壓軸題05幾何綜合(原卷版+解析)

幾何綜合幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質和二次函數(shù)的最值等相關知識，以及分類討論、數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：線段最值問題①動點路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題解題模板：1.（2021秋?白云區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1．若⊙O在正方形ABCD內平移（⊙O可以與該正方形的邊相切，則點A到⊙O上的點的距離的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-1】（2020?遵義）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E為對角線AC上一動點（點E與點A、C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點F，過點E作MN∥BC分別交CD、AB于點M、N，作射線DF交射線CA于點G．（1）求證：EF＝DE；（2）當AF＝2時，求GE的長．2.（2022春?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM＝2，點P為線段BD上的一個動點，則MP+PB的最小值是．【變式2-1】（2021?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點D．點P為線段BD上的動點，則PC+PB的最小值為．3.（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且＝，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的縱坐標為．【變式3-1】（2021?聊城）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為．4.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上且CE＝1，長為的線段MN在AC上運動，當四邊形BMNE的周長最小時，則tan∠MBC的值是．【變式4-1】如圖，已知四邊形ABCD四個頂點的坐標為A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），當四邊形ABCD的周長最小時，m的值為．題型2：面積平分問題解題模板：技巧精講1：利用中線平分圖形面積的方法2.利用對稱性平分圖形面積的方法5.（1）問題提出：如圖（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點D為AC上一點且AD＝2，過點D作直線DE交△ABC于點E，使得△ABC被分成面積相等的兩部分，則DE的長為2．（2）類比發(fā)現(xiàn)：如圖（2），五邊形ABOCD，各頂點坐標為：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）請你找出一條經過頂點A的直線，將五邊形ABOCD分為面積相等的兩部分，求出該直線對應的函數(shù)表達式．（3）如圖（3），王叔叔家有一塊四邊形菜地ABCD，他打算過D點修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°過點D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分？若存在，求出平分該四邊形面積的線段長：若不存在，請說明理由．【變式5-1】（2022?江北區(qū)模擬）新知學習：若一條線段把一個平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是；②如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，DC上，連接EF，與AD交于點G．若S△AEG＝S△DGF，則EF（填“是”或“不是”）△ABC的一條二分線．（2）如圖2，四邊形ABCD中，CD平行于AB，點G是AD的中點，射線CG交射線BA于點E，取EB的中點F，連接CF．求證：CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點，且∠BED＝∠A，EF是四邊形ABDE的一條二分線，求DF的長．【變式5-2】（2021?西安一模）問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；問題探究（2）如圖②，點A、B在直線a上，點M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關系，并說明你的理由；解決問題（3）如圖③，劉老伯有一個形狀為箏形OACB的養(yǎng)雞場，在平面直角坐標系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在邊AC上存在一點P，使得過B、P兩點修一道筆直的墻（墻的寬度不計），將這個養(yǎng)雞場分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線BP的表達式；若不存在，請說明理由．題型3：面積最值問題解題模板：6.（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為．【變式6-1】（1）如圖①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面積S△ABC；（2）如圖②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面積S△ABC；（3）如圖③，四邊形ABCD，AC＝m，BD＝n，對角線AC交于O點，他們所成銳角為β，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD．【變式6-2】如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點E從點A出發(fā)，沿邊AB﹣BC向終點C運動，以DE為邊作正方形DEFG（點D、E、F、G按順時針方向排列）．設點E運動的速度為每秒1個單位，運動的時間為x秒．（1）如圖1，當點E在AB上時，求證：點G在直線BC上；（2）設正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式；（3）直接寫出整個運動過程中，點F經過的路徑長．1．如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，連接BD，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且AE＝BF，連接DE、DP、EF．（1）如圖①，當點E是邊AB的中點時，求∠EDF的度數(shù)；（2）如圖②，當點E是邊AB上任意一點時，∠EDF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明；若發(fā)生改變，請說明理由；（3）若點P是線段BD上一動點，求PF+DP的最小值．2．（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+PN的最小值．3．（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x＝2的拋物線經過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．（1）求此拋物線的解析式；（2）當a＝1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最?。