1.4用一元二次方程解決問題（二）

1.4用一元二次方程解決問題（二）【推本溯源】1.解決應(yīng)用題的一般步驟：步驟內(nèi)容摘要注意事項1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等等量關(guān)系往往體現(xiàn)在關(guān)鍵詞句中2.設(shè)設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量一般要帶單位3.列根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程方程兩邊單位要統(tǒng)一4.解解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗方程的解能否保證實際問題有意義一般兩個根中只有一個符合實際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位2.解下列應(yīng)用（1）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護局協(xié)同自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費＋污水處理費）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應(yīng)交水費多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；月份用水量（噸）交水費總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．解：（1）3月份應(yīng)交水費10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；由題意得：5a（7﹣a）+10＝70，解得：a＝3或a＝45a（5﹣a）+10＝40解得：a＝3或a＝2，綜上，規(guī)定用水量為3噸．則規(guī)定用水量a的值為3．圖表信息問題①明確該題實質(zhì)是分段計費問題；②能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)判斷出A的范圍；③能通過觀察表格中每個月交費總額的數(shù)據(jù)，判斷出該月的計費方法。（2）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是（m/s），那么從剎車到停車所用的時間是s；（2）從剎車到停車車速的減少值是200＝20，從剎車到停車每秒平均車速減少值是m/s；（3）設(shè)剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（208x）m/s，則這段路程內(nèi)的平均車速為，所以x（204x）＝15，整理得：4x220x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：剎車后汽車行駛到15m時約用0.9s．行程問題在數(shù)學(xué)中存在著一類應(yīng)用題,其研究的對象是路程、速度、時間及這三者之間的關(guān)系,這類問題統(tǒng)稱為行程問題.上述三個量就是行程問題的三個基本量,而這三個量之間的關(guān)系路程=時間x速度;時間=路程÷速度;速度=路程÷時間。在相遇問題里的關(guān)系式變?yōu)椋合嘤鰰r間=總路程÷(甲的速度+乙的速度);追及問題的類型主要有求追及時間、求速度、求路程等幾種情況,解決問題的關(guān)鍵也是根據(jù)基本的數(shù)量關(guān)系解訣,即追及時間=路程差÷速度差;速度差=路程差÷追及時間;路程差=追及時間x速度差總路程=(甲的速度+乙的速度)x相遇時間流水行船問題順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度水流速度靜水速度=順?biāo)俣人魉俣?逆水速度+水流速度=；水流速度=順?biāo)俣褥o水速度=靜水速度逆水速度=。（3）在今年月號的學(xué)雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團員去參加美化校園活動，如果八年級共青團員單獨做小時，九年級共青團員再單獨做小時，那么恰好能完成全部任務(wù)的；如果九年級共青團員先做小時，剩下的由八年級共青團員單獨完成，那么八年級共青團員所用時間恰好比九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間多小時，求八九年級共青團員單獨完成美化校園活動分別各需多少小時．解：設(shè)九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，則八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，依題意得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合題意，∴，∴八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時，九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為小時．工程問題工程問題是指兩個或兩個以上對象合作完成一項工程或工作,有時還將內(nèi)容延伸到相遇問題或和倍問題.解答工程問題時,經(jīng)常把總工作量看作"1",若這項工程甲單獨做需要a天,則甲的工作效率為.可見,工作效率就是工作時問的倒數(shù)。工程問題的基本關(guān)系式為：工作效率×工作時間=工作量（4）等腰中，，動點從點出發(fā)，沿向點移動，通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于．解：設(shè)，則，由題意可知和均為等腰直角三角形，的面積等于，依題意可得，解得：，即長為．故長為時，平行四邊形的面積等于．動態(tài)幾何問題以“靜”制“動”求解：①分析出動點的運行軌跡，用含有未知數(shù)的代數(shù)式把相應(yīng)的線段表示出來是解決這類問題的關(guān)鍵；②結(jié)合題意，用“靜”的方法來處理“動”的問題，本題中的“靜”是指在某一時刻兩個三角形面積之間的關(guān)系?！窘饣蟆坷?：根據(jù)下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，找出代數(shù)式從變?yōu)闀r的取值范圍即可判斷【詳解】時，，時，，則的解的范圍為，即一元二次方程的解大概是4.5．故選D．【點睛】本題考查了估算一元二次方程的解的近似值，根據(jù)表格獲得信息是解題的關(guān)鍵．例2：《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），∴．故乙走的步數(shù)是．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例3：如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以/s的速度移動，點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，如果點，分別從，兩點同時出發(fā)，那么經(jīng)過___后，，兩點間的距離為．

