（滬教版2021必修三）2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)尖子生專題訓(xùn)練-專題01 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系綜合題專練

專題01空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系綜合題專練

（教師版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.（2021?上海市松江二中高二月考）已知直線a,b及平面a,有下列命題：①

…一人

[aL.b=a〃a；②_[aVbna_La；③_J[a,llb=>a//a；_[allb=a，a.則其中正確

[b±a[b//a[b//a[bLa

命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】

根據(jù)空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及有關(guān)的判定定理，性質(zhì)定理即可判斷出正確命題.

【詳解】

_\aLh

①若一，則可能a//a或者aua：

\h±a

②若則可能“ua,〃//a或者直線“與平面0相交；

[b//a

_[allb

③若”,則可能R/a或者〃u。；

\blla

_\allb

④若，?,則由線面垂直的性質(zhì)定理可得a,a.

[bla

故選：B.

2.（2021?上海楊浦?復(fù)旦附中高二期中）如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，

①8M與EO平行；②CN與8E是異面直線；③CN與8"成60。；④OM與5N垂直.

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）

A.①②③B.②④C.(3)@D.②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

由平面展開圖可得原正方體如圖所示:

由圖可得：為異面直線，CN與的不是異面直線，故①②錯(cuò)誤;

連接4V,4C,OM,8N,8E,則A/WC為等邊三角形,

而BM//AN,故NANC或其補(bǔ)角為CN與BM所成的角,

因?yàn)镹ANC=60。，故CN與8M所成的角為60。，故③正確;

因?yàn)镈M_LNC,又BC_L平面CMZVO,所以故DWJ_平面8CN

又BNu平面8CN,所以。MJ.BN,則④正確;

綜上，正確命題的序號(hào)為：③④.

故選：C.

3.（2021?長(zhǎng)寧區(qū)?上海市延安中學(xué)高二期中）已知正方體ABCD-ABCQI，產(chǎn)為CG中

點(diǎn)，對(duì)于下列兩個(gè)命題：（1）過點(diǎn)尸有且只有一條直線與直線AB,AA都相交；（2）

2

過點(diǎn)尸有且只有一條直線與直線48,AA都成45。角.則以下判斷正確的是（）

A.（1）為真命題；（2）為真命題B.（1）為真命題；（2）為假命題

C.（1）為假命題；（2）為真命題D.（1）為假命題；（2）為假命題

【答案】B

【分析】

作出過P與兩直線相交的直線EF判斷①;通過平移直線AB,AA，結(jié)合異面直線所

成角的概念判斷②.

【詳解】

解：直線A3與AR是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)尸不在這兩異面直線中的任何一條

上，如圖所示：

取8月的中點(diǎn)Q,則PQ//4A，且=設(shè)AQ與AB交于E,則點(diǎn)A、2、。、

E、尸共面，

直線EP必與AA相交于某點(diǎn)F，則過P點(diǎn)有且只有一條直線EF與AB、AA都相交，

故①為真命題;

分別平移AB,\D},使AB與A。均經(jīng)過P，則有兩條互相垂直的直線PM,PN與AB，

A4,都成45。角，故②為假命題.

4.（2021?上海普陀?曹楊二中高二月考）下列圖形中，一定可以確定一個(gè)平面的是（）

A.四邊形B.空間三點(diǎn)

C.兩兩相交且交點(diǎn)均不相同的四條直線D.交于同一點(diǎn)的三條直線

【答案】C

【分析】

利用平面的基本性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可得解.

【詳解】

4

_______________________________________

對(duì)于選項(xiàng)A,四邊形如果是空間四邊形，則不能確定一個(gè)平面，所以選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,空間三點(diǎn)如果在一條直線上，所以不能確定一個(gè)平面,所以選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)這四條直線分別為4、4、4、小取其中兩條相交直線4和4,則它們

可確定一個(gè)平面a,取/一設(shè)其與4、4的交點(diǎn)分別為4、B,則由題意知這兩點(diǎn)不同,

且Bel”所以有A、Bwa,從而g；同理可證明％ea,所以每?jī)蓷l都相

交且交點(diǎn)各不相同的四條直線一定共面，所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，交于同一點(diǎn)的三條直線，例如長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)處的3條棱，不能確定一個(gè)平

面，所以選項(xiàng)。不正確.

