（滬教版2021必修三）2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)尖子生專題訓(xùn)練-第10章 空間直線與平面單元綜合提優(yōu)專練

第10章空間直線與平面單元綜合提優(yōu)專練（教師版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（2021?上海市進才中學(xué)高二期中）已知棱長為1的正方體A8CO-AqG。中，點E,

戶分別是棱3練。2上的動點，且8E=，F(xiàn)=?O</14￡|,設(shè)防與A8所成的角為a,

與8c所成的角夕，則a+夕的最小值（）

A.不存在B.等于60。C.等于90。D.等于120。

【答案】C

【分析】

根據(jù)平移作出EF與AB所成的角為a,并判斷出夕=a,從而在尸中利用余弦定理

求cosa的值，進而求a最小值.

【詳解】

在AA上取一點M，使EA〃/AB,連接ME,則=AM=D1F=A,

同理可判斷￡=a.

在AME/中，ME=1,MF=肝+(1-24,EF=,2+(1-2/1)2,

1、1夜nI

所以cosa=j+（；2M7T3'所以.最小為“此時人會

因此a+力的最小值等于90。.

故選：C.

2.（2021?徐匯區(qū)?上海中學(xué)高二月考）設(shè)“〃是兩條不同的直線，d4是兩個不同的平

面，則下列命題中正確的是

A.若a，夕,m±a,則相//4

B.若〃”/a,nca,貝1|加〃〃

C.若aCl6=〃?，nila,n//p,貝！j加//〃

D.若且an/?=僧，點Aea,直線則A8J_p

【答案】C

【分析】

根據(jù)線面、面面平行與垂直的相關(guān)定理依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.

【詳解】

對于A,若，”_La,存在"zu/7的情況，A錯誤；

對于8,若加〃a,〃ua,存在見w異面的情況，8錯誤；

對于C,若〃//a,"〃夕，則在a,夕內(nèi)分別存在直線//與“平行，由線面平行的性質(zhì)可

知:〃/加〃/',mlln,C正確：

對于O,若則存在直線AB不垂直于平面尸，。錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，解決此類問題通常采用排除

法來解決；涉及到立體幾何中線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用.

3.（2021?上海高二專題練習(xí)）若〃、匕是異面直線，則下列命題中的假命題為（）

A.過直線“可以作一個平面并且只可以作一個平面a與直線6平行

B.過直線a至多可以作一個平面a與直線〃垂直

C.唯一存在一個平面。與直線。、人等距

D.可能存在平面a與直線“、6都垂直

【答案】D

【分析】

在A中，把直線人平移與直線〃相交，確定一個平面內(nèi)平行于6；在B中，反設(shè)過直線

“能作平面a、。使得b^a、bV13,推出矛盾；在C中，過異面直線。、6的公垂線

段的中點作與該公垂線垂直的平面可滿足條件；在D中，若存在平面a與直線”、匕都

垂直，則a〃Z?.

【詳解】

在A中，由于。、6是異面直線，把直線b平移與直線。相交，可確定一個平面，這個

平面與直線b平行，A選項正確；

在B中，若過直線。能作平面a、4使得b1/3,則a/啰，這與ac"=a矛盾，

2

所以，過直線。最多只能作一個平面a與直線匕垂直，由aua,可得6J_”，

當(dāng)直線。與人不垂直時，過直線。不能作平面與直線b垂直，B選項正確；

在C中，由于。、6是異面直線，則兩直線的公垂線段只有一條，過該公垂線段的中點

作平面a與該公垂線垂直，這樣的平面a有且只有一個，且這個平面a與直線a、b等

距，C選項正確；

在D中，若存在平面a與直線a、6都垂直，山直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得a//"

D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題真假的判斷，著重考查與異面直線相關(guān)的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中等

題.

4.（2021?上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）已知正方體A8CO-A4G。，點P是棱C￡的

中點，設(shè)直線A8為〃，直線A”為從對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線

/與4、6都相交；②過點P有且只有一條直線/與“、6都成45。角.以下判斷正確的是

()

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【答案】B

【分析】

作出過尸與兩直線相交的直線/判斷①；通過平移直線a,b,結(jié)合異面直線所成角的概

念判斷②.