【答案】/0.4【分析】如圖，設(shè)t秒后，，則，，在中，運用勾股定理構(gòu)建方程求解．【詳解】如圖，設(shè)t秒后，，則，中，∴，解得或，∵點Q在上運動，∴舍去故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用；用代數(shù)式表示線段長，利用勾股定理構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．例4：如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．（1）當(dāng)時，請直接寫出的值；（2）當(dāng)時，求的值．【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根據(jù)題中計算圖可得：，由，代入化簡可得：，求解方程，然后代入即可得．【詳解】解：（1）由題意可得：，，則或，解得或；（2）由題意得：，，，整理得：，∴，則或，解得或，或．【點睛】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確理解題意得出與之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．例5：某市為鼓勵居民節(jié)約用水，對居民用水實行階梯收費，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應(yīng)繳納水費多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況：月份用水量（噸）交水費總金額（元）4186252486根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值【答案】（1）；（2）10【分析】（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，然后根據(jù)“用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費”，即可求解；（2）若，可得，從而得到，再由“用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費”，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，元；（2）若，有，解得：，即，不合題意，舍去，∴，根據(jù)題意得：，解得：（舍去），答：規(guī)定用水量a的值為10噸．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．【答案】【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出值，將其正值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，則依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），，即甲走的步數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點P從A點出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點Q從B點出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）______________；（2）如果P、Q兩點同時出發(fā)，問：經(jīng)過____________秒后的面積等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（2）過點Q作于點E，則，當(dāng)運動時間為t秒時，，，，，根據(jù)的面積等于，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：過點Q作于點E，則，如圖所示，當(dāng)運動時間為t秒時，，，，，依題意得：．當(dāng)時，，解得：，；當(dāng)時，，解得：（不符合題意，舍去），．∴經(jīng)過1或7或秒后，的面積等于．故答案為：1或7或．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）一個小球以速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止?jié)L動．小球滾動約用了________秒（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）【答案】1.2．【分析】利用等量關(guān)系：速度時間=路程，時間為，根據(jù)題意列出方程：求解即可．【詳解】由題意得：小球的平均滾動速度是，設(shè)小球滾動5時約用了，由題意得：，整理得：，解得：，∵，∴，故小球滾動用了1.2秒．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，重點在于求出平均每秒小球的運動減少的速度，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·八年級課時練習(xí)）某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過度，那么這個月這戶居民只交10元電費；如果超過度，這個月除了交10元電費外，超過部分按每度元交費．(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規(guī)定，試寫出超過部分應(yīng)交的電費．（用含的代數(shù)式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據(jù)其中的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的度是多少．月份用電量/度交電費總數(shù)/元2月80253月4510【答案】(1)x（90－x）元(2)50度【分析】（1）根據(jù)題意可得用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，再由超過部分按每度元交電費，即可求解；（2）根據(jù)題意可得2月份用電量超過x度，列出方程，再由3月份用電45度只交電費10元，可得x≥45，即可求解．【詳解】（1）解：∵規(guī)定用電x度，∴用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，∵超過部分按每度元交電費，∴超過部分應(yīng)交的電費為x（90－x）元．（2）解∶2月份用電量超過x度，依題意得x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解這個方程得x1＝30，x2＝50．根據(jù)題意得：3月份用電45度只交電費10元，∴電廠規(guī)定的x≥45，∴x1＝30不合題意，舍去．∴x＝50．答：電廠規(guī)定的x度為50度．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數(shù)．(1)若圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個最小數(shù)．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）設(shè)圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，根據(jù)日歷上兩個數(shù)之間的關(guān)系可得答案；（2）根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為105，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為故答案為：（2）設(shè)四個數(shù)中，最小數(shù)為，根據(jù)題意，得.解得（不符合題意負值舍去）答：這個最小值為9.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知等腰三角形，，，點從點出發(fā)，沿的方向以的速度向終點運動，同時點從點出發(fā)，沿的方向以的速度向終點運動，當(dāng)點運動到點時，兩點均停止運動，運動時間記為秒，請解決下列問題：(1)若點在邊上，當(dāng)為何值時，？(2)是否存在這樣的值，使的面積為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，當(dāng)時(2)存在；當(dāng)或時，的面積為【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出的長度，再設(shè)經(jīng)過秒，是直角三角形，此時，，當(dāng)，，解方程即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒，的面積為，連接，作于，分類討論點在邊上和點在邊上，，即可求解．