專題09二次函數(shù)圖像與性質(zhì)（講義）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題09二次函數(shù)圖像與性質(zhì)1．通過對(duì)實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的一般表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義；2．會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像，能利用函數(shù)的圖像認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；3．會(huì)確定二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸，并掌握?qǐng)D像的變化情況；4．能根據(jù)已知條件利用二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）通過待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式?？键c(diǎn)1：二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.考點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)

開口向上

當(dāng)時(shí)

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：

開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

(1)的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：

①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(可以看成的圖象平移后所對(duì)應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).注：求拋物線（a≠0）的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．【題型1：二次函數(shù)的定義】【典例1】（2013·江蘇宿遷·校聯(lián)考二模）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（

）①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】利用二次函數(shù)定義，①不是二次函數(shù).②是二次函數(shù).③y=（x＋3）2－2x2=.是二次函數(shù).④不是二次函數(shù).選B.1．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則代數(shù)式的值為．【答案】2019【分析】先將點(diǎn)（m，0）代入函數(shù)解析式，然后求代數(shù)式的值即可得出結(jié)果．【詳解】解：將（m，0）代入函數(shù)解析式得，m2m1=0，∴m2m=1，∴3m2+3m+2022=3（m2m）+2022=3+2022=2019．故答案為：2019．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是將點(diǎn)（m，0）代入函數(shù)解析式得到有關(guān)m的代數(shù)式的值．2．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·?？寄M預(yù)測(cè)）若是二次函數(shù)，則；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【分析】①，二次函數(shù)滿足二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即，且根據(jù)此條件求出m即可．②，根據(jù)頂點(diǎn)式解析式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】①，由題意知，且，解得m=2；②，根據(jù)頂點(diǎn)式公式解析式知道頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；故答案為：①②【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)．3．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖像是一條拋物線，則m=.【答案】m=3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】依題意得：m1=2，解得m=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．4．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（），那么：(1)設(shè)的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，沿直線翻折后得到，試判斷點(diǎn)是否落在直線上，并說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)不落在直線上，見解析【分析】（1）根據(jù)、的速度，用時(shí)間表示出和的長(zhǎng)，即可通過三角形的面積公式即可作答；（2）先根據(jù)（1）的函數(shù)式求出當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)的值，即可得出和的長(zhǎng)，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中即可判斷出是否在上．【詳解】（1）解：，由題意，得．．；（2）解：點(diǎn)不落在直線上，理由如下：，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，，解得，，即是等腰直角三角形．把沿直線翻折后，四邊形是正方形．點(diǎn)的坐標(biāo)為．，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)不落在直線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【題型2：二次函數(shù)的圖像】【典例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)的最大值．【詳解】解：∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取得最大值，為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．該函數(shù)有最大值，最大值是2 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】通過分析二次函數(shù)頂點(diǎn)式判斷函數(shù)圖象開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值以及增減性即可求解．【詳解】解：中，A．的系數(shù)為1，，函數(shù)圖象開口向上，A錯(cuò)誤；B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，B錯(cuò)誤；C．函數(shù)圖象開口向上，有最小值為2，C錯(cuò)誤；D．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，時(shí)隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大，D正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的基本知識(shí)和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．2．（2012·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的圖象，可以判斷出一次函數(shù)和二次函數(shù)中a、c的正負(fù)情況，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．【詳解】解：A．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項(xiàng)A不符合題意；B．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項(xiàng)B符合題意；C．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項(xiàng)C不符合題意；D．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2010·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x…013…y…131…則下列判斷中正確的是（

