第06講二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型分類

第06講二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型分類（解析）題型一：增長(zhǎng)率問(wèn)題1.增長(zhǎng)率是指兩年的平均增長(zhǎng)率；2.注意題中所給的結(jié)果是和還是單個(gè)數(shù)值?！纠?】我市2017年平均房?jī)r(jià)為6500元/m2.若2018年和2019年房?jī)r(jià)平均增長(zhǎng)率為x，則預(yù)計(jì)2019年的平均房?jī)r(jià)y（元/m2）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)______________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意可得2018年的房?jī)r(jià)=2017年的房?jī)r(jià)×(1+增長(zhǎng)率)，2019年的房?jī)r(jià)=2018年的房?jī)r(jià)×(1+增長(zhǎng)率)，由此可得2019年的平均房?jī)r(jià)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.【詳解】解：由題意得：故答案為：1．（2022·福建漳州·福建省漳州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1x）2C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2【答案】C【分析】根據(jù)平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，第二季度季度GDP總值約為2.4（1+x）元，第三季度GDP總值為2.4（1+x）2元，則函數(shù)解析式即可求得．【詳解】解：設(shè)平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：y=2.4（1+x）2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確理解增長(zhǎng)率問(wèn)題是解題關(guān)鍵．2．（2020·安徽淮北·校聯(lián)考一模）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，安徽省年第二季度總值約為千億元人民幣，若我省第四季度總值為千億元人民幣，平均每個(gè)季度增長(zhǎng)的百分率為，則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，第三季度季度GDP總值約為7.9（1+x）元，第四季度GDP總值為7.9（1+x）2元，則函數(shù)解析式即可求得．【詳解】解：設(shè)平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：y=7.9（1+x）2．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確理解增長(zhǎng)率問(wèn)題是解題關(guān)鍵．3．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？既＃閳?zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為64元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，由題意得，求解即可．【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，由題意得，解得（舍去），∴每次降價(jià)的百分率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解百分率問(wèn)題列方程的方法是解題的關(guān)鍵．4．（安徽淮南·統(tǒng)考一模）我市2017年平均房?jī)r(jià)為6500元/m2.若2018年和2019年房?jī)r(jià)平均增長(zhǎng)率為x，則預(yù)計(jì)2019年的平均房?jī)r(jià)y（元/m2）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)______________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意可得2018年的房?jī)r(jià)=2017年的房?jī)r(jià)×(1+增長(zhǎng)率)，2019年的房?jī)r(jià)=2018年的房?jī)r(jià)×(1+增長(zhǎng)率)，由此可得2019年的平均房?jī)r(jià)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.【詳解】解：由題意得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)增長(zhǎng)率問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握增量率模型.5．（2022·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃榉e極響應(yīng)國(guó)家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬(wàn)戶增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；（2）該市計(jì)劃對(duì)某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列式求解即可；（2）設(shè)多改造y戶，最高投入費(fèi)用為w元，根據(jù)題意列式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值．【詳解】解：（1）設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，則x>0，由題意得：，解得：x=0.2或x=2.2（舍），答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為20%；（2）設(shè)多改造a戶，最高投入費(fèi)用為w元，由題意得：，∵a=50，拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)a50=0，即a=50時(shí)，w最大，此時(shí)w=612500元，答：舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用為612500元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確讀懂題意列出式子，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．6．（2019·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）為了打造“清潔能源示范城市”，東營(yíng)市2016年投入資金2560萬(wàn)元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬(wàn)元.（1）從2016年到2018年，東營(yíng)市用于充電樁安裝的資金年平均增長(zhǎng)率為多少？（2）2019年?yáng)|營(yíng)市計(jì)劃再安裝A、B兩種型號(hào)的充電樁共200個(gè).已知安裝一個(gè)A型充電樁需3.5萬(wàn)元，安裝一個(gè)B型充電樁需4萬(wàn)元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號(hào)充電樁各安裝多少個(gè)時(shí)，所需資金最少，最少為多少？【答案】（1）從2016年到2018年，東營(yíng)市用于充電樁安裝的資金年平均增長(zhǎng)率為50%；（2）A、B兩種型號(hào)充電樁分別安裝66個(gè)，134個(gè)時(shí)所需資金最少，最少為767萬(wàn)元【分析】(1)設(shè)從2016年到2018年，東營(yíng)市用于充電樁安裝的資金年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解；(2)設(shè)安裝A型充電樁a個(gè)，則安裝B型充電樁個(gè)，所需資金為萬(wàn)元，列不等式，求出a的范圍，再求出的函數(shù)解析式，進(jìn)而可求出答案.【詳解】（1）設(shè)從2016年到2018年，東營(yíng)市用于充電樁安裝的資金年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：，解得:，（舍去）.答：從2016年到2018年，東營(yíng)市用于充電樁安裝的資金年平均增長(zhǎng)率為50%；（2）設(shè)安裝A型充電樁a個(gè)，則安裝B型充電樁個(gè)，所需資金為萬(wàn)元.根據(jù)題意，得:，解得:，，∵，∴隨a的增大而減小.∵a為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為（萬(wàn)元）.此時(shí)，.答：A、B兩種型號(hào)充電樁分別安裝66個(gè)，134個(gè)時(shí)，所需資金最少，最少為767萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)以及一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，找到數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式和一元一次不等式，是解題的關(guān)鍵.題型二：拱橋問(wèn)題1.若題中沒(méi)有坐標(biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解題，一般以頂點(diǎn)為原點(diǎn)或讓頂點(diǎn)在y軸上；2.把題中給的長(zhǎng)和寬準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)?！纠?】