【詳解】

解：直線A8與45是兩條互相垂直的異面直線，點尸不在這兩異面直線中的任何一

條上，如圖所示：

取班I的中點Q,則PQ〃4。，且PQ=A{Di,設(shè)40與AB交于E,則點4、。、。、

E、P共面，

直線EP必與4。相交于某點尸，則過P點有且只有一條直線EF與“、8都相交，故

①為真命題；

分別平移“，b,使a與b均經(jīng)過P,則有兩條互相垂直的直線與a,8都成45。角，故

②為假命題.

①為真命題，②為假命題.

故選：B.

本題考查立體幾何圖形中直線和平面的相交、平行、垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學(xué)思想，是中檔題.

5.（2021?上海高二專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABC。-AfGR中，如果M、N分

別為A出和8月的中點，那么直線A"與CN所成角的大小為（）

6B.arccos^32

arccos——C.arccos—D.arccos—

21055

【答案】B

【分析】

作出圖形，取C。的中點E,連接ME、AE,證明四邊形CNME為平行四邊形，計算

出AAME的三邊邊長，然后利用余弦定理計算出cosNAME,即可得出異面直線A"與

CN所成角的大小.

【詳解】

如下圖所示：

4

取C。的中點E,連接ME、AE,

?.?M、N分別為BB1、4B的中點，則mV〃AM，且MN=；AA=；,

在正方體428-44CQ中，A4幺CD,...E為CO的中點，

CE//A,與且CE=；AA=g,則MNI/E,

所以，四邊形CNME為平行四邊形，?..CNaWE,

則異面直線AM與CN所成的角為Z4EM或其補角.

在AAME中，AM=-A,B=—,ME=CN=yjBC2+BN2=—,

2122

AE=^AD2+DE2=—.

2

rhAn去±IB4旦/A.”廠AM~+M&_A￡.-x/To

由余弦定理得cosZAME=---------------------------=-—.

2AMME10

因此，異面直線AM與CN所成角的大小為arccos?.

10

故選B.

【點睛】

本題考查異面直線所成角的計算，一般利用定義法或空間向量法計算，考查計算能力，

屬于中等題.

6.（2021?上海虹口?高二期末）正方體A8C3-48CQI，中，E為線段BR,上的一個動

點，則下列錯誤的是（）

A.ACLBEB.〃平面A8CQ

C.三棱錐E-A3C的體積為定值D.直線直線SC.

【答案】D

【分析】

結(jié)合正方體的性質(zhì)，利用線面平行和垂直的性質(zhì)定理和判定定理分別進行判斷證明.

【詳解】

解：A.,在正方體中，AC1BD,ACrDDt,BD^]DDt=D,

??.ACJ"面BBQ，

?.?BEu面BB、D\D,

AC±BE,，A正確.

8.???4R〃平面ABC。，二監(jiān)〃平面ABC。成立.即B正確.

C.三棱錐E-45c的底面AABC為定值，錐體的高B⑸為定值，.?.錐體體積為定值,

即C正確.

o.?.?RGL8CQ,.?.旦EL直線錯誤.

故選。.

【點睛】

本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判斷，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)

定理.

7.（2021?上海高二專題練習(xí)）已知正方體ABC。記過點4且與三直線

AB,AD、A4所成的角都相等的直線的條數(shù)為，”，過點A與三個平面A8,AC,AD

所成角都相等的直線的條數(shù)為“，則（）

A.m=\,n-\B.m-4,n=lC.m=3,w=4D.m=4,n-4

【答案】D

【分析】

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征、空間中線線角、線面角定義，即可得到答案.

6

【詳解】

作圖如下:

過點A與三條直線A&AD./U.所成角都相等的直線有：

AC',

過A作出）'的平行線，

過A作AC的平行線，

過A作30的平行線，

共4條，

故，？i=4；

過點A與三個平面48,AC,4。所成角都相等的直線分兩類：

第一類：通過點A位于三條棱之間的直線有一條體對角線AC；

第二類：在圖形外部和每面所成角和另兩個面所成角相等，有3條;

故〃=4.

故選D

【點睛】

本題考查空間直線與平面所成角和直線與直線所成角;結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，準確找出

符合題意的線線角和線面角是求解本題的關(guān)鍵;注重考查學(xué)生的空間想象能力;本題屬于

抽象型、難度大型試題.

8.（2021?上海高二專題練習(xí)）三條直線兩兩異面，有幾條直線同時與這三條直線相交

（）

A.一條B.兩條C.無數(shù)條D.沒有

【答案】C

【分析】

如圖所示：正方體488-A4GR中，A瓦，BC,。。兩兩異面，取。。上一點P,

則尸4與確定平面?，使平面a與8C交于C?,則PCz與必相交，得到答案.

