湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖北省“新高考聯(lián)考協(xié)作體”高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知(1+i)z=1+3i，則復(fù)數(shù)A.1 B.-1 C.i 2.一組數(shù)據(jù)23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位數(shù)是(

)A.14 B.15 C.23 D.253.我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何?”現(xiàn)有一類(lèi)似問(wèn)題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深CD=4-22，鋸道AB=42，則圖中弧ACB與弦ABA.4π B.8 C.4π-4.已知cos(θ+π4)=-A.4+3310 B.3+43105.平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且∠A1AD=∠A1ABA.3 B.10 C.11 6.如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，記事件A=“得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，記事件B=“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件C=“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.事件B與C互斥 B.P(A∪B)=58

C.P(7.若某圓臺(tái)有內(nèi)切球(與圓臺(tái)的上下底面及每條母線均相切的球)，且母線與底面所成角的正弦值為32，則此圓臺(tái)與其內(nèi)切球的表面積之比為(

)A.43 B.2 C.136 8.在△ABC中，BC=2，∠BAC=π3，O是△A.2 B.103 C.113二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.“a=-1”是“直線a2x-y+1=0與直線x-ay-2=0互相垂直”的充要條件

B.“a=-2”是“直線ax+2y+a2=0與直線x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要條件

C.直線x10.已知函數(shù)f(x)=cosx，A.函數(shù)m(x)=f(x)?g(x)在(π2,π)上單調(diào)遞減

B.11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱AD、A.三棱錐E-FGH的外接球的表面積為π

B.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，H作正方體的截面，則截面面積為334

C.若P為線段B1D1上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，則直線PA1與平面A1BD所成角的正弦值的范圍為[33,63]

D.若Q為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)(三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A(2,1)，B(4,3)兩點(diǎn)到直線x-ay+1=0的距離相等，則13.在空間直角坐標(biāo)系中已知A(1,2,1)，B(1,0,2)，C(-1,1,4)，CD為三角形ABC邊AB上的高，則CD=14.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量a和b，定義：a⊕b=a?b|a|2+|b|2，a⊙b=a?b|四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(1)求角B(2)若D是△ABC邊AC上的一點(diǎn)，且滿足BA?BD|BA|=16.(本小題15分)已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，邊AC上的高BH所在直線的方程為x-y+8=0，邊(1)求直線AC的方程;(2)求△ABC的面積.17.(本小題15分)

某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽”，高二年級(jí)學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)x作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).將成績(jī)進(jìn)行整理后，分為五組(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4(1)若根據(jù)這次成績(jī)，年級(jí)準(zhǔn)備淘汰60%的同學(xué)，僅留40%的同學(xué)進(jìn)入下一輪競(jìng)賽，請(qǐng)問(wèn)晉級(jí)分?jǐn)?shù)線劃為多少合理?(2)從樣本數(shù)據(jù)在80≤x<90，90≤x<100兩個(gè)小組內(nèi)的同學(xué)中，用分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)，再?gòu)倪@6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來(lái)自于不同小組的概率.(3)某老師在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：x1，x2，x3，?，x10，已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x=90，標(biāo)準(zhǔn)差s18.(本小題17分)

在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，滿足DE//BC，且DE經(jīng)過(guò)△ABC的重心.將△ADE沿DE折起到△(1)求證：A1C(2)當(dāng)λ=12時(shí)，求二面角(3)設(shè)直線BM與平面A1BE所成線面角為θ，求sinθ19.(本小題17分)對(duì)于一組向量a1，a2，a3，?，an(n∈N+，且n≥3)，令sn=(1)設(shè)an=(x+n,n)(n∈N+)，若a3是向量組(2)若an=(cosnπ2,sinnπ2)(n∈N+)，向量組a1，a2，a(3)已知a1，a2，a3均是向量組a1，a2，a3的“H向量”，其中a1=(ex2答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)得z，由此可得z，從而得解.

【解答】

解：z=1+3i1+i=(1+32.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查上四分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

由上四分位數(shù)的定義求解即可．

【解答】

解：數(shù)據(jù)按從小到大排列為：

11，14，16，17，19，23，27，31，

因?yàn)?×34=6，

所以上四分位數(shù)是23+273.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了扇形面積，勾股定理，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意先求出半徑r=OA=4，∠AOB=π2，再根據(jù)面積公式即可求出.

