江西省上饒縣二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

江西省上饒縣二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.2．若圓與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或3C. D.或3．過雙曲線的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P，為右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，⊥，∠=，則C的離心率為A. B.C. D.5．設(shè)滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.166．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知圓M的圓心在直線上，且點(diǎn)，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.8．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.9．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來描述.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.10．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種11．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A.26 B.39C.104 D.5212．運(yùn)行如圖所示程序后，輸出的結(jié)果為（）A.15 B.17C.19 D.21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________14．下列是某廠1~4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，由其散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，則_______.月份1234用水量4.5432.515．若直線與直線相互平行，則實(shí)數(shù)___________.16．已知直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線l的距離為d，則的最小值是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值18．（12分）如圖，已知雙曲線，過向雙曲線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且.（1）證明：直線的方程為.（2）設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.19．（12分）已知橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，且該橢圓的離心率為，（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（Ⅱ）求過點(diǎn)的直線與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積.20．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點(diǎn)，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.22．（10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過點(diǎn)且，將點(diǎn)代入方程，故離心率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目2、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【詳解】若圓與直線相切，則到直線的距離為，所以，解得，或.故選：D.3、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結(jié)論知，結(jié)合可列出關(guān)于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.4、D【解析】詳解】由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.5、C【解析】可行域如圖,則直線過點(diǎn)A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.6、D【解析】求出函數(shù)在時(shí)值的集合，函數(shù)在時(shí)值的集合，再由已知并借助集合包含關(guān)系即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合是，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合為，因函數(shù)的值域?yàn)椋谑堑?，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D7、C【解析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C8、A【解析】利用空間向量線性運(yùn)算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.9、C【解析】設(shè)單位圓上一點(diǎn)為，經(jīng)過題設(shè)變換后坐標(biāo)為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.10、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：A12、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進(jìn)行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.14、25【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出，代入，即可求出.【詳解】解：由題意知：，，將代入線性回歸方程，即，解得：.故答案為：5.25.15、##【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互平行，所以，解得，故答案為：16、##【解析】作直線l，拋物線準(zhǔn)線且交y軸于A點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義有，進(jìn)而判斷目標(biāo)式最小時(shí)的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式求最小值.【詳解】如下圖示：若直線l，拋物線準(zhǔn)線且交y軸于A點(diǎn)，則，，由拋物線定義知：，則，所以，要使目標(biāo)式最小，即最小，當(dāng)共線時(shí)，又，此時(shí).故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】(1)連接，，連接，證明CE∥即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面EDC的法向量，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，連接，，連接，∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥且，∵E是中點(diǎn)，G是中點(diǎn)，∴∥CG且，∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，??；設(shè)平面EDC的法向量為，則，取，則；設(shè)平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，則，∴18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)出切線方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理及根的判別式進(jìn)行表達(dá)出A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出直線的方程，化簡(jiǎn)即為結(jié)果；（2）再第一問的基礎(chǔ)上，利用向量的夾角公式表達(dá)出夾角的余弦值，進(jìn)而證明出結(jié)論.【小問1詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，化簡(jiǎn)得.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，故切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，得，則，故，則，即.【小問2詳解】同理可得，又與均過，所以.故，，，又因?yàn)椋裕瑒t，，故，故.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中證明角度相關(guān)的問題，往往需要轉(zhuǎn)化為斜率或向量進(jìn)行求解.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意可以求出橢圓的焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的離心率公式，求出的值，然后結(jié)合橢圓的關(guān)系求出，最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)平面向量共線定理可以得出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再設(shè)出直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出直線AB的斜率，最后根據(jù)三角形面積結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出的面積.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，又，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，，由得：，驗(yàn)證易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立橢圓方程，得：，整理得：，得：，將代入得，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求直線斜率和三角形面積問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量與的方向向量，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點(diǎn)，，平面，，又，平面，平面.【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為21、（1）（2），【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷f(x)的單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)性即可求最大值和最小值.【小問1詳解】，切點(diǎn)為(1，－2)，∵，∴切線斜率，切線方程為；【小問2詳解】令，解得，1200極大值極小值2∵，，∴當(dāng)時(shí)，，.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再