如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【答案】##【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，通過(guò)代入A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過(guò)AB，縱軸y通過(guò)AB中點(diǎn)O且通過(guò)C點(diǎn)，則通過(guò)畫圖可得知O為原點(diǎn)，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標(biāo)為（0，2），通過(guò)以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，把點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）代入得，∴，∴，∴拋物線解析式為：；當(dāng)水面下降，水面寬為8米時(shí)，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案為：；【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1．（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）一座橋如圖，橋下水面寬度是20米，高是4米．(1)如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系．①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？(2)如圖，若把橋看做是圓的一部分．①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？【答案】(1)①拋物線解析式為：；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米；(2)①圓的半徑為米；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)米．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②根據(jù)題意得出時(shí)，求出x的值即可；（2）①構(gòu)造直角三角形利用，求出即可；②在中，由題可知，，，根據(jù)勾股定理知：，求出即可．【詳解】（1）解：①設(shè)拋物線解析式為：，∵橋下水面寬度是20米，高是4米，∴A，B，D，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；②∵要使高為3米的船通過(guò)，∴，則，解得：，∴米；答：要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)米；（2）解：①設(shè)圓半徑r米，圓心為W，∵，∴，解得：；即圓的半徑為米；②在中，由題可知，，，根據(jù)勾股定理知：，即，所以，此時(shí)寬度米．答：要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)米．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，利用圖象上的點(diǎn)得出解析式是解決問(wèn)題關(guān)鍵．2．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【答案】##【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，通過(guò)代入A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過(guò)AB，縱軸y通過(guò)AB中點(diǎn)O且通過(guò)C點(diǎn)，則通過(guò)畫圖可得知O為原點(diǎn)，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標(biāo)為（0，2），通過(guò)以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，把點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）代入得，∴，∴，∴拋物線解析式為：；當(dāng)水面下降，水面寬為8米時(shí)，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案為：；【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：，該拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為．(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到的距離均為，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根據(jù)題意知，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可解決問(wèn)題．【詳解】（1）依題意，頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，將代入，得．解之，得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）令，得．解之，得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．4．（2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）甲秀樓是貴陽(yáng)市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點(diǎn)到水面的距離是．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來(lái)，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點(diǎn)時(shí)，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說(shuō)明理由（假設(shè)船底與水面齊平）；（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在時(shí)，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會(huì)觸碰到橋拱，理由見(jiàn)詳解；（3）5≤m≤8【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x8)x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到對(duì)應(yīng)的y值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進(jìn)而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據(jù)題意得：A(8，0)，B(4，4)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(48)×4，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：y=(x8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的頭頂不會(huì)觸碰到橋拱；（3）由題意得：當(dāng)0≤x≤8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為：y=x22x，當(dāng)x＜0或x＞8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x，∴新函數(shù)表達(dá)式為：，∵將新函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，4），如圖所示，根據(jù)圖像可知：當(dāng)m+4≥9且m≤8時(shí)，即：5≤m≤8時(shí)，平移后的函數(shù)圖象在時(shí)，的值隨值的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對(duì)稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱項(xiàng)部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過(guò)相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）6m；（2）①；②2m【分析】（1）設(shè)，由題意得，求出拋物線圖像解析式，求當(dāng)x=12或x=12時(shí)y1的值即可；（2）①由題意得右邊的拋物線頂點(diǎn)為，設(shè)，將點(diǎn)H代入求值即可；②設(shè)彩帶長(zhǎng)度為h，則，代入求值即可．【詳解】解（1）設(shè)，由題意得，，，，當(dāng)時(shí)，，橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意得右邊的拋物線頂點(diǎn)為，設(shè)，，，，，(左邊拋物線表達(dá)式：)②設(shè)彩帶長(zhǎng)度為h，則，當(dāng)時(shí)，，答：彩帶長(zhǎng)度的最小值是2m．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)最值得求解方法，結(jié)合題意根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有一個(gè)拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為，跨度為，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標(biāo)系中．(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖，在對(duì)稱軸右邊處，橋洞離水面的高是多少？【答案】(1)(2)在對(duì)稱軸右邊1m?處，橋洞離水面的高是m【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，代入即可求解；（2）根據(jù)對(duì)稱軸為：，得出對(duì)稱軸右邊1m處為：，代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為：，∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）解：對(duì)稱軸為：，則對(duì)稱軸右邊1m處為：，將代入，可得：，解得：，答：在對(duì)稱軸右邊1m處，橋洞離水面的高是m．