15，寬是．【總結(jié)】本題主要考查列方程解應(yīng)用題的運(yùn)用．例2.三個(gè)連續(xù)整數(shù)的和為93，求這三個(gè)數(shù)．【難度】★【答案】30、31、32．【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為x、x+1、x+2，則，解得：x=30所以這三個(gè)數(shù)分別為30、31、32．【總結(jié)】本題主要考查列方程解應(yīng)用題的運(yùn)用．例3.甲、乙兩桶油質(zhì)量相等．甲桶用去26千克，乙桶加入14千克，此時(shí)乙桶油的質(zhì)量是甲桶油的3倍，兩桶油原來各多少千克？【難度】★★【答案】46千克．【解析】設(shè)兩桶油原來各有x千克，則可得：，解得：，所以原來各有46千克．【總結(jié)】考查方程在實(shí)際問題中的運(yùn)用．例4.一根電線，第一次用去，第二次用去16米，還剩全長的，這根電線的原長多少米？【難度】★★【答案】60【解析】解設(shè)原長x米，則由題意得，，解得，所以這根電線原廠60米．【總結(jié)】考查方程在實(shí)際問題中的運(yùn)用．例5.某班學(xué)生合買一件紀(jì)念品，每人出0.6元，則多出4.8元，若每人出0.5元，則差0.3元，求該班的學(xué)生人數(shù)．【難度】★★【答案】52．【解析】解設(shè)有x名學(xué)生，則，解得，故該班的學(xué)生人數(shù)為51人．【總結(jié)】考查方程在實(shí)際問題中的運(yùn)用．例6.雞和兔一共20只，共有70條腿，求雞和兔各有幾只？【難度】★★★【答案】雞5只、兔15只．【解析】設(shè)雞有x只，則兔有（20x）只，列方程，得：，解得．故雞有5只，兔子有15只．【總結(jié)】考查方程在實(shí)際問題中的運(yùn)用．隨堂檢測1.下列式子中，不是方程的是（）A． B． C． D．【難度】★【答案】C【解析】C不是等式．【總結(jié)】考查方程的概念．2.判斷下列方程是不是一元一次方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【難度】★【答案】（2）、（3）不是一元一次方程．【解析】（2）是一元二次方程；（3）是二元一次方程．【總結(jié)】本題主要考查一元一次方程的概念．3.和方程的解不完全相同的方程是（）A．B．C．D．【難度】★★【答案】D【解析】易得方程的解為，方程A的解為；方程B的解為；方程C的解為；方程D的解為或．故選D．【總結(jié)】本題主要考查一元一次方程的解法．4.當(dāng)a______，n=______時(shí)，方程是一元一次方程．【難度】★★【答案】，．【解析】由一元一次方程的概念，可得：且，解得：，．【總結(jié)】本題主要考查對(duì)一元一次方程的概念的理解．5.檢驗(yàn)下列各數(shù)是不是方程的解．（1）；（2）．【難度】★★【答案】（1）不是；（2）是．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，所以不是原方程的解；當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊==左邊，所以是原方程的解．【總結(jié)】本題主要考查方程的解的概念．6.根據(jù)條件，設(shè)未知數(shù)，列方程．（1）學(xué)校舉辦科技節(jié)，航模組16人，小明加入車模組后，航模組的人數(shù)比車模組人數(shù)的多5人，求原車模組人數(shù)；（2）小智和小方交流暑假活動(dòng)，小智說：“我參加了夏令營，外出五天，這五天的日期之和為40，你知道我是幾號(hào)出去的嗎？”請(qǐng)你幫小方解決這個(gè)問題．【難度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)原車模組有x人，由題意得；設(shè)小智x號(hào)出去的，由題意得：．【總結(jié)】本題主要考查根據(jù)題意列出方程，主要是找到題目中的等量關(guān)系．7.解方程：（1）；（2）；（3）．【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）去大括號(hào)，得：，去中括號(hào)，得：，去小括號(hào)，得：，解得：，所以是方程的解；（2）去括號(hào)，得：，合并，得：，解得：，所以是方程的解；（3）小數(shù)化整數(shù)，得：，合并，得：，去分母，得：，解得：，所以是方程的解．【總結(jié)】本題主要考查解一元一次方程．8.若x=2是方程的解，求方程的解．【難度】★★【答案】．【解析】因?yàn)閤=2是方程的解，所以，解得：，所以可變行為，即，解得：．【總結(jié)】本題主要考查對(duì)方程的解的概念的理解及運(yùn)用．9.小智今年的年齡是媽媽的，兩年前母子的年齡相差24歲，那么四年后母子的年齡和為多少？【難度】★★【答案】56歲．【解析】設(shè)今年小智的年齡為x歲，則媽媽的年齡為3x歲，根據(jù)題意，可得：，解得：x=12，所以4年后母子年齡和為：12+3×12+4×2=56歲．【總結(jié)】本題主要考查列方程解應(yīng)用題，注意母子的年齡差是永遠(yuǎn)不變的．10.方程和方程的解相同，求a的值．【難度】★★★【答案】a的值為3．【解析】由方程，得：，解得：；將代入中，得：，去括號(hào)，得：，化簡，得：解得：．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，要理解兩個(gè)方程的解相同的真正含義，從而求出字母的值．11．（2019·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下列材料:讓我們來規(guī)定一種運(yùn)算：。例如：按照這種運(yùn)算的規(guī)定，請(qǐng)解答下列各個(gè)問題：（1）________，當(dāng)x=______時(shí)，（2）求x，y的值，使（寫出解題過程）【答案】（1）3x2；；（2）y=2，x=8．【分析】(1)根據(jù)題中的新定義化簡所求，計(jì)算即可得到結(jié)果；根據(jù)題中的新定義化簡所求方程，求出方程的解即可得到x的值；

