專題15.3分式方程（舉一反三）（人教版）（原卷版）

專題15.3分式方程【十大題型】【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1解分式方程的一般方法】 ④作答【題型1解分式方程的一般方法】【例1】（2022·廣東·平洲一中八年級階段練習(xí)）分式方程：1x【變式11】（2022·廣西貴港·八年級期中）解下列分式方程：(1)2xx+2(2)1x+3【變式12】（2022·山東省泰安第十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）當(dāng)x=________時，分式x?8x【變式13】（2022·上海·上外附中七年級期末）解方程：x+5【知識點(diǎn)2換元法解分式方程】換元法：引進(jìn)新的變量，把一個較復(fù)雜的關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單數(shù)量關(guān)系例解方程：另（x－y）=u，則原方程轉(zhuǎn)換為：方程轉(zhuǎn)換為了一個比較簡潔的形式，再按照二元一次方程組的求法進(jìn)行求解，以簡化計算。注：當(dāng)熟練應(yīng)用換算法后，可以直接將某個整體式子看成一個未知數(shù)，在計算中，不必將這個整體換元為某個字母，而是直接整體求解?！绢}型2換元法解分式方程】【例2】（2022·河南·南陽市第十三中學(xué)校八年級階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經(jīng)檢驗(yàn)：∴當(dāng)y＝2時，x?1x=2，解得x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時，x?1x=?經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣1或x=1∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：(1)若在方程x?1x+xx?1=52中，設(shè)(2)模仿上述換元法解方程：x?1x+2【變式21】（2022·上海復(fù)旦五浦匯實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期末）用換元法解分式方程x2+1x?x3xA．3y2+3y?1=0C．3y2?y+1=0【變式22】（2022·上海·八年級課時練習(xí)）如果16x2?8xA．1 B．1 C．±1 D．4【變式23】（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）解方程組：1x【知識點(diǎn)3分式的運(yùn)算技巧裂項(xiàng)法】解題技巧：裂項(xiàng)相消法：【題型3裂項(xiàng)法解分式方程】【例3】（2022·山東煙臺·八年級期中）觀察下面的變形規(guī)律：11×2=11–12；12×3=12–13；解答下面的問題：(1)已知n為正整數(shù)，結(jié)合你的發(fā)現(xiàn)，請將1n(n+1)(2)說明你（1）中式子的正確性；(3)直接寫出11×2+12×3+13×4(4)類比你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解關(guān)于n（n為正整數(shù)）的分式方程：11×3【變式31】（2022·山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1?12,12×3=12?13【變式32】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下列算式：1(1)由此可推斷：142(2)請用含字母m(m為正整數(shù))的等式表示(1)中的一般規(guī)律___；(3)仿照以上方法解方程：3【變式33】（2022·湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）閱讀理解并回答問題．觀察下列算式：111……(1)填空：142＝＝(2)請用含有m（m表示整數(shù)）的代數(shù)式表示上述式子特點(diǎn)的一般規(guī)律：．(3)請用（2）中的規(guī)律解方程：1x(x+1)【知識點(diǎn)4根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍】（1）方程無解，即方程的根為增根；（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；（3）方程的解為負(fù)值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍【題型4根據(jù)分式方程的解求值】【例4】（2022·河北·南皮縣桂和中學(xué)八年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程2axa?x=83的解為x=1，則A．?1 B．1 C．4 D．8【變式41】（2022·湖南·溆浦縣圣達(dá)學(xué)校八年級期中）已知關(guān)于x的方程3x?1=x+axx?1的增根是x=1A．1 B．?1 C．2 D．?2【變式42】（2022·北京市第九中學(xué)八年級期中）若x=4是關(guān)于x的方程2x?mx?3=3的解，則【變式43】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程axx+1+3x+1+3xA．2 B．3 C．4 D．6【題型5已知分式方程有解或無解求參數(shù)】【例5】（2022·黑龍江黑龍江·三模）關(guān)于x的分式方程1?axx?2+2=1【變式51】（2022·湖南·八年級單元測試）若關(guān)于x的分式方程1x?2+x+mA．6 B．10 C．0或6 D．6或10【變式52】（2022·河北·邢臺市第六中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程xx?2+2m2?x=3mA．1或13 B．1或3 C．13【變式53】（2022·重慶·二模）若關(guān)于x的不等式組2x?m≥?132(x+23)+12≤9A．7 B．10 C．13 D．