4工程流體力學-第四章流體動力學基礎

第四章流體動力學基礎工程流體力學A第四章流體動力學基礎流體動力學——

研究流體運動要素與引起運動的動力要素力之間的關系。動量守恒動量方程質(zhì)量守恒連續(xù)方程能量守恒能量方程第四章流體動力學基礎§4-1雷諾輸運定理§4-2對控制體的流體力學積分方程§4-3微分形式的連續(xù)性方程§4-4粘性流體中的應力§4-5微分形式的動量方程控制體CV是指流場中某一確定的空間區(qū)域，控制體的邊界面稱為控制面CS，控制面上可以有質(zhì)量交換，即有流體流進或流出，因此占據(jù)控制體的流體質(zhì)點是隨時間而變化的。通常采用物理定律來描述系統(tǒng)，如動量定理：外界作用于系統(tǒng)的合力系統(tǒng)的動量

——系統(tǒng)所占的體積§4-1雷諾輸運定理由于系統(tǒng)不斷改變其位置、形狀和大小，組成系統(tǒng)的流體質(zhì)點的密度和速度隨時間改變其值，求其對時間的變化率即：如何采用歐拉變量來表示體積分的物質(zhì)導數(shù)？采用雷諾輸運定理來解決這一問題?！?-1雷諾輸運定理（續(xù)1）§4-1雷諾輸運定理（續(xù)2）系統(tǒng)分界面靜止控制體系統(tǒng)占據(jù)區(qū)域控制體CV在dt時間內(nèi)由控制面CSIII流出控制體的流體設：是流場內(nèi)定義的單位體積流體的物理分布函數(shù)，在系統(tǒng)體積內(nèi)作積分，可求出系統(tǒng)所包含的總物理量?！?-1雷諾輸運定理（續(xù)3）在dt時間內(nèi)由控制面CSI流入控制體的流體不同的物理量系統(tǒng)的總物質(zhì)根據(jù)物質(zhì)導數(shù)的定義，有：§4-1雷諾輸運定理（續(xù)4）dt

從控制面CS1流入的物理量dt

從控制面CSIII流出的物理量§4-1雷諾輸運定理（續(xù)5）時間內(nèi)經(jīng)過微元面積流入的流體體積為：

注意：在CS1上速度矢量和控制面外法線單位矢量n的夾角大于90o，因此，計算流入控制體的微元體積時，前應加負號，于是有：§4-1雷諾輸運定理（續(xù)6）同理可推得：在控制面CSIII上V和n夾角小于90o。將上面各項代入式中得：§4-1雷諾輸運定理（續(xù)7）CSI+CSIII=CS上式可寫成：——雷諾輸運定理的數(shù)學表達式，它提供了對于系統(tǒng)的物質(zhì)導數(shù)和定義在控制體上的物理量變化之間的聯(lián)系。定義在固定控制體上的變量N對時間的變化率N變量流出控制體的凈流率定義在系統(tǒng)上的變量N對時間的變化率§4-1雷諾輸運定理（續(xù)8）§4-2對控制體的流體力學積分方程一、連續(xù)方程在流場內(nèi)取一系統(tǒng)其體積為，則系統(tǒng)內(nèi)的流體質(zhì)量為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律：相對于控制體的速度CS的外法線單位矢量控制體內(nèi)流體質(zhì)量變化率流出控制體的質(zhì)量流率上述公式表示，單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量與流出控制體的流體質(zhì)量之和等于零?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)1）均質(zhì)不可壓縮流為常數(shù)，則：由于控制體的體積固定不變，所以則有：上式適用于不可壓縮流體，對定常和非定常流動均適用?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)2）對于定常流動（可壓縮或不可壓縮）密度不隨時間變化，即：則方程為：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)3）注意：流體流出控制體時，點積的夾角小于90o，它們的矢量點積為正，對應于流出面積上的積分值大于零；流體流入控制體時，矢量點積為負，對應于流入面積上的積分小于零；§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)4）nn如果流體僅在控制面的有限個區(qū)域流出或流入，則上述面積分僅需分別在這些區(qū)域進行，即：進口或出口區(qū)域的質(zhì)量流量如果流體密度和速度在進口或出口處均勻分布，且流速方向與開口面積垂直，則：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)5）例題4-1：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)6）