【詳解】（1）解：過點作，如圖所示：∵等腰三角形，，，∴，∴，∴，設(shè)經(jīng)過秒，是直角三角形，則，，當(dāng)時，如圖所示：∴，∴，解得：，若點在邊上，當(dāng)時（2）存在，理由如下：當(dāng)點在邊上，連接，過點作于，如圖所示：設(shè)經(jīng)過秒，的面積為，則，，∴，∴，∴，解得：，（舍），當(dāng)點在邊上，連接，，作于，如圖所示：設(shè)經(jīng)過秒，的面積為，則，，∴，∴，∴，解得：，（舍去），∴當(dāng)或時，的面積為．【點睛】本題考查了一元二次方程、一元一次方程的應(yīng)用和三角形與動點問題的綜合，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形中，，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動（點P停止移動時，點Q也停止移動）．設(shè)移動時間為t（s）．連接，．(1)用含t的式子表示線段的長：__________；__________．(2)當(dāng)t為何值時，P、Q兩點間的距離為？(3)當(dāng)t為何值時，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請說明理由．【答案】(1)，(2)、出發(fā)0.6和5.4秒時，，間的距離是(3)、出發(fā)3秒時四邊形為矩形【分析】（1）根據(jù)題意可直接進行求解；（2）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過作于，如果設(shè)出發(fā)秒后，．那么可根據(jù)路程速度時間，用未知數(shù)表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知數(shù)的值．（3）利用矩形的性質(zhì)得出當(dāng)時，四邊形為矩形求出即可【詳解】（1）解：由題意得：，∵，∴；故答案為，；（2）解：設(shè)出發(fā)秒后、兩點間的距離是．則，，作于，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，由勾股定理得：，解得：或，答：、出發(fā)0.6和5.4秒時，，間的距離是；（3）解：四邊形的形狀有可能為矩形；理由如下：當(dāng)四邊形為矩形，則，即，解得：．答：當(dāng)、出發(fā)3秒時四邊形為矩形．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理及矩形的性質(zhì)，本題結(jié)合幾何知識并根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·陜西西安·九年級?？计谥校┤鐖D，已知A、B、C、D為矩形的四個頂點，，，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動．問：(1)P、Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，四邊形的面積為？(2)幾秒時點P點Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點間距離何時最??？【答案】(1)5秒(2)秒或秒(3)秒【分析】（1）表示出和，利用梯形的面積公式結(jié)合四邊形的面積為，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）過作于，如果設(shè)出發(fā)秒后，厘米．那么可根據(jù)路程速度時間，用未知數(shù)表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知數(shù)的值．（3）在直角三角形中，為0時，就最小，那么可根據(jù)這個條件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此時時間的值．【詳解】（1）解：當(dāng)運動時間為t秒時，，，依題意，得：，解得：．答：P，Q兩點從出發(fā)開始到5秒時，四邊形的面積為．（2）設(shè)出發(fā)秒后、兩點間的距離是10厘米．則，．作于，則，，解得：或，∴、出發(fā)或秒時，，間的距離是10厘米；（3），當(dāng)時，即時，最?。军c睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題結(jié)合幾何知識并根據(jù)題意列出方程，然后求解．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）疫情期間，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學(xué)以來，我校很多老師在繁重的課務(wù)之余承擔(dān)起了核酸檢測的任務(wù)，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個熟能生巧的現(xiàn)象，當(dāng)每位大白檢測人數(shù)是人時，每位同學(xué)人均檢測時間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設(shè)人均少耗時秒）．(1)補全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時完成了檢測任務(wù)，那么他今日檢測總?cè)藬?shù)為多少人？【答案】(1)40，，29，26(2)他今日檢測總?cè)藬?shù)為人【分析】（1）設(shè)檢測人數(shù)為y，人均檢測時間為t（秒），由題意可得出y、t與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可補全表格；（2）根據(jù)人均檢測時間×檢測人數(shù)＝總檢測時間，可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)檢測人數(shù)為，人均檢測時間為秒，由題意得：、，補全表格如下：檢測人數(shù)人人均檢測時間秒（2）解：由題意得，，解得，，當(dāng)時，檢測總?cè)藬?shù)為人，每位大白的檢測人數(shù)不超過人，不符合題意，舍去，當(dāng)時，檢測總?cè)藬?shù)為人，答：他今日檢測總?cè)藬?shù)為人．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【知不足】1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明．我國古代三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構(gòu)造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據(jù)此易得．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在下面三個構(gòu)圖中選擇能夠說明方程的正確構(gòu)圖是（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計正確的構(gòu)圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．【答案】（1）②；（2）．【分析】（1）仿照案例構(gòu)造圖形，即可判斷正確構(gòu)圖；（2）仿照案例構(gòu)造圖形即可求得x的值．【詳解】解：（1）應(yīng)構(gòu)造面積是的大正方形，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形的面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．故正確構(gòu)圖的是②．故答案為：②；（2）首先構(gòu)造了如圖2所示的圖形．圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進一步可知大正方形的邊長為8，所以，得．【點睛】本題是材料閱讀題，考查了構(gòu)造圖形解一元二次方程，關(guān)鍵是讀懂材料中提供的構(gòu)圖方法，并能正確構(gòu)圖解一元二次方程．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．2．