專題11垂徑定理(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題11垂徑定理考點(diǎn)一利用垂徑定理求值考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題考點(diǎn)五垂徑定理的推論考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長(zhǎng)為（

）A．8B．12C．16D．2【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于________cm．考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題例題：（2022·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在圓中兩條平行弦的長(zhǎng)分別6和8，若圓的半徑為5，則兩條平行弦間的距離為_(kāi)__________．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．2．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)AB、CD是⊙O的兩條弦，ABCD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為_(kāi)__________．考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題例題：（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2019秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為_(kāi)______________cm2．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題例題:（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)、、．(1)用直尺畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心的位置，點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)求圓半徑的長(zhǎng)度；(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·上海金山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：的半徑為5，點(diǎn)在直徑上，過(guò)點(diǎn)作的弦，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如果，求線段的長(zhǎng)．考點(diǎn)五垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【變式訓(xùn)練】1．（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)九年級(jí)期中）下列語(yǔ)句中不正確的有（

）

①長(zhǎng)度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條??；⑤半圓是圓中最長(zhǎng)的??；⑥不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學(xué)九年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧C．等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條直徑考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦長(zhǎng)20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為_(kāi)___________厘米．2．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖1，水車(chē)又稱孔明車(chē)，是我國(guó)最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_(kāi)______米．一、選擇題1．（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的弦，M是的中點(diǎn)，且，則的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．62．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，是直徑，連接，若于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知的半徑為13cm，弦，，則弦之間的距離為（

）A．7cm B．17cm C．5cm或12cm D．7cm或17cm4．（2022秋·天津河西·九年級(jí)天津市海河中學(xué)?？计谀┤鐖D，是的弦，于點(diǎn)，若，，則弦的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．5．（2022秋·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？计谀毒耪滤阈g(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個(gè)木材，鋸口深等于1寸，鋸道長(zhǎng)1尺，則圓形木材的半徑是（

）（1尺=10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸二、填空題6．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，弦的長(zhǎng)為8cm，，則的半徑是_______．7．（2022秋·廣東江門(mén)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，半徑為5的圓中，如果弦的長(zhǎng)為8，那么圓心到的距離，即的長(zhǎng)等于_______．8．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，半徑過(guò)弦的中點(diǎn)E，，，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)_____．9．（2022秋·北京門(mén)頭溝·九年級(jí)?？计谀┦皹蚴侵袊?guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度米，拱高米，那么橋拱所在圓的半徑___________米．10．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，以第一象限內(nèi)點(diǎn)C為圓心半徑為2的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_________．三、解答題11．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)大連市第九中學(xué)統(tǒng)考期末）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦交小圓于C，D兩點(diǎn)，．求的長(zhǎng)．12．（2021秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，，在射線上順次截取cm，cm，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)．(1)求圓心到的距離；(2)求弦的長(zhǎng)．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中兩條互相垂直的弦交于點(diǎn)E．(1)于點(diǎn)M，，的半徑長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．(2)點(diǎn)G在上，且交于點(diǎn)F，求證：．14．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，C，D是直徑上的兩點(diǎn)，且，交于C、D，點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H在上．(1)若，求半徑；(2)求證：；(3)若C，D分別為的中點(diǎn)，則成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一座橋如圖，橋下水面寬度是20米，高是4米．(1)如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系．①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？(2)如圖，若把橋看做是圓的一部分．①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？專題11垂徑定理考點(diǎn)一利用垂徑定理求值考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題考點(diǎn)五垂徑定理的推論考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長(zhǎng)為（