已知：水箱高H，橫截面積S，通道1和2的截面積和水流速度分別為S1、V1和S2、V2。設水均勻垂直流入流出通道，容器內(nèi)的水深h，水密度

w為常數(shù)，液面上為空氣，密度為

a。求：水深度h隨時間的變化率。

a§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)7）解：第一步：取控制體包圍整個水箱，除兩個通道外，控制體其余部分均無流體穿過。第二步：列出連續(xù)性方程容器內(nèi)包含兩種流體，其中空氣為可壓縮流體，所以是一個非定常流動問題，其方程為：

a§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)8）§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)9）連續(xù)方程為：第三步：分析方程并給出結論進水量大于出水量時，反之。二、動量方程在一個慣性參考坐標系中，對系統(tǒng)的動量定理可寫成：作用在系統(tǒng)上的合力包括質(zhì)量力和表面力系統(tǒng)的動量§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)10）令k=N，則有：

由于假定初始時刻控制體和系統(tǒng)重合，所以作用在系統(tǒng)上的外力也可以認為作用于控制體上，則有：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)11）

綜合上述各式，有：作用在控制體內(nèi)流體的外合力包括質(zhì)量力和表面力相對于控制體的速度該項為通過面積微元dS

的動量流率物理意義：作用在靜止控制體上的所有外力之合等于該控制體內(nèi)的流體總動量的時間變化率與通過控制面的凈動量流率之和。§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)12）在直角坐標系中的三個分量分別為：注意：速度u、v、w

可能為正也可能為負，依坐標系而定，與坐標方向一致為正，反之為負?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)13）例題4-2：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)14）

理想均質(zhì)不可壓縮流體的平面射流從無窮遠處流來，與無限大平板相遇后，分支流隨著遠離分支點而漸漸與平板平行流動。平板與水平面夾角為

，其它參數(shù)如圖所示。求：擋板所受作用力及流量Q1、Q2

（V1=V2=V0）第一步：分析流體的流動狀態(tài)和檔板所受的作用力。第二步：列出連續(xù)性方程由于是定常流動，且密度為常數(shù)，控制體的連續(xù)性方程為：控制面有一個進口兩個出口，其余部分無流體通過，所以方程可寫成：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)15）綜合上面兩式可得：對于定常流動，可簡化為：第三步：計算擋板所受的力F§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)16）在y軸上有分量因為F沿y軸正向，所以Fy

取正值§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)17）==0=0v=-V0sin

V?n

dS=-V0

dS

——所設F方向正確結論1：擋板所受的力與F大小相等方向相反?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)18）由于V1，V2在y方向上無分量，上式右端后兩項積分均為零，在0-0截面上：v=-V0sin