空堈f明理由．4．（2021?靖江市校級一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點E在邊AD上．若直線l經過點E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點F，若，則．（請從“線段的長度或線段的位置關系”的方向設計條件及問題，并解答）5．（2012?新密市自主招生）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，點E是AD上一動點（不與A、D重合），點F是CD上一動點，且AE+CF＝4，則△DEF面積的最大值為．6．（2022?杭州模擬）將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉至AB′，記旋轉角為α，連接BB′，過點D作DE垂直于直線BB′，垂足為點E，連接DB′，CE．（1）如圖1，當α＝60°時，△DEB′的形狀為等腰直角三角形，連接BD，BB′與CE的數(shù)量關系是BB'＝CE．（2）當0°＜α＜360°且a≠90°時，①（1）中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②當以點E，C，D，B′為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出BE與B′E的數(shù)量關系．幾何綜合幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質和二次函數(shù)的最值等相關知識，以及分類討論、數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：線段最值問題①動點路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題解題模板：1.（2021秋?白云區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1．若⊙O在正方形ABCD內平移（⊙O可以與該正方形的邊相切，則點A到⊙O上的點的距離的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由題意畫出符合題意的圖形，當⊙O與BC，CD相切時，點A到⊙O上的點的距離取得最大值，利用勾股定理即可求得結論．【解答】解：由題意，當⊙O與BC，CD相切時，點A到⊙O上的點的距離取得最大值，如圖，由對稱性可知：圓心O在AC上．AC＝＝4．∵BC與⊙O相切于點E，∴OE⊥EC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC為等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故選：C．【點評】本題主要考查了切線的性質，正方形的性質，直線和圓的位置關系，勾股定理，連接OE，利用切線的性質得到OE⊥EC是解題的關鍵．【變式1-1】（2020?遵義）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E為對角線AC上一動點（點E與點A、C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點F，過點E作MN∥BC分別交CD、AB于點M、N，作射線DF交射線CA于點G．（1）求證：EF＝DE；（2）當AF＝2時，求GE的長．【分析】（1）要證明EF＝DE，只要證明△DME≌△ENF即可，然后根據題目中的條件和正方形的性質，可以得到△DME≌△ENF的條件，從而可以證明結論成立；（2）根據勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的長，然后即可得到GE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如圖1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四邊形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如圖2所示，同理可得，F(xiàn)N＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．綜上所述：GE的長為：，5．【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形相似，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．2.（2022春?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM＝2，點P為線段BD上的一個動點，則MP+PB的最小值是4．【分析】過P點作PH⊥BC于H，過M點作MN⊥BC于N，如圖，根據菱形的性質得到AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，再判斷△ABC為等邊三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，則∠OBC＝30°，所以PH＝BP，則MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值為MN的長，然后利用含30度角的直角三角形三邊的關系求出MN即可．【解答】解：過P點作PH⊥BC于H，過M點作MN⊥BC于N，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，當M、P、H共線時，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值為MN的長，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值為4．故答案為：．【點評】本題考查了胡不歸問題：利用垂線段最短解決最短路徑問題，把PB轉化為PH是解決問題的關鍵．也考查了菱形的性質和等邊三角形的性質．【變式2-1】（2021?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點D．點P為線段BD上的動點，則PC+PB的最小值為．【分析】過點P作PE⊥AB于點E，過點C作CH⊥AB于點H，首先得出BD＝4，AD＝3，根據sin∠ABD＝，得EP＝，則PC+PB的最小值為PC+PE的最小值，即求CH的長，再通過等積法即可解決問題．【解答】解：過點P作PE⊥AB于點E，過點C作CH⊥AB于點H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sinA＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即點C、P、E三點共線時，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值為CH的長，∵S△ABC＝，∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，垂線段最短、勾股定理等知識，將PC+PB的最小值轉化為求CH的長，是解題的關鍵．3.（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且＝，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的縱坐標為．【分析】根據已知條件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D關于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為y＝x+2，解方程組即可得到結論．