第10講拋物線及其性質(zhì)（秋季講義）（人教A版2019選擇性）

第10講拋物線及其性質(zhì)【人教A版2019】模塊一模塊一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語言表示設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】【例1.1】（2324高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且點(diǎn)M到直線x=?p的距離為3p，則MFA．3p B．2p C．72p 【解題思路】利用拋物線的定義即可求解.【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)M到直線x=?p的距離為3p，所以點(diǎn)M到拋物線C準(zhǔn)線x=?p2的距離為由拋物線的定義得，MF=故選：D.【例1.2】（2024·江西·模擬預(yù)測）若拋物線x2=8y上一點(diǎn)x0,y0到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到A．12 B．1 C．32【解題思路】根據(jù)拋物線的方程，結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，利用拋物線的定義，得到拋物線上的點(diǎn)x0,y【解答過程】已知拋物線的方程為x2=8y，可得所以焦點(diǎn)為F0,2，準(zhǔn)線為l：y=?2拋物線上一點(diǎn)Ax0,y0即AF=又∵A到x軸的距離為y0由已知得y0+2=2y故選：D．【變式1.1】（2324高二上·浙江杭州·期末）設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d．若|PA|+d的最小值為1，則p=（A．6 B．4 C．3 D．2【解題思路】結(jié)合拋物線的定義得到關(guān)于p的方程，解出即可.【解答過程】拋物線y2=2px(p>0)，則焦點(diǎn)F(pPA+d最小時(shí)，即PA+d+p所以只需求|PA|+|PF|的最小值即可，當(dāng)P為線段AF與拋物線交點(diǎn)時(shí)，|PA|+|PF|最小，且最小值為|AF|=p22故選：C.【變式1.2】（2324高二上·廣東深圳·期末）M是拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，MM1⊥l于M1A．8+3 B．8+23 C．10【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，求出M點(diǎn)縱坐標(biāo)，利用勾股定理求出M1【解答過程】如圖，

由拋物線C:y2=4x，可知F(1,0因?yàn)镸F=MM代入拋物線方程可得yM=±23則yM=23又NF=2p=2，所以M所以△MM1F故選：D.【題型2拋物線的軌跡方程】【例2.1】（2324高三上·黑龍江哈爾濱·期末）點(diǎn)P到直線y=3的距離比到點(diǎn)F0,?1的距離大2，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

A．y2=2x B．y2=?4x C．【解題思路】根據(jù)題意點(diǎn)P到直線y=1的距離和到點(diǎn)F0,?1【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，且點(diǎn)P在y=3的下方，故點(diǎn)P到直線y=1的距離和到點(diǎn)F0,?1所以點(diǎn)的軌跡為以F0,?1為焦點(diǎn)，以直線y=1所以P的軌跡方程為x2故選：D.【例2.2】（2024·湖南衡陽·三模）已知點(diǎn)F(2,0)，動(dòng)圓P過點(diǎn)F，且與x=?2相切，記動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡為曲線Γ，則曲線Γ的方程為（

）A．y2=2x B．y2=4x C．【解題思路】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.【解答過程】由題意知，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離和它到直線x=?2的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線，所以Γ的方程為y2故選：C.【變式2.1】（2324高二上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)Mx,y到點(diǎn)F4,0的距離比到直線x+5=0的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程為（A．x+4=0 B．x?4=0 C．y2=8x 【解題思路】分析可知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，確定該拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，由此可得出點(diǎn)M的軌跡方程.【解答過程】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)Mx,y到點(diǎn)F4,0的距離比到直線x+5=0的距離小所以，點(diǎn)Mx,y到點(diǎn)F4,0的距離和到直線點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線x=?4為準(zhǔn)線的拋物線．所以，p2=4，則p=8，故點(diǎn)M的軌跡方程為故選：D.【變式2.2】（2324高二上·四川成都·期中）已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，若k2?k1=1，則點(diǎn)PA．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【解題思路】設(shè)Px,y【解答過程】設(shè)Px,y，其中x≠±2,y≠0則yx?2?y所以y=1所以點(diǎn)P的軌跡為不包含A，B兩點(diǎn)的拋物線.故選：D.【題型3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】【例3.1】（2324高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）點(diǎn)M(5,3)到拋物線x2=ay的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A．x2=112yC．x2=12y或x2【解題思路】由拋物線的準(zhǔn)線方程,分類討論求參數(shù)a的值.【解答過程】當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程y=?a點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+a4=6所以拋物線方程為x2當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程y=?點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+a4=6，解得a=?36所以拋物線方程為x2所以拋物線的方程為x2=12y或故選：C.【例3.2】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）邊長為1的等邊△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A,B的拋物線方程是（