，

V?ndS

=-V0dS，第四步：計算流量Q1和Q2F在x軸方向分量：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)19）根據(jù)已知條件V1=V2=V0、注意：同一個問題，控制體可以有不同的取法，合理恰當?shù)倪x取控制體可以簡化解題過程?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)20）§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)23）微元控制體的連續(xù)方程和動量方程從流場中取一段長度為的流管元，因為流管側面由流線組成，因此無流體穿過；流體只能從流管一端流入，從另一端流出。取控制體：流管側面和兩端包圍的空間。設：流動是定常和無摩擦的，流體均質(zhì)不可壓縮，§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)24）質(zhì)量守恒連續(xù)性方程（定常流）動量守恒動量方程（定常流）忽略粘性摩擦力，控制體所受表面力包括兩端面及流管側表面所受的壓力，沿流線方向總壓力為：流管側表面所受壓力在流線方向分量，平均壓強§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)26）控制體所受質(zhì)量力只有重力，沿流線方向分量為：通過控制體動量凈通量為：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)27）將上面各項代入方程，并進行簡化，兩邊同除以并忽略高階無窮小，得：流體是均質(zhì)不可壓縮的，所以積分上式得：描述了沿流線方向壓強速度和高度間的關系，該方程適應條件：定常流、無粘性摩擦，均質(zhì)不可壓縮流體，沿流線方向。§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)28）例題4-3：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)29）用伯努力方程計算彎管的進口壓強（絕對壓強）。假設流動是定常、無摩擦的。水可看作均質(zhì)不可壓縮流體，彎管可看作一段流管，解：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)30）對彎管兩端寫出伯努力方程：忽略質(zhì)量力影響，考慮到p2=pa，則進口壓強為：三、動量矩定理§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)32）在一個慣性參考坐標系中，對系統(tǒng)的動量矩定理可寫成：外界作用于系統(tǒng)的力矩系統(tǒng)的動量矩體積元相對于坐標系原點的位置矢量§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)33）在公式中取N=H，則于是：由于假設初始時刻控制體和系統(tǒng)重合，所以作用在系統(tǒng)上的外力矩也認為作用在控制體上，則：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)34）對于靜止的控制體：對于定常流動，忽略表面力和對稱質(zhì)量力產(chǎn)生的力矩，上式可簡化為：對整個系統(tǒng)求積分§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)35）如果流體只在有限區(qū)域穿過控制面，而且流動參數(shù)在這些區(qū)域均勻分布，則上式的右邊項為通過這些表面區(qū)域的質(zhì)量流量與的乘積之矢量和。在分析旋轉(zhuǎn)流體機械時，往往僅應用上式沿轉(zhuǎn)軸方向的分量方程，為便于計算，可取坐標系z軸與流體機械的轉(zhuǎn)軸相重合?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)36）如果葉輪進出口截面處流動是均勻的，并考慮只有與旋轉(zhuǎn)半徑垂直的速度分量才會產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，沿轉(zhuǎn)軸的標量形式的動量矩方程為：通過進口或出口的質(zhì)量流量流體在進口處的絕對速度沿葉輪切向分量切向速度至轉(zhuǎn)軸的距離r2r1上式中正負號的判斷方法：（1）V1和V2，當它們和葉輪轉(zhuǎn)動方向相同時為正，反之為負；（2）T軸與葉輪轉(zhuǎn)動方向相同時為正，反之為負。對于泵、風扇、鼓風機或壓縮機等向流體注入能量的原動機來說，T軸>0；對于渦輪機等從流體中吸收能量的流體機械T軸<0?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)37）令則上式可簡化為：上式兩邊同除則得到單位重量流體通過葉輪后獲得的能量，即增加的能量頭§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)38）..例題4-7：已知：葉輪內(nèi)外半徑為r1、r2，葉片高h，空氣流量為Q恒定，風扇角速度為

，求：驅(qū)動該風扇所需的電動機功率§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)39）.解：第一步：取控制體取要考慮的力矩是電動機所提供的轉(zhuǎn)矩，其作用方向和葉輪轉(zhuǎn)向相同。§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)40）第三步：求上式中各項第二步：列出葉輪轉(zhuǎn)軸的功率公式葉輪出口氣流的切向速度，由速度三角形有：葉片端部的線速度為：通過風扇的空氣質(zhì)量流量為：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)41）..由連續(xù)方程，氣流進出口質(zhì)量流量應相等，則：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)42）求得：第四步：求電機功率§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)43）.四、能量方程根據(jù)能量守恒定理有：系統(tǒng)的總能量單位質(zhì)量流體所具有的能量單位時間內(nèi)傳遞給系統(tǒng)的熱量，系統(tǒng)吸熱為正系統(tǒng)單位時間內(nèi)所作的功，外界對系統(tǒng)做功為正§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)46）運用雷諾輸運定理公式：由于設初始時刻，系統(tǒng)控制體重合，所以有：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)47）

說明：外界對控制體內(nèi)輸送能量多數(shù)是通過旋轉(zhuǎn)軸實現(xiàn)的，所以本課程將控制體與外界通過轉(zhuǎn)軸傳遞的功記為W軸，軸功率記作。中還應包括表面力所完成的功率。在一微元控制面dS上正應力所引起的合力可表示為其對控制體的做功功率為：