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，點D為OB的中點，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D關于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），∵直線OA的解析式為y＝x，設直線EC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線EC的解析式為y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案為：．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，等腰直角三角形的性質，正確的找到P點的位置是解題的關鍵．【變式3-1】（2021?聊城）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可證四邊形BHEF是平行四邊形，可得BF＝EH，由對稱性可得DE＝D'E，則四邊形BDEF的周長＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，則當EH+D'E有最小值時，四邊形BDEF的周長有最小值，即當點E，點H，點D'共線時，EH+D'E有最小值，利用待定系數(shù)法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作點D關于x軸的對稱點D'，連接D'H交AO于點E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四邊形BHEF是平行四邊形，∴BF＝EH，∵點D與點D'關于x軸對稱，∴DE＝D'E，點D'坐標為（0，﹣4），∵四邊形BDEF的周長＝EF+BF+BD+DE，∴四邊形BDEF的周長＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴當EH+D'E有最小值時，四邊形BDEF的周長有最小值，∴當點E，點H，點D'共線時，EH+D'E有最小值，∵點B（﹣4，6），∴點H（﹣1，6），設直線D'H的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線D'H的解析式為y＝﹣10x﹣4，∴當y＝0時，x＝﹣，∴點E（﹣，0），故答案為：（﹣，0）．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，坐標與圖形，平行四邊形的判定和性質，一次函數(shù)的性質等知識，確定點E的位置是解題的關鍵．4.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上且CE＝1，長為的線段MN在AC上運動，當四邊形BMNE的周長最小時，則tan∠MBC的值是．【分析】根據題意得出作EF∥AC且EF＝，連接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此時四邊形BMNE的周長最小，進而利用相似三角形的判定與性質得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，連接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延長DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出點E關于AC的對稱點E′，則CE′＝CE＝1，將MN平移至E′F′處，則四邊形MNE′F′為平行四邊形，則當BM+EN＝BM+FM＝BF′時四邊形BMNE的周長最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由對稱性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案為．【點評】此題主要考查了正方形的性質以及相似三角形的判定與性質，得出M，N的位置是解題關鍵．【變式4-1】如圖，已知四邊形ABCD四個頂點的坐標為A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），當四邊形ABCD的周長最小時，m的值為．【分析】因為AD，BC的長度都是固定的，所以求出AB+CD的長度就行了．問題就是AB+CD什么時候最短．把D點向左平移2個單位到D′點；作D′關于x軸的對稱點D″，連接AD″，交x軸于P，從而確定C點位置，此時AB+CD最短．設直線AD″的解析式為y＝kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式．即可求得m的值．【解答】解：將C點向左平移2單位與B重合，點D向左平移2單位到D′（3，1），作D′關于x軸的對稱點D″，根據作法知點D″（3，﹣1），設直線AD″的解析式為y＝kx+b，則，解得k＝﹣2，b＝5．∴直線AD″的解析式為y＝﹣2x+5．當y＝0時，x＝，即B（，0），m＝．故答案為：．【點評】考查了軸對稱﹣最短路線問題，關鍵是熟悉關于x軸的對稱點，兩點之間線段最短等知識．題型2：面積平分問題解題模板：技巧精講1：利用中線平分圖形面積的方法2.利用對稱性平分圖形面積的方法5.（1）問題提出：如圖（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點D為AC上一點且AD＝2，過點D作直線DE交△ABC于點E，使得△ABC被分成面積相等的兩部分，則DE的長為2．（2）類比發(fā)現(xiàn)：如圖（2），五邊形ABOCD，各頂點坐標為：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）請你找出一條經過頂點A的直線，將五邊形ABOCD分為面積相等的兩部分，求出該直線對應的函數(shù)表達式．（3）如圖（3），王叔叔家有一塊四邊形菜地ABCD，他打算過D點修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°過點D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分？若存在，求出平分該四邊形面積的線段長：若不存在，請說明理由．【分析】（1）如圖1中，取AC的中點F，連接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，連接DE交BF于O．證明DE平分△ABC的面積，利用平行線分線段成比例定理求出CE即可解決問題．（2）如圖2中，連接AO、AC，作BE∥AO交x軸于E，DF∥AC交x軸于F，EF的中點為M，則直線AM平分五邊形ABCOD的面積，求出點M的坐標即可解決問題．（3）先求出四邊形ABCD的面積，即可得出四邊形ABQD的面積，從而求出QM，再用平行線分線段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如圖1中，取AC的中點F，連接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，連接DE交BF于O．∵AF＝FC，∴S△AFB＝S△BFC，∵BD∥EF，∴S△BDE＝S△BDF，∴S△DFO＝S△BOE，∴S△ECD＝S四邊形ABED，∴DE平分△ABC的面積，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案為2．（2）如圖2中，連接AO、AC，作BE∥AO交x軸于E，DF∥AC交x軸于F，EF的中點為M，則直線AM平分五邊形ABCOD的面積，∵直線AO的解析式為y＝x，∴直線BE解析式為y＝x+2，∴點E坐標（﹣，0），∵直線AC的解析式為y＝﹣4x+16，∴直線DF的解析式為y＝﹣4x+18，∴點F坐標為（，0）∴EF的中點M坐標為（，0），∴直線AM的解析式為：y＝x﹣4．（3）如圖3中，連接BD，AC交于點O．