）A．y2=36C．y2=±36【解題思路】利用題意得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解參數(shù)即可.【解答過程】設(shè)拋物線方程為y2＝ax由題意得x2+y2=1，y=±取點(diǎn)A在x軸上方，故A±32解得a=±36，所以拋物線方程為故選：C.【變式3.1】（2324高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x【解題思路】分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于E，D，設(shè)|BF|=a，運(yùn)用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，求得p，可得所求拋物線的方程．【解答過程】如圖分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝12|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x故選：B.【變式3.2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，以PF為直徑的圓C與y軸相切于點(diǎn)M0,22，且圓CA．y2=4x B．y2=6x C．【解題思路】設(shè)Px0,y0，則圓心Cp4+x02,y02，由于圓C與y【解答過程】由題意得，F(xiàn)p2,0，設(shè)P由于圓C與y軸相切于點(diǎn)M0,22，故y0連接PB，由圓C過點(diǎn)B4,0，得PB⊥BF，所以PB又PB=4?x0,?又B、F是不同兩點(diǎn)，所以p2?4≠0，則x0由P4,42在拋物線y2=2px上，得故該拋物線的方程為y2故選：C．【題型4拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】【例4.1】（2324高二上·陜西西安·期末）拋物線y=?6x2的焦點(diǎn)為（A．?32,0 B．0,?124 【解題思路】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求焦點(diǎn)坐標(biāo).【解答過程】將拋物線y=?6x2的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式得可知該拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且p=112，即所以拋物線y=?6x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B.【例4.2】（2324高二上·陜西榆林·期中）已知拋物線C：y2=mx過點(diǎn)2,5，則拋物線CA．x=58 B．x=?58 C．【解題思路】根據(jù)題意，求得拋物線的方程y2【解答過程】由拋物線C：y2=mx過點(diǎn)2,5，可得(即拋物線的方程為y2=52x故選：B.【變式4.1】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知橢圓x2a+y2=1(a>1)的離心率為A．116,0 B．0,18 C．【解題思路】由橢圓離心率為32列式求得參數(shù)a【解答過程】因?yàn)闄E圓x2a+y2=1(a>1)的離心率為則拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：D.【變式4.2】（2024·福建莆田·三模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(m,4)在拋物線C上，且PF=4，則拋物線A．y=?4 B．y=?2 C．x=?4 D．x=?2【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的定義，列出方程組，求得p的值，得出拋物線的方程，即可求解.【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)P(m,4)在拋物線C:y2=2px可得m+p2=42pm=4所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是x=?2.故選：D.【題型5拋物線的焦半徑公式】【例5.1】（2024·青海西寧·一模）已知F是拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且M的縱坐標(biāo)為3，則MFA．22 B．23 C．4【解題思路】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的焦半徑公式即可求解.【解答過程】由x2=4y，得2p=4，解得所以拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F又因?yàn)镸的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)M在C上，所以MF=故選：C.【例5.2】（2024·北京大興·三模）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為?1的直線與直線x=?1交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足MAA．1 B．2 C．2 D．2【解題思路】由題意先求出過F且斜率為?1的直線方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)A，接著結(jié)合點(diǎn)M在拋物線上且MA=MF可求出xM【解答過程】由題意可得F1,0，故過F且斜率為?1的直線方程為y=?令x=?1因?yàn)镸A=MF，所以MA垂直于直線x=又M在拋物線上，所以由22所以MF=故選：C.【變式5.1】（2324高三下·河北·階段練習(xí)）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為150°，則PFA．2 B．43 C．13【解題思路】由題意解三角形得yP=QH【解答過程】