故選：C.

5.（2021?上海市大同中學(xué)）已知〃和人是成80角的兩條直面直線，則過空間一點(diǎn)且與

a、b都成50角的直線共有（）

A.2條B.3條C.4條D.無數(shù)條

【答案】B

【分析】

將直線。力平移，使兩直線經(jīng)過點(diǎn)尸，設(shè)直線。力所成角的角平分線為J過點(diǎn)P垂直于

直線“力所在平面的直線為d,結(jié)合圖形，然后通過線線之間的關(guān)系進(jìn)行分析求解，即

可得到答案.

【詳解】

將直線“力平移，使兩直線經(jīng)過點(diǎn)P,如圖所示

設(shè)直線。力所成角的角平分線為C,

過點(diǎn)P垂直于直線a1所在平面的直線為d,

因?yàn)?所成角為80,當(dāng)直線/經(jīng)過點(diǎn)P且直線/

在直線凡6所在平面內(nèi)且垂直于直線c,

此時(shí)/與直線a,b所成角均為"ftU=50°；

2

當(dāng)直線/在直線c,d所在平面內(nèi)時(shí)，若/繞著尸點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)，此時(shí)/與直線“力所成角相等，且所成角從

QAO

方-=40。變化到90。，再?gòu)?0。變化到40。，所以此時(shí)滿足條件的/有2條，

綜上所述，過空間定點(diǎn)P與。力成50"角的直線共有3條.

故選：B.

6.（2021?上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高二期末）已知直線。、6是兩條不重合的直線，a、B

是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a_La,aA.13,則a〃/?

B.若a〃a,blip,all/3,貝lja〃&

C.若bVa,allp,則a〃6

D.若a邛，a與a所成角和/，與夕所成角相等，則。%

【答案】A

【分析】

對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B,

C,D,借助長(zhǎng)方體和正方體依次判斷即可得到答案.

【詳解】

對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，即可判斷A正確；

b

滿足a〃a,blip,allp,此時(shí)。與人的位置關(guān)系為異面，故B錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)C,在長(zhǎng)方體中，如圖所示：

6

滿足a/啰，。與a所成角利b與4所成角相等，此時(shí)。與b相交，故C錯(cuò)誤；

故選：A

7.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二月考）關(guān)于直線/、〃?及平面a、夕，下列命題中正確的

是（）

A.若〃/a,an6="?,則〃勿？B.若/_Le,mlla,貝！j/，〃？

C.若〃/<z,mHa,貝!|〃/〃？D.若〃/a,mH,則

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知條件判斷直線/、機(jī)的位置關(guān)系，可判斷ABC選項(xiàng)的正誤；根據(jù)己知條件判

斷，"與a的位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，若〃/a,則/與平面a內(nèi)的直線平行或異面，

因?yàn)?。門￡=，〃，則/與"，平行或異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，mHa,過直線機(jī)的平面夕與a的交線。滿足R/加，

■.■Ila,aaa,.-Jia,故/_1_加，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若〃/a,mHa,則/與加平行、相交或異面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃/a,mVl,則mua、加〃a或m與a相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對(duì)于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”,

即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過舉

出反例說明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模

型進(jìn)行推理或者反駁.

8.（2021?上海市建平中學(xué)高二月考）AABC的三邊長(zhǎng)分別3.4、5,P為人43。所在平面

外一點(diǎn)，令集合。={尸歸為AABC所在平面外一點(diǎn)，且到三邊所在直線的距離都是3},

則集合Q的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】D

【分析】

分別討論P(yáng)在平面ABC上的射影在AABC的內(nèi)部和外部，計(jì)算直角三角形ABC的內(nèi)切

圓的半徑和旁切圓的半徑，結(jié)合勾股定理，可得結(jié)論.

【詳解】

解：若尸在平面ABC上的射影在的內(nèi)部，可得射影為AABC的內(nèi)心，

可得內(nèi)切圓的半徑為g（3+4-5）=l<3,存在兩個(gè)點(diǎn)尸（平面ABC的上下兩側(cè)）；

若P在平面ABC上的射影在AABC的外部，可得射影為AABC的旁心（三角形的外角平

分線的交點(diǎn)）.