【解答】

解：設(shè)半徑為r，則OD=OC-CD=r-4+22，

∵AB=42，

∴AD=24.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查二倍角公式，

兩角和與差公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于中檔題.

由題可得θ+π4∈(π4,3π4)，所以sin(θ+π4)=1-cos2?(θ+π4)=35.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，利用空間向量的數(shù)量積求向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

先以

AA1，AD，AB為基底表示空間向量

BM，再利用數(shù)量積運(yùn)算求解.

【解答】

解：BM=AA16.【答案】C

【解析】【分析】本題考查古典概型，獨(dú)立事件、互斥事件判斷，屬于中檔題．根據(jù)古典概型與獨(dú)立事件、互斥事件的概念進(jìn)行計(jì)算與判斷．【解答】

解：由題意得，事件A的樣本點(diǎn)為{1,3,5,7}，事件B的樣本點(diǎn)為{1,2,3,4}，事件C的樣本點(diǎn)為{2,3,5,7}，

對(duì)于A，事件B與C共有樣本點(diǎn)2,3，所以不互斥，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，A∪B事件樣本點(diǎn)1,2,3,4,5,7，所以P(A∪B)=68=34，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C，P(A)=48=12，P(B)=48=12，P(C)=17.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查圓臺(tái)和球的表面積，屬于中檔題.

設(shè)r1=1，r2=3，求出R=3，l=4，利用圓臺(tái)和球的表面積公式即可求解.

【解答】

解：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r1，下底面半徑為r2，母線長(zhǎng)為l，球半徑為R，

設(shè)r1=1，r2=3，

因?yàn)槟妇€與底面所成角的正弦值為8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，屬于較難題.

先根據(jù)所給條件找出垂直關(guān)系，然后將OA?BC+BA?CA化簡(jiǎn)表示成-2+c2，轉(zhuǎn)而求出c=43sinC≤43，即可求解.

【解答】

解：由題知，記△ABC的三邊為a，b，c，因?yàn)镺是△ABC的外心，記BC中點(diǎn)為D，

則有OD⊥BC，所以O(shè)D?BC=0，9.【答案】BCD

【解析】【分析】本題主要考查充分、必要、充要條件的判斷，涉及直線方程，直線斜率以及直線垂直平行的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

根據(jù)選項(xiàng)依次求解即可.【解答】解：A選項(xiàng)：當(dāng)a=-1時(shí)，直線x-y+1=0與直線x+y-2=0斜率分別為1，-1，斜率之積為-1，故兩直線相互垂直，所以充分性成立，若“直線a2x-y+1=0與直線x-ay-2=0互相垂直”，則a2+a=0，故a=0或a=-1，所以得不到a=-1，故必要性不成立，故A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)：由直線平行得a(a+1)=2a≠a2,∴10.【答案】BC

【解析】【分析】

本題考查含正弦、余弦的三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，屬中檔題.

根據(jù)正弦型三角函數(shù)單調(diào)性判斷A，證明m(x+2π)=m(x)判斷B；分情況討論值域判斷C；利用n(-π4)≠n(3π4)判斷D.

【解答】

解：A選項(xiàng)，當(dāng)x∈(π2,π)時(shí)，g(x)=sinx，m(x)=sinxcosx=12sin2x，

此時(shí)2x∈(π,2π)，而y=sinx在11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征、截面面積，屬于較難題.

截面面積的求解要先找出截面，結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征依次分析可得答案.

【解答】

解：A選項(xiàng)，三角形EFG外接圓的半徑為r=12，

三棱錐E-FGH的外接球的半徑為R=r2+(12)2=22，

∴其表面積為2π，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，H作正方體的截面，其截面正六邊形，邊長(zhǎng)為22，

∴其面積為S=6×12×22×22×sin60°=334，故選項(xiàng)B正確;

C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P到平面A1BD的距離為h，

∵B1D1//BD，BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，

∴B1D1//平面A1BD.

∵P為線段B1D1上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，

∴點(diǎn)P到平面A1BD的距離即為點(diǎn)D1到平面A1BD的距離.