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，求出拋物線的解析式．題型三：面積問(wèn)題1.求完長(zhǎng)度一定要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合題意，不能超過(guò)墻的長(zhǎng)度；2.表示面積的時(shí)候注意是否有門?！纠?】北重一中計(jì)劃利用一片空地建一個(gè)學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，墻的最大可用長(zhǎng)度為12米．另三邊用總長(zhǎng)為26米的木板材料圍成．車棚形狀如圖中的矩形。為了方便學(xué)生出行，學(xué)校決定在與墻平行的一面開(kāi)一個(gè)2米寬的門。(1)求這個(gè)車棚的最大面積是多少平方米？此時(shí)與的長(zhǎng)分別為多少米？(2)如圖2，在（1）的結(jié)論下，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為70平方米，那么小路的寬度是多少米？【答案】(1)最大面積為96平方米，此時(shí)米，米；(2)小路的寬為1米【分析】（1）設(shè)為x米，則為米，列出車棚面積的函數(shù)表達(dá)式，求出x的取值范圍，再求出函數(shù)的最大值，同時(shí)求出AD和AB的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)小路寬為m米．根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)為x米，則為米，根據(jù)題意得：，由題意得，解得0<x≤12，∵，開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，，此時(shí)AD＝x＝12，AB＝＝8，答：最大面積為96平方米，此時(shí)米，米．（2）解：設(shè)小路寬為m米．根據(jù)題意得解得（舍），答：小路的寬為1米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，列出函數(shù)表達(dá)式和一元二次方程是解題的關(guān)鍵．1．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）用米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)一邊靠墻的長(zhǎng)方形．(1)當(dāng)垂直于墻的一邊比另一邊少米時(shí)，求長(zhǎng)方形的面積．(2)按表中列出的數(shù)據(jù)要求，填寫表格．觀察表格，你感到長(zhǎng)方形的面積會(huì)不會(huì)有最大的情況？如果會(huì)，可能是多少？垂直于墻的一邊比另一邊少長(zhǎng)方形的面積____________________【答案】(1)(2)見(jiàn)解析，會(huì)，【分析】（1）設(shè)垂直于墻的一邊為x，平行于墻的一邊為y，根據(jù)三邊長(zhǎng)為，且垂直于墻的一邊比另一邊少米，列出關(guān)于x、y的方程組，即可求得面積（2）根據(jù)題意完成表格，設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S，可得，即可得到結(jié)果【詳解】（1）設(shè)垂直于墻的一邊為x，平行于墻的一邊為y，且垂直于墻的一邊比另一邊少米，∴解得：∴，答：長(zhǎng)方形的面積為（2）完成表格如下：垂直于墻的一邊比另一邊少長(zhǎng)方形的面積設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S，則：∴當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積取得最大值，最大值為【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)長(zhǎng)寬之間的關(guān)系列出方程組和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵2．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，某養(yǎng)豬戶想用29米長(zhǎng)的圍欄設(shè)計(jì)一個(gè)矩形的養(yǎng)豬圈，其中豬圈一邊靠墻MN，另外三邊用圍欄圍住，在BC邊開(kāi)個(gè)門（寬度為1米），MN的長(zhǎng)度為15m，(1)為了讓圍成的豬圈（矩形ABCD）面積達(dá)到112m2，請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下豬圈的長(zhǎng)與寬分別是多少？(2)當(dāng)豬圈的長(zhǎng)與寬分別是多少時(shí)，豬圈的面積達(dá)到最大？【答案】(1)長(zhǎng)是14米，寬是8米(2)豬圈的長(zhǎng)是15米，寬是米時(shí)，豬圈的面積最大，為米【分析】（1）設(shè)豬圈的長(zhǎng)為m，則寬為m，其中，根據(jù)，計(jì)算求出滿足要求的的值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由（1）可知，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可確定最大值時(shí)的值，進(jìn)而可得結(jié)果．（1）解：設(shè)豬圈的長(zhǎng)為m，則寬為m，其中，∴矩形ABCD的面積，∴，解得（不合題意，舍去），或，∴，∴豬圈的長(zhǎng)為14m，寬為8m．（2）解：由（1）可知，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，∴，∴豬圈的長(zhǎng)為15m，寬為m時(shí)，豬圈的面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列等式．3．（2021·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，某養(yǎng)殖戶利用一面長(zhǎng)20m的墻搭建矩形養(yǎng)殖房，中間用墻隔成兩間矩形養(yǎng)殖房，每間均留一道1m寬的門.墻厚度忽略不計(jì)，新建墻總長(zhǎng)34m，設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，養(yǎng)殖房總面積為S.(1)求養(yǎng)殖房的最大面積.(2)該養(yǎng)殖戶準(zhǔn)備400元全部用于購(gòu)買小雞和小鵝養(yǎng)殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并且小雞的數(shù)量不少于小鵝數(shù)量的2倍.該養(yǎng)殖戶有哪幾種購(gòu)買方案？【答案】(1)108平方米(2)5種購(gòu)買方案.小鵝05101520小雞8073665952【分析】（1）根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（2）設(shè)買小雞a只，小鵝b只，根據(jù)5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：由題意得：S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝6時(shí)，S有最大值，最大值為108，∴養(yǎng)殖房的最大面積為108平方米；（2）設(shè)買小雞a只，小鵝b只，則5a+7b＝400，且a≥2b，∴a＝＝80﹣≥2b，則b≤，且b≥0，又∵a，b都為非負(fù)整數(shù)，∴b可為0，5，10，15，20，此時(shí)a對(duì)應(yīng)為80，73，66，59，52，∴該養(yǎng)殖戶共有5種購(gòu)買方案：方案1：小雞80只，小鵝0只；方案2：小雞73只，小鵝5只；方案3：小雞66只，小鵝10只；方案4：小雞59只，小鵝15只；方案5：小雞52只，小鵝20只．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式．4．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）用總長(zhǎng)為的籬笆圍成矩形場(chǎng)地．(1)根據(jù)題意，填寫下表：矩形一邊長(zhǎng)矩形面積(2)設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為，矩形面積為，當(dāng)x是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積最大？并求出矩形場(chǎng)地的最大面積；(3)當(dāng)矩形的長(zhǎng)為_(kāi)_____，寬為_(kāi)_____時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)x是時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積S最大，最大面積為(3)18，12【分析】（1）根據(jù)一邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)求出另一邊長(zhǎng)，再根據(jù)矩形面積公式計(jì)算可得；（2）先表示出矩形的另一邊長(zhǎng)，再根據(jù)：矩形面積公式，可得面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式可得其最值情況；（3）在以上函數(shù)解析式中令，解方程可得x的值．【詳解】（1）解：若矩形一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，此時(shí)矩形面積為：，若矩形一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，此時(shí)矩形面積為：，若矩形一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，此時(shí)矩形面積為：，完成表格如下：矩形一邊長(zhǎng)矩形面積（2）解：設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，∴矩形場(chǎng)地的面積，當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為，答：當(dāng)x是時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積S最大，最大面積為；（3）解：根據(jù)題意，得：，解得：或，∴當(dāng)矩形的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積為，故答案為：18，12．