）A．8B．12C．16D．2【答案】C【解析】【分析】連接OA，先計(jì)算OM=，根據(jù)垂徑定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理計(jì)算AM，根據(jù)垂徑定理，得到AB=2AM，判斷選擇即可．【詳解】連接OA，∵⊙O的直徑CD=20，AB⊥CD，OM：OC=3：5，∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，∴AM==8，∴AB=2AM=16，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】先畫(huà)好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于________cm．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理可將AC的長(zhǎng)求出，再根據(jù)勾股定理可將OC求出．【詳解】解：如圖，連結(jié)OA，則由垂徑定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，由勾股定理可得OC==3cm，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理．考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題例題：（2022·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在圓中兩條平行弦的長(zhǎng)分別6和8，若圓的半徑為5，則兩條平行弦間的距離為_(kāi)__________．【答案】或##7或1【分析】如圖，，，過(guò)點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連，根據(jù)垂徑定理得，由于，，則，根據(jù)垂徑定理得，然后利用勾股定理可計(jì)算出，再進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：如圖，，，過(guò)點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連，∴，∵，，∴，∴，在中，，同理可得，當(dāng)圓心在與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心不在與之間時(shí)，與的距離．故答案為7或1．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．【答案】【分析】連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計(jì)算．【詳解】如圖，連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=EF=2，∵GB=5，∴OF=OB=，在△OHF中，勾股定理，得OH=，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)AB、CD是⊙O的兩條弦，ABCD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為_(kāi)__________．【答案】17或7##7或17【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由于AB、CD在圓心的同側(cè)或異側(cè)不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：①當(dāng)AB、CD如圖（一）所示時(shí)，過(guò)O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，∵ABCD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂徑定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，在Rt△CEO中，OE==12；同理，OF==5，故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②當(dāng)AB、CD如圖（二）所示時(shí)，過(guò)O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案為：17或7．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題例題：（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2019秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為_(kāi)______________cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫(huà)出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，則解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．2．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過(guò)O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過(guò)O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題例題:（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)、、．(1)用直尺畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心的位置，點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)求圓半徑的長(zhǎng)度；(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，(2)(3)點(diǎn)在圓外【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）由（1）可得，設(shè)直線與線段的交點(diǎn)為，連接，在中，運(yùn)用勾股定理即可求得圓半徑的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)，，求得，由圓半徑的長(zhǎng)度為，可得點(diǎn)在圓外．【詳解】（1）解：如圖1，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，則．（2）解：如圖2，由（1）可得，設(shè)直線與線段的交點(diǎn)為，連接，∵，，，∴，∴，故圓半徑的長(zhǎng)度為．（3）解：∵圓心，，∴，∵圓半徑的長(zhǎng)度，又∵，∴點(diǎn)在圓外．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A的基本概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·上海金山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：的半徑為5，點(diǎn)在直徑上，過(guò)點(diǎn)作的弦，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如果，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）連接，利用垂徑定理和勾股定理解答即可；（2）連接，利用垂徑定理和線段垂直平分線的性質(zhì)得到為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分∶①當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，連接，設(shè)，則，證明得，即可求得結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，同理解答即可．【詳解】（1）解：連接，如圖，∵的半徑為5，∴，，∴，．∵，∴∴；（2）解：連接，如圖，∵點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)時(shí)，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)圓心O，，垂直平分，∴∵，AB是直徑，∴是的垂直平分線，，∴，∴．∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，連接，如圖，設(shè)，則，，∴，∴．∵，∴，∵，AB是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴(不合題意，舍去)或，∴；②當(dāng)點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，如圖，設(shè)，則，，∴，∴，∵，∴，∵，AB是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴（不合題意，舍去）或，綜上，如果，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，連接圓的半徑、利用勾股定理解答是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進(jìn)行判斷．【詳解】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心，所以B選項(xiàng)為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧，所以C選項(xiàng)為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦，所以D選項(xiàng)為真命題．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)九年級(jí)期中）下列語(yǔ)句中不正確的有（

）

①長(zhǎng)度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條?。虎莅雸A是圓中最長(zhǎng)的??；⑥不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理及圓的有關(guān)概念和對(duì)稱性對(duì)每個(gè)語(yǔ)句分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蛲耆睾系幕∈堑然?故①不正確；垂直于弦的直徑平分弦說(shuō)法正確；圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故③說(shuō)法不正確；平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧，故④說(shuō)法不正確；半圓的弧長(zhǎng)是圓的弧長(zhǎng)的一半，不是圓中最長(zhǎng)的弧，故⑤說(shuō)法不正確；不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故⑥說(shuō)法正確，∴不正確的語(yǔ)句有4個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學(xué)九年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧C．等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條直徑【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)AC進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)對(duì)稱軸的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所以本選項(xiàng)正確；D、圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【答案】D【解析】【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過(guò)O作于D，交圓于C，設(shè)圓的半徑為r，而再利用勾股定理建立方程即可．【詳解】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過(guò)O作于D，交圓于C，則設(shè)圓的半徑為r，而解得：圓柱形容器的截面直徑為52cm．故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)建符合垂徑定理的模型是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦長(zhǎng)20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為_(kāi)___________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，根據(jù)勾股定理求出OC2+BC2=OB2，進(jìn)而求出半徑．【詳解】解：如圖，由題意，得OD垂直平分AB，∴BC=10cm，令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長(zhǎng)，熟練地掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖1，水車(chē)又稱孔明車(chē)，是我國(guó)最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_(kāi)______米．【答案】3【解析】【分析】過(guò)O作OD⊥AB于D，連接OA，由垂徑定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過(guò)O作OD⊥AB于D，連接OA，如圖所示：則AD=BD=AB=4（米），在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），即圓心O到水面AB的距離為3米，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的弦，M是的中點(diǎn)，且，則的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】連接，根據(jù)M是的中點(diǎn)，得到，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵的弦，M是的中點(diǎn)，∴，，連接，在中，，即：的半徑等于5；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的逆定理．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，是直徑，連接，若于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理列式求出，根據(jù)三角形中位線定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：，為的半徑，，，在中，，，即，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知的半徑為13cm，弦，，則弦之間的距離為（