若與斜邊相切，則旁切圓的半徑大于3,不成立；

若與邊長(zhǎng)為3的邊相切，可得旁切圓的半徑小于3,成立，且有兩個(gè)點(diǎn)尸；

若與邊長(zhǎng)為4的邊相切，可得旁切圓的半徑為生孝=3,不成立.

綜上可得，這樣的點(diǎn)P共有4個(gè)，

則。的子集個(gè)數(shù)為2,=16.

故選：D.

9.（2021?上海市亭林中學(xué)高二期中）設(shè)直線與平面a所成的角相等，則直線。出的

位置關(guān)系為（）

A.平行B.平行或異面

C.平行或相交D.平行、相交或異面

8

【答案】D

【分析】

兩條平行線可以和一個(gè)平面成相等的角；兩條相交線可以和一個(gè)平面成相等的角；兩條

異面直線可以和一個(gè)平面成相等的角.

【詳解】

棱柱的側(cè)棱所在直線與底面成等角，所以兩條平行直線可以和一個(gè)平面成相等的角；

一個(gè)圓錐的所有母線所在直線與圓錐底面成等角，非重合母線是相交的：

將一條母線平移，與其中一條母線成異面直線，可知兩條異面直線可以和一個(gè)平面成等

角；

則直線與平面a所成的角相等，則直線”,6的位置關(guān)系為平行、相交或異面，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)空間兩直線位置關(guān)系的判斷，方法如下：

（1）結(jié)合幾何體，判斷空間直線與平面成等角對(duì)應(yīng)的特征；

（2）結(jié)合幾何體，可以得出與平面成等角的兩條直線可以平行，可以相交，也可以異

面，從而得到結(jié)果.

1（）.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知平面々n/=/,B,Cel,Aea,且Ag/,

De0,且。任/,則下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.直線AO與BC是異面直線

B.直線C。在a上的射影可能與A8平行

C.過4。有且只有一個(gè)平面與8c平行

D.過4）有且只有一個(gè)平面與BC垂直

【答案】D

【分析】

利用反證法判斷選項(xiàng)A正確；舉例說明選項(xiàng)3正確；由公理3的推論結(jié)合過直線外一點(diǎn)

有且只有一條直線與己知直線平行判斷選項(xiàng)C正確；由異面直線垂直及線面關(guān)系判斷選

項(xiàng)。錯(cuò)誤.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,若直線AO與BC是共面直線，設(shè)4）與8c共面/,

???不共線的三點(diǎn)8,C,。均在夕與/內(nèi)，，/與7重合，

又不共線的三點(diǎn)A,B,C均在a與/內(nèi)，\a與7重合，則a與夕重合，與a「p=，矛

盾，

故直線A。與BC是異面宜線，所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,當(dāng)ABI/,CD1I,且二面角a-/一/為銳二面角時(shí)，直線C。在a上的

射影與AB平行，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,在AO上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作BC的平行線「，則由AO與/'確定一個(gè)平面，

該平面與8c平行，

若過A￡＞另外有平面與8c平行，由直線與平面平行的性質(zhì)，可得過直線8c外的?點(diǎn)A

有兩條直線與BC平行，

與過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾，所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，只有當(dāng)AO與8c異面垂直時(shí)，過AO有且只有一個(gè)平面與BC,否則，不

存在過A0與BC垂直的平面，故選項(xiàng)〃錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，著重考查異面直線的

性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題

11.（2021?上海奉賢區(qū)?高二期末）在《九章算術(shù)》中定義“底面為直角三角形而有一側(cè)

棱垂直于底面的三棱錐為鱉膈”.如圖，在鱉膈ABCD中，側(cè)棱，底面BCD,AB=1,

BC=2,CD=l,則異面直線AC與所成角的大小為.

10

【分析】

由題意，把底面為直角三角形而有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐為鱉蠕補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,

分NC=90lZD=90。和NB=90。三種情況討論，結(jié)合異面直線所成角的求法，即可

求解.