）A．拋物線開口向上B．拋物線與y軸交于負(fù)半軸C．當(dāng)時(shí)，D．方程的正根在3與4之間【答案】D【分析】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸、開口方向，從而可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：由圖表可得，該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，有最大值，拋物線開口向下，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不合題意；當(dāng)時(shí)，，拋物線與軸的交點(diǎn)為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不合題意；和時(shí)的函數(shù)值相等，則時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不合題意；方程的正根在3與4之間，故選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．4．（2012·江蘇徐州·中考真題）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3）在所給坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將（4，3），（3，0）代入得關(guān)于b、c的方程組，解之即得．（2）求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式（或用公式法）即可求得該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．（3）描點(diǎn)作圖．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），（3，0），∴，解得．（2）∵該二次函數(shù)為．∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1），對(duì)稱軸為x=1．（3）列表如下：x···01234···y···30103···描點(diǎn)作圖如下：【題型3：二次函數(shù)的性質(zhì)】【典例3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）已知拋物線，，為該拋物線上的兩點(diǎn)，若，則的取值范圍（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】先把化成，把，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，根據(jù)，即可求出的取值范圍．【詳解】∵，當(dāng)點(diǎn)，在拋物線上，∴，，∵，∴，解得：．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)．1．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與過點(diǎn)且平行于x軸的直線相交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)C，若為直角，則【答案】/【分析】直線與軸交于點(diǎn)，如圖，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，再證明為等腰直角三角形得到，所以，然后把點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得到的值．【詳解】解：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，如圖，則，，，過點(diǎn)且平行于軸，為等腰三角形，∵軸，∴，，為等腰直角三角形，，，把代入，得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且滿足：．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值與滿足的關(guān)系式是．【答案】【分析】首先確定該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線為，結(jié)合可得，故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值為其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可獲得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值是時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)確定二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)該拋物線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)：______(寫出坐標(biāo))；(2)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，n存在最小值N．①若，求k的值；②若，結(jié)合該拋物線，直接寫出N的取值范圍．【答案】(1)(2)①2；②【分析】（1）將變形成，再令可求出的值，從而推出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①將配成頂點(diǎn)式，從而求出N與k的關(guān)系式，令n=3，求解關(guān)于k的方程即可；②將看成自變量的取值范圍，利用N與k的關(guān)系式求N的范圍即可．【詳解】（1）解：令，則∴定點(diǎn)的坐標(biāo)是故答案為：；（2）①∵當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，n存在最小值N，∴令，則解得：即k的值為2；②，，對(duì)稱軸為直線，(i)當(dāng)時(shí)，N隨著x的增大而增大，令，則，令，則∴(ii)當(dāng)時(shí)，N隨著x的增大而減小，令，則，令，則∴綜上所述：N的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，定點(diǎn)的求法，將二次函數(shù)解析式由一般式化為頂點(diǎn)式等知識(shí)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和最值的求法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇泰州·?？级＃┮阎魏瘮?shù)．(1)若該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，①求的取值范圍；②證明：．【答案】(1)；(2)①；②見解析．