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意表示出另一邊長(zhǎng)，將長(zhǎng)乘以寬得出面積并配方找最大值是解題的關(guān)鍵．5．（2022·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃┍敝匾恢杏?jì)劃利用一片空地建一個(gè)學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，墻的最大可用長(zhǎng)度為12米．另三邊用總長(zhǎng)為26米的木板材料圍成．車棚形狀如圖中的矩形。為了方便學(xué)生出行，學(xué)校決定在與墻平行的一面開(kāi)一個(gè)2米寬的門。(1)求這個(gè)車棚的最大面積是多少平方米？此時(shí)與的長(zhǎng)分別為多少米？(2)如圖2，在（1）的結(jié)論下，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為70平方米，那么小路的寬度是多少米？【答案】(1)最大面積為96平方米，此時(shí)米，米；(2)小路的寬為1米【分析】（1）設(shè)為x米，則為米，列出車棚面積的函數(shù)表達(dá)式，求出x的取值范圍，再求出函數(shù)的最大值，同時(shí)求出AD和AB的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)小路寬為m米．根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)為x米，則為米，根據(jù)題意得：，由題意得，解得0<x≤12，∵，開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，，此時(shí)AD＝x＝12，AB＝＝8，答：最大面積為96平方米，此時(shí)米，米．（2）解：設(shè)小路寬為m米．根據(jù)題意得解得（舍），答：小路的寬為1米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，列出函數(shù)表達(dá)式和一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長(zhǎng)為多少厘米？(2)矩形框架ABCD面積最大值為_(kāi)_____平方厘米．【答案】(1)AB的長(zhǎng)為8厘米或12厘米．(2)150【分析】（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為x厘米，則有厘米，然后根據(jù)題意可得方程，進(jìn)而求解即可；（2）由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S，則有，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：設(shè)AB的長(zhǎng)為x厘米，則有厘米，由題意得：，整理得：，解得：，∵，∴，∴都符合題意，答：AB的長(zhǎng)為8厘米或12厘米．（2）解：由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S平方厘米，則有：，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，即為；故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題干中的等量關(guān)系．7．（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場(chǎng)面積的最大值．【答案】288m2【分析】設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為m，設(shè)雞場(chǎng)面積為ym2，根據(jù)矩形面積公式寫出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．【詳解】解：設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為m，設(shè)雞場(chǎng)面積為ym2，根據(jù)題意，得，∴當(dāng)x=24時(shí)，y有最大值為288，∴雞場(chǎng)面積的最大值為288m2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式．8．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，求此時(shí)x的值；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8x，利用矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24BD)=8x，依題意得：3x(8x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時(shí)x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，由（1）得：S=3x(8x)=3(x4)2+48，∵墻的長(zhǎng)度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵3<0，∴x＜4時(shí)，S隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為，即當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)）和長(zhǎng)的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問(wèn)題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長(zhǎng)；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？【答案】(1)CG長(zhǎng)為8m，DG長(zhǎng)為4m(2)當(dāng)BC=m時(shí)，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2【分析】（1）兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(2112)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(213x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(2112)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12a)m，那么AD×DCAE×AH=32即12×31×（12a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(213x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(213x)∴y=3x2+21x=3(x)2+∵213x≤12∴x≥3∴當(dāng)BC=m時(shí)，y最大=m2．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．10．（2020·山東日照·中考真題）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形空地ABCD，為美化環(huán)境，用總長(zhǎng)為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計(jì)）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析．【分析】（1）由題意易得AM＝2ME，故可直接得證；（2）由（1）及題意得2AB+GH+3BC＝100，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2即可得出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）證明：∵矩形MEFN與矩形EBCF面積相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四塊矩形花圃的面積相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵籬笆總長(zhǎng)為100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，則，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到線段的等量關(guān)系，然后列出函數(shù)關(guān)系式即可．題型四：拋球問(wèn)題1.適當(dāng)建系；2.把長(zhǎng)度和高度準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)問(wèn)題?！纠?】如圖，是一名男生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)過(guò)程中形成的拋物線．按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的水平距離OA的長(zhǎng)是_____m．【答案】10【分析】由圖可知，要求OA的長(zhǎng)實(shí)際是需要點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0，將y=0代入函數(shù)的解析式，求出x的值，再舍去不符合實(shí)際的一個(gè)x的值即可．【詳解】將y=0代入；整理得：（x10）（x+2）=0解得：x=10或x=2（舍去）∴鉛球推出的水平距離OA的長(zhǎng)是10m．