（2022春·八年級單元測試）如圖，正方形的邊長為，動點從點出發(fā)，以的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)，以的速度沿方向向點運動，若，兩點同時出發(fā)，運動時間為．(1)連接，，，當(dāng)為何值時，面積為？(2)當(dāng)點在上運動時，是否存在這樣的的值，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)秒或秒(2)存在，秒或秒【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和面積公式，利用割補法即可求解；（2）根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)得出一元二次方程，分情況討論以為腰的等腰三角形即可說明．【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)點在上時，此時，根據(jù)題意，得：，，，，，∵面積為，∴，∴，整理，得：，解得：．如圖，當(dāng)點在上時，此時，∴，∴，解得：，∴當(dāng)為秒或秒時，面積為．（2）存在．如圖，當(dāng)點在上時，①當(dāng)時，可得：，解得：，（不合題意，舍去），②當(dāng)時，可得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去），如圖，當(dāng)點在上時，此時，可知：，，，∴不存在以為腰的等腰．∴當(dāng)為秒或秒時，是以為腰的等腰三角形．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，割補法求面積．解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用．3．（2023春·八年級單元測試）等邊，邊長為，點P從點C出發(fā)以向點B運動，同時點Q以向點A運動，當(dāng)一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時的時間；(2)的面積能否為，若存在求時間，若不存在請說明理由．【答案】(1)或者(2)存在，2【分析】（1）根據(jù)題意有，，即，即可得，分當(dāng)為直角三角形,且時和當(dāng)為直角三角形,且時，兩種情況討論，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）過Q點作于點M，先求出，即有，進而有，即，令，可得，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意有，，即，∵，∴，當(dāng)為直角三角形,且時，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；當(dāng)為直角三角形,且時，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；即t的值為或者；（2）存在，理由如下：過Q點作于點M，如圖，

∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，令，∴，整理得：，解得：，或者，∵，∴，即t的值為2．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識，明確題意，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)正確列式，是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)校考期中）在中，，動點M、N分別從點A和點C同時開始移動，點M的速度為/秒，點N的速度為/秒，點M移動到點C后停止，點N移動到點B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【答案】2秒【分析】設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，則，據(jù)此利用三角形面積公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，由題意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：經(jīng)過2秒，的面積為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，矩形中，，，點從開始沿邊向點以厘米/秒的速度移動，點從點開始沿邊向點以厘米/秒的速度移動，如果、分別是從同時出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最??？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒時，五邊形的面積最小，最小值是63平方厘米【分析】（1）設(shè)運動時間為，則，，再由面積公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時，面積為9，則此時五邊形的面積最小，從而可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)運動時間為，則，，則，解得：或．∴經(jīng)過2秒或4秒時，的面積等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時，面積為9，則此時五邊形的面積最小，最小值為．【點睛】本題主要考查動點問題，一元二次方程的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，熟練的解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？【答案】(1)7分鐘(2)15分鐘【分析】（1）根據(jù)題意先設(shè)n分鐘后第1次相遇，利用數(shù)列求和知識得到關(guān)于n的方程，解此方程即可得甲、乙開始運動后幾分鐘相遇；（2）先設(shè)n分鐘后第2次相遇，依路程關(guān)系得到一個關(guān)于n的方程，解方程即得第2次相遇是在開始后多少分鐘．【詳解】（1）解：設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意，有+5n＝70，整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合題意，舍去）第1次相遇是在開始后7分鐘．答：甲、乙開始運動后7分鐘第一次同時到達同一位置；（2）解：設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意，有5n＝3×70，整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合題意，舍去）故第2次相遇是在開始后15分鐘．答：開始運動后15分鐘第二次同時到達同一位置．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）勻變速直線運動中，每個時間段內(nèi)的平均速度（初始速度與末速度的算術(shù)平均數(shù)）與路程，時間的關(guān)系為．現(xiàn)有一個小球以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動約用了多少秒（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)小球的滾動速度平均每秒減少(2)小球滾動約用了秒【分析】（1）根據(jù)以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運動列式計算即可；（2）設(shè)小球滾動約用了秒，由時間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：小球的滾動速度平均每秒減少，答：小球的滾動速度平均每秒減少．（2）解：設(shè)小球滾動約用了秒，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時，，不符題意，舍去，，答：小球滾動約用了秒．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）全球疫情爆發(fā)時，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個，該工廠引進了多少條生產(chǎn)線？