壓軸題05幾何綜合(原卷版+解析)

幾何綜合幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：線段最值問題①動點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題解題模板：1.（2021秋?白云區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1．若⊙O在正方形ABCD內(nèi)平移（⊙O可以與該正方形的邊相切，則點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-1】（2020?遵義）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作MN∥BC分別交CD、AB于點(diǎn)M、N，作射線DF交射線CA于點(diǎn)G．（1）求證：EF＝DE；（2）當(dāng)AF＝2時(shí)，求GE的長．2.（2022春?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝2，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，則MP+PB的最小值是．【變式2-1】（2021?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為線段BD上的動點(diǎn)，則PC+PB的最小值為．3.（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點(diǎn)C在邊AB上，且＝，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動時(shí)，使四邊形PDBC周長最小的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．【變式3-1】（2021?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．4.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE＝1，長為的線段MN在AC上運(yùn)動，當(dāng)四邊形BMNE的周長最小時(shí)，則tan∠MBC的值是．【變式4-1】如圖，已知四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，m的值為．題型2：面積平分問題解題模板：技巧精講1：利用中線平分圖形面積的方法2.利用對稱性平分圖形面積的方法5.（1）問題提出：如圖（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)且AD＝2，過點(diǎn)D作直線DE交△ABC于點(diǎn)E，使得△ABC被分成面積相等的兩部分，則DE的長為2．（2）類比發(fā)現(xiàn)：如圖（2），五邊形ABOCD，各頂點(diǎn)坐標(biāo)為：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）請你找出一條經(jīng)過頂點(diǎn)A的直線，將五邊形ABOCD分為面積相等的兩部分，求出該直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（3）如圖（3），王叔叔家有一塊四邊形菜地ABCD，他打算過D點(diǎn)修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農(nóng)作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°過點(diǎn)D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分？若存在，求出平分該四邊形面積的線段長：若不存在，請說明理由．【變式5-1】（2022?江北區(qū)模擬）新知學(xué)習(xí)：若一條線段把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是；②如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，DC上，連接EF，與AD交于點(diǎn)G．若S△AEG＝S△DGF，則EF（填“是”或“不是”）△ABC的一條二分線．（2）如圖2，四邊形ABCD中，CD平行于AB，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，射線CG交射線BA于點(diǎn)E，取EB的中點(diǎn)F，連接CF．求證：CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，且∠BED＝∠A，EF是四邊形ABDE的一條二分線，求DF的長．【變式5-2】（2021?西安一模）問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點(diǎn)D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；問題探究（2）如圖②，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點(diǎn)O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關(guān)系，并說明你的理由；解決問題（3）如圖③，劉老伯有一個(gè)形狀為箏形OACB的養(yǎng)雞場，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在邊AC上存在一點(diǎn)P，使得過B、P兩點(diǎn)修一道筆直的墻（墻的寬度不計(jì)），將這個(gè)養(yǎng)雞場分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線BP的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．題型3：面積最值問題解題模板：6.（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為．【變式6-1】（1）如圖①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面積S△ABC；（2）如圖②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面積S△ABC；（3）如圖③，四邊形ABCD，AC＝m，BD＝n，對角線AC交于O點(diǎn)，他們所成銳角為β，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD．【變式6-2】如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，以DE為邊作正方形DEFG（點(diǎn)D、E、F、G按順時(shí)針方向排列）．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的速度為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動的時(shí)間為x秒．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：點(diǎn)G在直線BC上；（2）設(shè)正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接寫出整個(gè)運(yùn)動過程中，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長．1．如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，連接BD，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF，連接DE、DP、EF．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求∠EDF的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)時(shí)，∠EDF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明；若發(fā)生改變，請說明理由；（3）若點(diǎn)P是線段BD上一動點(diǎn)，求PF+DP的最小值．2．（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動，求PM+PN的最小值．3．（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長最??？請說明理由．4．（2021?