【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求得的值；（2）①先根據(jù)解析式確定拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，然后根據(jù)“當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小”列不等式并結(jié)合即可解答；②由“當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小”可知當(dāng)時(shí)，有最大值，然后再說明最大值小于等于零即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：二次函數(shù)過點(diǎn)，，解得：；（2）①解：，函數(shù)圖象拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，解得：，，的取值范圍；②證明：在時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最大值，即，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、配方法、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可求解，熟記：“形如（，其中、為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，原函數(shù)化為：，則不是二次函數(shù)，故不符合題意；B、，是一次函數(shù)，故不符合題意；C、是二次函數(shù)，故符合題意；D、，，分式形式，故不是二次函數(shù)，故不符合題意；故選C．2．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】解：由題意得：該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，故選：D3．把拋物線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，根據(jù)“左加右減，上加下減”進(jìn)行作答即可．【詳解】解：∵把拋物線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴∵再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，∴故選：D4．已知點(diǎn)，，三點(diǎn)都在拋物線的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較拋物線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小，關(guān)鍵是確定對(duì)稱軸，開口方向，兩點(diǎn)與對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近．先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對(duì)稱軸為y軸，然后比較三個(gè)點(diǎn)離y軸的遠(yuǎn)近得到、、的大小關(guān)系．【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸，，，，∴點(diǎn)C離y軸最遠(yuǎn)，點(diǎn)B離y軸最近，∵拋物線開口向上，．故選：B．5．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；④點(diǎn)、是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，若且，則．其中正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，函數(shù)圖像與參數(shù)的關(guān)系，由拋物線開口方向可判斷a的符號(hào)，由拋物線對(duì)稱軸位置判定b的符號(hào)，由拋物線與y軸交點(diǎn)可判斷c的符號(hào)，從而判斷①，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，判斷②，根據(jù)圖象判定③，根據(jù)點(diǎn)D、E的位置和到對(duì)稱軸的距離判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，與x軸交于點(diǎn)，∴與x軸另一個(gè)交點(diǎn)B坐標(biāo)為，，∴，故①正確；當(dāng)時(shí)，，∴，故②錯(cuò)誤；由圖象可得當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增小，故③錯(cuò)誤．∵若且，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∵，∴，即點(diǎn)E到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)D到對(duì)稱軸的距離，∴，故④正確．綜上所述：正確的說法有2個(gè)，故選：B．6．用配方法把二次函數(shù)寫成的形式為．【答案】【分析】本題考查了將二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，先將二次項(xiàng)系數(shù)提取因式，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行配方，即可解答．【詳解】解：，故答案為：．7．已知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而．【答案】減小【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟知開口向上的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸左側(cè)函數(shù)值y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，函數(shù)值y隨x的增大而增大是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線解析式為，，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，故答案為：減?。?．已知二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值列表如表：x…035…y…7﹣87…則拋物線的對(duì)稱軸為．【答案】【分析】由表格可得拋物線經(jīng)過即可得到拋物線的對(duì)稱軸，此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由表格可得拋物線經(jīng)過，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，故答案為：．9．下面表格是二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值，由此可以判斷方程的一個(gè)解的范圍是．01217【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)表格可知二次函數(shù)與x軸一個(gè)交點(diǎn)在直線和直線之間，則方程的一個(gè)解的范圍是．【詳解】解：由表格可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，∴二次函數(shù)與x軸一個(gè)交點(diǎn)在直線和直線之間，∴方程的一個(gè)解的范圍是，故答案為：．10．坐標(biāo)平面上有兩個(gè)二次函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)，均在軸上，且有一條水平線與兩圖象相交于，，，四點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示，若，，，則的長(zhǎng)度為．

