專項精練課件：與正方形有關的?？寄Ｐ?/h1>

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第一章特殊平行四邊形專項精練與正方形有關的?？寄Ｐ?.[2021河南洛陽模擬]在正方形ABCD中,動點E,F分別從D,C兩點同時出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動.(1)如圖1,當點E自D向C,點F自C向B移動時,連接AE和DF交于點P,請寫出AE與DF的關系,并說明理由;(2)如圖2,當點E,F分別移動到邊DC,CB的延長線上時,連接AE和DF,(1)中的結論還成立嗎?(請直接回答“成立”或“不成立”,無需證明)(3)如圖3,當E,F分別在CD,BC的延長線上移動時,連接AE和DF,(1)中的結論還成立嗎?請說明理由.

圖1

圖2

圖3類型1“十字模型”【解析】

(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴∠APD=90°,∴AE⊥DF.(2)成立.(3)成立.理由如下:同(1)可證AE=DF,∠DAE=∠CDF.如圖,延長FD交AE于點G,則∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°,∴∠AGD=90°,∴AE⊥DF.

求解運動問題時,往往前面問題的解答思路可用于后面問題的求解.名師點睛2.[2018吉林長春中考]在正方形ABCD中,E是邊CD上一點(點E不與點C,D重合),連接BE.【感知】如圖1,過點A作AF⊥BE交BC于點F.易證△ABF≌△BCE.(不需要證明)【探究】如圖2,取BE的中點M,過點M作FG⊥BE交BC于點F,交AD于點G.(1)求證:BE=FG.(2)連接CM.若CM=1,則FG的長為

.

【應用】如圖3,取BE的中點M,連接CM.過點C作CG⊥BE交AD于點G,連接EG,MG.若CM=3,則四邊形GMCE的面積為

.

圖1

圖2

圖3

歸納總結正方形中的“十字模型”如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別是CD,AD上的兩點,則有AE⊥BF?AE=BF(互逆).如圖2,在正方形ABCD中,點E在CD邊上,F,H分別在AD,BC邊上,則有AE⊥FH?AE=FH(不互逆).如圖3,在正方形ABCD中,點E,F,G,H分別在AB,CD,AD,BC邊上,則有EF⊥GH?EF=GH(不互逆).3.如圖,正方形ABCD的面積為16cm2,△AEF為等腰直角三角形,∠E=90°,AE和BC交于點G,AF和CD交于點H,連接GH,則△CGH的周長為(

)A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm類型2“旋轉半角模型”C

4.[2021安徽淮南聯(lián)考]已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,將∠MAN繞點A接順時針方向旋轉,它的兩邊分別交CB,DC(或它們的延長線)于點M,N.(1)當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時(如圖1),求證:BM+DN=MN.(2)當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時(如圖2),線段BM,DN和MN之間的數(shù)量關系是

.

(3)當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時,猜想線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系,并對你的猜想加以說明.

圖1

圖2

圖3【解析】

(1)如圖1,延長CB至點E,使得BE=DN,連接AE.易證△ABE≌△ADN,∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAM=∠MAN,又∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM,∴ME=MN,即BM+BE=MN,∴BM+DN=MN.(2)BM+DN=MN(3)DN-BM=MN.理由如下:如圖2,在DC上截取DE=BM,連接AE.易證△ADE≌△ABM,∴∠DAE=∠BAM,AE=AM,∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠MAN,又∵AN=AN,∴△MAN≌△EAN,∴EN=MN,即DN-DE=MN,∴DN-BM=MN.歸納總結正方形中的“旋轉半角模型”當一個角包含著這個角的半角,常將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形,此時構造的三角形與半角所在的三角形全等.如圖,∠EAF=45°,繞點A順時針旋轉△ADF到△ABG,使AD與AB重合,則有以下結論:①△AEF≌△AEG;②EF=BE