靖江市校級一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上．若直線l經(jīng)過點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，若，則．（請從“線段的長度或線段的位置關(guān)系”的方向設(shè)計(jì)條件及問題，并解答）5．（2012?新密市自主招生）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，點(diǎn)E是AD上一動點(diǎn)（不與A、D重合），點(diǎn)F是CD上一動點(diǎn)，且AE+CF＝4，則△DEF面積的最大值為．6．（2022?杭州模擬）將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過點(diǎn)D作DE垂直于直線BB′，垂足為點(diǎn)E，連接DB′，CE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，△DEB′的形狀為等腰直角三角形，連接BD，BB′與CE的數(shù)量關(guān)系是BB'＝CE．（2）當(dāng)0°＜α＜360°且a≠90°時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；②當(dāng)以點(diǎn)E，C，D，B′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出BE與B′E的數(shù)量關(guān)系．幾何綜合幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：線段最值問題①動點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題解題模板：1.（2021秋?白云區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1．若⊙O在正方形ABCD內(nèi)平移（⊙O可以與該正方形的邊相切，則點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由題意畫出符合題意的圖形，當(dāng)⊙O與BC，CD相切時(shí)，點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離取得最大值，利用勾股定理即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，當(dāng)⊙O與BC，CD相切時(shí)，點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離取得最大值，如圖，由對稱性可知：圓心O在AC上．AC＝＝4．∵BC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥EC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC為等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理，連接OE，利用切線的性質(zhì)得到OE⊥EC是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2020?遵義）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作MN∥BC分別交CD、AB于點(diǎn)M、N，作射線DF交射線CA于點(diǎn)G．（1）求證：EF＝DE；（2）當(dāng)AF＝2時(shí)，求GE的長．【分析】（1）要證明EF＝DE，只要證明△DME≌△ENF即可，然后根據(jù)題目中的條件和正方形的性質(zhì)，可以得到△DME≌△ENF的條件，從而可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的長，然后即可得到GE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠ECM＝45°，∵M(jìn)N∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如圖1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四邊形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵M(jìn)E＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如圖2所示，同理可得，F(xiàn)N＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．綜上所述：GE的長為：，5．【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形相似，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2.（2022春?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝2，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，則MP+PB的最小值是4．【分析】過P點(diǎn)作PH⊥BC于H，過M點(diǎn)作MN⊥BC于N，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，再判斷△ABC為等邊三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，則∠OBC＝30°，所以PH＝BP，則MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值為MN的長，然后利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系求出MN即可．【解答】解：過P點(diǎn)作PH⊥BC于H，過M點(diǎn)作MN⊥BC于N，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，當(dāng)M、P、H共線時(shí)，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值為MN的長，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值為4．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了胡不歸問題：利用垂線段最短解決最短路徑問題，把PB轉(zhuǎn)化為PH是解決問題的關(guān)鍵．也考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．【變式2-1】（2021?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為線段BD上的動點(diǎn)，則PC+PB的最小值為．【分析】過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，首先得出BD＝4，AD＝3，根據(jù)sin∠ABD＝，得EP＝，則PC+PB的最小值為PC+PE的最小值，即求CH的長，再通過等積法即可解決問題．【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sinA＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即點(diǎn)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值為CH的長，∵S△ABC＝，∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，垂線段最短、勾股定理等知識，將PC+PB的最小值轉(zhuǎn)化為求CH的長，是解題的關(guān)鍵．3.（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點(diǎn)C在邊AB上，且＝，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動時(shí)，使四邊形PDBC周長最小的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)已知條件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，連接EC交OA于P，則此時(shí)，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為y＝x+2，解方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，連接EC交OA于P，則此時(shí)，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），∵直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線EC的解析式為y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2021?