過點(diǎn)F作l的垂線，垂足為H，因?yàn)橹本€QF的傾斜角為150°，則∠QFH=設(shè)FH=p=2，因?yàn)閥P=所以P1故選：B.【變式5.2】（2024·安徽安慶·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)Mx1,y1,NA．13 B．33 C．3【解題思路】拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為p，又MF=y1+p【解答過程】因?yàn)閽佄锞€C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F所以x2=4y,即由x1+3x2x1由焦半徑公式可得NFMF故選：A.模塊二模塊二拋物線的幾何性質(zhì)1．拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)

方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖形頂點(diǎn)(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.3．與拋物線有關(guān)的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【題型6拋物線的對稱性的應(yīng)用】【例6.1】（2324高二下·福建廈門·期末）等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2x上，則這個(gè)等邊三角形的邊長為（A．2 B．23 C．4 D．【解題思路】正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A3【解答過程】設(shè)正三角形得邊長為2a，由圖可知正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，可設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A3把頂點(diǎn)代入拋物線方程得a2=23所以正三角形的邊長為43故選：D.【例6.2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△OAB的重心恰為F，若|AF|=5，則p=（A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)重心可得x1+x【解答過程】設(shè)Ax因?yàn)椤鱋AB的重心恰為F，則x1+x由y1=?y2可知A,B關(guān)于則x1+x又因?yàn)锳F=x1故選：D.【變式6.1】（2324高三下·河南開封·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y2=8x,P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點(diǎn)，若∠OAP=120°，則四邊形OAPBA．643 B．64 C．803【解題思路】線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點(diǎn),結(jié)合拋物線的對稱性可得AB與OP互相平分,則四邊形OAPB為菱形,可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo),通過幾何關(guān)系求出A點(diǎn)坐標(biāo),在代入拋物線方程即可求解.【解答過程】因?yàn)榫€段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點(diǎn)，所以結(jié)合拋物線的對稱性可得AB與OP互相平分,則四邊形OAPB為菱形.設(shè)點(diǎn)P2t,0且t>0則線段OP的垂直平分線l方程為x=t令l與x軸交于點(diǎn)H,又∠OAP=120°，

則在直角三角形OAH中∠OAH=繼而可得AH=所以A點(diǎn)坐標(biāo)為t,3代入拋物線C:y2=8x，可得t直角三角形OAH中OA=2所以四邊形OAPB的周長為4OA故選：A.【變式6.2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在拋物線C上，且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為6，AF的垂直平分線與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)N，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFNA．932 B．934 C．【解題思路】解法一：先根據(jù)焦半徑公式求出A的坐標(biāo)，再求出AF的垂直平分線的方程，從而可求N的坐標(biāo)，故可求△OFN的面積.解法二：先根據(jù)焦半徑公式求出A的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，利用拋物線的定義可得B,N重合，從而可求△OFN的面積.【解答過程】解法一：拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F32,0設(shè)A(m,n)，由點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為6，得m+32=6代入拋物線的方程得n2=6×9由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A92,33，則直線又A,F的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,332，故AF令x=?32，得y=33所以△OFN的面積為12故選：B.解法二：拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F32,0設(shè)A(m,n)，由A到準(zhǔn)線l的距離為6，得m+32=6代入拋物線的方程得n2=6×9由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A92,33，則直線所以∠AFx=60°．過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，則B?32則∠FAB=∠AFx=60°，而AF=AB，所以△FAB是等邊三角形，于是邊AF的垂直平分線過點(diǎn)B，即點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，所以△OFN的面積為故選：B.【題型7與拋物線有關(guān)的最值問題】【例7.1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知P是拋物線y2=2x上的點(diǎn)，Q是圓x?52+yA．2 B．22 C．23【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為求|PC|的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求得|PC|的最小值再減去半徑即可.【解答過程】如圖，拋物線上點(diǎn)Px,y到圓心C5,0的距離為