在BC上取一點Q，過Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分線，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∵在一條過點D的直線將箏形ABCD的面積二等分，∴S四邊形ABQD＝S四邊形ABCD＝40000，∵S△ABD＝×BD×OA＝20000，∴S△QBD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四邊形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【點評】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，三角形的中線，幾何作圖，勾股定理，等積問題等知識，解題的關鍵是把多邊形轉化為三角形是解決問題的關鍵，記住三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形．【變式5-1】（2022?江北區(qū)模擬）新知學習：若一條線段把一個平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是三角形的中線；②如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，DC上，連接EF，與AD交于點G．若S△AEG＝S△DGF，則EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一條二分線．（2）如圖2，四邊形ABCD中，CD平行于AB，點G是AD的中點，射線CG交射線BA于點E，取EB的中點F，連接CF．求證：CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點，且∠BED＝∠A，EF是四邊形ABDE的一條二分線，求DF的長．【分析】（1）①由平面圖形的二分線定義可求解；②由面積的和差關系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一條二分線；（2）根據EB的中點F，所以S△CBF＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中點，證明△CDG≌△EAG，所以S四邊形AFCD＝S△CEF，所以S四邊形AFCD＝S△CBF，可得CF是四邊形ABCD的二分線；（3）延長CB使BH＝CD，連接EH，通過全等三角形的判定可得S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝S四邊形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；∴三角形的中線是三角形的二分線，故答案為三角形的中線②∵AD是BC邊上的中線∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵S△AEG＝S△DGF，∴S四邊形BDGE+S△AEG＝S四邊形BDGE+S△DGF，∴S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，∴EF是△ABC的一條二分線故答案為：是（2）∵EB的中點F，∴S△CBF＝S△CEF，∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中點，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），∴S△AEG＝S△DCG，∴S四邊形AFCD＝S△CEF，∴S四邊形AFCD＝S△CBF，∴CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖，延長CB使BH＝CD，連接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE＝S△EDC，∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、∴S△BEH＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△HED＝S四邊形ABDE，∵EF是四邊形ABDE的一條二分線，∴S△DEF＝S四邊形ABDE＝S△HED，∴DF＝DH＝【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，三角形中線的性質，平行線的性質，理解新定義是本題的關鍵．【變式5-2】（2021?西安一模）問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；問題探究（2）如圖②，點A、B在直線a上，點M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關系，并說明你的理由；解決問題（3）如圖③，劉老伯有一個形狀為箏形OACB的養(yǎng)雞場，在平面直角坐標系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在邊AC上存在一點P，使得過B、P兩點修一道筆直的墻（墻的寬度不計），將這個養(yǎng)雞場分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線BP的表達式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）當點D是BC的中點時，AD將△ABC分成面積相等的兩部分，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一般，可求出AD的長度；（2）根據同底等高的三角形面積相等，再減去相等的部分，就可以得出△AOM與△BON的面積相等；（3）連接AB，過點O作AB的平行線，交CA的延長線于點F，交OA于點G，則△OBG的面積等于△AFG的面積，則四邊形OACB的面積轉化為△BCF的面積，取CF的中點P，求出點P的坐標，即可求出直線BP的表達式．【解答】解：（1）如圖①，取BC邊的中點D，連接AD，則線段AD即為所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵點D為BC的中點，∴AD＝BC＝．（2）S△AOM＝S△BON，理由如下：由圖可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，如圖②，過點M作MD⊥AB于點D，過點N作NE⊥AB于點E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵MN∥DE，∴四邊形MDEN是矩形，∴MD＝NE，∵S△ABM＝，S△ABN＝，∴S△ABM＝S△ABN，∴S△AOM＝S△BON．（3）存在，直線BP的表達式為：y＝x+4．如圖③，連接AB，過點O作OF∥AB，交CA的延長線于點F，交OA于點G，由（2）的結論可知，S△OBG＝S△AFG，∴S四邊形OACB＝S△BCF，取CF的中點P，作直線BP，直線BP即為所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴線段AB所在直線表達式為：y＝﹣x+4，線段AC所在直線的表達式為：y＝3x﹣12，∴直線OF的表達式為：y＝﹣x，聯(lián)立，解得，∴F（3，﹣3），∵點P是CF的中點，∴P（，），∴直線BP的表達式為：y＝x+4．【點評】主要考查了勾股定理，中點的性質，面積轉化以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式等內容，熟練掌握勾股定理的內容，中點性質的應用，作出輔助線，進行面積的轉化是解答本題的關鍵．題型3：面積最值問題解題模板：6.（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為8．