【詳解】

如圖所示：正方體ABCD-AqG。中，4月，BC,。。兩兩異面,

取。R上一點P,則尸44確定平面a,使平面a與BC交于C?,

則PC?與4蜴必相交，有無窮多個點尸滿足條件，故有無窮多條直線.

故選：C.

【點睛】

本題考查了空間中直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.

9.（2021?上海高二專題練習(xí)）如圖兩正方形ABC。，CDFE所在的平面垂直，將A￡FC

沿著直線FC旋轉(zhuǎn)一周，則直線EC與AC所成角的取值范圍是（)

7154717萬兀冗71九

12，-12C.五'萬D.

【答案】C

【分析】

TT冗

可證得A尸=AC=b,故乙4b=1，ZECF=-,當(dāng)AE/P沿著直線RC旋轉(zhuǎn)一周,

NCEA4NECF+NFCA,JiZCEF>ZACF-AECF,結(jié)合線線角的取值范圍即得解.

8

【詳解】

如下圖所示,

連接A尸，因為正方形A68和CDEE,則45_L8,FDLCD,">=￡>C=￡）「又因

為面A8Cr>_L面C￡>/=E,面ABC。。面C￡>/話=8,

則A￡）_L面CDFE,

因止匕AD_LDF.

因此■之二仞,+0尸？，AC2=AD2+DC2,CF2=CD2+DF2,

則A尸=AC=B,

7T

因此ZACF=§

I-T

因為ZECF=:，

4

74

則當(dāng)AEFC沿著直線尸C旋轉(zhuǎn)一周，ZCEA<ZECF+ZFCA=—

冗

NCEF>ZACF-NECF=—,

12

當(dāng)ZCEF為銳角或直角時，直線EC和AC所成角的等于NCEF

當(dāng)NCEF為鈍角時，直線EC和AC所成的角等于NCEF的補角

因此直線EC和AC所成的角的取值范圍是

故選：C.

【點睛】

本題考查了空間中直線與直線的夾角，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能

力，屬于較難題.

10.（2021?上海高二專題練習(xí)）設(shè)卜%、4為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為

4、5、6的直線，給出下列三個結(jié)論：

①存在47（，=1,2,3）,使得4444是直角三角形；

②存在A-€4（/=1，2,3）,使得44人4是等邊三角形；

③三條直線上存在四點AG4（i=1,2,3,4）,使得四面體A444為在一個頂點處的三條

棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

本題利用畫圖結(jié)合運動變化的思想進行分析.我們不妨先將A.B,C按如圖所示放置，

容易看出此時BC<AB=AC.

現(xiàn)在，我們將A和8往上移，并且總保持AB=4C（這是可以做到的，只要A、B的

速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B移得很高很高時，就得到①和②都是正確的.至于③，

結(jié)合條件利用反證法的思想方法進行說明即可

【詳解】

我們不妨先將A、B、C按如圖所示放置.

容易看出此時BC<AB=AC.

現(xiàn)在，將A和8往上移，

并且總保持A8=AC（這是可以做到的，只要4、8的速度滿足一定關(guān)系），

而當(dāng)A、B移得很高很高時，

不難想象4ABC將會變得很扁，

也就是會變成頂角A“非常鈍”的一個等腰鈍角三角形.

于是，在移動過程中，

總有一刻，使△A8C成為等邊三角形，

亦總有另一刻，使AABC成為直角三角形（而且還是等腰的）.

這樣，就得到①和②都是正確的.

至于③，如圖所示.

為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所公共頂點為T.

假設(shè)A.是T,

那么由ADLAB,ADLAC,

知L31/\ABC,

10

從而△ABC三邊的長就是三條直線的距離4、5、6,

這就與AB_L4c矛盾.

同理可知。是T時也矛盾；

假設(shè)C是T,

那么由8C_LC4,BCLCD,

知BCL/XCAD,

而/|〃△。。，故BCLlx,

從而BC為/i與6的距離，

于是EF//BC,EF=BC,這樣就得到EFLFG,矛盾.

同理可知8是T時也矛盾.

綜上，不存在四點4(i=l,2,3,4),

使得四面體AiA2AM4為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體.

故選C.