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可證四邊形BHEF是平行四邊形，可得BF＝EH，由對稱性可得DE＝D'E，則四邊形BDEF的周長＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，則當(dāng)EH+D'E有最小值時(shí)，四邊形BDEF的周長有最小值，即當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)H，點(diǎn)D'共線時(shí)，EH+D'E有最小值，利用待定系數(shù)法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D'，連接D'H交AO于點(diǎn)E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四邊形BHEF是平行四邊形，∴BF＝EH，∵點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于x軸對稱，∴DE＝D'E，點(diǎn)D'坐標(biāo)為（0，﹣4），∵四邊形BDEF的周長＝EF+BF+BD+DE，∴四邊形BDEF的周長＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴當(dāng)EH+D'E有最小值時(shí)，四邊形BDEF的周長有最小值，∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)H，點(diǎn)D'共線時(shí)，EH+D'E有最小值，∵點(diǎn)B（﹣4，6），∴點(diǎn)H（﹣1，6），設(shè)直線D'H的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線D'H的解析式為y＝﹣10x﹣4，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣，∴點(diǎn)E（﹣，0），故答案為：（﹣，0）．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，確定點(diǎn)E的位置是解題的關(guān)鍵．4.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE＝1，長為的線段MN在AC上運(yùn)動，當(dāng)四邊形BMNE的周長最小時(shí)，則tan∠MBC的值是．【分析】根據(jù)題意得出作EF∥AC且EF＝，連接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此時(shí)四邊形BMNE的周長最小，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，連接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延長DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E′，則CE′＝CE＝1，將MN平移至E′F′處，則四邊形MNE′F′為平行四邊形，則當(dāng)BM+EN＝BM+FM＝BF′時(shí)四邊形BMNE的周長最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由對稱性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案為．【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，已知四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，m的值為．【分析】因?yàn)锳D，BC的長度都是固定的，所以求出AB+CD的長度就行了．問題就是AB+CD什么時(shí)候最短．把D點(diǎn)向左平移2個(gè)單位到D′點(diǎn)；作D′關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D″，連接AD″，交x軸于P，從而確定C點(diǎn)位置，此時(shí)AB+CD最短．設(shè)直線AD″的解析式為y＝kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式．即可求得m的值．【解答】解：將C點(diǎn)向左平移2單位與B重合，點(diǎn)D向左平移2單位到D′（3，1），作D′關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D″，根據(jù)作法知點(diǎn)D″（3，﹣1），設(shè)直線AD″的解析式為y＝kx+b，則，解得k＝﹣2，b＝5．∴直線AD″的解析式為y＝﹣2x+5．當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，即B（，0），m＝．故答案為：．【點(diǎn)評】考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，關(guān)鍵是熟悉關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識．題型2：面積平分問題解題模板：技巧精講1：利用中線平分圖形面積的方法2.利用對稱性平分圖形面積的方法5.（1）問題提出：如圖（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)且AD＝2，過點(diǎn)D作直線DE交△ABC于點(diǎn)E，使得△ABC被分成面積相等的兩部分，則DE的長為2．（2）類比發(fā)現(xiàn)：如圖（2），五邊形ABOCD，各頂點(diǎn)坐標(biāo)為：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）請你找出一條經(jīng)過頂點(diǎn)A的直線，將五邊形ABOCD分為面積相等的兩部分，求出該直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（3）如圖（3），王叔叔家有一塊四邊形菜地ABCD，他打算過D點(diǎn)修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農(nóng)作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°過點(diǎn)D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分？若存在，求出平分該四邊形面積的線段長：若不存在，請說明理由．【分析】（1）如圖1中，取AC的中點(diǎn)F，連接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，連接DE交BF于O．證明DE平分△ABC的面積，利用平行線分線段成比例定理求出CE即可解決問題．（2）如圖2中，連接AO、AC，作BE∥AO交x軸于E，DF∥AC交x軸于F，EF的中點(diǎn)為M，則直線AM平分五邊形ABCOD的面積，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可解決問題．（3）先求出四邊形ABCD的面積，即可得出四邊形ABQD的面積，從而求出QM，再用平行線分線段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如圖1中，取AC的中點(diǎn)F，連接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，連接DE交BF于O．∵AF＝FC，∴S△AFB＝S△BFC，∵BD∥EF，∴S△BDE＝S△BDF，∴S△DFO＝S△BOE，∴S△ECD＝S四邊形ABED，∴DE平分△ABC的面積，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案為2．（2）如圖2中，連接AO、AC，作BE∥AO交x軸于E，DF∥AC交x軸于F，EF的中點(diǎn)為M，則直線AM平分五邊形ABCOD的面積，∵直線AO的解析式為y＝x，∴直線BE解析式為y＝x+2，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（﹣，0），∵直線AC的解析式為y＝﹣4x+16，∴直線DF的解析式為y＝﹣4x+18，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（，0）∴EF的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（，0），∴直線AM的解析式為：y＝x﹣4．