【分析】過點C作CG⊥BA于點G，作EH⊥AB于點H，作AM⊥BC于點M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易證△AMB∽△CGB，求得GB＝8，設BD＝x，則DG＝8﹣x，易證△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，當x＝4時，△BDE面積的最大值為8．【解答】解：過點C作CG⊥BA于點G，作EH⊥AB于點H，作AM⊥BC于點M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，∴△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，設BD＝x，則DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，當x＝4時，△BDE面積的最大值為8．故答案為8．【點評】本題考查了正方形，熟練運用正方形的性質與相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．【變式6-1】（1）如圖①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面積S△ABC；（2）如圖②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面積S△ABC；（3）如圖③，四邊形ABCD，AC＝m，BD＝n，對角線AC交于O點，他們所成銳角為β，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD．【分析】（1）過A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根據三角形面積公式求出即可；（2）過A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根據三角形面積公式求出即可；（3）過A作AE⊥BD于E，過C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根據三角形面積公式求出即可．【解答】解：（1）如圖①，過A作AM⊥BC于M，則∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，∴△ABC的面積S△ABC＝×BC×AM＝×6×2＝6；（2）如圖②，過A作AM⊥BC于M，則∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝bsinα，∵BC＝a，∴△ABC的面積S△ABC＝×BC×AM＝×a×bsinα＝absinα；（3）如圖3，過A作AE⊥BD于E，過C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夾角為β，∴AE＝OA?sinβ，CF＝OC?sinβ，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝BD?AE+BD?CF＝BD?（AE+CF）＝BD?（OA?sinβ+OC?sinβ）＝BD?AC?sinβ＝mnsinβ．即四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD＝mnsinβ．【點評】本題考查了解直角三角形，三角形的面積的應用，此題比較難，解題時關鍵要找對思路，即原四邊形的高已經發(fā)生了變化，只要把高求出來，一切將迎刃而解．【變式6-2】如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點E從點A出發(fā)，沿邊AB﹣BC向終點C運動，以DE為邊作正方形DEFG（點D、E、F、G按順時針方向排列）．設點E運動的速度為每秒1個單位，運動的時間為x秒．（1）如圖1，當點E在AB上時，求證：點G在直線BC上；（2）設正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式；（3）直接寫出整個運動過程中，點F經過的路徑長．【分析】（1）由正方形的性質得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，證出∠ADE＝∠CDG，由SAS證明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，證出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出結論；（2）分情況討論：①當點E在AB邊上時，過點E作EK∥AD，交CD于點K，則AC∥EK∥AD，證明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性質得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面積﹣△ADE的面積﹣△BEH的面積，即可得出結果；②當點E在BC邊上時，S＝△DEC的面積＝4﹣x；（3）由（1）知，當點E在AB上時，點G在直線BC上，當點E與B點重合時，點F的位置如圖2所示：點F運動的路徑為BF；同理，點E在BC上時，當點E與C點重合時，點F運動的路徑為FG；由勾股定理求出BD，即可得出結果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴點G在直線BC上；（2）解：①當點E在AB邊上時，過點E作EK∥AD，交CD于點K，如圖1所示：則AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面積﹣△ADE的面積﹣△BEH的面積＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②當點E在BC邊上時，S＝△DEC的面積＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，當點E在AB上時，點G在直線BC上，當點E與B點重合時，點F的位置如圖2所示：點F運動的路徑為BF；同理，點E在BC上時，當點E與C點重合時，點F運動的路徑為FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴點F運動的路徑長為4．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、平行線的判定與性質、三角形面積的計算、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．1．如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，連接BD，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且AE＝BF，連接DE、DP、EF．