21【知識點(diǎn)5增根的討論】方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據(jù)題意求解出其他字母的值?！绢}型6已知分式方程有增根求參數(shù)】【例6】（2022·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)八年級期中）如果方程5x?42x?4=2x+k【變式61】（2022·浙江寧波·七年級期末）用去分母的方法解關(guān)于x的分式方程2?xx?3=a【變式62】（2022·江西省石城二中九年級階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程xx-1?A．2 B．1 C．k≠2且k≠?2【變式63】（2022·全國·八年級）若關(guān)于x的方程mx2?9【題型7已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)】【例7】（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校九年級期中）若關(guān)于x的不等式組x3?4＜?2x+332x+a?2≥51?2x，有且僅有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分成方程A．?2 B．3 C．5 D．10【變式71】（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程8?ax2?x﹣2＝xx?2有整數(shù)解，則符合條件的所有A．7 B．11 C．12 D．13【變式72】（2022·重慶一中八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式組a+x3≥x+131?3(x?1)＜14+2x有解且至多有4個整數(shù)解，關(guān)于yA．4 B．8 C．11 D．15【變式73】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組{x?3(x?2)>?2a+x2<x有解，關(guān)于y的分式方程ay?14?yA．0 B．1 C．2 D．5【題型8根據(jù)分式方程解的取值范圍求參數(shù)的范圍】【例8】（2022·重慶一中九年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組x?a2>03x+15≥x?1有解，且關(guān)于yA．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【變式81】（2022·山東·龍口市教學(xué)研究室八年級期中）若關(guān)于x的分式方程2x+m=3【變式82】（2022·江蘇宿遷·八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的方程x?1x?3=2+k【變式83】（2022·山東濟(jì)南·八年級期中）若關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【題型9解分式方程的運(yùn)用（規(guī)律問題）】【例9】（2022·山東聊城·八年級期末）已知：①x+2x＝3可轉(zhuǎn)化為x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x②x+6x＝5可轉(zhuǎn)化為x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x③x+12x＝7可轉(zhuǎn)化為x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x根據(jù)以上規(guī)律，關(guān)于x的方程x+n2+nx?3【變式91】（2022·湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6x+1④4x+1=8x+1（1）請完成上面的填空；（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個方程和它的解；（3）請你用一個含正整數(shù)n的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解．【變式92】（2022·江蘇無錫·八年級期中）閱讀下列材料：方程1x+1?1方程1x?1方程1x?1?1(1)請直接寫出方程1x?4(2)觀察上述方程與解的特征，寫出一個解為?5的分式方程：________；(3)觀察上述議程與解的特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程，并直接寫出這個方程的解：________；________．【變式93】（2022·四川遂寧·八年級期末）先閱讀下面的材料，然后解答問題．通過計算，發(fā)現(xiàn)：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14(1)觀察猜想：關(guān)于x的方程x+1x=n+1n(2)利用你猜想的結(jié)論，解關(guān)于x的方程x+1(3)實(shí)踐運(yùn)用：對關(guān)于x的方程x?1x=m?1m的解，小明觀察得“x1=m”是該方程的一個解，則方程的另一個解x【題型10解分式方程的運(yùn)用（新定義問題）】【例10】（2022·遼寧大連·八年級期末）當(dāng)a≠b時，定義一種新運(yùn)算：F(a,b)=2a?b,a>b2bb?a（1）直接寫出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)?F(2,m)=1，求出m的值．【變式101】（2022·廣西·北海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）對于非零的兩個有理數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝1b?1A．56 B．54 C．32【變式102】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b(其中a≠0)，都有a*b＝1a?a?b(1)求5*4的值；(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．【變式103】（2022·江蘇揚(yáng)州