故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，排球運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的場(chǎng)地長(zhǎng)18m，球網(wǎng)在場(chǎng)地中央且高度為2.24m，球網(wǎng)距離球場(chǎng)左、右邊界均為9m．排球發(fā)出后其運(yùn)動(dòng)路線可以看作是對(duì)稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分．某次發(fā)球，排球從左邊界的正上方發(fā)出，擊球點(diǎn)的高度為hm，當(dāng)排球運(yùn)動(dòng)到水平距離球網(wǎng)3m時(shí)達(dá)到最大高度2.5m，建立如圖平面直角坐標(biāo)系．(1)當(dāng)時(shí)：①求拋物線的表達(dá)式；②排球過(guò)網(wǎng)后，如果對(duì)方?jīng)]有攔住球，判斷排球能否落在界內(nèi)，并說(shuō)明理由；(2)若排球既能過(guò)網(wǎng)（不觸網(wǎng)），又不出界（不接觸邊界），求h的取值范圍．【答案】(1)①②不會(huì)落在界內(nèi)；理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①根據(jù)排球飛行到距離球網(wǎng)時(shí)，達(dá)到最大高度，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再用待定系數(shù)法求解即可；②根據(jù)右邊界的坐標(biāo)為，令y=0，求出x值與18比較即可；（2）求出擊出的排球軌跡的臨界點(diǎn)，即可得解．（1）解：①因?yàn)榕徘蝻w行到距離球網(wǎng)時(shí)，達(dá)到最大高度，，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，點(diǎn)在拋物線上，，，所以．②排球不會(huì)落在界內(nèi)，理由如下：根據(jù)題意得右邊界的坐標(biāo)為∴當(dāng)時(shí)，，解得，（舍去），，∴不會(huì)落在界內(nèi)．（2）解：設(shè)擊出的排球軌跡為，當(dāng)該軌跡經(jīng)過(guò)球網(wǎng)的頂端坐標(biāo)時(shí)，，解得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，．當(dāng)該軌跡經(jīng)過(guò)右邊界的坐標(biāo)時(shí)，，解得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)分析，若排球既能過(guò)網(wǎng)（不觸網(wǎng)），又不出界（不接觸邊界），．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2010·廣西南寧·中考真題）如圖，從地面豎直向上拋出一個(gè)小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式為h＝30t﹣5t2，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時(shí)間是（）A．6s B．4s C．3s D．2s【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，當(dāng)﹣5t2+30t＝0時(shí)，小球從拋出至回落到地面，解出即可求解．【詳解】解：由小球高度h與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系式h＝30t﹣5t2．令h＝0，有﹣5t2+30t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝6∴小球從拋出至回落到地面所需要的時(shí)間是6秒．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意，得到當(dāng)﹣5t2+30t＝0時(shí)，小球從拋出至回落到地面是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是_________．【答案】4【分析】將代入中可求出x，結(jié)合圖形可知，即可求出OH．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得：或，結(jié)合圖形可知：，故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：投球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定x的值．4．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時(shí)間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時(shí)，飛行時(shí)間_________s．【答案】2【分析】把一般式化為頂點(diǎn)式，即可得到答案．【詳解】解：∵h(yuǎn)=5t2+20t=5（t2）2+20，且5＜0，∴當(dāng)t=2時(shí)，h取最大值20，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式．5．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)過(guò)程中形成的拋物線．按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的水平距離OA的長(zhǎng)是_____m．【答案】10【分析】由圖可知，要求OA的長(zhǎng)實(shí)際是需要點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0，將y=0代入函數(shù)的解析式，求出x的值，再舍去不符合實(shí)際的一個(gè)x的值即可．【詳解】將y=0代入；整理得：（x10）（x+2）=0解得：x=10或x=2（舍去）∴鉛球推出的水平距離OA的長(zhǎng)是10m．故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖1是一名女生投擲實(shí)心球，實(shí)心求行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時(shí)起點(diǎn)處高度為，當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于6.70m，此項(xiàng)考試得分為滿分10分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；(2)該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)就是實(shí)心球落地時(shí)的水平距離，令y=0，解方程即可求解．【詳解】（1）解∶∵當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處，∴設(shè)，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，∴解得∶∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分，理由如下∶∵對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)y=0時(shí)，有∴，解得∶，(舍去)，∵>6.70，∴該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析是是解題的關(guān)鍵．7．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系；(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為，則______（填“>”“=”或“<”）．【答案】(1)23.20m；(2)【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出h、k的值，運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值；將表格中除頂點(diǎn)坐標(biāo)之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出a的值，得出函數(shù)解析式；（2）著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用t表示出和，然后進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴，，即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，代入得：，解得：，∴函數(shù)關(guān)系關(guān)系式為：．（2）設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則第一次訓(xùn)練時(shí)，，解得：或，∴根據(jù)圖象可知，第一次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離，第二次訓(xùn)練時(shí)，，解得：或，∴根據(jù)圖象可知，第二次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，用t表示出和是解題的關(guān)鍵．題型五：噴泉問(wèn)題1.適當(dāng)建系；2.把長(zhǎng)度和高度準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)問(wèn)題。【例5】某公園內(nèi)人工噴泉有一個(gè)豎直的噴水槍，噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍的水平距離為，距地面的豎直高度為，獲得數(shù)據(jù)如下：0.01.02.03.04.51.63.74.43.70.0小景根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小景的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；(2)水流的最高點(diǎn)距噴水槍的水平距離為_(kāi)_______m；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：公園準(zhǔn)備在距噴水槍水平距離為處加裝一個(gè)石柱，使該噴水槍噴出的水流剛好落在石柱頂端，則石柱的高度約為_(kāi)____m．