【點睛】

本題考查命題真假的判斷解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

二、填空題

11.（2021?上海浦東新區(qū)?華師大二附中）如圖，三棱錐S-ABC中，若AC=26，

SA=SB=SC=AB=BC=4,E為棱SC的中點，則直線AC與8E所成角的余弦值為

【答案】；

4

【分析】

過E作即〃C4交SA于￡＞，連接8。即可知ZDE3為直線AC與BE所成角，根據(jù)余弦

定理即可求NDEB的余弦值.

【詳解】

過E作EO〃C4交SA于D，連接BO,如下圖示，

為棱SC的中點，AC=2⑸即在△SAC中OE為中位線，

DE—=V3,而在等邊4SAB、△SBC中有BD=BE=2百,

山上知：NDE3為直線AC與8E所成角，

.?.在△的中，BD2=DE2+BE1-2DE-BE-cosZDEB,即

12

DE2+BE2-BD2

cosZDEB=

2DEBE4

故答案為：i

【點睛】

本題考查了求異面直線所成角，根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用余弦定理求角的余弦值,

屬于基礎(chǔ)題.

12.（2021?上海高二專題練習(xí)）已知異面直線。，?所成角為70。，過空間定點尸與a,

b成55。角的直線共有條.

【答案】3

【分析】

根據(jù)條件先將直線。力平移至過點尸，然后根據(jù)直線。涉所成角的角平分線以及直線a力

所在平面的垂線分析與直線a,b所成角均為55。的直線的條數(shù).

【詳解】

將直線“力平移，使兩直線經(jīng)過點P,如下圖所示：

設(shè)直線a,b所成角的角平分線為c,過點尸垂直于直線。力所在平面的直線為d,

因為。力所成角為70。，當(dāng)直線/經(jīng)過點P且直線/在直線所在平面內(nèi)且垂直于直線

此時/與直線al所成角均為“^^=55。；

當(dāng)直線/在直線4所在平面內(nèi)時，若/繞著P點旋轉(zhuǎn)，此時/與直線所成角相等，

且所成角從-70金°=35。變化到90。，再從90。變化到35。，所以此時滿足條件的/有2條，

綜上所述：過空間定點?與a,b成55。角的直線共有3條，

故答案為：3.

【點睛】

結(jié)論點睛：已知異面直線”力所成角為過空間任意一點。作直線/,使

得/與a,6成等角夕：

（1）當(dāng)夕w［）,g）時，此時/不存在；

（2）當(dāng)*=?時，此時/有一條；

（3）當(dāng)\＜"W，此時/有兩條；

jr—0

（4）當(dāng)夕=r-時，此時/有三條；

（5）當(dāng)與粗＜。＜5時，此時/有四條.

13.（2021?寶山區(qū)?上海交大附中高二期末）已知三棱錐A-BCD中，AB=CD=6,

AC=BC=AD=BD=6,則三棱錐A-BCD的體積是.

【答案】顯

3

【分析】

取AB中點。，連接C。,。。，由條件可證明A3,平面COO,由此將三棱錐A—BCO的

體積表示為:xABxS,?,計算可得結(jié)果.

【詳解】

取AB中點0,連接C。,。。，如下圖所示：

因為AC=8C=AD=6￡>,所以A8_LCO,AB_LQO,COr\DO=O,COu平面C。。,

DOu平面C。。，所以ABJ_平面CQ。，

又因為AC=8C=4O=BD=6,AB=CD=6,所以

CO=DO=］的謂,晉‘

14

所以，1B1時(盾,

=2X^2XJ-I~[~2)=b

又因為匕一BCD=§xAB'S?)。=§x&xl=《-

故答案為：—.

3

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是通過找AB的中點，證明出線面垂直，從而將三棱錐的

體積表示為gxABxSqx,，區(qū)別于常規(guī)的;x底面積x高的計算方法，本例實際可看成

是兩個三棱錐的體積之和.

14.(2021?上海浦東新區(qū)?華師大二附中)下列命題中正確的個數(shù)為個

①若445c在平面a外，它的三條邊所在的直線分別交a于尸、Q、R,則P、Q、R三

點共線；

②若三條直線或從c互相平行且分別交直線/于A、B、C三點,則這四條直線共面；

③若直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面；

④若a//c,bile,貝!)a//b；

【答案】3

【分析】

根據(jù)公理2及公理1可證①成立，根據(jù)公理3及其推論可證②成立，通過反例可得③不

成立，從而可得③錯誤，由平行公理知④正確.

