2025屆江蘇省邳州市炮車(chē)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆江蘇省邳州市炮車(chē)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.2．函數(shù)的定義域是，，對(duì)任意，，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或3．已知直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直，則等于（）A.2 B.C.0 D.4．太極圖被稱(chēng)為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱(chēng)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，設(shè)圓O：，則下列說(shuō)法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④5．已知變量x，y具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.36．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.7．已知，是雙曲線(xiàn)C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C. D.8．下列說(shuō)法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.09．拋物線(xiàn)有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線(xiàn)的軸的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)反射后經(jīng)過(guò)它的焦點(diǎn)．反之，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)反射后，反射光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的軸．已知拋物線(xiàn)，從點(diǎn)發(fā)出一條平行于x軸的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)兩次反射后，穿過(guò)點(diǎn)，則光線(xiàn)從A出發(fā)到達(dá)B所走過(guò)的路程為（）A.8 B.10C.12 D.1410．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿(mǎn)足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無(wú)法判斷11．是首項(xiàng)和公差均為3的等差數(shù)列，如果，則n等于（）A.671 B.672C.673 D.67412．已知等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三角形OAB頂點(diǎn)，，，則過(guò)B點(diǎn)的中線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_____.14．從雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，則線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.15．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難人微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解是__________.16．若，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E是AD的中點(diǎn)，將沿BF折起至的位置，使得二面角的大小為120°（如圖2），M，N分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值19．（12分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶(hù)，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計(jì)如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶(hù)中進(jìn)行分層抽樣，抽取6人，再?gòu)闹须S機(jī)選取2人贈(zèng)送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率20．（12分）已知圓，直線(xiàn)（1）判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系；（2）過(guò)點(diǎn)作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程21．（12分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，若橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線(xiàn)與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，試探究過(guò)C，D兩點(diǎn)的直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由.22．（10分）已知橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3，0)，離心率為e.（1）若e＝，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)y＝kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線(xiàn)段AF2，BF2的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，且<e≤，求k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】過(guò)作，連接，由于，故平面，所以所求直線(xiàn)與平面所成的角為，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，故，.點(diǎn)睛：本題主要考查空間立體幾何直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)與平面所成的角，考查線(xiàn)面垂直的證明方法和常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個(gè)重要的隱含條件，通過(guò)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，即可得到高，由此作出二面角的平面角.2、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋詾樯系脑龊瘮?shù)又因?yàn)?，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.3、D【解析】利用直線(xiàn)垂直系數(shù)之間的關(guān)系即可得出.【詳解】解：直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直，則，解得：.故選：D.4、B【解析】①③可以通過(guò)分析奇偶性和結(jié)合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故②錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿(mǎn)足將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，所以④錯(cuò)誤；故選：B5、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A6、A【解析】求出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.7、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由，不妨設(shè)，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以有，或舍去，故選：B8、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線(xiàn)定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對(duì)于①，與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，故不一定成立，故①正確；對(duì)于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以?xún)蓤A相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A9、C【解析】利用拋物線(xiàn)的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點(diǎn)為，設(shè)光線(xiàn)第一次交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，第二次交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，則，，，，故選：C10、A【解析】首先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以，那么，即.故選：A11、D【解析】根據(jù)題意，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，令，解得.故選：D12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式得出過(guò)B點(diǎn)的中線(xiàn)長(zhǎng).【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)，則過(guò)B點(diǎn)的中線(xiàn)長(zhǎng)為.故答案為：14、.【解析】根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)P已知雙曲線(xiàn)上求得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，則，即，因?yàn)?，則，即的軌跡方程為.15、【解析】根據(jù)題意，列方程計(jì)算即可【詳解】因?yàn)椋?，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，所以點(diǎn)在橢圓上，則，解得.故答案為：16、2【解析】首先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）構(gòu)造中位線(xiàn)，利用面面平行，可以證明;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法即可.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，取ED的中點(diǎn)P，連接MP，NP.在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，，所以，又，所以四邊形BCDE是平行四邊形；因?yàn)镸，N分別是，BC的中點(diǎn)，所以，.又平面，平面，所以平面，平面.因?yàn)椋云矫嫫矫?又平面，所以平面【小問(wèn)2詳解】取BE的中點(diǎn)O，連接，CO，CE.在圖1中，因?yàn)椋允堑冗吶切?，，又四邊形ABCD等腰梯形，所以，即是等邊三角形；所以如圖，，，所以.以為原點(diǎn)，射線(xiàn)OB為x軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，則，，，，則，設(shè)平面的法向量為，，得令，則，，即，由題可知，平面BCD的一個(gè)法向量為，.由圖可知，平面與平面BDC夾角余弦值為；18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個(gè)法向量和平面DCM的一個(gè)法向量，然后由求解【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問(wèn)2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為19、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分?jǐn)?shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機(jī)選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設(shè)為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內(nèi)的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內(nèi)的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由中位數(shù)的性質(zhì)以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值、頻率的關(guān)系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.20、（1）相交.（2）或.【解析】（1）先判斷出直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(2，1)，由(2，1)在圓內(nèi)，即可判斷；（2）分斜率存在與不存在兩種情況，利用幾何法求解.【小問(wèn)1詳解】直線(xiàn)方程，即，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(2，1).因?yàn)?，則點(diǎn)(2，1)位于圓的內(nèi)部，故直線(xiàn)與圓相交.【小問(wèn)2詳解】直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)滿(mǎn)足題意；②直線(xiàn)斜率存在的時(shí)候，設(shè)直線(xiàn)方程為，即.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得:，則直線(xiàn)方程為：.綜上可得，直線(xiàn)方程或.21、（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線(xiàn)斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓離心率為，所以有.橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，若，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知：，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，?dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)與點(diǎn)重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)不存在斜率時(shí)，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，兩點(diǎn)不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過(guò)C，D兩點(diǎn)的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.22、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)右焦點(diǎn)為F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)聯(lián)立，根據(jù)M，N分別為線(xiàn)段AF2，BF2中點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，易得OM⊥ON，則四邊形OMF2N為矩形，從而AF2⊥BF2，然后由0，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)由題意得c＝3，，所以.又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為.(