【詳解】

由題意，把底面為直角三角形而有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐為鱉席補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,

其中在鱉腌ABC。中，側(cè)棱A3,底面BCD,AB=l,BC=2,CD=1,

當(dāng)?shù)酌嬷苯茿ABC中，角NC=90。時(shí)，如圖(1)所示：

在長(zhǎng)方體中AC!IDE,所以異面直線AC與80所成的角即為直線OE與30所成的角,

因?yàn)閄B=1,BC=2,CD=\,

可得BDujBd+CD。=5AE=A/12+I2=，AC=DE=yff+￥=y[5>

在ABDE中,由余弦定理可得cosNB0E=(6.+(省>53)-=0,

2x>/5xV55

4

所以異面直線AC與BO所成的角為arccosg；

當(dāng)?shù)酌嬷苯茿A8C中，角4>=90"時(shí)，如圖(2)所示：

在長(zhǎng)方體中BDHCM,所以異面直線AC與83所成的角即為直線DE與CM所成的角,

因?yàn)樗?1,BC=2,CD=\,則BD=\)BC2-CD。=6，

可得AM=jF+r=后,CM=BD=6AC="+1+(6)2=石,

在A4CM中，由余弦定理可得cosZACM=(舟+(，)2］囪=叵,

2xV3xV55

所以異面直線AC與3。所成的角為arccos巫.

5

當(dāng)?shù)酌嬷苯茿ABC中，角/B=9(T時(shí)，因?yàn)锳8=l,BC=2,此時(shí)AS<3C,所以不成

立.

故答案為：arccos^或arccos'叵.

55

12.（2021?上海市建平中學(xué)高二期中）已知圓錐的軸截面丹3是等邊三角形，C為底面

弧AB的中點(diǎn)，。為母線28的中點(diǎn)，則異面直線PA和CO所成角的大小為

【答案】；

【分析】

如下圖所示，連接。P,0C,過點(diǎn)Q作底面于“，連接C4,根據(jù)中位線定理得

OD//PA,所以NODC（或其補(bǔ)角）就是異面直線PA和C。所成的角，設(shè)R4=PB=43=2,

解三角形可求得答案.

【詳解】

如下圖所示，連接OP,0C,過點(diǎn)Z）作DHL底面于從連接C”，

因?yàn)?。為母線尸8的中點(diǎn)，所以O(shè)D//PA,所以ZODC（或其補(bǔ)角）就是異面直線PA和CD

所成的角，

i^PA^PB=AB=2,則尸0=6,。"=3,0//=1,所以CH=d0C、0H2=@,

222

所以￡>C=J必+"=J閨+|手）=母,又8=OC=1,所以滿足

OD2+OC2=DC2.

12

所以NOOC=JTT,所以異面直線期和。所成角為T￡T,

44

TT

故答案為：

4

13.（2021?上海靜安?高二期末）如圖，三棱錐P-A8C中，底面A5C,底面A8c

是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且叢=26，若加是5c的中點(diǎn)，則異面直線PM與AC所

成角的大小是（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【答案】arccos

10

【分析】

取A8的中點(diǎn)，記為N,連接PN,MN,由于N,M分為為A8,BC的中點(diǎn)，可推

得NM//BC,/PMN為異面直線PM與AC所成的角，在APMN中，運(yùn)用余弦定理，

即可求解.

【詳解】

解：如圖所示，取A8的中點(diǎn)，記為N,連接PN,MN,

QN,M分為為AB,8C的中點(diǎn)，

NPMN為異面直線PM與AC所成的角，

VNM=^AC=],PM="尸加+4M，=J（2回+（相2=岳,

PN=-JP^+AN2=7（2>/3）2+12=V13,

*.人武…E-r/口fNM2+PM2-PN21+15-13而

???在APMN中，由余弦定理可得cosNPMN=—~NM—=2屈=''

，異面直線PM與AC所成角的大小是arccos，6.

10

故答案為：arccosm5.

10

14.（2021?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)）四面體A8CD中，AB=CD=2,AC=AD=BC=BD=4,

則異面直線A8與C。的距離為

【答案】V14

【分析】

分別取A8與C。的中點(diǎn)E、F,連接AF、BF、EF、CE、DE,證明出EF為A3、

CD的公垂線，并計(jì)算出EF的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)果.

【詳解】

分別取4B與CD的中點(diǎn)E、F,連接AF、BF、EF、CE、DE,

14

因?yàn)锳B=CQ=2,AC=AD=BC=BD=4,E、尸分別為A8、CD的中點(diǎn),

則3F_LCD,AFrCD,且BF=AF7AC-CF=岳，

???E為AB的中點(diǎn)，故EF_LM,同理可證EE_L8,

故E尸為A3、8的共垂線段，且EF=JA尸-KE?=9.