【詳解】

對于①，因為Pwc,Pw平面ABC,因此Pwac平面ABC=/,

同理Qeac平面ABC=/,Reac平面ABC=/,故P,Q,R三點共線.故①正確.

對于②，如圖

因為a//。，故a,b可確定一個平面a,因為

acia,ba.a,故ABua,所以Cea.

在平面a內(nèi)過C作直線c'/力，因為c〃從故c',c重合或者c'〃c,

但Cec',Cec,從而c',c重合，也就是這四條直線共面，故②正確.

對于③，以四棱錐P-A8CD為例，

A3與PD異面，BC與尸。異面，但A3與8c相交，并不異面，故③錯誤；

對于④若a//c,b//c,由平行公理可得a〃b正確，故④正確.

故答案為：3

15.（2021?上海浦東新區(qū)?華師大二附中）如圖，空間四邊形A8C。的對角線AC=8D=8,

M,N分別為AB、CD的中點，且AC_LBD,則MN等于

【答案】4丘

【分析】

取BC中點P,連接MP,NP,由中位線的性質(zhì)及AC，B￡>,利用直角三角形求解.

【詳解】

取8c中點P,連接MP,NP,

16

A

又因為AC=8,8。=8,M,N分別為A3,C。的中點，

所以ZW〃AC,PM=-AC=4,

2

PN//BD,PN=-BD=4.

2

又因為異面直線AC與BD所成的角為90°,

所以NA7/>N=90。，

所以MM=PM2+PM=42+42=32,

所以MN=4后.

故答案為：45/2

16.（2021?上海市新場中學(xué)高二期中）如圖，邊長為2的正方體4BQ9外有一點P,且

PA垂直于平面ABCD,PA=3,則PC與平面ABCD所成角的大小是（結(jié)果

用反三角函數(shù)值表示）.

【答案】arttan-----

4

【分析】

根據(jù)題意可知，ZPC4即為PC與平面A8CO所成角，結(jié)合已知條件求出tan/PC4,

即可得到PC與平面ABCD所成角的大小.

【詳解】

連接AC,由K4_L平面ABC。，可知R4J_AC,

故PC與平面ABCD所成角即為ZPCA.

因為正方體A8CQ邊長為2,所以AC=20,

pA33五

tanZPCA=——

AC2014

因此PC與平面ABCD所成角的大小為小八an逑.

4

故答案為：arttan.

4

17.(2021?上海市行知中學(xué)高二月考)已知直線/與平面1成45。角，直線機ua,若直

線/在a內(nèi)的射影與直線m也成45。角，則/與m所成的角的大小是.

【答案】60°

【分析】

根據(jù)題意作出圖示，通過/,a所成的線面角以及加與/的射影所成的線線角確定出相關(guān)

線段長度，最后通過線段長度求解出/，機所成角的大小.

【詳解】

設(shè)/na=P,在/上取點A,過點A作A4'_La交a于點4,

將直線加平移至過點P,由此得到直線加，過點4作交加于A",

如圖，因為加與AP成45。角，不妨設(shè)NA'B4"=45。，設(shè)A4'=x,

所以4P=0A4'=0x，A'P=x,

又因為NA'R4"==45°,所以PA"=A'A"=—A'P=—x,

22

所以A4"==冬,

所以Ap2=2x2=(PA〃y+(A4")2,所以/WF4",

18

遮.X

PA"。1

所以cosZAPA^—=4—=1所以ZAN=60。，

AP應(yīng)x2

又因為/,加所成角為NA/%〃或其補角,

所以/，，"'所成角的大小為60。,

所以/，川所成角的大小為60°,

故答案為：60°.

18.（2021?上海市建平中學(xué)高二月考）在空間四邊形A88中，AB=CD=8,M.N分

別是對角線AC.8。的中點，若異面直線A3、8所成角的大小為30。，則MN的長為

［答案］"32±16人

【分析】

取8C的中點尸，連接NP,MP,利用三角形中位線定理可得NP〃CD.MP〃AB,由異

面直線所成角的定義，異面直線AB,C￡＞所成的角即為NMPN或其補角，在中，

利用余弦定理求解即可

【詳解】

解：取BC的中點P,連接NP,MP,

因為旗=8=8,M、N分別是對角線AC、的中點，

所以NP〃CO.M尸〃A3,NP=-CD=4,MP=-AB=4.