因此PQ≥CP?1，當(dāng)CP而CP2當(dāng)y=±22時(shí)，CPmin=3，因此PQ故選：A.【例7.2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)A(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，記P到直線x=?2的距離為d，則APA．1 B．3 C．10?1 D．【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，P到焦點(diǎn)F的距離等于P到準(zhǔn)線的距離，可得d=|PF|+1，從而轉(zhuǎn)化為求|AP|+|PF|+1的值，當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí)，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答過程】由題意可得，拋物線C的焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線方程為x=?1由拋物線的定義可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因?yàn)閨AP|+|PF|≥|AF|=所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥10當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以|AP|+d的最小值為1故選：D.【變式7.1】（2324高二下·甘肅白銀·期末）已知M是拋物線y2(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，求MA的最小值；(2)若點(diǎn)M到直線x?y+1=0的距離最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及距離的最小值.【解題思路】（1）假設(shè)M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以表示出MA的函數(shù)，進(jìn)而利用二次函數(shù)求解最小值；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)M到直線x?y+1=0的距離，再根據(jù)二次函數(shù)求解最小值【解答過程】（1）設(shè)點(diǎn)Mx所以當(dāng)x0=1時(shí)，MAmin（2）點(diǎn)M到直線x?y+1=0的距離d=|當(dāng)y0=1時(shí)，dmin=2【變式7.2】（2324高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)點(diǎn)P是拋物線y2(1)求點(diǎn)P到A?1,1的距離與點(diǎn)P到直線x=?1(2)若B3,2，求PB【解題思路】（1）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為到焦點(diǎn)的距離，再利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；（2）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為到準(zhǔn)線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；【解答過程】（1）如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為x=?1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x=?1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F于是，問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A?1,1的距離與點(diǎn)P到F顯然，連接AF與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，故最小值為22+1

（2）如圖，過點(diǎn)P作PE垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1

此時(shí)，PE=PF，那么【題型8拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】【例8.1】（2024·江西新余·二模）已知點(diǎn)Q2,?2在拋物線C：y2=2px上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則△OQF（OA．12 B．1 C．2 【解題思路】將點(diǎn)Q代入拋物線C的方程，即可求解p，再結(jié)合拋物線的公式，即可求解【解答過程】∵點(diǎn)Q(2,?2)在拋物線C:y2=2px上，F(xiàn)∴4=4p，解得p=1，故拋物線C的方程為y2=2x，F(xiàn)(1則△OQF的面積S△OQF故選：A．【例8.2】（2024·重慶·三模）已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2x上，則這個(gè)等邊三角形的面積是（A．43 B．83 C．12【解題思路】正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A3a,a、B3【解答過程】正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A3a,a、把頂點(diǎn)3a,a代入拋物線方程得a2=2故正三角形的邊長為43，面積是3故選:C.【變式8.1】（2324高三下·四川成都·期末）若A是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，圓x?22+y2=4A．8 B．16 C．24 D．32【解題思路】根據(jù)圓的切線的知識(shí)求得△ABC面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得面積的最小值.【解答過程】設(shè)Ax0,y0圓x?22+y2=4由于圓x?22+y2=4直線AB的方程為y?b=y0?b則2y0?b同理可得x0所以b+c=?4所以b?c2將y02=4x0所以S=2x0當(dāng)且僅當(dāng)2x故選：D.【變式8.2】（2324高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C：y2=8x，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓D：x2+y2?4x+3=0作切線，切點(diǎn)分別為AA．1 B．2 C．3 D．5【解題思路】由題意圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得連接PD，則S四邊形PADB=2SRt△PAD=PA，而【解答過程】如圖，連接PD，圓D：x?22則S四邊形又PA=PD2?1，所以當(dāng)四邊形過點(diǎn)P向拋物線的準(zhǔn)線x=?2作垂線，垂足為E，則PD=當(dāng)點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，PE最小，此時(shí)PE=2故S四邊形故選：C.【題型9拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題】【例9.1】（2324高一上·江蘇·期中）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【解題思路】以底部所在的直線為x軸，以線段CD的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得外側(cè)拋物線的解析式，則可知點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)，從而可得CD的長．【解答過程】以底部所在的直線為x軸，以線段CD的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系：