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2.0(3)2.8【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，用光滑的曲線順次連接即可；（2）設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式，把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，即可得到答案；（3）把x＝3.5代入（2）中求出的拋物線的解析式即可求得答案．【詳解】（1）解：函數(shù)圖象如圖所示：（2）解：∵噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分，∴設(shè)拋物線的解析式為，把（0，1.6），（1，3.7），（2，4.4），分別代入得，，解得，∴拋物線的解析式為，∵＝，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取最大值4.4，故水流的最高點(diǎn)距噴水槍的水平距離為2.0m．故答案為：2.0．（3）解：∵拋物線的解析式為＝，∴當(dāng)x＝3.5時(shí)，y＝＝2.825≈2.8，∴石柱的高度約為2.8m，故答案為：2.8．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，也考查了描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．1．（2015·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，從某建筑物高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直），如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻，離地面，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可以知道，用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，當(dāng)時(shí)就可以求出x的值，這樣就可以求出的值．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，由題意得：，，∴拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去），，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，運(yùn)用拋物線的解析式解決實(shí)際問(wèn)題．解答本題時(shí)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式求解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)；噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．那么噴頭高_(dá)______________m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．【答案】8【分析】由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，則當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，聯(lián)立可求出a和b的值，設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，則此時(shí)的解析式為y=ax2+bx+h，將（4，0）代入可求出h．【詳解】解：由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，聯(lián)立可求出，，設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，∴此時(shí)的解析式為，將（4，0）代入可得，解得h=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，重點(diǎn)是二次函數(shù)解析式的求法，直接利用二次函數(shù)的平移性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·北京·統(tǒng)考二模）某公園內(nèi)人工噴泉有一個(gè)豎直的噴水槍，噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍的水平距離為，距地面的豎直高度為，獲得數(shù)據(jù)如下：0.01.02.03.04.51.63.74.43.70.0小景根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小景的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；(2)水流的最高點(diǎn)距噴水槍的水平距離為_(kāi)_______m；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：公園準(zhǔn)備在距噴水槍水平距離為處加裝一個(gè)石柱，使該噴水槍噴出的水流剛好落在石柱頂端，則石柱的高度約為_(kāi)____m．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2.0(3)2.8【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，用光滑的曲線順次連接即可；（2）設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式，把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，即可得到答案；（3）把x＝3.5代入（2）中求出的拋物線的解析式即可求得答案．【詳解】（1）解：函數(shù)圖象如圖所示：（2）解：∵噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分，∴設(shè)拋物線的解析式為，把（0，1.6），（1，3.7），（2，4.4），分別代入得，，解得，∴拋物線的解析式為，∵＝，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取最大值4.4，故水流的最高點(diǎn)距噴水槍的水平距離為2.0m．故答案為：2.0．（3）解：∵拋物線的解析式為＝，∴當(dāng)x＝3.5時(shí)，y＝＝2.825≈2.8，∴石柱的高度約為2.8m，故答案為：2.8．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，也考查了描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．4．（2022·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目．如圖，運(yùn)動(dòng)員通過(guò)助滑道后在點(diǎn)A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處．騰空點(diǎn)A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知這段拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，75），（8，78）．(1)求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)在空中飛行過(guò)程中，求運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離；(3)落點(diǎn)P與坡頂C之間的距離為m．【答案】(1)(2)(3)50【分析】（1）由待定系數(shù)法解答；（2）由正切定義解得OB＝80，繼而求得直線BC的解析式，設(shè)運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的為距離d，由d＝y(tǒng)－y1得到二次函數(shù)，再利用配方法求最值；（3）求直線與拋物線的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的解，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)解得HC，PH的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理解答．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）將（0，70）（4，75）、（8，78）代入可得，解得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）設(shè)線段BC表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=kx＋b（k為常數(shù)，k≠0），在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∴tan∠CBO＝tanα＝∵OC＝60，∴OB＝80將C（0，60），B（80，0）代入y1=kx＋b可得，解得∴線段BC表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1＝x＋60（0≤x≤80）設(shè)運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的為距離d，則d＝y(tǒng)－y1＝－x2＋x＋70－(x＋60)＝－x2＋x＋10＝－(x－18)2＋∴當(dāng)x＝18時(shí)，d的最大值為.答：運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離為m.（3）或（舍去）即Px=40，過(guò)點(diǎn)P作PH//x軸，PH=40又OB=80是的中位線故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法、勾股定理、中位線的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開(kāi)研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．