22

所以，異面直線A3,CD所成的角即為NM/W或其補角，

因為異面直線A3、C￡＞所成角的大小為30。，

所以NMPN=30°或150°,

當(dāng)/MPN=30。時，在中，由余弦定理可得

MN=y/NP1+MP2-2NP-MPcos30°

=/2+4?-2x4x4x日

=532-164

當(dāng)〃WPN=150。時，在△AWW中，由余弦定理可得

MN=^NP1+MP1-2NP-MPcos150°

=卜2+42+2x4x4x日

々32+16G

綜上，MN的長為，32±166，

故答案為：＞/32±166

19.（2021?上海市建平中學(xué)高二月考）在四面體A6co中，已在棱8的長為近，其余

各棱長都為1,則8與面ABC的所成角大小為（用反三角函數(shù)表示）.

20

【分析】

設(shè)直線CD與面ABC所成的角為a,即可求出sina=@,

利用等體積法求出d=旦

3

進而得到cosa=邁，借助反三角函數(shù)表示8與面ABC的所成角即可.

3

【詳解】

取CD的中點E,連結(jié)AE,BE,

因為4)=AC,故AE_LCZ),因為比＞=BC,故BELCD,

又BEcAE1=E,BE,A￡u平面4陽，所以CD_L平面ABE,

6F

在ZvlCD中，AD=AC=l,CD=y/2,^IAE=—.同理可得，BE=—

22

在AABE1中，AE=BE=—,AB=\,所以AB?=AE?+，

2

卅。_172V2_10_73,2_V3

故S(MB￡=5X-^-X-^-=w，S^pc--^X1--—?

設(shè)點O到平面ABC的距離為d,

由等體積法可得，VOMfiC=VD.48￡+VCMa￡,即:-s&18c所以d=平，

33V3

遮

設(shè)直線CD與面ABC所成的角為a,則有.石石，

sina==——

V23

所以cosa=Vl-sin2a=—.

3

所以。。與面A8C的所成角大小為arccos包'.

3

故答案為：arccos.

3

20.(2021?上海高二專題練習(xí))在棱長為1的正方體48CQ-A4GA中，M為線段

上的動點，貝!I(1)三棱錐M-￡?C￡的體積為定值；(2)DCXVD,M.(3)N4W。的

最大值為90。；(4)AM+MR的最小值為2.其中正確的序號是.

【答案】①②

【分析】

①由AB//平面QCGA，可得線段AQ上的點M到平面OCGA的距離都為1,又

△OCC,的面積為定值3，即可得出三棱錐M-OCG的體積為定值.

②由A"J.Z)C|,ABLOG，可得GJ■面ABC。，即可判斷出正誤.

③當(dāng)0<AP<也時，利用余弦定理即可判斷出NAPR為鈍角；

2

④將面AAB與面ABC4沿展成平面圖形，線段AA即為AP+PQ的最小值，再利

用余弦定理即可判斷出正誤.

【詳解】

①???48〃平面力CCQ,.?.線段A聲上的點M到平面。CG。的距離都為1,又ADCG的

面積為定值;，因此三棱錐M-OC&的體積V=2xlxg=:為定值，故①正確.

/326

②?.?A2_L￡>G，\BA.DCX,.IDGJ_面ABCR,RPu面ABCQ,/.DC,1D,P,故②

正確.

③當(dāng)0<AP<弓時，在△中，利用余弦定理可得NAPQ為鈍角，???故③不正確；

④將面例8與面ABCR沿AB展成平面圖形，線段AR即為AP+PR的最小值，

在△AAA中，〃AA=135。，利用余弦定理解三角形得

AD,=>/l+l-2xlxlxcosl35o=也+3<2，故④不正確.

22

因此只有①②正確.

故答案為：①②.

【點睛】

本題考查了空間位置關(guān)系、線面平行與垂直的判斷與性質(zhì)定理、空間角與空間距離，考

查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題.

三、解答題

21.（2021?上海市新場中學(xué)高二期中）如圖，^AHC是邊長為4的正三角形，點。是“BC

所在平面外一點，4）=3且4）_1_平面45（7,E為A8的中點.

D

（1）求證：CE1平面ABD；

（2）F是8c的中點，求直線和平面ABC所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）arcsin叵