§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)48）在粘性流體中，正應力和熱力學壓強的負值并不相等，但在絕大多數(shù)工程實際中，仍可近似取于是。對于整個控制面，正應力作功功率可積分求得：切應力在dS上引起的剪切力為，為切應力矢量，則對整個控制面切應力作功功率為：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)49）上述面積分可分以下3個情況來考慮：（1）如果控制面的部分表面為旋轉(zhuǎn)軸表面，則這部分表面上的切應力所作的功已歸入軸功之中；（2）部分控制面可能為靜止固體表面，則因為此時V=0，在這部分控制面上的積分為零。§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)50）（3）控制面表面是流體流進或流出控制體的通道，此時可以通過恰當選擇控制面方位和形狀使控制面和流體速度相互垂直，即使與V垂直，在這部分表面上，面積分為零。經(jīng)過上述分析和控制面條件，外界對控制體做功功率可表示為：將上式代入雷諾輸運定理公式得：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)51）整理上式得到能量方程：對于定常流動上式可簡化為：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)52）當流體速度V和流動參數(shù)在流體進出口截面上均勻分布，且控制體只有一個進口和一個出口時，上面方程可簡化為：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)53）焓h2

焓h1

式中z可選用截面形心坐標；h表示單位質(zhì)量流體的焓，下標1表示進口截面，下標2表示出口截面?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)54）例題4-10：已知：

V1=30m/s，V2=60m/sh1=3348kJ/kg，

h2=2550kJ/kg

過程視為絕熱過程，高度變化忽略。求：1kg蒸汽流過氣輪機時所輸出的功率?！?-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)55）解：取控制體，如圖中虛線所示。應用能量方程得：§4-2對控制體的流體力學積分方程（續(xù)56）幾個概念：按流體的運動參數(shù)是幾個坐標變量的函數(shù)，將流體的流動分為三種。一元流動如流體流經(jīng)管內(nèi)，管內(nèi)各點處實際流速u是不相等的，若取其截面上的平均速度v來分析，則同一過流截面上的各點的流速均為v，這樣，v只是的x的函數(shù)，只與一個坐標變量有關的函數(shù)，即一元流動。

§4-3

微分形式的連續(xù)性方程二元流動當運動參數(shù)是兩個坐標和時間的函數(shù)時，稱為二元流動。粘性流體在錐管內(nèi)流動時，不同半徑r處流速u是不同的，這樣各空間點上的流速u不僅是x的函數(shù)，也是半徑r的函數(shù)。即二元流動?！?-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)1）

當流體在三維空間流動時，其運動參數(shù)是空間三個坐標和時間的函數(shù)，稱為三元流動。如空氣通過飛機機翼時的情況。三元流動§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)2）xzyO·dxdzdyC三維流動的連續(xù)方程微元控制體的質(zhì)量平衡§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)3）在時間段dt

里，沿x軸向左側表面流入的流體質(zhì)量為：沿x軸向右側面流出的流體質(zhì)量為：§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)4）xzyO·dxdzdyC所以在dt

內(nèi)，x軸向流入和流出的流體質(zhì)量之差為：§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)5）同理，在dt內(nèi)，沿y軸向和z軸向流入和流出的流體質(zhì)量之差為：§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)6）所以在dt時間內(nèi)，流入和流出微小六面體流體質(zhì)量總量的總差值為：因為流體是連續(xù)的介質(zhì)，六面體內(nèi)始終充滿著流體，根據(jù)物質(zhì)不滅定律，如流入與流出六面體的流體質(zhì)量之差不為零，則必然引起流體密度的變化?！?-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)7）則在t+dt

瞬時，流體的密度為:設在瞬時t，流體的密度為則在dt

時間內(nèi)微元體內(nèi)流體的質(zhì)量變化為：§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)8）根據(jù)質(zhì)量守恒原理和連續(xù)性條件，在dt

時間內(nèi)，流入和流出六面體的流體質(zhì)量的總差值dM應等于在該時間內(nèi)由于流體密度的變化而引起的質(zhì)量變化，即：§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)9）簡化成：或?qū)懗桑骸B續(xù)性方程的普遍形式，它適用于可壓縮流體和不可壓縮流體，適用于穩(wěn)定流動和不穩(wěn)定流動。若對于不可壓縮流體，即=常數(shù)，上式方程為：