【答案】(1)(2)2或6m【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入即可求解；（2）將代入（1）的解析式，求得的值，進(jìn)而求與點(diǎn)的距離即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，拋物線的解析式為，（2）由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長(zhǎng)．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．(1)若，；①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求的取值范圍；(2)若．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出的最小值．【答案】(1)①,；②；③(2)【分析】（1）①根據(jù)頂點(diǎn)式求上邊緣二次函數(shù)解析式即可；②設(shè)根據(jù)對(duì)稱性求出平移規(guī)則，再根據(jù)平移規(guī)則由C點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，則上邊緣拋物線至少要經(jīng)過(guò)F點(diǎn)，下邊緣拋物線，計(jì)算即可；（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)，恰好分別在兩條拋物線上，設(shè)出D、F坐標(biāo)計(jì)算即可．【詳解】（1）（1）①如圖1，由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)．又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴．∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為．當(dāng)時(shí)，，∴，（舍去）．∴噴出水的最大射程為．圖1②∵對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，即點(diǎn)是由點(diǎn)向左平移得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．③如圖2，先看上邊緣拋物線，∵，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.5．拋物線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，．解得，∵，∴．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，要使，則．∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，且時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，要使，則．∵，灌溉車噴出的水要澆灌到整個(gè)綠化帶，∴的最大值為．再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，∴的最小值為2．綜上所述，的取值范圍是．（2）的最小值為．由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)上邊緣拋物線解析式為．∵上邊緣拋物線過(guò)出水口（0，h）∴解得∴上邊緣拋物線解析式為∵對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，∴下邊緣拋物線解析式為．當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)，恰好分別在兩條拋物線上，∵DE=3∴設(shè)點(diǎn)，，，∵D在下邊緣拋物線上，∴∵EF=1∴∴，解得，代入，得．所以的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中的噴水問(wèn)題，構(gòu)造二次函數(shù)模型并把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)上的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．題型六：其它問(wèn)題【例6】某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進(jìn)行核酸抽樣檢測(cè)；防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入操場(chǎng)進(jìn)行核酸檢測(cè)情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進(jìn)入操場(chǎng)的累計(jì)人數(shù)y（單位：人）與時(shí)間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：數(shù)據(jù)如下表．時(shí)間x（分鐘）0123…8累計(jì)人數(shù)y（人）0150280390…640640(1)求a，b，c的值；(2)如果學(xué)生一進(jìn)入操場(chǎng)就開(kāi)始排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，檢測(cè)點(diǎn)有4個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)5人，求排隊(duì)人數(shù)的最大值（排隊(duì)人數(shù)累計(jì)人數(shù)已檢測(cè)人數(shù)）；(3)在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測(cè)需要多少時(shí)間？如果要在不超過(guò)20分鐘讓全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)，從一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？【答案】(1)，，(2)490人(3)從一開(kāi)始應(yīng)該至少增加3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意列方程，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)排隊(duì)人數(shù)=累計(jì)人數(shù)已檢測(cè)人數(shù)，首先找到排隊(duì)人數(shù)和時(shí)間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找到排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人；8分鐘后入校園人數(shù)不再增加，檢測(cè)完所有排隊(duì)同學(xué)即完成所有同學(xué)體溫檢測(cè)；（3）設(shè)從一開(kāi)始就應(yīng)該增加m個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，根據(jù)不等關(guān)系“要在20分鐘內(nèi)讓全部學(xué)生完成體溫檢測(cè)”，建立關(guān)于m的一元一次不等式，結(jié)合m為整數(shù)可得到結(jié)果．【詳解】（1）（1）將，，代入，得，解之得，，；（2）設(shè)排隊(duì)人數(shù)為w，由（1）知，由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，排隊(duì)人數(shù)的最大值是490人，當(dāng)時(shí)，，，∵隨自變量的增大而減小，∴，由得，排隊(duì)人數(shù)最大值是490人；（3）在（2）的條件下，全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)時(shí)間（分鐘）設(shè)從一開(kāi)始增加n個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則，解得，n為整數(shù)，∴從一開(kāi)始應(yīng)該至少增加3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵1．（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于軸對(duì)稱．軸，，最低點(diǎn)在軸上，高，則右輪廓線的函數(shù)解析式為()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用關(guān)于軸對(duì)稱，，可得到點(diǎn)坐標(biāo)為，由，最低點(diǎn)在軸上，則關(guān)于直線對(duì)稱，可得到左邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是得到右邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后設(shè)頂點(diǎn)式利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．【詳解】∵高，，且關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∵軸，，最低點(diǎn)在軸上，∴關(guān)于直線對(duì)稱，∴左邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴右邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)右邊拋物線的解析式為，把代入得，解得，∴右輪廓線的函數(shù)解析式為L(zhǎng)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系與直角坐標(biāo)系中線段對(duì)應(yīng)起來(lái)，再確定某些點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再利用拋物線的性質(zhì)解決問(wèn)題．2．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會(huì)（也稱2022年北京冬奧會(huì)）于2022年2月4日至2月20日在中國(guó)北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過(guò)夏奧會(huì)又舉辦過(guò)冬奧會(huì)的城市．