2025屆湖南省湖南師大附中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆湖南省湖南師大附中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.2．在數(shù)列中，若，則稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列3．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.14．已知點(diǎn)到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.5．某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間.該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時(shí)間是3.5小時(shí).這里的總體是（）A.楊高的全校學(xué)生；B.楊高的全校學(xué)生的平均每天自習(xí)時(shí)間；C.所調(diào)查的60名學(xué)生；D.所調(diào)查的60名學(xué)生的平均每天自習(xí)時(shí)間.6．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.7．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點(diǎn)，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π8．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，9．已知函數(shù)，.若存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線12．直線x﹣y+3＝0的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為___________.14．經(jīng)過兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________15．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，則的面積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上.（1）求漁船甲的速度；（2）求的值.19．（12分）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，求k的值.20．（12分）已知直線l過點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值21．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C：上，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.22．（10分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，已知三點(diǎn)共線，試探究直線是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)已知條件求得以及，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】因?yàn)?，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.2、B【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進(jìn)行判斷即可【詳解】選項(xiàng)A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項(xiàng)B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項(xiàng)D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B3、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?故選：A.4、D【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.5、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間，該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時(shí)間是3.5小時(shí)，這里的總體是全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間.故選：B.6、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B7、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進(jìn)而利用球的表面積計(jì)算公式得出結(jié)論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因?yàn)?，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題8、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計(jì)算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則,，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由得，解得，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則故選：B10、A【解析】先根據(jù)雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進(jìn)而可得結(jié)果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A11、D【解析】根據(jù)求出焦點(diǎn)為、點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷AC；時(shí)可得，．由可判斷B；求出點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)，因?yàn)?，所以．又，，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.12、C【解析】先求斜率，再求傾斜角即可【詳解】解：直線的斜截式方程為，∴直線的斜率，∴傾斜角，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角與斜率，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，即點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，可得點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，因此，.故答案為：.14、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.15、【解析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.16、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義求出的值，由求出，代入，得到橢圓的方程；（Ⅱ）由點(diǎn)斜式求出直線的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的值，再算出的面積試題解析（Ⅰ）由橢圓的定義得：又，故，∴橢圓的方程為：.（Ⅱ）過的直線方程為，，聯(lián)立，設(shè)，則，∴的面積.點(diǎn)睛：本題主要考查了求橢圓的方程，直線與橢圓相交時(shí)弦長的計(jì)算等，屬于中檔題．在（Ⅱ）中，注意的面積的計(jì)算公式18、（1）14海里小時(shí)；（2）.【解析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小問1詳解】(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時(shí).即漁船甲的速度為14海里小時(shí).【小問2詳解】在△中，因?yàn)?，，，，由正弦定理，得，?值為.19、（1）（2）【解析】（1）由離心率可得雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，則的中點(diǎn)為，由，可得，然后的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案.【小問1詳解】設(shè)，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】由已知直線的傾斜角不是直角，，設(shè)，則的中點(diǎn)為，，由，可知，所以，即，因?yàn)榈姆匠虨?，雙曲線的漸近線方程可寫為，由消去y，得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，?20、（1）或（2）4【解析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過的點(diǎn)及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或法二：設(shè)直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線法二：∵，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線21、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以P到直線的距離等于，所以拋物線C的準(zhǔn)線為，所以，，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線l恰與拋物線C相切當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時(shí)直線l的方程為綜上，直線l