故答案為：-VL4.

15.（2021?上海普陀區(qū)?曹楊二中高二期末）已知空間四邊形ABC。，AB=CD=2,且A8

與CO所成的角為設(shè)E、尸分別是BC、A。的中點(diǎn)，則歷的長(zhǎng)度為.

【答案】1或百

【分析】

連接3￡>,取BZ）的中點(diǎn)。，連接OE、OF,分NEOF=2或NEOF=與進(jìn)行討論，結(jié)

合余弦定理可求得EF的長(zhǎng).

【詳解】

連接80，取8。的中點(diǎn)0,連接OE、OF,如下圖所示：

C

???。、E分別為8￡＞、8c的中點(diǎn)，則OE〃。且OE=!CO=1,

2

同理可知OF//AB且。E=,A8=1,

2

■JTTT27r

因?yàn)锳B與CO所成的角為g,則NEOF=§或/后。/=彳.

TT

①若NE。尸=],則△￡（?尸為等邊三角形，故W=0E=l；

②若NEOF=1，由余弦定理可得EF=，?！?。尸？-20E?。尸cos與=6.

綜上所述，所=1或6.

故答案為：1或G.

16.（2021?徐匯區(qū)?上海中學(xué)高二月考）下列判斷中：①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線

和一點(diǎn)確定一個(gè)平面；③兩條直線確定一個(gè)平面；④三角形和梯形一定是平面圖形；⑤

四邊形一定是平面圖形；⑥六邊形一定是平面圖形；⑦兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平

面.其中正確的是.

【答案】④

【分析】

根據(jù)平面的公理及推論進(jìn)行判斷得解

【詳解】

解①根據(jù)公理2知，必須是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①不對(duì)；

②根據(jù)一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面知，故②不對(duì)；

③由異面直線的定義知，兩條直線不一定確定一個(gè)平面，故③不對(duì)；

④因梯形的一組對(duì)邊平行，所以由“兩條平行確定一個(gè)平面”知，梯形是一個(gè)平面圖形，

又因三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，故④對(duì)；

⑤比如空間四邊形則不是平面圖形，故⑤不對(duì)；

⑥比如空間六邊形則不是平面圖形，故⑥不對(duì)：

⑦兩兩相交于同一點(diǎn)的三條直線，如三棱錐的三個(gè)側(cè)面，它們確定了三個(gè)平面，故⑦不

對(duì).

故答案為：④.

17.（2021?上海市中國(guó)中學(xué)高二月考）一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，B.C、。為原

16

正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)，在原來的正方體中，直線C。與A8所成

角的余弦值為.

【答案】典

10

【分析】

把展開圖還原成正方體，確定4民8的位置，作出異面直線所成的角，然后求角的余

弦.

【詳解】

把展開圖還原成正方體，4仇8如圖中位置，

由正方體性質(zhì)知80與CE平行且相等,即CQBE是平行四邊形，CD//BE,直線CO與

AB所成角為NA8E(或其補(bǔ)角)，

同樣棱。尸與側(cè)面CEF垂直，EFuCE戶垂直，則可得。尸八EF,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,AB=/+W/5廠

—.BE=O，

AE=yjAF2+EF2=J[g)+(近辛=|

圖+向-(1)M

△4跳;中，cosZABE=^_]_=—

2x旦J”-1°

2

叵

所以直線C。與A3所成角的余弦值為1

方.

故答案為：巫.

10

18.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二月考）如圖，ABCO-AAG。是棱長(zhǎng)為1的正方體,

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體的面對(duì)角線運(yùn)動(dòng)，每走完一條面對(duì)角線稱為“走完一段”，

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則如下:運(yùn)動(dòng)第，?段與第，+2所在直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）,

質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成的角是.

【答案】90。

【分析】

由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則得到質(zhì)點(diǎn)走過4段后又回到起點(diǎn)A,可以看作以4為周期，由此能求出

質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成的角.

【詳解】

不妨設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線為：

ABttBXCtCDDtA,

即走過4段之后又回到起點(diǎn)A,

可以看作以4為周期，

?.-99=4x24+3,

18

所以質(zhì)點(diǎn)走完第99段與第1段所在的直線分別是A4和C。，

VAB}1CD,,

所以質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成角為90。.