（3）如圖3中，連接BD，AC交于點(diǎn)O．在BC上取一點(diǎn)Q，過Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分線，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∵在一條過點(diǎn)D的直線將箏形ABCD的面積二等分，∴S四邊形ABQD＝S四邊形ABCD＝40000，∵S△ABD＝×BD×OA＝20000，∴S△QBD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四邊形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【點(diǎn)評】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線，幾何作圖，勾股定理，等積問題等知識，解題的關(guān)鍵是把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形是解決問題的關(guān)鍵，記住三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形．【變式5-1】（2022?江北區(qū)模擬）新知學(xué)習(xí)：若一條線段把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是三角形的中線；②如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，DC上，連接EF，與AD交于點(diǎn)G．若S△AEG＝S△DGF，則EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一條二分線．（2）如圖2，四邊形ABCD中，CD平行于AB，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，射線CG交射線BA于點(diǎn)E，取EB的中點(diǎn)F，連接CF．求證：CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，且∠BED＝∠A，EF是四邊形ABDE的一條二分線，求DF的長．【分析】（1）①由平面圖形的二分線定義可求解；②由面積的和差關(guān)系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一條二分線；（2）根據(jù)EB的中點(diǎn)F，所以S△CBF＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中點(diǎn)，證明△CDG≌△EAG，所以S四邊形AFCD＝S△CEF，所以S四邊形AFCD＝S△CBF，可得CF是四邊形ABCD的二分線；（3）延長CB使BH＝CD，連接EH，通過全等三角形的判定可得S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝S四邊形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；∴三角形的中線是三角形的二分線，故答案為三角形的中線②∵AD是BC邊上的中線∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵S△AEG＝S△DGF，∴S四邊形BDGE+S△AEG＝S四邊形BDGE+S△DGF，∴S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，∴EF是△ABC的一條二分線故答案為：是（2）∵EB的中點(diǎn)F，∴S△CBF＝S△CEF，∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中點(diǎn)，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），∴S△AEG＝S△DCG，∴S四邊形AFCD＝S△CEF，∴S四邊形AFCD＝S△CBF，∴CF是四邊形ABCD的二分線．（3）如圖，延長CB使BH＝CD，連接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE＝S△EDC，∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、∴S△BEH＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△HED＝S四邊形ABDE，∵EF是四邊形ABDE的一條二分線，∴S△DEF＝S四邊形ABDE＝S△HED，∴DF＝DH＝【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，理解新定義是本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2021?西安一模）問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點(diǎn)D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；問題探究（2）如圖②，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點(diǎn)O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關(guān)系，并說明你的理由；解決問題（3）如圖③，劉老伯有一個(gè)形狀為箏形OACB的養(yǎng)雞場，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在邊AC上存在一點(diǎn)P，使得過B、P兩點(diǎn)修一道筆直的墻（墻的寬度不計(jì)），將這個(gè)養(yǎng)雞場分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線BP的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，AD將△ABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一般，可求出AD的長度；（2）根據(jù)同底等高的三角形面積相等，再減去相等的部分，就可以得出△AOM與△BON的面積相等；（3）連接AB，過點(diǎn)O作AB的平行線，交CA的延長線于點(diǎn)F，交OA于點(diǎn)G，則△OBG的面積等于△AFG的面積，則四邊形OACB的面積轉(zhuǎn)化為△BCF的面積，取CF的中點(diǎn)P，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求出直線BP的表達(dá)式．【解答】解：（1）如圖①，取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，則線段AD即為所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝．（2）S△AOM＝S△BON，理由如下：由圖可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，如圖②，過點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵M(jìn)N∥DE，∴四邊形MDEN是矩形，∴MD＝NE，∵S△ABM＝，S△ABN＝，∴S△ABM＝S△ABN，∴S△AOM＝S△BON．（3）存在，直線BP的表達(dá)式為：y＝x+4．如圖③，連接AB，過點(diǎn)O作OF∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)F，交OA于點(diǎn)G，由（2）的結(jié)論可知，S△OBG＝S△AFG，∴S四邊形OACB＝S△BCF，取CF的中點(diǎn)P，作直線BP，直線BP即為所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴線段AB所在直線表達(dá)式為：y＝﹣x+4，線段AC所在直線的表達(dá)式為：y＝3x﹣12，∴直線OF的表達(dá)式為：y＝﹣x，聯(lián)立，解得，∴F（3，﹣3），∵點(diǎn)P是CF的中點(diǎn)，∴P（，），∴直線BP的表達(dá)式為：y＝x+4．