第13課圓心角（教師版）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（浙教版）

第13課圓心角目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓的中心對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性，體驗(yàn)利用旋轉(zhuǎn)來(lái)研究圓的性質(zhì)的思想方法.2.理解圓心角的概念,并掌握?qǐng)A心角定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.3.掌握“在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等”這個(gè)圓的性質(zhì).4.會(huì)運(yùn)用關(guān)于圓心角、弧、弦、弦心距之間相互關(guān)系的定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01圓心角的概念圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．知識(shí)點(diǎn)02圓心角定理1.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，所對(duì)弦的弦心距也相等．2.圓心角定理推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，則它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等．能力拓展考點(diǎn)01圓心角的概念能力拓展【典例1】1.下列圖形中的角，是圓心角的為（）A．B．C．D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓心角的定義逐個(gè)判斷即可．【解析】解：A．頂點(diǎn)不在圓上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；B．頂點(diǎn)不在圓上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是圓心角，故本選項(xiàng)符合題意；D．頂點(diǎn)不在圓上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角，弧、弦之間的關(guān)系和圓心角的定義，能熟記圓心角的定義（頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊與圓相交的角，叫圓心角）是解此題的關(guān)鍵．2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E，則弧BD的度數(shù)為（）A．28° B．64° C．56° D．124°【思路點(diǎn)撥】先利用互余計(jì)算出∠B＝62°，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDB＝∠B＝62°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BCD，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)求解．【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度數(shù)為56°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．【即學(xué)即練1】1．下面圖形中的角是圓心角的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓心角的定義逐個(gè)判斷即可．【解析】解：A．頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；B．頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；C．頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；D．是圓心角，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角的定義，注意：頂點(diǎn)在圓心上，并且兩邊和圓相交的角，叫圓心角．2．如圖，CD是⊙O的直徑，∠EOD＝84°，AE交⊙O于點(diǎn)B，且AB＝OC，求的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】連接OB，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到∠EBO＝2∠A，則∠E＝2∠A，再利用∠EOD＝84°得到2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，接著計(jì)算出∠BOE的度數(shù)，從而得到的度數(shù)．【解析】解：連接OB，如圖，∵OB＝OC，OC＝AB，∴OB＝AB，∴∠A＝∠BOA，∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠E＝∠EBO＝2∠A，∵∠EOD＝∠E+∠A，∴2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，∴∠E＝∠EBO＝56°，∴∠BOE＝180°﹣∠E﹣∠EBO＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∴的度數(shù)為68°．故答案為：68°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．考點(diǎn)02圓心角定理【典例2】如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)，D、E分別是OA、OB上的點(diǎn)，且AD＝BE，弦CM、CN分別過(guò)點(diǎn)D、E．（1）求證：CD＝CE．（2）求證：＝．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，只要證明△COD≌△COE（SAS）即可解決問(wèn)題；（2）欲證明＝，只要證明∠MOD＝∠NOE即可；【解析】（1）證明：連接OC．∵＝，∴∠COD＝∠COE，∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．（2）分別連接OM，ON，∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，∴∠OMD＝∠ONE，∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，∴∠MOD＝∠NOE，∴＝．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．【即學(xué)即練2】如圖所示，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，AB＝CD，連接AD，BC，求證：（1）＝；（2）AE＝CE．【思路點(diǎn)撥】（1）由AB＝CD，推出＝，推出＝．（2）證明△ADE≌△CBE可得結(jié)論．【解析】證明：（1）∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）∵＝，∴AD＝BC，∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝EC．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，在⊙O中，＝，∠1＝45°，則∠2＝（）A．60° B．30° C．45° D．40°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等即可得到結(jié)論．【解析】解：∵＝，∴∠2＝∠1＝45°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C、D為的三等分點(diǎn)，若∠COD＝50°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．50° D．60°【思路點(diǎn)撥】求出∠AOE，可得結(jié)論．【解析】解：∵點(diǎn)C、D為的三等分點(diǎn)，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝150°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．3．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①半圓是弧；②面積相等的兩個(gè)圓是等圓；③所對(duì)的弦長(zhǎng)相等的兩條弧是等弧；④如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等；⑤等弧所對(duì)的圓心角相等A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)半圓，等圓，等弧等知識(shí)一一判斷即可．