2025屆黑龍江省哈爾濱市第十九中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆黑龍江省哈爾濱市第十九中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等差數(shù)列，前n項和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.2．已知雙曲線：的右焦點為，過的直線（為常數(shù)）與雙曲線在第一象限交于點.若（為原點），則的離心率為（）A. B.C. D.53．直線與直線的位置關系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直4．傾斜角為120°，在x軸上截距為－1的直線方程是（）A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝05．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.46．已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.7．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得8．下列四個命題中為真命題的是（）A.設p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關于直線y＝x對稱9．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（）A. B.C. D.10．若則（）A.?2 B.?1C.1 D.211．已知，那么函數(shù)在x＝π處的瞬時變化率為（）A. B.0C. D.12．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過作平分線的垂線，垂足為M，則點M到直線的距離的最小值是___14．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.15．從1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)，其中一個作為對數(shù)的底數(shù)a，另一個作為對數(shù)的真數(shù)b.則的概率為______.16．若向量，且夾角的余弦值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的斜率為2的直線交橢圓于、兩點，求的面積.18．（12分）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構成等比數(shù)列的前三項（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和19．（12分）已知拋物線過點，O為坐標原點（1）求焦點的坐標及其準線方程；（2）拋物線C在點A處的切線記為l，過點A作與切線l垂直的直線，與拋物線C的另一個交點記為B，求的面積20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為.點P是橢圓上的一動點，且P在第一象限.記的面積為S，當時，.（1）求橢圓E的標準方程；（2）如圖，PF1，PF2的延長線分別交橢圓于點M，N，記和的面積分別為S1和S2.（i）求證：存在常數(shù)λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.21．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面.（1）在線段上是否存在一點使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，請說明理由；（2）求四棱錐的體積.22．（10分）已知橢圓上的點到左、右焦點、的距離之和為4，且右頂點A到右焦點的距離為1.（1）求橢圓的方程;（2）直線與橢圓交于不同兩點，，記的面積為，當時求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據等差數(shù)列的性質和求和公式變形求解即可【詳解】因為等差數(shù)列，的前n項和分別是，所以，故選：B2、D【解析】取雙曲線的左焦點，連接,計算可得，即.設，則，，解得：，利用勾股定理計算可得，即可得出結果.【詳解】取雙曲線的左焦點，連接,,則因為，所以，即.,.設，則，，解得：.,,..故選：D3、C【解析】把直線化簡后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關系是重合.故選：C4、D【解析】由傾斜角求出斜率，寫出斜截式方程，再化為一般式【詳解】由于傾斜角為120°，故斜率k＝－.又直線過點(－1，0)，所以方程為y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.故選：D.【點睛】本題考查直線方程的斜截式，屬于基礎題5、B【解析】根據圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B6、C【解析】設等比數(shù)列的公比為，可得出，即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，可得出.故選：C.7、A【解析】根據命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A8、D【解析】根據推出關系和集合的包含關系判斷A，根據全稱命題的否定形式可判斷B，根據對鉤函數(shù)性質即三角函數(shù)的性質可判斷C，根據反函數(shù)的圖像性質可判斷D.【詳解】解：對于選項A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項C：函數(shù)，當時，，函數(shù)單調遞減，當時取最小值，故C錯誤；對于選項D：與互為反函數(shù)，故圖象關于直線y＝x對稱，故D正確.9、A【解析】根據平面，平面求解.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故選：A10、B【解析】分子分母同除以，化弦為切，代入即得結果.【詳解】由題意，分子分母同除以，可得.故選：B.11、A【解析】利用導數(shù)運算法則求出，根據導數(shù)的定義即可得到結論【詳解】由題設，，所以，函數(shù)在x＝π處瞬時變化率為，故選：A12、D【解析】根據題意，建立等差數(shù)列模型，結合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據題意，設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】構造全等三角形，結合雙曲線定義，求得點的軌跡方程，再根據直線與圓的位置關系，即可求得點到直線距離的最小值.【詳解】延長交的延長線于點，如下所示：因為平分，且，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點，故可得；設點的坐標為，則，即點在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線的距離，故點到直線距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，以及直線與圓的位置關系，解決問題的關鍵在于通過幾何關系求得點的軌跡方程，屬中檔題.14、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因為“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的應用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎題.15、##【解析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式以及對數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】的所有可能取值為，，共種，滿足的為，，共種，所以的概率為.故答案為：16、【解析】根據求解即可.【詳解】，故答案為：【點睛】本題主要考查了求空間中兩個向量的夾角，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據題意和橢圓的定義可知a，c，再根據，即可求出b，由此即可求出橢圓的方程；（2）求出直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據弦長公式求出的長度，再根據點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，再根據面積公式即可求出結果.【小問1詳解】由題意可得，，∴，，，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】直線l的方程為，代入橢圓方程得，設，，則，，，∴，又∵點O到直線AB的距離，∴，即△OAB的面積為.18、（1）；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列公差為d，利用基本量代換列方程組求出的通項公式，進而求出的首項和公比，即可求出的通項公式；（2）利用分組求和法直接求和.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以.，又，，，；【小問2詳解】，.19、（1）焦點，準線方程；（2）12.【解析】(1)將點A坐標代入求出，寫出拋物線方程即可作答.(2)由(1)的結論求出切線l的斜率，進而求得直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程，求出弦AB長及點O到直線AB距離計算作答.【小問1詳解】依題意，，解得，則拋物線的方程為：，所以拋物線的焦點，準線方程為.【小問2詳解】顯然切線l的斜率存在，設切線l的方程為：，由消去x并整理得：，依題意得，解得，因直線，則直線AB的斜率為-1，方程為：，即，由消去x并整理得：，解得，因此有，而，則，而點到直線AB：的距離，則，所以的面積是12.20、（1）（2）(i)存在常數(shù)，使得成立；(ii)的最大值為.【解析】(1)求點P的坐標，再利用面積和離心率，可以求出，然后就可以得到橢圓的標準方程；(2)設點的坐標和直線方程，聯(lián)立方程，解出的y坐標值與P的坐標之間的關系，求以焦距為底邊的三角形面積；利用均值定理當且僅當時取等號，求最大值.【小問1詳解】先求第一象限P點坐標：，所以P點的坐標為，所以，所以橢圓E的方程為【小問2詳解】設，易知直線和直線的坐標均不為零，因為，所以設直線的方程為，直線的方程為，由所以，因為，，所以所以同理由所以，因為，，所以所以，因為，，(i)所以所以存在常數(shù)，使得成立.(ii)，當且僅當，時取等號，所以的最大值為.21、（1）存在，為的中點，證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，的中點，連接，，，證明，由線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面面，過點作于點，即可證明面，在中，利用面積公式求出即為四棱錐的高，再由棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）線段上存在點使得平面，為的中點.證明如下：如圖取的中點，的中點，連接，，，因為，分別為，的中點，所以且因為且，所