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文檔簡介
第第頁2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷(理科數學)(使用范圍:陜西、寧夏、青海、內蒙古、四川)注意事項:1.答題前,務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時,必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其它答案標號.3.答非選擇題時,必須使用0.5毫米黑色簽字筆,將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無效.5.考試結束后,只將答題卡交回.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設,則()A B. C.10 D.2.集合,則()A. B. C. D.3.若實數滿足約束條件,則的最小值為()A. B. C. D.4.等差數列的前項和為,若,,則()A. B. C.1 D.25.已知雙曲線的兩個焦點分別為,點在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A.4 B.3 C.2 D.6.設函數,則曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為()A. B. C. D.7.函數在區(qū)間的大致圖像為()A. B.C. D.8.已知,則()A. B. C. D.9.已知向量,則()A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”充分條件 D.“”是“”的充分條件10.設兩個平面,是兩條直線,且.下列四個命題:①若,則或②若,則③若,且,則④若與和所成的角相等,則其中所有真命題的編號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④11.在中內角所對邊分別,若,,則()A. B. C. D.12.已知b是的等差中項,直線與圓交于兩點,則的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.的展開式中,各項系數的最大值是______.14.已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為和,母線長分別為和,則兩個圓臺的體積之比______.15.已知,,則______.16.有6個相同的球,分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機抽取3次,每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值,為取出的三個球上數字的平均值,則與差的絕對值不超過的概率是______.三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.第17題~第21題為必考題,每個考題考生必須作答.第22、23題為選考題,考生根據要求作答.(一)必考題:共60分.17.某工廠進行生產線智能化升級改造,升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗,數據如下:優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯表:優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異?能否有的把握認為甲,乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異?(2)已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率,設為升級改造后抽取的n件產品的優(yōu)級品率.如果,則認為該工廠產品的優(yōu)級品率提高了,根據抽取的150件產品的數據,能否認為生產線智能化升級改造后,該工廠產品的優(yōu)級品率提高了?()附:0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.記為數列的前項和,且.(1)求的通項公式;(2)設,求數列的前項和為.19.如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形,,,,為的中點.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.20.設橢圓的右焦點為,點在上,且軸.(1)求的方程;(2)過點的直線與交于兩點,為線段的中點,直線交直線于點,證明:軸.21已知函數.(1)當時,求的極值;(2)當時,恒成立,求的取值范圍.(二)選考題:共10分,請考生在第22、23題中任選一題作答,并用2B鉛筆將所選題號涂黑,多涂、錯涂、漏涂均不給分,如果多做,則按所做的第一題計分.[選修4-4:坐標系與參數方程]22.在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出的直角坐標方程;(2)設直線l:(為參數),若與l相交于兩點,若,求的值.[選修4-5:不等式選講]23.實數滿足.(1)證明:;(2)證明:.