故答案為：90°

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系和實(shí)際問題中的周期性問題;通過分

析路線特點(diǎn)找出以4為周期是求解本題的關(guān)健.

19.（2021?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)）在棱長(zhǎng)為2的正方體A88-ABCR中，M、N分

別是44、CG的中點(diǎn)，用過。、M、N三點(diǎn)的平面截正方體，則截面圖像的周長(zhǎng)為

【答案】3石+如+竺

236

【分析】

根據(jù)題意畫出截面圖形，再利用相似和全等三角形求出截面圖形的邊長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】

解：如圖所示（保留作圖痕跡）

作4G、DV的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接并延長(zhǎng)交AA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接3G交

AA于點(diǎn)H,則五邊形DNFMH即為截面圖像，

211

由三角形相似得：FC'B'G，=A]H=-AAif

所以“￡）=:，HM=—,MF=—,FN=|,DN=&

2233

所以五邊形。NRW”的周長(zhǎng)為3石+姮+”，

236

即截面圖像的周長(zhǎng)為3石+姮+交.

236

故答案為：3逐+姮+竺.

236

且僅有2條直線與a,b所成角都是巴則。的取值范圍是.

【答案】

【分析】

將直線凡6平移交于點(diǎn)P,并作Na'P。’及其外角的角平分線；根據(jù)過空間一點(diǎn)尸有且僅

有2條直線與4匕所成角都是仇可知4方向上有兩條，6方向上不存在，由此可得范圍.

【詳解】

將直線平移交于點(diǎn)P,設(shè)平移后的直線為a',b',

TT

過點(diǎn)P作NdPb'及其外角的角平分線4,4，則Na'Pb'=J；

在4方向，要使過空間一點(diǎn)P的直線，且與。力所成角都是。的直線有兩條，則&>￡；

6

在4方向，要使過空間一點(diǎn)P的直線，且與。力所成角都是。的宜線不存在，則e<。；

20

綜上所述:

故答案為:

三、解答題

21.（2021?上海市松江二中高二月考）在正四棱柱4BCO-ABCQ中，48=2,過A、

G、8三點(diǎn)的平面截去正四棱柱的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABC。-AG2,

2（）

且這個(gè)幾何體的體積為與，點(diǎn)尸，。分別是A。和4C的中點(diǎn).

（I）求異面直線。尸與G。所成角的大??；

（2）求直線GZ）與平面AGB所成角的大小.（用反三角函數(shù)表示）

【答案】（I）[；（2）arcsin—.

63

【分析】

20

（1）根據(jù)幾何體4BCC-AGR的體積為方，求出棱。A；然后判斷出AZV/B￡,所以

NBC?為異面直線與C,C所成的角或所成角的補(bǔ)角.

（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求直線Ci。與平面AGB所成角.

【詳解】

（1）設(shè)正四棱柱ABCD-ASGA的高為人，

20II20

因?yàn)閹缀误wABC。-ACQ的體積為可，所以2X2、"-3*5、2><2工/7=可,

解得〃=2,即。。=C°=2,

所以正四棱柱ABCO-ABCQ為正方體.

所以連接A"與A。，則交點(diǎn)為尸，連接AC與30,則交點(diǎn)為Q,

在正方體ABC。-A4GA中，AD,〃BC,，所以NBGQ為異面直線Of與G。所成的角

或所成角的補(bǔ)角.

因?yàn)?OJ.4(7,3。1.。6，。。1門4。=。,所以8。，面4。(70，

又因?yàn)镚。U面ACGA，所以BO，G0,

屈=6

在RtABGQ中,BC、=2&,BQ=RCQ=娓,所以cosNBC；。=

2夜一2

因?yàn)镹BGQe(O,;r),所以NBC?=工,

6

即異面直線。7與G。所成角為?

O

(2)以。為原點(diǎn)，2)A,DC,。〃所在直線分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示，

則0(0,0,0),8(2,2,0),A(2,0,2),G(0,2,2),

璃=(0,2,2),乖=(0,2,-2),福=(-2,2,0)

設(shè)面AG8的法向量為％=(x,y,z),

則1,祟一；，即]]:一；，取x=l,y=l,z=l,所以7=(1,1,1),

7

[n-\C[=0[-2x+2y=0'

設(shè)宜線G。與平面4GB所成角為

則sin0=|cos(DC、,“二0+2+276

VO+22+22->/l2+l2+l2一3'

所以。=arcsin?,即直線CO與平面AG8所成角為arcsin顯

33

22

22.(2021?上海市西南位育中學(xué)高二期中)長(zhǎng)方體ABC。-AB?。中,

AB=AA=1,AE>=2,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線BB|與。渡所成角的大??；

(2)求點(diǎn)A到平面AOE的距離.