∴A(?40,0)，B(40,0)，E設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+40)(x?40)，將E0,200200=a(0+40)(0?40)，解得：a=?1∴拋物線的解析式為y=?1將y=150代入得：?1解得：x=±20，∴C（20，150），D(20,150)，∴CD=40m故選：A.【例9.2】（2324高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬AB為2m，渠深OC為1.5m，水面EF距AB為0.5m，則截面圖中水面寬EF的長度約為（

）（2≈1.414，

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線方程并將水面寬度坐標(biāo)化即可求得結(jié)果.【解答過程】以O(shè)為原點(diǎn)，OC為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py（由題意可得B1,1.5，代入x2=2py得1=3p，得p=設(shè)Fx0,y0（x0>0即可得x0所以截面圖中水面寬EF的長度約為0.816×2≈1.63m故選：D.【變式9.1】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示.衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m.

(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)為了增強(qiáng)衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時(shí)衛(wèi)星波束反射聚集點(diǎn)的坐標(biāo).【解題思路】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）利用待定系數(shù)法、代入法進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為：y2=2pxp>02.42所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=11.52x，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）設(shè)拋物線的方程為y2把0.5,2.6代入方程中，得2.62所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：3.38,0.【變式9.2】（2324高二上·浙江·期中）如圖1，太陽灶是一種將太陽光反射至一點(diǎn)用來加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分（如圖2），盛水或食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，該容器由6根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐（圖中F點(diǎn)為放置容器處，其余6個(gè)焊點(diǎn)在鏡口圓上）．已知鏡口圓的直徑為12dm，鏡深2dm．(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若把盛水或食物的容器近似地看作點(diǎn)，試求支撐容器的架子所用鐵筋的總長度（單位dm）．【解題思路】（1）先建立直角坐標(biāo)系，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線方程進(jìn)而求得p的值，從而可以確定拋物線的方程和焦點(diǎn)的位置.（2）根據(jù)盛水或食物的容器在焦點(diǎn)處，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得每根鐵筋的長度.【解答過程】（1）如圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，x軸垂直于鏡口直徑．由已知，得A點(diǎn)坐標(biāo)是(2,6)，設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，則36=2p×2，解得則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(4.5,0).（2）因?yàn)槭⑺娜萜髟诮裹c(diǎn)處，所以A、F兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長，所以每根鐵筋長為2+p2所以架子所用鋼筋總長度為6.5×6=39dm一、單選題1．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F,P是拋物線C上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP=43A．4 B．6 C．8 D．10【解題思路】求出拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)Pm,nm≥0，結(jié)合OP=4【解答過程】拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F設(shè)Pm,nm≥0，則m2=8n,m則PF=n+2=6故選：B．2．（2425高三上·云南大理·開學(xué)考試）已知P為拋物線C:y2=8x上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，Q為圓M:(x?8)2A．6 B．10 C．4 D．8【解題思路】利用拋物線的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合計(jì)算最值即可.【解答過程】如圖，過點(diǎn)P作PH垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)H，連接PM交⊙M于點(diǎn)Q.由題意可得F2,0,C的準(zhǔn)線方程為x=?2,因?yàn)镻Q=PM?當(dāng)M,P,H三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PM取得最小值，最小值為所以PF+PQ的最小值為故選：D.3．（2324高二下·湖南·期中）過拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，PQA．y2=2x B．y2=4x C．【解題思路】由拋物線定義結(jié)合拋物線過焦點(diǎn)的弦長公式即可求得p值，則拋物線方程可求.【解答過程】設(shè)P(x1,y1)，又|PQ|=x1+x2+p=6，即故選：B.4．（2324高三下·北京·開學(xué)考試）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AFA．BF=13C．BF=23【解題思路】根據(jù)拋物線的定義得到BD=BF=m，AC=AF=2m，然后結(jié)合【解答過程】