【答案】【分析】由，，的長(zhǎng)度及拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差，再利用即可求解；【詳解】解：，，∴,∴，，，，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，利用橫坐標(biāo)的差表示特殊線段長(zhǎng)度，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解．11．若函數(shù)是二次函數(shù)．(1)求k的值．(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關(guān)于k所滿足的式子，求解即可；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，先求出二次函數(shù)解析式，然后代入求解即可．【詳解】（1）解：依題意有，解得：，∴k的值為3；（2）把代入函數(shù)解析式中得：，當(dāng)時(shí)，，∴y的值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，以及求二次函數(shù)的函數(shù)值，理解并掌握二次函數(shù)的基本定義是解題關(guān)鍵．12．二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值如表，根據(jù)下表回答問題．x…0…y…04…(1)求出該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)寫出向下平移2個(gè)單位后，圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象的平移，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．（1）將和代入，即可求解；（2）上下平移改變因變量的值：上加下減．【詳解】（1）解：將和代入得：，解得：，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：（2）解：向下平移2個(gè)單位后，二次函數(shù)得表達(dá)式為：，即：13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的表達(dá)式為．(1)當(dāng)時(shí)，求y的值．(2)將拋物線向左平移2個(gè)單位后，恰經(jīng)過點(diǎn)，求b的值．【答案】(1)0(2)0【分析】（1）把代入，即可求得；（2）根據(jù)題意原拋物線經(jīng)過，代入解析式解方程即可求得．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；即y的值為0；（2）∵將拋物線向左平移2個(gè)單位后，恰經(jīng)過點(diǎn)∴原拋物線經(jīng)過，把代入解析式可得：，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．