（1）如圖①，當點E是邊AB的中點時，求∠EDF的度數(shù)；（2）如圖②，當點E是邊AB上任意一點時，∠EDF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明；若發(fā)生改變，請說明理由；（3）若點P是線段BD上一動點，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性質可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可證△ABD，△BCD是等邊三角形，由等邊三角形的性質可證DE＝DF，∠EDF＝60°，可得結論；（2）證明△ADE≌△BDF（SAS），根據全等三角形的性質得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）過點P作PG⊥AD于點G，連接PF，過點F作FG′⊥AD于點G′，交BD于點P′，可得GP＝DP?sin60°＝DP，則PF+DP＝PF+GP，當點F、P、G三點共銭，且FG⊥AD時，PF+GP有最小值，最小值為FG′的長，過點D作DH⊥BC于點H，則DH＝FG'，PF+DP的最小值即為DH的長，由△BDC是等邊三角形可得DH＝CD?sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，邊長為6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等邊三角形，∵點E是邊AB的中點，AE＝BF，∴點F是邊BC的中點，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度數(shù)不改變，證明：△ABD，△BCD是等邊三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如圖，過點P作PG⊥AD于點G，連接PF，過點F作FG′⊥AD于點G′，交BD于點P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP?sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴當點F、P、G三點共銭，且FG⊥AD時，PF+GP有最小值，最小值為FG′的長，過點D作DH⊥BC于點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即為DH的長，∵DH⊥BC，△BDC是等邊三角形，∴DH＝CD?sin60°＝3，∴PF+DP的最小值為3．【點評】本題考查了四邊形的綜合應用，掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，最短路徑等知識，添加恰當輔助線構造構造在直角三角形是解本題的關鍵．2．（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先證明四邊形DBCE是平行四邊形，再由BE⊥DC，得四邊形DBCE是菱形；（2）作N關于BE的對稱點N'，過D作DH⊥BC于H，由菱形的對稱性知，點N關于BE的對稱點N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，在Rt△DBH中，可得DH＝DB?sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延長線上，∴DE∥BC，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE是菱形；（2）解：作N關于BE的對稱點N'，過D作DH⊥BC于H，如圖：由菱形的對稱性知，點N關于BE的對稱點N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴當P、M、N'共線時，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB?sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值為．【點評】本題考查平行四邊形性質及應用，涉及菱形的判定，等邊三角形性質及應用，對稱變換等，解題的關鍵是掌握解決“將軍飲馬”模型的方法．3．（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x＝2的拋物線經過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．（1）求此拋物線的解析式；（2）當a＝1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求出最值及點P坐標；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF＝PM2最?。窘獯稹糠椒ㄒ唬航猓海?）∵對稱軸為直線x＝2，∴設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+k．將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）當a＝1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE＝1，OF＝2．設P（x，﹣x2+4x+5），如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四邊形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴當x＝時，四邊形MEFP的面積有最大值為，把x＝時，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此時點P坐標為（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，∴點P的縱坐標為3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵點P在第一象限，∴P（2+，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF＝PM2最?。O直線PM2的解析式為y＝mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．當y＝0時，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝時，四邊形PMEF周長最小．方法二：（1）略．（2）連接MF，過點P作x軸垂線，交MF于點H，顯然當S△PMF有最大值時，四邊形MEFP面積最大．當a＝1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），∵M（0，1），∴l(xiāng)MF：y＝﹣x+1，設P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），∴S△PMF＝（PY﹣HY）（FX﹣MX），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴當t＝時，S△PMF最大值為，∵S△MEF＝EF×MY＝×1×1＝，∴S四邊形MEFP的最大值為+＝，∴P（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，∴點P的縱坐標為3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵點P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF長度固定，當ME+PF最小時，PMEF的周長取得最小值，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1），∵四邊形MEFM1為平行四邊形，∴ME＝M1F，作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，當且僅當P，F(xiàn)，M2三點共線時，此時ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F(xiàn)（a+1，0），∴KPF＝KM1F，∴，∴a＝．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣最短路線的性質．試題計算量偏大，注意認真計算．4．（2021?靖江市校級一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點E在邊AD上．若直線l經過點E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點F，若AE＝2，則求EF的長．（請從“線段的長度或線段的位置關系”的方向設計條件及問題，并解答）【分析】過點A和點E作AG⊥BC，