只適用于不可壓縮流的定常和非定常流動?！?-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)9）（2）某個軸向的流速增加，必然導致別的軸向流速的降低。結論§4-3

微分形式的連續(xù)性方程（續(xù)10）從三元流動連續(xù)性方程可見：（1）流速在各個軸向的變化率是互相約束的，不能隨意變化。§4-4

粘性流體中的應力由于流體具有粘性，作用面上除正應力外還有切應力，因此總應力不再垂直于它的作用面。一般情況下，在同一點取不同方位的作用面，作用于其上應力的大小和方向也是不同的。如圖4-14所示。應力：單位面積的受力。面積上的作用力應等于應力和的乘積。如果取n的方向為x軸正向，則法向應力為；§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)1）§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)2）而將yoz平面上的切向應力分解成相互垂直的兩個分量，分別指向y軸和z軸正向，記為：、。第1個下標表示作用面的法向方向，第2個下標表示應力分量的指向。如果n的方向為y或z正向，則應力？過空間一點可以做無窮多個平面，由于平面方位不同，在空間任一點似乎可以得到無窮多個不同的應力分量。實際上可以證明，過一點作3個相互垂直的平面，則過該點的任意方位平面上的應力分量都可用這3個平面上的9個應力分量來表示，如果取這3個平面分別平行于3個坐標平面，則這9個分量為：§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)3）對于理想流體，一點的應力狀態(tài)只需用一個標量來描述，即：對于粘性流體，一點的應力狀態(tài)則需要9個分量，即1個二階張量來描述?！?-4

粘性流體中的應力（續(xù)4）在流場中取一個正六面體的流體微團，其邊長分別為如圖4-16所示。流面體上六個面上的應力分量如圖4-16所示。應力正方向的表示規(guī)則為：

#當一個表面的外法線方向和坐標軸正方向一致時，該表面上所有的應力分量的正方向都分別和相應坐標軸正向一致；§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)5）·C理想流體表面力粘性流體表面力

#當表面的外法線方向和坐標軸負方向一致時，該表面上所有的應力分量的正方向都分別和相應坐標軸負向一致；實際上在應力張量的9個分量中，只有6個是相互獨立的。如圖所示的微元體各表面上的作用力對通過六面體中心的y軸的力矩，根據(jù)達朗貝原理，這些力矩之和應為零?！?-4

粘性流體中的應力（續(xù)6）因為六面體的質(zhì)量力和表面力相比是高階無窮小量，所以忽略不計，而只需考慮表面力的作用。可以認為各個表面上的應力都是均勻分布的。所以合力作用點分別在各表面中的應力分量的法向應力都分別與y

軸垂直，而切應力中又有4個與y軸平行，在求矩中也無需計及它們的作用?！?-4

粘性流體中的應力（續(xù)7）所以只需考慮另外4個切向應力分量（它們的作用線分別與x軸和z軸平行）的作用化簡得：同理可證：§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)8）可見應力張量9個分量中的6個切應力分量兩兩對應相等，因此9個分量中只有6個是獨立的。即3個方向應力分量和3個切向應力分量。六面體表面力合力的求解對所有作用在x方向的表面力求和。§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)9）化簡得：同理可求得y

方向和z

方向的表面力合力分別為：§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)10）表面力的合力可表示為：§4-4

粘性流體中的應力（續(xù)11）§4-5

微分形式的動量方程應用動量定理于一個流體微團，在流場中任意取一正六面體微團，設流體微團質(zhì)量為，流速為所受到的外力為，則由動量定理有：

考慮為常數(shù)，則有：xzyO·dxdzdyC§4-5

微分形式的動量方程（續(xù)1）§4-5

微分形式的動量方程（續(xù)2）外力，包括質(zhì)量力和表面力流體微團質(zhì)量，常數(shù)流體微團的加速度表面力和質(zhì)量力的求解表面力的求法如前所述，質(zhì)量力求法如下：設質(zhì)量力只有重力，則：重力加速度§4-5

微分形式的動量方程（續(xù)3）微分形式的動量方程（運動方程）§4