(1)分別寫出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)：A______，B______，C______；(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖像示意圖；(3)任寫出兩條該函數(shù)圖像具備的特征：①______；②______．【答案】(1)，，(2)見解析(3)①開口向上；②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大（答案不唯一）【分析】（1）令，即可得到A、B的坐標(biāo)，令，即可得到C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像特點(diǎn)描點(diǎn)連線即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖像特點(diǎn)即可解答．【詳解】（1）（1）令，得，又∵A在B左側(cè)，∴，，令，得，故答案為：，，．（2）

描點(diǎn)連線得圖像如圖所示；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖像特點(diǎn)，該函數(shù)圖像開口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故答案為：①開口向上；②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．【點(diǎn)睛】本題考查了畫二次函數(shù)的圖像及判斷函數(shù)圖像具備的特征，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)及其函數(shù)圖像．15．已知二次函數(shù)部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表所示：…………(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是____________．【答案】(1)(2)畫圖見詳解(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，用描點(diǎn)法即可求解；（3）根據(jù)自變量的取值范圍，結(jié)合圖示，即可確定函數(shù)值的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，解方程得，∴二次函數(shù)解析式為．（2）解：二次函數(shù)解析式為，圖像如圖所示，函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，，與軸的交點(diǎn)是，對(duì)稱軸為，符合題意．（3）解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（2）中圖示可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖形，根據(jù)函數(shù)自變量求函數(shù)取值范圍，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．拋物線的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)；根據(jù)圖象的開口、對(duì)稱軸及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可確定答案．【詳解】解：由圖象知，拋物線開口向下，則，由拋物線對(duì)稱軸在y軸左邊，得，則，∴，故A錯(cuò)誤；∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值為正，∴，，故C正確，B錯(cuò)誤；由圖象知，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以，即，故D錯(cuò)誤；故選：C．2．二次函數(shù)圖象是拋物線，．白變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…012…y…4004…下列說法不正確的是（

）A．拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 B．拋物線的對(duì)稱軸是C．函數(shù)y的最小值為 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，配方后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，本題得以解決．【詳解】解：把代入得，，解得，，∴，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，故選項(xiàng)B說法正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)A說法正確，不符合題意；∵，拋物線開口向上，函數(shù)y有最小值為，故選項(xiàng)C說法不正確，符合題意；∵對(duì)稱軸為直線，圖象開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D說法正確，不符合題意；故選：C．3．對(duì)于拋物線，下列結(jié)論：①拋物線開口向下；②拋物線經(jīng)過點(diǎn)③拋物線的頂點(diǎn)為；④當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及二次函數(shù)的增減性．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：拋物線中，∴拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴時(shí)，隨的增大而減小，將代入可得，即拋物線經(jīng)過點(diǎn)，故③錯(cuò)誤，①②④正確．故選：B．4．二次函數(shù)其對(duì)稱軸為直線，若，為拋物線上三點(diǎn)，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先根據(jù)對(duì)稱軸為判斷拋物線的開口方向，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解即可，解決問題的關(guān)鍵在于掌握二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，開口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)隨的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)隨的增大而增大；點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越大，函數(shù)值越大；當(dāng)時(shí)，開口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)隨的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)隨的增大而減??；點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越大，函數(shù)值越?。驹斀狻拷猓骸邔?duì)稱軸為，∴，∴，∴拋物線開口向上，則當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，又∵，∴，∵當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，∴，故選：A．5．二次函數(shù)的圖像如圖所示，對(duì)稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③；④（為實(shí)數(shù)）．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與其系數(shù)間的關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)該二次函數(shù)圖像的開口方向、對(duì)稱軸以及與軸交點(diǎn)位置分析的符號(hào)，即可判斷結(jié)論①；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，，即可判斷結(jié)論②；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，，即可判斷結(jié)論③結(jié)合當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)取最小值，易知（為實(shí)數(shù)），即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：根據(jù)題意，該函數(shù)圖像開口向上，∴，∵對(duì)稱軸是直線，∴，∴，∵該函數(shù)圖像與軸交于負(fù)半軸，∴當(dāng)時(shí)，可有，∴，故結(jié)論①不正確；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，，∴，故結(jié)論②正確；由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，∴，故結(jié)論③正確；∵當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)取最小值，∴（為實(shí)數(shù)），即（為實(shí)數(shù)）．綜上所述，結(jié)論正確的有②③④，合計(jì)3個(gè)．故選：C．6．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，則．【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，首先要理解題意，，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，對(duì)稱軸是兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均數(shù)，再利用對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性求解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，∴由，得拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，故答案為：．7．如圖是二次函數(shù)的部分圖像，由圖像可知方程的一個(gè)解是，那么它的另一個(gè)解是．【答案】【分析】本題考查利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解方程，涉及二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、圖像法解一元二次方程等知識(shí)，由圖知拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，求出對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性即可得到另一個(gè)交點(diǎn)，從而得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)的部分圖像可知其對(duì)稱軸為，且方程的一個(gè)解是，即拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，由二次函數(shù)對(duì)稱性知二次函數(shù)圖像與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即方程的另一個(gè)解是，故答案為：．8．二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列說法：；；；；當(dāng)時(shí)，．其中正確的序號(hào)是．