【解析】解：①半圓是弧，正確；②面積相等的兩個(gè)圓是等圓，正確，③所對(duì)的弦長(zhǎng)相等的兩條弧是等弧，錯(cuò)誤，可能一條是優(yōu)弧，一條是劣?、苋绻麍A心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等，錯(cuò)誤，應(yīng)該同圓或等圓中．⑤等弧所對(duì)的圓心角相等，正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，半圓，等圓，等弧等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在兩個(gè)同心圓中，為60°，則的度數(shù)為60°．【思路點(diǎn)撥】求出∠AOB＝60°，可得結(jié)論．【解析】解：∵的度數(shù)為60°，∴∠AOB＝60°，∴的度數(shù)為60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解圓心角的度數(shù)與所對(duì)的弧的度數(shù)相等．5．如圖，在⊙O中，＝，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正確的是①②③④（填序號(hào)）．【思路點(diǎn)撥】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系逐項(xiàng)分析即可．【解析】解：在⊙O中，＝，∴AB＝CD，故①正確；∵BC為公共弧，∴＝故④正確；∴AC＝BD，故②正確；∴∠AOC＝∠BOD，故③正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等以及推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．6．如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，要使AB＝CD，需要補(bǔ)充的條件是＝（補(bǔ)充一個(gè)即可）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理解答即可．【解析】解：當(dāng)＝時(shí)，AB＝CD，理由如下：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD，故答案為：＝．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，AB是⊙O的直徑，AC，CD，DE，EF，F(xiàn)B都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC與∠COF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】由AC＝CD＝DE＝EF＝FB，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等得到∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，而AB是⊙O的直徑，所以∠AOC＝×180°，∠COF＝×180°．【解析】解：∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，而AB是⊙O的直徑，∴∠AOB＝180°，∴∠AOC＝×180°＝36°，∴∠COF＝×180°＝108°．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．8．如圖，A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，∠1＝∠2，求證：AC＝BD．【思路點(diǎn)撥】求出∠AOC＝∠BOD，推出弧AC＝弧BD，即可得出AC＝BD．【解析】證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴弧AC＝弧BD，∴AC＝BD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，注意：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦，其中有一對(duì)相等，那么其余兩對(duì)也相等．9．如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點(diǎn)，連接BC，OC，OD，若OD∥BC，求證：D為的中點(diǎn)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出即可．【解析】證明：∵OB＝OC，∴∠B＝∠C，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，即D為的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠AOD＝∠COD是解此題的關(guān)鍵．題組B能力提升練10．圓中長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出即可．【解析】解：連接OA、OB，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，即圓中長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)為60°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能熟記等邊三角形的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵．11．如圖，A，B是⊙O上的點(diǎn)，∠AOB＝120°，C是的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（）A．25 B．25 C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等邊三角形，即可解決問(wèn)題．【解析】解：連OC，如圖，∵C是的中點(diǎn)，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，∴S四邊形AOBC＝2×＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．12．如圖，在⊙O中，如果＝2，則下列關(guān)于弦AB與弦AC之間關(guān)系正確的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【思路點(diǎn)撥】取弧AB的中點(diǎn)D，連接AD，BD，則＝2＝2，由已知條件＝2，得出＝＝，根據(jù)圓心角、弧、弦關(guān)系定理的推論得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．【解析】解：如圖，取弧AB的中點(diǎn)D，連接AD，BD，則＝2＝2，∵＝2，∴＝＝，∴AD＝BD＝AC．在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系及三角形三邊關(guān)系定理，準(zhǔn)確作出輔助線，得出AD＝BD＝AC是解題的關(guān)鍵．13．如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，若∠A＝80°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．125° B．120° C．130° D．115°【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根據(jù)心角、弧、弦的關(guān)系定理得到OD＝OE＝OF，根據(jù)角平分線的判定定理、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解析】解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，由題意得，HG＝PQ＝MN，∴OD＝OE＝OF，∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系、角平分線的判定，掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，AB，CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，∠AOC的度數(shù)70°．【思路點(diǎn)撥】連接OE，由弧CE的度數(shù)為40°，得到∠COE＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．【解析】解：連接OE，如圖，∵弧CE的度數(shù)為40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等，等腰三角形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．15．