(2)利用題中的新定義化簡所求式子，計(jì)算即可確定出x與y的值．【詳解】（1）原式=3x2×1=3x2；方程變形得：2x（1x）=0，

去括號(hào)得：2x1+x=0，移項(xiàng)合并得：3x=1，解得：x=；故答案為：.

（2）根據(jù)題意得：，

由②得：x=0.5y+7③，將③代入①得：0.75y+10.538y=7，

移項(xiàng)合并得：7.25y=14.5，解得：y=2，將y=2代入③得：x=8．【點(diǎn)睛】此題考查解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于掌握其步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．12．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）少先隊(duì)從夏令營到學(xué)校，先下山再走平路，一隊(duì)員騎自行車以每小時(shí)12千米的速度下山，以每小時(shí)9千米的速度走平路，到學(xué)校共用了55分鐘，回來時(shí)，通過平路的速度不變，但以每小時(shí)6千米的速度上山，回到營地共花去了70分鐘的時(shí)間，問夏令營到學(xué)校多少千米？（列方程計(jì)算）【答案】夏令營到學(xué)校有9千米【分析】設(shè)走平路用了x小時(shí)，則下山用了（x）小時(shí)，上山用了（x）小時(shí)，根據(jù)“上山、下山的路程相等”列方程并解答即可.【詳解】解：設(shè)走平地要X小時(shí)，則下山用了（－x）小時(shí)，上山用了（x)小時(shí)，由題意得：9X+12（－x）=9X+6（x)，解得：x=，則總路程＝9×（）+12（－）＝6+118=9(km)

，答：夏令營到學(xué)校有9千米.13．（2018·上海市民辦新竹園中學(xué)月考）新個(gè)稅法于2018年1月1日起施行，2018年10月1日起施行最新“起征點(diǎn)：5000元”和稅率，《中華共和國個(gè)人所得稅》中的個(gè)人所得稅稅率如下：級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（％）1不超過3000元的部分32超過3000元至12000元的部分103超過12000元至25000元的部分20其中“全月應(yīng)納稅所得額”是指從工資、薪金收入中減去5000元后的金額。（本題只討論上表內(nèi)容）（1）若某一月份扣除稅后拿了8000，他交了多少稅？（2）若某一月份納稅額為m元（m>0），他的稅前收入是多少？【答案】（1）他交了100元稅；（2）當(dāng)0＜m≤90時(shí)，稅前收入＝（元）；當(dāng)90＜m≤990時(shí)，稅前收入＝10m+7100；當(dāng)990