【點(diǎn)評】主要考查了勾股定理，中點(diǎn)的性質(zhì)，面積轉(zhuǎn)化以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式等內(nèi)容，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容，中點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，作出輔助線，進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．題型3：面積最值問題解題模板：6.（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為8．【分析】過點(diǎn)C作CG⊥BA于點(diǎn)G，作EH⊥AB于點(diǎn)H，作AM⊥BC于點(diǎn)M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易證△AMB∽△CGB，求得GB＝8，設(shè)BD＝x，則DG＝8﹣x，易證△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，當(dāng)x＝4時(shí)，△BDE面積的最大值為8．【解答】解：過點(diǎn)C作CG⊥BA于點(diǎn)G，作EH⊥AB于點(diǎn)H，作AM⊥BC于點(diǎn)M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，∴△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，設(shè)BD＝x，則DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，當(dāng)x＝4時(shí)，△BDE面積的最大值為8．故答案為8．【點(diǎn)評】本題考查了正方形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（1）如圖①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面積S△ABC；（2）如圖②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面積S△ABC；（3）如圖③，四邊形ABCD，AC＝m，BD＝n，對角線AC交于O點(diǎn)，他們所成銳角為β，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD．【分析】（1）過A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根據(jù)三角形面積公式求出即可；（2）過A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根據(jù)三角形面積公式求出即可；（3）過A作AE⊥BD于E，過C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【解答】解：（1）如圖①，過A作AM⊥BC于M，則∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，∴△ABC的面積S△ABC＝×BC×AM＝×6×2＝6；（2）如圖②，過A作AM⊥BC于M，則∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝bsinα，∵BC＝a，∴△ABC的面積S△ABC＝×BC×AM＝×a×bsinα＝absinα；（3）如圖3，過A作AE⊥BD于E，過C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夾角為β，∴AE＝OA?sinβ，CF＝OC?sinβ，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝BD?AE+BD?CF＝BD?（AE+CF）＝BD?（OA?sinβ+OC?sinβ）＝BD?AC?sinβ＝mnsinβ．即四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD＝mnsinβ．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，三角形的面積的應(yīng)用，此題比較難，解題時(shí)關(guān)鍵要找對思路，即原四邊形的高已經(jīng)發(fā)生了變化，只要把高求出來，一切將迎刃而解．【變式6-2】如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，以DE為邊作正方形DEFG（點(diǎn)D、E、F、G按順時(shí)針方向排列）．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的速度為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動的時(shí)間為x秒．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：點(diǎn)G在直線BC上；（2）設(shè)正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接寫出整個(gè)運(yùn)動過程中，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，證出∠ADE＝∠CDG，由SAS證明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，證出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出結(jié)論；（2）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，過點(diǎn)E作EK∥AD，交CD于點(diǎn)K，則AC∥EK∥AD，證明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性質(zhì)得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面積﹣△ADE的面積﹣△BEH的面積，即可得出結(jié)果；②當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，S＝△DEC的面積＝4﹣x；（3）由（1）知，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，點(diǎn)G在直線BC上，當(dāng)點(diǎn)E與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F的位置如圖2所示：點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為BF；同理，點(diǎn)E在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與C點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為FG；由勾股定理求出BD，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴點(diǎn)G在直線BC上；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，過點(diǎn)E作EK∥AD，交CD于點(diǎn)K，如圖1所示：則AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面積﹣△ADE的面積﹣△BEH的面積＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，S＝△DEC的面積＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，點(diǎn)G在直線BC上，當(dāng)點(diǎn)E與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F的位置如圖2所示：點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為BF；同理，點(diǎn)E在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與C點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴點(diǎn)F運(yùn)動的路徑長為4．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．1．如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，連接BD，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF，連接DE、DP、EF．