）A．7cm B．17cm C．5cm或12cm D．7cm或17cm【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，由得到，利用垂徑定理得到，利用勾股定理求出，再分當(dāng)在圓心同側(cè)時(shí)，當(dāng)在圓心兩側(cè)時(shí)求出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，∵，∴，∵，∴，∴，，當(dāng)在圓心同側(cè)時(shí)，如圖，，當(dāng)時(shí)在圓心兩側(cè)時(shí)，如圖，，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，正確掌握?qǐng)A的垂徑定理是解題的關(guān)鍵，解題中注意分類討論．4．（2022秋·天津河西·九年級(jí)天津市海河中學(xué)?？计谀┤鐖D，是的弦，于點(diǎn)，若，，則弦的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可得，根據(jù)垂徑定理可得，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求值，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，難度不大．5．（2022秋·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)校考期末）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個(gè)木材，鋸口深等于1寸，鋸道長(zhǎng)1尺，則圓形木材的半徑是（

）（1尺=10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸【答案】B【分析】連接、，由垂徑定理得寸，連接，設(shè)圓的半徑為寸，再在中，由勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進(jìn)而直徑可求．【詳解】解：連接、，如圖：由題意得：為的中點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線，，（寸，設(shè)圓的半徑為寸，則寸．在中，由勾股定理得：，解得：．圓材半徑為13寸．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，弦的長(zhǎng)為8cm，，則的半徑是_______．【答案】5cm##5厘米【分析】設(shè)的半徑為rcm，則，利用垂徑定理得到，再利用勾股定理得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)的半徑為rcm，則，∵，∴，∴，∴，解得，∴的半徑為5cm，故答案為：5cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分弦是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·廣東江門(mén)·九年級(jí)校考期中）如圖，半徑為5的圓中，如果弦的長(zhǎng)為8，那么圓心到的距離，即的長(zhǎng)等于_______．【答案】3【分析】連接，先根據(jù)垂徑定理可得，再利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，則，，弦的長(zhǎng)為8，，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，半徑過(guò)弦的中點(diǎn)E，，，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】連接，先由垂徑定理得，，，再由勾股定理求出，即可求解；【詳解】解：連接，如圖所示：∵半徑過(guò)弦的中點(diǎn)E，∴，，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·北京門(mén)頭溝·九年級(jí)?？计谀┦皹蚴侵袊?guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度米，拱高米，那么橋拱所在圓的半徑___________米．【答案】10【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求出答案．【詳解】解：連接，，，可得：，，∵，拱高米，∴，設(shè)，則，根據(jù)題意可得：，即，解得：，即圓弧形橋拱所在圓的半徑是米．故答案為：10【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，正確應(yīng)用垂徑定理是解題關(guān)鍵．10．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，以第一象限內(nèi)點(diǎn)C為圓心半徑為2的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C分別作于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，先根據(jù)二次函數(shù)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)一步求出線段的長(zhǎng)，利用垂徑定理與勾股定理求出的長(zhǎng)，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再證明的長(zhǎng)，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，連接，如圖所示，∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，∴由得，，，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，∵軸，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)及垂徑定理的應(yīng)用，掌握點(diǎn)到x軸，y軸的距離的含義是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)大連市第九中學(xué)統(tǒng)考期末）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦交小圓于C，D兩點(diǎn)，．求的長(zhǎng)．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，由垂徑定理可知，，故可得出結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作，，，又在中，，【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理求解．12．（2021秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，，在射線上順次截取cm，cm，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)．(1)求圓心到的距離；(2)求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)4cm(2)6cm【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，如圖，根據(jù)含度的直角三角形三邊的關(guān)系求出即可；（2）連接，如圖，根據(jù)垂徑