如圖，分別過點(diǎn)A、B向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為C、D，過點(diǎn)B、F分別作BG⊥AC、FE⊥AC于點(diǎn)G、E，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K，設(shè)BF=m，則由拋物線的定義可得BD=BF則AG=CG因?yàn)锳F=2BF，所以cos∠EAF=AGAB=m所以BF=故選：D.5．（2324高二下·內(nèi)蒙古通遼·期中）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.點(diǎn)A在拋物線C上，點(diǎn)B在準(zhǔn)線l上，若△AFB是邊長為4的等邊三角形，則pA．2 B．3 C．1 D．2【解題思路】由已知，利用拋物線定義可得AB⊥l，再由等邊三角形的邊長為4，即可求得DF=BFcos【解答過程】因?yàn)椤鰽FB是邊長為4的等邊三角形，由題意可知，AF=AB，由拋物線定義可得設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為D，如下圖所示：因此AB與DF平行，由∠ABF=60°，可得∠BFD=60°，所以DF=BFcos故選：A.6．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l:4x?3y+12=0的距離為d2，則A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】點(diǎn)P到直線l:4x?3y+12=0的距離為|PA|，到準(zhǔn)線l1:x=?2的距離為|PB|，利用拋物線的定義得|PF|=|PB|，當(dāng)A，P和F共線時(shí)，點(diǎn)P到直線l:4x?3y+12=0和準(zhǔn)線【解答過程】由拋物線y2=8x知，焦點(diǎn)F2,0

點(diǎn)P到直線l:4x?3y+12=0的距離為|PA|，到準(zhǔn)線l1:x=?2的距離為由拋物線的定義知：|PB|=|PF|，所以點(diǎn)P到直線l:4x?3y+12=0和準(zhǔn)線l1:x=?2的距離之和為且點(diǎn)F2,0到直線l:4x?3y+12=0的距離為d=所以d1+d故選：D.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知傾斜角為60°的直線l過點(diǎn)M1,0，且與拋物線C:y2=2pxp>0交于A,B兩點(diǎn)．若SA．y2=4x B．y2=2x C．【解題思路】聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理求解即可.【解答過程】設(shè)Ax因?yàn)镾△OAM:S由題意，得直線l的方程為x=3將其代入y2=2px，得所以y1又y1=?3y2，所以所以y2=?3解得p=2或p=0（舍去）．所以拋物線C的方程為y2故選：A．8．（2024·江西九江·二模）已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)A1,2，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，A．C的準(zhǔn)線方程為x=?2B．△AFO的面積為1C．不存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)的距離為2D．存在點(diǎn)P，使得△POF為等邊三角形【解題思路】求解拋物線方程，得到準(zhǔn)線方程，判斷A；求解三角形的面積判斷B；利用|PF|=2．判斷C；判斷P的位置，推出三角形的形狀，判斷D．【解答過程】由題意拋物線C:y2=2px過點(diǎn)A(1,2)，可得p=2，所以拋物線方程為C:可以計(jì)算S△AFO當(dāng)P(1,2)時(shí)，點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)的距離為2，C錯(cuò)誤；△POF為等邊三角形，可知P的橫坐標(biāo)為：12，當(dāng)x=12則12×3=3故選：B．二、多選題9．（2324高二下·廣東·期中）已知拋物線C：y2=2pxp>0上的兩點(diǎn)M，N與焦點(diǎn)F的距離之和為10，M，N到x軸的距離的平方和為32，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則pA．1 B．2 C．4 D．8【解題思路】聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系應(yīng)用求參.【解答過程】設(shè)Mx由題意得MF+得2p10?p=32,解得p=2或p=8.故選：BD.10．（2324高二下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)，Q是A．PF的最小值為1 B．QF的最小值為10C．PF+PQ的最小值為4 D．QF【解題思路】根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷A，根據(jù)圓的性質(zhì)判斷D，結(jié)合拋物線的定義判斷C.【解答過程】拋物線焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為x=?1，⊙C:(x?4)2+(y?1)作出圖象如下所示：