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求∠EDF的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)時(shí)，∠EDF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明；若發(fā)生改變，請說明理由；（3）若點(diǎn)P是線段BD上一動點(diǎn)，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可證△ABD，△BCD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可證DE＝DF，∠EDF＝60°，可得結(jié)論；（2）證明△ADE≌△BDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）過點(diǎn)P作PG⊥AD于點(diǎn)G，連接PF，過點(diǎn)F作FG′⊥AD于點(diǎn)G′，交BD于點(diǎn)P′，可得GP＝DP?sin60°＝DP，則PF+DP＝PF+GP，當(dāng)點(diǎn)F、P、G三點(diǎn)共銭，且FG⊥AD時(shí)，PF+GP有最小值，最小值為FG′的長，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，則DH＝FG'，PF+DP的最小值即為DH的長，由△BDC是等邊三角形可得DH＝CD?sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，邊長為6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等邊三角形，∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，AE＝BF，∴點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度數(shù)不改變，證明：△ABD，△BCD是等邊三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如圖，過點(diǎn)P作PG⊥AD于點(diǎn)G，連接PF，過點(diǎn)F作FG′⊥AD于點(diǎn)G′，交BD于點(diǎn)P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP?sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴當(dāng)點(diǎn)F、P、G三點(diǎn)共銭，且FG⊥AD時(shí)，PF+GP有最小值，最小值為FG′的長，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即為DH的長，∵DH⊥BC，△BDC是等邊三角形，∴DH＝CD?sin60°＝3，∴PF+DP的最小值為3．【點(diǎn)評】本題考查了四邊形的綜合應(yīng)用，掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造構(gòu)造在直角三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先證明四邊形DBCE是平行四邊形，再由BE⊥DC，得四邊形DBCE是菱形；（2）作N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N'，過D作DH⊥BC于H，由菱形的對稱性知，點(diǎn)N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，在Rt△DBH中，可得DH＝DB?sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延長線上，∴DE∥BC，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE是菱形；（2）解：作N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N'，過D作DH⊥BC于H，如圖：由菱形的對稱性知，點(diǎn)N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴當(dāng)P、M、N'共線時(shí)，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值為平行線間的距離DH的長，即PM+PN的最小值為DH的長，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB?sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及菱形的判定，等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，對稱變換等，解題的關(guān)鍵是掌握解決“將軍飲馬”模型的方法．3．（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長最??？請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF＝PM2最小．【解答】方法一：解：（1）∵對稱軸為直線x＝2，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+k．將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE＝1，OF＝2．設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），如答圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四邊形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴當(dāng)x＝時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為，把x＝時(shí)，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF＝PM2最?。O(shè)直線PM2的解析式為y＝mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝時(shí)，四邊形PMEF周長最?。椒ǘ海?）略．（2）連接MF，過點(diǎn)P作x軸垂線，交MF于點(diǎn)H，顯然當(dāng)S△PMF有最大值時(shí)，四邊形MEFP面積最大．當(dāng)a＝1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），∵M(jìn)（0，1），∴l(xiāng)MF：y＝﹣x+1，設(shè)P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），∴S△PMF＝（PY﹣HY）（FX﹣MX），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴當(dāng)t＝時(shí)，S△PMF最大值為，∵S△MEF＝EF×MY＝×1×1＝，∴S四邊形MEFP的最大值為+＝，∴P（，）．（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF長度固定，當(dāng)ME+PF最小時(shí)，PMEF的周長取得最小值，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1），∵四邊形MEFM1為平行四邊形，∴ME＝M1F，作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，M2三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F(xiàn)（a+1，0），∴KPF＝KM1F，∴，∴a＝．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計(jì)算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€的性質(zhì)．試題計(jì)算量偏大，注意認(rèn)真計(jì)算．4．（2021?靖江市校級一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上．若直線l經(jīng)過點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，若AE＝2，則求EF的長．（請從“線段的長度或線段的位置關(guān)系”的方向設(shè)計(jì)條件及問題，并解答）【分析】過點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG⊥BC，