如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作弦DE，使CD＝CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是105°．【思路點(diǎn)撥】連接OD、OE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出∠AOD＝35°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解析】解：連接OD、OE，∵的度數(shù)為35°，∴∠AOD＝35°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝35°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝35°，∴∠DOE＝110°，∴∠AOE＝75°，∴∠BOE＝105°，∴的度數(shù)是105°．故答案為105°．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．16．已知如圖所示，P為直徑AB上一點(diǎn)，EF，CD為過(guò)點(diǎn)P的兩條弦，且∠DPB＝∠EPB；（1）求證：；（2）求證：CE＝DF．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)弧長(zhǎng)之間的關(guān)系，可證＝；（2）由弧CE＝弧DF推出CE＝DF．【解析】證明：（1）作ON⊥EF，OM⊥CD，∵∠DPB＝∠EPB；∴ON＝OM，∴CD＝EF，∴＝，﹣＝﹣，即．（2）證明：∵∴CE＝DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角，弧和弦之間的關(guān)系．17．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D為圓上兩點(diǎn)，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于點(diǎn)F，CE⊥AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE＝BF．【思路點(diǎn)撥】由弧CB＝弧CD，根據(jù)圓周角定理得到CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，而CF⊥AB，CE⊥AD，根據(jù)角平分線定理得到CE＝CF，于是有Rt△CED≌Rt△CFB，即可得到結(jié)論．【解析】證明：∵弧CB＝弧CD，∴CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，又∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE＝CF，∴Rt△CED≌Rt△CFB，∴DE＝BF．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了圓周角定理、角平分線定理以及三角形全等的判定與性質(zhì)．18．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．且＝．（1）求證：AE＝BF；（2）作半徑ON⊥AB于點(diǎn)M，若AB＝12，MN＝3，求OM的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OA、OB，證明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出結(jié)論；（2）連接OA，由垂徑定理得出AM＝AB＝6，設(shè)OM＝x，則OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）證明：連接OA、OB，如圖1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF．（2）解：連接OA，如圖2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝6，設(shè)OM＝x，則OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，解得：x＝4.5，∴OM＝4.5．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．題組C培優(yōu)拔尖練19．如圖，半徑為5的⊙O中，有兩條互相垂直的弦AB、CD，垂足為點(diǎn)E，且AB＝CD＝8，則OE的長(zhǎng)為（）A．3 B． C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC，根據(jù)垂徑定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根據(jù)勾股定理求出OM和ON，證明四邊形OMEN是正方形，即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC．∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，∵OA＝OC＝5，∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，∴OM＝ON，∵AB⊥CD，∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，∴四邊形OMEN是矩形，∵OM＝ON，∴四邊形OMEN是正方形，∴OE＝OM＝3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解直角三角形，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．20．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F，若AE＝3，⊙O的直徑為15，則AC長(zhǎng)為（）A．10 B．13 C．12 D．11【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理求出DE＝EF，＝，求出＝，求出AC＝DF，求出EF的長(zhǎng)，再求出DF長(zhǎng)，即可求出答案．【解析】解：連接OF，∵DE⊥AB，AB過(guò)圓心O，∴DE＝EF，＝，∵D為弧AC的中點(diǎn)，∴＝，∴＝，∴AC＝DF，∵⊙O的直徑為15，∴OF＝OA＝，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝6，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，是中考常見題目．21．如圖，AB是圓O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在圓O上，∠MOB＝60°，N是的中點(diǎn)，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是4．【思路點(diǎn)撥】作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接NM'，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PM+PN有最小值，連接ON，OM，利用垂徑定理，求出∠M'OB＝∠MOB＝60°，進(jìn)一步求出∠NOM'＝90°，在等腰直角三角形NOM'中求出NM'的長(zhǎng)度即可．【解析】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接NM'，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PM+PN有最小值，連接ON，OM，則OB垂直平分MM'，，∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，∵N是的中點(diǎn)，∴，∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，∵AB＝8，∴ON＝OM'＝4，在等腰Rt△ONM'中，NM'＝ON＝4，∵M(jìn)P＝M'P，∴MP+NP＝M'N＝4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，軸對(duì)稱稱的性質(zhì)，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)兩點(diǎn)之間線段最短這一定理．22．如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點(diǎn)E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求證：AB＝CD；（2）如果⊙O的半徑為5，DE＝1，求AE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）欲證明AB＝CD，只需證得＝；（2）如圖，過(guò)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，作OG⊥BC于點(diǎn)G，連接OA、OC