參考答案(含解析)一、選擇題題號123456789101112答案ADDBCABBCACC1.【答案】A【解析】由,則,故選:A2.【答案】D【解析】因為,所以,則,,故選:D3.【答案】D【解析】實數滿足,作出可行域如圖:由可得,即的幾何意義為的截距的,則該直線截距取最大值時,有最小值,此時直線過點,聯立,解得,即,則.故選:D.4.【答案】B【解析】由,則,則等差數列的公差,故.故選:B.5.【答案】C【解析】設、、,則,,,則,則.故選:C.6.【答案】A【解析】,則,即該切線方程為,即,令,則,令,則,故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.故選:A.7.【答案】B【解析】,又函數定義域為,故該函數為偶函數,可排除A、C,又,故可排除D.故選:B.8.【答案】B【解析】因為,所以,,所以,故選:B.9.【答案】C【解析】對A,當時,則,所以,解得或,即必要性不成立,故A錯誤;對C,當時,,故,所以,即充分性成立,故C正確;對B,當時,則,解得,即必要性不成立,故B錯誤;對D,當時,不滿足,所以不成立,即充分性不立,故D錯誤.故選:C.10.【答案】A【解析】對①,當,因為,,則,當,因為,,則,當既不在也不在內,因為,,則且,故①正確;對②,若,則與不一定垂直,故②錯誤;對③,過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線,因為,過直線的平面與平面的交線為直線,則根據線面平行的性質定理知,同理可得,則,因為平面,平面,則平面,因為平面,,則,又因為,則,故③正確;對④,若與和所成的角相等,如果,則,故④錯誤;綜上只有①③正確,故選:A.11.【答案】C【解析】因為,則由正弦定理得.由余弦定理可得:,即:,根據正弦定理得,所以,因為為三角形內角,則,則.故選:C.12.【答案】C【解析】因為成等差數列,所以,,代入直線方程得,即,令得,故直線恒過,設,圓化為標準方程得:,設圓心為,畫出直線與圓的圖形,由圖可知,當時,最小,,此時.故選:C二、填空題13.【答案】5【解析】由題展開式通項公式為,且,設展開式中第項系數最大,則,,即,又,故,所以展開式中系數最大的項是第9項,且該項系數為.故答案為:5.14.【答案】【解析】由題可得兩個圓臺高分別為,,所以.故答案為:.15.【答案】64【解析】由題,整理得,或,又,所以,故故答案為:64.16.【答案】【解析】從6個不同的球中不放回地抽取3次,共有種,設前兩個球的號碼為,第三個球的號碼為,則,故,故,故,若,則,則為:,故有2種,若,則,則為:,,故有10種,當,則,則為:,,故有16種,當,則,同理有16種,當,則,同理有10種,當,則,同理有2種,共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數為,故所求概率為.故答案為:.三、解答題(一)必考題17.【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;【解析】(1)根據題意可得列聯表:優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得,因為,所以有的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異,沒有的把握認為甲,乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異.(2)由題意可知:生產線智能化升級改造后,該工廠產品的優(yōu)級品的頻率為,用頻率估計概率可得,又因為升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率,則,可知,所以可以認為生產線智能化升級改造后,該工廠產品的優(yōu)級品率提高了.18.【答案】(1);(2)【解析】(1)當時,,解得.當時,,所以即,而,故,故,∴數列是以4為首項,為公比的等比數列,所以.(2),所以,故,所以,.19.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】(1)因為為的中點,所以,四邊形為平行四邊形,所以,又因為平面,平面,所以平面;(2)如圖所示,作交于,連接,因為四邊形為等腰梯形,,所以,結合(1)為平行四邊形,可得,又,所以為等邊三角形,為中點,所以,又因為四邊形為等腰梯形,為中點,所以,四邊形為平行四邊形,,所以為等腰三角形,與底邊上中點重合,,,因為,所以,所以互相垂直,以方向為軸,方向為軸,方向為軸,建立空間直角坐標系,,,,,設平面的法向量為,平面的法向量為,則,即,令,得,即,則,即,令,得,即,,則,故二面角的正弦值為.20.【答案】(1);(2)證明見解析【解析】(1)設,由題設有且,故,故,故,故橢圓方程為.(2)直線的斜率必定存在,設,,,由可得,故,故,又,而,故直線,故,所以,故,即軸.21.【答案】(1)極小值為,無極大值;(2).【解析】(1)當時,,故,因為在上為增函數,故在上為增函數,而,故當時,,當時,,故在處取極小值且極小值為,無極大值.(2),設,則,當時,,故在上為增函數,故,即,所以在上為增函數,故.當時,當時,,故在上為減函數,故在上,即在上即為減函數,故在上,不合題意,舍.當,此時在上恒成立;同理可得上恒成立,不合題意,舍;綜上,.(二)選考題[選修4-4:坐標系與參數方程]22.【答案】(1);(2).【解析】(1)由,將代入,故可得
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