【答案】(1)arctan>/2;⑵-

3

【分析】

(1)先判斷出N3QE為異面直線8月與RE所成角.在直角三角形。2E中，求出

tan/ORE=血,，即可得到異面直線BB「與RE所成角為arctan叵.

(2)利用等體積法，由匕=^^-AED求出點(diǎn)A到平面AQE的距離..

【詳解】

(1)長(zhǎng)方體ABC。-ABIGA中，BB\HDD\,所以/。。盧(或其補(bǔ)角)即為異面直線BB,

與。E所成角.

在長(zhǎng)方體ABCQ-ABCD中，AB=M=1,AQ=2,點(diǎn)E是棱8c的中點(diǎn)，所以

DE=yJCE2+CD2=V12+12=V2-

在直角三角形DRE中，tan/DRE=^=^=6,

由圖示可知：NDRE為銳角，所以N￡）￡）|E=arctan夜，

即異面直線BB「與RE所成角為arctan忘.

（2）設(shè)點(diǎn)A到平面AOE的距離為d,則匕一“沖=；,4沖W.

222

在△AOE中，DE=y/2,AlE=yjAAl+AE=yjl+2=y/3,

\D="M+m=Vl2+22=y/5

所以A0+0^2=A。）所以AE,DE,

所以S.A?=；AEXOE=；GX應(yīng)=手.

而匕-加二匕2后廣京的"⑨=1x|x2xlxl=1,

所以k旦d=L,解得：d=^L.

3233

即點(diǎn)A到平面A,DE的距離為也.

3

23.（2021?上海楊浦?復(fù)旦附中高二期中）已知正方體ABCD-ABCR的棱長(zhǎng)為2,若M,

N分別是CG，AQ的中點(diǎn)，作出過加，N,8三點(diǎn)的截面，并求出這截面的周長(zhǎng).

【答案】作圖答案見解析，周長(zhǎng)為"+豆叵+姮.

623

【分析】

根據(jù)一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交交線平行即可做出截面，再根據(jù)平行線分線段成比例,

三角形相似、三角形全等利用勾股定理求出截面圖形各個(gè)邊長(zhǎng)即可求周長(zhǎng).

24

【詳解】

連接因?yàn)槊鍭4,。。〃面8CG4,所以截面與兩平面的交線平行,

過點(diǎn)N作NF//BM交AA于點(diǎn)F,連接BF,

同理過點(diǎn)“作交CQ于￡,連接NE,

則五邊形BMENF即為所求截面，

因?yàn)镸是CG的中點(diǎn)，所以ABCMWAPG”,可得Cf=8C=2,

因?yàn)锳NRE~AP￡E,所以至=券=；,所以*可得*=],EC,=4>

2233

AQ=&Y，

2

因?yàn)锳F//BB-所以禁=籌=/_=；,所以A,尸=<，AF=1,

66]Qg*+2422

3

￡M=v0+,=1'BM=&

所以這截面五邊形BMENF的周長(zhǎng)為』+且+巫+?+石=生+邁+巫.

2233623

24.（2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖所示，在長(zhǎng)方體48CO-A8C。

中，AB=1,BC=2,CCt=5,M為棱CG上一點(diǎn).

(1)若C附=|,求異面直線AM和GA所成角的正切值;

(2)若G"=l.試證明：區(qū)M_L平面AMA/.

【答案】(1)(2)證明見解析.

【分析】

(I)采用平移直線法進(jìn)行求解，連接AM，BIM,可得N4AM或其補(bǔ)角即為異面直

線所成角，結(jié)合線段長(zhǎng)度求解出結(jié)果；

(2)通過證明片“，再結(jié)合線面垂直的判定定理完成證明.

【詳解】

(1)連接A",B,M,

:長(zhǎng)方體ABCD-ABCR中，AB、”C\D\,

26

ANAAM或其補(bǔ)角即為異面直線A