冬奧會(huì)上跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)極為壯觀的運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個(gè)動(dòng)作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運(yùn)動(dòng)員穿著滑雪板，經(jīng)過(guò)助滑后，從傾斜角的跳臺(tái)A點(diǎn)以速度沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時(shí)，由于受重力作用，運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向會(huì)加速下落，因此，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)著陸，，且．忽略空氣阻力，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)求該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；(3)若該運(yùn)動(dòng)員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m(2)(3)他飛行2s后，垂直下降了22.5m【分析】（1）以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D．在中，利用求出即可；（2）利用勾股定理求出，得到點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式；（3）將代入（2）的解析式求出y值即可．【詳解】（1）解：如圖，以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D．在中，，答：該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了90m；（2）解：在中，，，由題意拋物線頂點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)．設(shè)拋物線的解析式為，則有，，拋物線的解析式為．（3）解：當(dāng)時(shí)，，他飛行2s后，垂直下降了22.5m．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，已知自變量求函數(shù)值，正確理解題意得到對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進(jìn)行核酸抽樣檢測(cè)；防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入操場(chǎng)進(jìn)行核酸檢測(cè)情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進(jìn)入操場(chǎng)的累計(jì)人數(shù)y（單位：人）與時(shí)間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：數(shù)據(jù)如下表．時(shí)間x（分鐘）0123…8累計(jì)人數(shù)y（人）0150280390…640640(1)求a，b，c的值；(2)如果學(xué)生一進(jìn)入操場(chǎng)就開(kāi)始排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，檢測(cè)點(diǎn)有4個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)5人，求排隊(duì)人數(shù)的最大值（排隊(duì)人數(shù)累計(jì)人數(shù)已檢測(cè)人數(shù)）；(3)在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測(cè)需要多少時(shí)間？如果要在不超過(guò)20分鐘讓全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)，從一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？【答案】(1)，，(2)490人(3)從一開(kāi)始應(yīng)該至少增加3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意列方程，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)排隊(duì)人數(shù)=累計(jì)人數(shù)已檢測(cè)人數(shù)，首先找到排隊(duì)人數(shù)和時(shí)間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找到排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人；8分鐘后入校園人數(shù)不再增加，檢測(cè)完所有排隊(duì)同學(xué)即完成所有同學(xué)體溫檢測(cè)；（3）設(shè)從一開(kāi)始就應(yīng)該增加m個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，根據(jù)不等關(guān)系“要在20分鐘內(nèi)讓全部學(xué)生完成體溫檢測(cè)”，建立關(guān)于m的一元一次不等式，結(jié)合m為整數(shù)可得到結(jié)果．【詳解】（1）（1）將，，代入，得，解之得，，；（2）設(shè)排隊(duì)人數(shù)為w，由（1）知，由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，排隊(duì)人數(shù)的最大值是490人，當(dāng)時(shí)，，，∵隨自變量的增大而減小，∴，由得，排隊(duì)人數(shù)最大值是490人；（3）在（2）的條件下，全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)時(shí)間（分鐘）設(shè)從一開(kāi)始增加n個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則，解得，n為整數(shù)，∴從一開(kāi)始應(yīng)該至少增加3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵4．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風(fēng)”的風(fēng)景，引來(lái)市民和游客爭(zhēng)相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請(qǐng)?jiān)谒呛优c南環(huán)路之間設(shè)計(jì)一條停車帶，使得每個(gè)停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點(diǎn)的距離相等．(1)利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在圖中格點(diǎn)處標(biāo)出三個(gè)符合條件的停車位，，；(3)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，停車位，請(qǐng)寫出與之間的關(guān)系式，在圖中畫出停車帶，并判斷點(diǎn)是否在停車帶上．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，圖見(jiàn)解析，點(diǎn)不在停車帶上【分析】（1）根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，找出三個(gè)點(diǎn)使得它們到水城河與到?jīng)龆紝m點(diǎn)的距離相等即可；（3）先求出點(diǎn)到水城河的距離，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)到水城河與到?jīng)龆紝m點(diǎn)的距離相等即可得函數(shù)關(guān)系式，最后畫出函數(shù)圖象即為停車帶，由此即可得出結(jié)論．（1）解：如圖，線段的長(zhǎng)即為所求．（2）解：如圖，點(diǎn)，，即為所求．（3）解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系．則，水城河所在的直線為，南環(huán)路所在的直線為，停車位到水城河的距離為，，每個(gè)停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點(diǎn)的距離相等，，整理得：，當(dāng)時(shí)，，解得，又要在水城河與南環(huán)路之間設(shè)計(jì)一條停車帶，，與之間的關(guān)系式為，畫出停車帶如下：因?yàn)?，所以點(diǎn)不在停車帶上．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線、二次函數(shù)的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確求出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．5．（2022·山東濰坊·中考真題）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進(jìn)展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標(biāo)系中描出表示20172021年①號(hào)田和②號(hào)田年產(chǎn)量情況的點(diǎn)（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如下圖．小亮認(rèn)為，可以從y=kx+b(k>0)，y=(m>0)，y=?0.1x2+ax+c中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號(hào)田和②號(hào)田的年產(chǎn)量變化趨勢(shì)．(1)小瑩認(rèn)為不能選．你認(rèn)同嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號(hào)田和②號(hào)田的年產(chǎn)量變化