【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)圖象的開口可確定，再結(jié)合對(duì)稱軸，可確定，根據(jù)圖象與軸的交點(diǎn)位置，可確定，根據(jù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可確定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、以及二次函數(shù)的圖象的特點(diǎn)．【詳解】解：∵圖象開口向下，∴，∵，∴，∴，，∵拋物線交軸正半軸，∴，∴，故正確；∵當(dāng)時(shí)，，∴，故正確；∵圖象和軸交于兩點(diǎn)，∴，故正確；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，故正確；所以正確的序號(hào)是，故答案為：．9．已知點(diǎn)，，，在二次函數(shù)的圖象上，且C為拋物線的頂點(diǎn)．（1）若，則的值是．（2）若，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)可得拋物線開口向上，由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸，求出點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)m的值，結(jié)合拋物線開口方向求解．解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．【詳解】解：（1）拋物線對(duì)稱軸為直線，，，，，故答案為：；（2）點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，當(dāng)點(diǎn)，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，，解得，，，故答案為：．10．已知：如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】先求得的坐標(biāo)，勾股定理求得的長(zhǎng)，設(shè)拋物線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，則取得最小值，即可求解．【詳解】解：如圖所示，拋物線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，由當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，則取得最小值，∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了的拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，中位線的性質(zhì)，一點(diǎn)到圓的距離最值問題，得出當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，則取得最小值是解題的關(guān)鍵．11．已知二次函數(shù)拋物線經(jīng)過，．(1)求拋物線的表達(dá)式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像；(2)根據(jù)圖像，直接寫出：①當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍．【答案】(1)，見解析(2)①②【分析】(1)把坐標(biāo)代入解析式轉(zhuǎn)化方程組計(jì)算即可．(2)①計(jì)算拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意計(jì)算即可．②利用數(shù)形結(jié)合思想計(jì)算即可．熟練掌握拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵二次函數(shù)拋物線經(jīng)過，．∴解得，故拋物線的解析式為．畫圖像如下：．（2）①根據(jù)題意，得，解得，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量的取值范圍是．②∵，∴對(duì)稱軸為直線，∴在自變量范圍內(nèi)，∴函數(shù)值的最大值為；∵拋物線開口向下，∴距離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大，∵，∴，函數(shù)值最小，，故函數(shù)值的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，函數(shù)的增減性，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求該二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握求二次函數(shù)解析式的方法是解題關(guān)鍵．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，然后把點(diǎn)代入，求解即可獲得答案．【詳解】解：由題意可知，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入，可得，解得，故該二次函數(shù)的解析式為，即．13．已知拋物線的頂點(diǎn)，且過，與x軸交于B，C兩點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求的面積．【答案】(1)(2)8【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為，把代入解得：，即可得出拋物線函數(shù)表達(dá)式；（2）先求出點(diǎn)B和按C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為，把代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：把代入得：，解得：，∴，∴，∴．14．我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫作“華為”函數(shù)．如圖，小麗同學(xué)畫出了“華為”函數(shù)的圖像，根據(jù)該圖像解答下列問題：(1)求該函數(shù)圖像與軸和軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)函數(shù)值隨值的增大而減小時(shí)，求自變量的取值范圍．【答案】(1)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(2)或【分析】（1）分別令和，然后求解，即可獲得答案；（2）首先確定該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，然后結(jié)合圖像，即可獲得答案．【詳解】（1）解：令，即，可得，∴，解得，，∴函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，令，則，∴函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）該圖像具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線，函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，觀察圖像可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值隨值的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)、二次函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)、解一元二方程、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．15．【概念理解】對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量的一個(gè)值，當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)是，它的相關(guān)函數(shù)為．【嘗試解決】已知二次函數(shù)，請(qǐng)回答下列問題：（1）這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為；（2）當(dāng)在這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上時(shí)，求的值；【靈活應(yīng)用】（3）當(dāng)時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最小值是_________；（4）當(dāng)直線與該二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像只有二個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是_______．（直接寫出答案）【答案】（1），；（2）的值為，或；（3）；（4）【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，涉及新定義函數(shù)、已知函數(shù)值求自變量、函數(shù)作圖、函數(shù)圖像平移、函數(shù)最值及函數(shù)圖像的交點(diǎn)等知識(shí)，讀懂題意，理解相關(guān)函數(shù)定義并利用數(shù)形結(jié)合求解是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)相關(guān)函數(shù)定義直接求解即可；（2）由（1）中所求函數(shù)表達(dá)式，令求解即可；（3）作出相關(guān)函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可得到最值；（4）作出相關(guān)函數(shù)圖像，再由函數(shù)圖像平移，數(shù)形結(jié)合即可得到范圍．【詳解】（1）已知二次函數(shù)，由相關(guān)函數(shù)定義可知，當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，可得；當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，可得，，故答案為：；；（2）由（1）知的相關(guān)函數(shù)為，當(dāng)在這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上時(shí)，分兩種情況：當(dāng)在時(shí)，，解得或，由得；當(dāng)在時(shí)，，解得或，由得或；綜上所述，的值為，或；【靈活應(yīng)用】（3）在平面直角坐標(biāo)系中作出圖像，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最小值是當(dāng)時(shí)，，故答案為：；（4）直線與平行，由（3）中圖像，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出，如圖所示：