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根據(jù)題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，得該工廠最大產(chǎn)能是：個/天故答案為：；（2）根據(jù)題意，得：或∴即該工廠引進了12或36條生產(chǎn)線．【點睛】本題考查了一元二次方程、代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．9．（2023·重慶·模擬預(yù)測）某工程隊采用A、B兩種設(shè)備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．【答案】(1)A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米(2)18【分析】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根據(jù)A型設(shè)備鋪的路+B型設(shè)備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．【詳解】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面x米，則A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，由題意得，解得，米，所以A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米；（2）根據(jù)題意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．【一覽眾山小】1．（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在直角梯形中，，．動點P從點D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個單位的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，沿射線的方向以每秒1個單位的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當(dāng)點P運動到點A時，點Q隨之停止運動．設(shè)運動的時間為t（秒），當(dāng)t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

【答案】或【詳解】以B，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形有三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．【分析】解：如圖1，當(dāng)時，過點P作于E，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．解得：；

如圖2，當(dāng)時，過點Q作于E，同理可證四邊形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理，得，∴，解得：；

如圖3，當(dāng)時，過點P作于E，同理可證明四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故方程無解．綜上所述，或時，以B，P，Q三點為頂點的三角形為等腰三角形．

【點睛】本題考查了勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵．2．（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為，則小明的速度為，依據(jù)題意列方程得，，，，經(jīng)檢驗，是原式方程的解．．小紅的速度為，小明的速度為．故答案為：；．（2）解：小明的速度為，小明從A地道B地需要的時間為：．小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，．設(shè)B地到C地的距離為，依據(jù)題意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要時間為：．故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時間．3．（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃榍袑嵧七M廣大青少年學(xué)生走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運動．學(xué)生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，既是所列分式方程的解也符合題意，則，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：小明從地到地鍛煉共用70分鐘．【點睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．4．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時，平均速度，距離）(1)當(dāng)時，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見解析【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過點利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點代入得，，解得，∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：對于球來說，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開始計算，因為球在草地上滾動時，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，，又開始下一個循環(huán)，故第四次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，故第五次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，故第六次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，故第七次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，∵，，∴帶球走過200米，在第七次踢球時實現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護人員到一個大型小區(qū)設(shè)置了、兩個采樣點進行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點平均每人采樣720份，點平均每人采樣700份．(1)求、兩點各有多少名醫(yī)護人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護人員前往這個小區(qū)進行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個商戶也納入這個小區(qū)采樣范圍，同時重新規(guī)劃，決定從點抽調(diào)部分醫(yī)護人員到點經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點每減少1名醫(yī)護人員，人均采樣量增加10份，點人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點抽調(diào)了多少名醫(yī)護人員到點？