模型06三角形-8字模型-原卷版+解析

三角形模型（六）——8字模型◎結(jié)論：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，則∠A+∠B=∠C+∠D.【證明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180°在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°，∵∠1=∠2,∴∠A+∠B=∠C+∠D.1：若BP，DP分別是∠ABC，∠ADC的平分線，則∠P=（∠A＋∠C）.2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，則∠P=∠A+∠C3：AB+BC+CD+AD＞AC+BD1．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D2．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240° B．280° C．360° D．540°3．（2022·天津市匯文中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為A． B． C． D．1．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．2．（2021·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．3．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，，求和的度數(shù)．4．（2022·全國·八年級(jí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫出你的計(jì)算過程．1．（2022·江蘇·江陰市第一初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，已知線段、相交于點(diǎn)O，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：________________；(2)如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)P，并且與、分別相交于M、N．請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：___________個(gè)；②若，試求的度數(shù)；③若和為任意角，其他條件不變，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出推理過程；若不存在，請(qǐng)說明理由；④若和∠B為任意角，，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．三角形模型（六）——8字模型◎結(jié)論：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，則∠A+∠B=∠C+∠D.【證明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180°在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°，∵∠1=∠2,∴∠A+∠B=∠C+∠D.1：若BP，DP分別是∠ABC，∠ADC的平分線，則∠P=（∠A＋∠C）.2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，則∠P=∠A+∠C3：AB+BC+CD+AD＞AC+BD1．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項(xiàng)A，B，C正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240° B．280° C．360° D．540°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個(gè)角的和，加在一起即可．【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是將題目中的六個(gè)角分成兩部分來分別求出來，然后再加在一起．3．（2022·天津市匯文中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵如圖可知，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，故選．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理即三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．1．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點(diǎn)睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．2．（2021·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．【答案】

減少

10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等的知識(shí)；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．3．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，，求和的度數(shù)．【答案】，【分析】由，可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，因?yàn)?，即可求得的度?shù)；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可得的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，，∵，，，∴，，∴，∴．∴，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法．找到相應(yīng)等量關(guān)系的角是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·八年級(jí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫出你的計(jì)算過程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析【分析】（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（3）連接BH、DE，由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（4）連接ND、NE，由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關(guān)鍵．1．（2022·江蘇·江陰市第一初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，已知線段、相交于點(diǎn)O，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：________________；(2)如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)P，并且與、分別相交于M、N．請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：___________個(gè)；②若，試求的度數(shù)；③若和為任意角，其他條件不變，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出推理過程；若不存在，請(qǐng)說明理由；④若和∠為任意角，，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①6②③存在（理由見解析）④存在，【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得出結(jié)論．（2）①分別找到以交點(diǎn)M、O、N為頂點(diǎn)的能構(gòu)成“8字形”的三角形，避免漏數(shù)．②利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合角平分線的定義，可求出的度數(shù)．③和②同理④利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合“，”即可得出結(jié)論．(1)解：在中，在中，（對(duì)頂角相等）(2)①解：以M為交點(diǎn)的有1個(gè)，即為和以O(shè)為交點(diǎn)的有4個(gè)，即為和，和，和，和②解：AP平分，CP平分由（1）中的結(jié)論得：整理得：③解：理由如下：AP平分，CP平分由（1）中的結(jié)論得：整理得：④解：理由如下：由（1）中的結(jié)論得：整理得：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟練利用“8字形”模型是解決本題的關(guān)鍵．2．（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