由VD1-A1BD=VB-DD1A1，可得13×34×22×h=13×12×1×1×1，解得h=33，

當(dāng)點(diǎn)P在線段B1D1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

因?yàn)锳1B112.【答案】2或1

【解析】【分析】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.

【解答】

解：∵A(2,1)，B(4,3)兩點(diǎn)到直線x-ay+1=0的距離相等，

∴|2-a13.【答案】3

【解析】【分析】本題主要考查空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，空間距離的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意可得|AD|=【解答】解：由題知，AC=(-2,-1,3)，AB=(0,-2,1)，

則|AC|=14，|AB|=14.【答案】14

；

32【解析】【分析】本題考查向量的定義新運(yùn)算，屬于較難題.

根據(jù)向量的基礎(chǔ)性質(zhì)和向量的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【解答】

解：設(shè)a與b的夾角為θ，

因?yàn)閍⊕b和a⊙b都在集合{n4|n∈Z,0<n≤4}中，

所以其取值可能為14,12,34,1.

因?yàn)閨a|>|b|>0，所以|a|2+|b|2>2|a||b|，

所以a⊕b=a?b|a|2+|b|2<|a||b|cos?θ2|a||b|15.【答案】解：(1)∵ab=33sinC+cosC，

∴a=33bsinC+bcosC，

∴sinA=sin(B+C)=33sinBsinC+sinBcosC

?sinBcosC+cosBsinC=33sin【解析】本題考查解三角形、三角恒等變換和平面向量的綜合應(yīng)用，考查基本不等式求最值，屬于一般題.

(1)利用正弦定理、三角恒等變換公式和同角基本關(guān)系求出tanB=3，即可求B;

(2)由數(shù)量積求出∠ABD16.【答案】解：(1)由于邊AC上的高BH所在直線方程為x-y+8=0，

所以設(shè)直線AC的方程為x+y+c=0，

由于點(diǎn)A(1,1)在直線AC上，即1+1+c=0，解得c=-2，

所以直線AC的方程為x+y-2=0.

(2)由于點(diǎn)C既滿足直線5x-3y-10=0的方程，又滿足x+y-2=0的方程，

所以5x-3y-10=0x+y-2=0，解得x=2y=0，故C(2,0)，

所以AC=(2-1【解析】本題考查了直線方程、點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形面積的求解，屬于中檔題．

(1)設(shè)直線AC的方程為x+y+c=0，代入A(1,1)求出c，進(jìn)而可求直線AC的方程；

(2)先求得C17.【答案】解：(1)由題意知0.0162=0.008a，解得a=0.032，又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，解得b=0.004，所以a=0.032，b=0.004，

成績(jī)落在[50,70)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32=0.48，落在[50,80)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32+0.40=0.88，

設(shè)第60百分位數(shù)為m，則(m-70)×0.04=0.6-0.48，解得m=73，所以晉級(jí)分?jǐn)?shù)線劃為73分合理;

(2)由圖可知，按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取4人和2人.分別記為a，b，c，d和A，B，

則所有的抽樣有：Ω={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd}，共15個(gè)樣本點(diǎn)，

A=“抽到的兩位同學(xué)來(lái)自于不同小組”，則A={Aa,【解析】本題考查了頻率分布直方圖、百分位數(shù)、平均數(shù)、方差，考查古典概率，屬于中檔題.(1)由其中第1組頻數(shù)的平方等于第2組、第4組頻數(shù)之積，求出

a

的值，頻率分布直方圖面積和為1，求b的值；再利用頻率分布直方圖計(jì)算第60百分位數(shù)即可；(2)利用古典概率計(jì)算即可；(3)根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求出結(jié)果.18.【答案】(1)證明：因?yàn)椤螩=90°，所以AC⊥BC，

因?yàn)镈E//BC，所以AC⊥DE，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，始終有DE⊥A1D，DE⊥CD，

因?yàn)锳1D∩CD=D，A1D，CD?平面A1CD，所以DE⊥平面A1CD，

又A1C?平面A1CD，所以DE⊥A1C，

因?yàn)锳1C⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面BCDE，所以A1C⊥平面BCDE.

(2)由(1)可知，A1C，CD，CB兩兩垂直，翻折前，因?yàn)镈E經(jīng)過(guò)△ABC的重心，且DE//BC，

所