【答案】(1)A檢測隊有6人，B檢測隊有7人(2)從B檢測隊中抽調(diào)了2人到A檢測隊【分析】（1）設(shè)A點有x名醫(yī)護人員，B點有y名醫(yī)護人員，根據(jù)“A、B兩個采樣點共13名醫(yī)護人員，且當(dāng)天共采樣9220份”，即可得出關(guān)于x，y的且當(dāng)天共采樣9220份，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)從B點抽調(diào)了m名醫(yī)護人員到A點，則B點平均每人采樣份,根據(jù)重新規(guī)劃后當(dāng)天共采樣9360份，即可得出關(guān)于m的一元_二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)A檢測隊有人，B檢測隊有人，依題意得：，分解得：答：A檢測隊有6人，B檢測隊有7人；（2）解：設(shè)從B檢測隊中抽調(diào)了人到A檢測隊，則B檢測隊人均采樣人，依題意得：，解得：，解得：，，由于從B對抽調(diào)部分人到A檢測隊，則故，答：從B檢測隊中抽調(diào)了2人到A檢測隊．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．6．（2023秋·重慶合川·九年級統(tǒng)考期末）2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補種綠化樹，計劃購買小葉榕和香樟共50棵進行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)測算，購買兩種樹共需38800元．(1)原計劃購買小葉榕、香樟各多少棵？(2)實際購買時，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價均下降元（），且兩種樹的售價每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計劃的基礎(chǔ)上多購買小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實際購買的費用比原計劃多3600元，求物業(yè)管理公司實際購買兩種樹共多少棵？【答案】(1)原計劃購買小葉榕35棵、香樟15棵(2)物業(yè)管理公司實際購買兩種樹共56棵【分析】（1）設(shè)原計劃購買小葉榕棵，則購買香樟棵，根據(jù)題意列出方程即可得出答案．（2）根據(jù)給出的條件先列出小葉榕與香樟的單價表達式分別為元每棵，元每棵，再列出實際購買棵樹的表達式，得到方程式求出滿足條件的值，即可得出答案．【詳解】（1）設(shè)原計劃購買小葉榕棵，則購買香樟棵，根據(jù)題意，可得，解得，．答：原計劃購買小葉榕35棵、香樟15棵．（2）根據(jù)題意，可得，整理得，，解得：，，∵，∴，∴購買了39棵小葉榕，17棵香樟，答：物業(yè)管理公司實際購買兩種樹共56棵．【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應(yīng)用和一元二次方程應(yīng)用的問題，熟練掌握題中的等量關(guān)系列出正確的方程解決本題的關(guān)鍵．7．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中?？计谥校┘?、乙兩工程隊合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計劃32小時完成．甲工程隊每小時修路里程比乙工程隊的2倍多30米，剛好按時完成任務(wù)．(1)求甲工程隊每小時修的路面長度；(2)通過勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實際施工中，乙工程隊修路效率保持不變的情況下，時間比原計劃增加了()小時；甲工程隊的修路速度比原計劃每小時下降了米，而修路時間比原計劃增加m小時，求m的值．【答案】(1)甲工程隊每小時鋪設(shè)的路面長度為110米(2)m的值為18【分析】（1）設(shè)乙兩工程隊每小時鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊每小時鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“甲工程隊鋪設(shè)的路面長度+乙兩工程隊鋪設(shè)的路面長度=5800”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)乙兩工程隊每小時鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊每小時鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，∴甲工程隊每小時鋪設(shè)的路面長度為110米；（2）解：根據(jù)題意得，，整理得，，解得：（舍去），∴m的值為18．【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．8．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊采用A，B兩種設(shè)備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【答案】(1)型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度為90米(2)的值為10【分析】（1）設(shè)型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，答：型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度為90米；（2）根據(jù)題意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值為10．【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票【答案】(1)10%(2)2500000張【分析】（1）設(shè)平均每次累計票房增長的百分率是，利用第3次累計票房=第1次累計票房（1+平均每次累計票房增長的百分率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用數(shù)量=總結(jié)單價，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)平均每次累計票房增長的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計票房增長的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或（張）．）【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及統(tǒng)計表，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·貴州安順·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點P從點A沿向點B以的速度移動，同時點Q從點B沿邊向點C以的速度移動．當(dāng)其中一點達到終點時，另一點也隨之停止．設(shè)P，Q兩點移動的時間為，求：(1)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)當(dāng)時，是等腰三角形(2)x為1或5時，的面積為(3)x為或時，是等腰三角形【分析】（1）由題意得，得，當(dāng)為等腰三角形時，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，當(dāng)為等腰三角形時，，∴，解得：，即當(dāng)時，是等腰三角形；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當(dāng)x為1或5時，的面積為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，如圖1所示：在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴；②當(dāng)時，如圖2所示：在和中，，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴．綜上所述，當(dāng)x為或時，是等腰三角形．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的