對于A：由拋物線的性質(zhì)可知：PF的最小值為OF=1對于B、D：因?yàn)镕C=4?12+1由圓的性質(zhì)可知QF的最小值為CF?r=QF的最大值為CF+r=對于C：過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知PF=故PF+而PM+PQ的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線x=故選：ACD.11．（2324高二下·新疆克拉瑪依·期中）已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P5,y0在拋物線上，且PF=6，過點(diǎn)P作A．p=2 B．拋物線的準(zhǔn)線為直線y=?1C．y0=25 D．【解題思路】根據(jù)焦半徑公式求得p=2判斷A，進(jìn)而利用拋物線方程求解準(zhǔn)線及點(diǎn)的坐標(biāo)判斷BC，利用三角形面積公式求解面積判斷D.【解答過程】拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為直線x=?p過點(diǎn)P向準(zhǔn)線作垂線垂足為M，由拋物線的定義可知PF=PM=5+則拋物線的方程為y2=4x，準(zhǔn)線為直線

將x=5代入拋物線方程，解得y0焦點(diǎn)F(1,0)，點(diǎn)P(5,±25)，即所以S△FPQ故選：AD．三、填空題12．（2425高三上·北京海淀·開學(xué)考試）拋物線y2=4x上與焦點(diǎn)距離等于3的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是【解題思路】根據(jù)拋物線的定義求解即可.【解答過程】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為設(shè)拋物線上一點(diǎn)P(x0,則PF=所以x0故答案為：2.13．（2425高二上·全國·課堂例題）如圖所示，花壇水池中央有一噴泉，水管O′P=1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面2m，P

【解題思路】以右側(cè)拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程，由P?1,?1【解答過程】以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，過頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)拋物線的方程為x2=?2py(p>0)，則P?1,?1所以拋物線的方程為x2=?y，又令y=?2，則x=±2，故O所以，根據(jù)對稱性知：水池直徑為2(2故答案為：5.14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線交拋物線于點(diǎn)A（點(diǎn)A在第一象限），過點(diǎn)A作AB⊥l，垂足為B，直線BF交y軸于點(diǎn)C，若△ACF的外接圓的面積為π，則拋物線的方程為【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得AF是Rt△ACF的外接圓的直徑，可知AF=2，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，結(jié)合拋物線的定義可得p=3【解答過程】如圖，因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，AB⊥l，

可知AB=AF，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)E，則坐標(biāo)原點(diǎn)O是線段EF的中點(diǎn)，BE∥可知點(diǎn)C是線段BF的中點(diǎn)，則AC⊥BF，即△ACF為直角三角形，AF為斜邊，所以AF是Rt△ACF的外接圓的直徑，由題意可得：π×AF2過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，在Rt△ADF中，F(xiàn)D=又因?yàn)镋D=AB=AF=2所以拋物線的方程為y2故答案為：y2四、解答題15．（2425高二上·全國·課堂例題）分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)為?2,0；(2)準(zhǔn)線為y=?1；(3)過點(diǎn)A2,3(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為52【解題思路】（1）根據(jù)焦點(diǎn)位置得到p=4，則得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)準(zhǔn)線方程得到p=2，則得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）利用待定系數(shù)，設(shè)出拋物線方程，代入所過得點(diǎn)即可；（4）根據(jù)距離求出p=5【解答過程】（1）由于焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半