當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，與相關(guān)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，往上平移有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，與相關(guān)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，網(wǎng)上平移有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；綜上所述，，故答案為：．1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)，，滿足，，則代數(shù)式的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組，解得，設(shè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：設(shè)∴∵∴有最大值，最大值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移“左加右減，上加下減”可進(jìn)行求解．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對(duì)稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯(cuò)誤；②正確；∵拋物線對(duì)稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，若線段在邊上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】過點(diǎn)C作，過點(diǎn)B作，需使最小，顯然要使得和越小越好，則點(diǎn)F在線段的之間，設(shè)，則，求得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：過點(diǎn)C作，

∵，，∴，過點(diǎn)B作，∵，∴四邊形是矩形，∴，需使最小，顯然要使得和越小越好，∴顯然點(diǎn)F在線段的之間，設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)取得最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，．動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則y與t對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分四段考慮，①點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，②點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q還未到端點(diǎn)B，③點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到達(dá)端點(diǎn)B，④點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，分別求出y與t的函數(shù)表達(dá)式，繼而可得出函數(shù)圖象．【詳解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，AP=t，AQ=t，即0，如圖，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，，則PG=(0)，此時(shí)y=AQPG=(0)，圖象是一段經(jīng)過原點(diǎn)且開口向上的拋物線；②點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q還未到端點(diǎn)B，即13，此時(shí)y=AQDE=(13)，圖象是一段線段；③點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q到達(dá)端點(diǎn)B，即15，此時(shí)y=ABDE=(15)，圖象是一段平行于x軸的水平線段；④點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，PB=31t，即18，如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，，則PH=，此時(shí)y=ABPH=(18)，圖象是一段線段；綜上，只有D選項(xiàng)符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與t的函數(shù)關(guān)系式，6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)在y軸右側(cè)，則n的值可以是（填一個(gè)值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、，即二元一次方程的根為、，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，一次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)在軸右側(cè)，，為異號(hào)，，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用．7．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（、為常數(shù)，）的最大值為2，寫出一組符合條件的和的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)最值公式得到，即可得到，據(jù)此寫出一組符合條件的a和c的值即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的最大值為2，∴，∴，故時(shí)，，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的最值公式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是，當(dāng)飛行時(shí)間t為s時(shí)，小球達(dá)到最高點(diǎn)．【答案】2【分析】將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，有，當(dāng)時(shí)，有最大值．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練二次函數(shù)解析式的特點(diǎn)及應(yīng)用．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為．【答案】或或【分析】先求得，，，直線解析式為，直線的解析式為，1）、當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí)，直線必過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，平分面積，必為中線，則①如圖1，直線過中點(diǎn)，②如圖2，直線過中點(diǎn)，直線解析式為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，待入直線求得；③如圖3，直線過中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與軸平行，必不成立；2）當(dāng)分成三角形和梯形時(shí)，過點(diǎn)的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因?yàn)槠椒置娣e，所以相似比為．④如圖4，直線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；⑤如圖5，直線，⑥如圖6，直線，同理可得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：由，令，解得：，令，解得：，∴，，，設(shè)直線解析式為，∴解得：∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，則直線與y軸交于，∵，∴，∴點(diǎn)必在內(nèi)部．1）、當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí)，直線必過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，平分面積，必為中線設(shè)直線的解析式為∴解得：則直線的解析式為①如圖1，直線過中點(diǎn)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線求得，不成立；

②如圖2，直線過中點(diǎn)，直線解析式為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，待入直線求得；③如圖3，直線過中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與軸平行，必不成立；2）、當(dāng)分成三角形和梯形時(shí)，過點(diǎn)的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因?yàn)槠椒置娣e，所以相似比為．④如圖4，直線，∴∴，∴，解得；

⑤如圖5，直線，，則∴，又，∴，∵，∴不成立；⑥如圖6，直線，同理可得，∴，，，∴，解得；綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)，并分類討論是解題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C為y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線與二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且，P為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：．【答案】【分析】過點(diǎn)A作AN⊥y軸，過點(diǎn)B作BM垂直y軸，則BM∥AN，，設(shè)A(a，a2)，則B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，從而得P(，)，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作AN⊥y軸，過點(diǎn)B作BM垂直y軸，則BM∥AN，∴，∵，∴，設(shè)A(a，a2)，則B(3a，9a2)，設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線AB的解析式為：y=2ax+3a2，∴C(0，3a2)，∵P為的中點(diǎn)，∴P(，)，∴，即：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本特納主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）．(1)該函數(shù)圖像與軸交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)為，①則的值是_________，點(diǎn)的坐標(biāo)是_________；②當(dāng)時(shí)，借助圖像，求自變量的取值范圍；(2)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，若函數(shù)值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；(3)當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．【答案】(1)①②或(2)(3)【分析】（1）①待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②畫出函數(shù)圖像，圖像法求出的取值范圍即可；（2）求出二次函數(shù)的最小值，即可得解；（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)，），自變量的取值范圍是，得到和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，進(jìn)而求出的值，得到為的函數(shù)值，求出，推出直線過拋物線頂點(diǎn)或在拋物線的下方，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵函數(shù)圖像與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；故答案為：；②，列表如下：1345005畫出函數(shù)圖像如下：

由圖可知：當(dāng)時(shí)，或；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)，若函數(shù)值總成立，∴；（3）∵，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，又當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)，），自變量的取值范圍是，∴直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，直線在拋物線的下方，∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有最小值，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題．12．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時(shí)，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對(duì)稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時(shí)原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線為，則頂點(diǎn)為，∵頂點(diǎn)為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點(diǎn)為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，∴，∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡(jiǎn)得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當(dāng)p=3時(shí)，，當(dāng)p=時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點(diǎn)，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時(shí)，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線