專項(xiàng)37銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-三角形+矩形模型(原卷版+解析)

專項(xiàng)37銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-三角形+矩形模型已知AB、BE的長(zhǎng)度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度數(shù)，過(guò)較短的邊AB作高BE，構(gòu)造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加減求解。1．（2022?武漢模擬）如圖，為了測(cè)量某風(fēng)景區(qū)內(nèi)一座古塔CD的高度，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)分別在古塔對(duì)面的高樓AB的底部B和頂部A處分別測(cè)得古塔頂部C的仰角分別為45°和30°，已知高樓AB的高為24m，則古塔CD的高度為是m（≈1.732，≈1.414，結(jié)果保留一位小數(shù)）．2．（2022?宿遷）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓AB的頂部觀測(cè)信號(hào)塔CD底部的俯角為30°，信號(hào)塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓AB的高度為20m，求信號(hào)塔的高度（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．3．（2022?賽罕區(qū)校級(jí)一模）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，坡比為且CD＝4米，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大樓AB的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）4．（2022?澄邁縣模擬）如圖，某教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，教學(xué)樓頂部A在地面上的影子F與墻角C的距離為18m（B、F、C在同一直線上）．求教學(xué)樓AB的高；（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）5．（2020?新賓縣模擬）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度．（測(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）6．（2015?通遼）如圖，建筑物AB后有一座假山，其坡度為i＝1：，山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，測(cè)得假山坡腳C與建筑物水平距離BC＝25米，與涼亭距離CE＝20米，某人從建筑物頂端測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）7．如圖，為了測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù)BC的高度，小明在點(diǎn)A處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角為37°，再?gòu)狞c(diǎn)A出發(fā)沿傾斜角為30°的斜坡AF走4m到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測(cè)得樹(shù)頂端B的仰角為26.7°．求大樹(shù)BC的高度（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）8．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識(shí)牌CD，小明在斜坡上B處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來(lái)在地面A處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．求標(biāo)識(shí)牌CD的高．9．春節(jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處大樓的大屏幕時(shí)出現(xiàn)了“新年快樂(lè)”幾個(gè)大字，小明想利用剛學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測(cè)得“新”字底端D的仰角為60°，再沿著坡面AB向上走到B處，測(cè)得“新”字頂端C的仰角為45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假設(shè)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)）．（1）求點(diǎn)B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD長(zhǎng)保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)≈1.732）10．（2020?新昌縣校級(jí)模擬）如圖，某學(xué)校體育場(chǎng)看臺(tái)的頂端C到地面的垂直距離CD為2m，看臺(tái)所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為30°，在點(diǎn)M處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為60°，且B，M，D三點(diǎn)在同一水平線上．（1）求DM的長(zhǎng)．（2）求旗桿AB的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）專項(xiàng)37銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-三角形+矩形模型已知AB、BE的長(zhǎng)度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度數(shù)，過(guò)較短的邊AB作高BE，構(gòu)造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加減求解。1．（2022?武漢模擬）如圖，為了測(cè)量某風(fēng)景區(qū)內(nèi)一座古塔CD的高度，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)分別在古塔對(duì)面的高樓AB的底部B和頂部A處分別測(cè)得古塔頂部C的仰角分別為45°和30°，已知高樓AB的高為24m，則古塔CD的高度為是m（≈1.732，≈1.414，結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】56.8【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，得矩形DEAB，由題意得，設(shè)塔高CD＝xm，則BD＝AE＝xm，CE＝（x﹣24）m，在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，則＝，即＝，解得：x≈56.8．答：古塔CD的高度約為56.8米．2．（2022?宿遷）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓AB的頂部觀測(cè)信號(hào)塔CD底部的俯角為30°，信號(hào)塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓AB的高度為20m，求信號(hào)塔的高度（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，由題意得：AB＝DE＝20m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，∴AE＝＝＝20（m），在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴CE＝AE?tan45°＝20×1＝20（m），∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，∴信號(hào)塔的高度為（20+20）m3．（2022?賽罕區(qū)校級(jí)一模）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，坡比為且CD＝4米，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大樓AB的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡比為，∴＝＝，∴∠DCE＝30°，在Rt△DCE中，DC＝4米，∴DE＝DC＝2（米），∴斜坡CD的高度DE為2米；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DF＝AE，DE＝AF＝2米，在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∴CE＝DC?cos30°＝4×＝2（米），設(shè)BF＝x米，∴AB＝AF+BF＝（x+2）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝45°，∴DF＝＝x（米），∴AE＝DF＝x米，∴AC＝AE﹣EC＝（x﹣2）米，在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：x＝4+4，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝4+4+2＝（4+6）米，∴大樓AB的高度為（4+6）米．4．（2022?澄邁縣模擬）如圖，某教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，教學(xué)樓頂部A在地面上的影子F與墻角C的距離為18m（B、F、C在同一直線上）．求教學(xué)樓AB的高；（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于G，則四邊形BCEG是矩形，∴BC＝EG，BG＝CE＝2m設(shè)教學(xué)樓AB的高為xm，∵∠AFB＝45°，∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，在Rt△AEG中，∠AEG＝22°∵tan∠AEG＝，∴tan22°＝，∴，解得：x≈15m．答：教學(xué)樓AB的高約為15m．5．（2020?新賓縣模擬）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度．（測(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）【解答】解：作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO?tan60°＝100（米）．設(shè)PE＝x米，∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，∴100+2x＝100﹣x，解得x＝（米）．答：電視塔OC高為100米，點(diǎn)P的鉛直高度為（米）．6．（2015?通遼）如圖，建筑物AB后有一座假山，其坡度為i＝1：，山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，測(cè)得假山坡腳C與建筑物水平距離BC＝25米，與涼亭距離CE＝20米，某人從建筑物頂端測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度為i＝1：，∴設(shè)EF＝x，則FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，則FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高為（35+10）m．7．如圖，為了測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù)BC的高度，小明在點(diǎn)A處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角為37°，再?gòu)狞c(diǎn)A出發(fā)沿傾斜角為30°的斜坡AF走4m到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測(cè)得樹(shù)頂端B的仰角為26.7°．求大樹(shù)BC的高度（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G，H．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∵sin30°＝，cos30°＝，∴DG＝AD?sin30°＝2m，AG＝AD?cos30°＝2m，在Rt△ABC中，tan37°＝，∴BC＝tan37°?AC，在Rt△BDH中，tan26.7°＝，∴BC﹣2＝tan26.7°（AC+2），∴tan37°?AC﹣2＝tan26.7°（AC+2），即0.75AC﹣2≈0.5（AC+2），∴AC＝（4+8）m．∴BC＝0.75×（4+8）＝3+6≈11.2m．答：大樹(shù)BC的高度約為11.2m8．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識(shí)牌CD，小明在斜坡上B處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來(lái)在地面A處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．求標(biāo)識(shí)牌CD的高．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥EA，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作BG⊥DE于點(diǎn)G．則BF＝EG，BG＝EF，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，sin30°＝，cos30°＝，∴BF＝5米，AF＝米，∵AE＝10米，∴BG＝EF＝AF+AE＝（10+5）米，在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，∴BG＝CG，即CG＝（10+5）米，∴CE＝CG+EG＝（15+5）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝10米，tan60°＝，∴DE＝10米，∴CD＝CE﹣DE＝15+5﹣10＝（15﹣5）米．即標(biāo)識(shí)牌CD的高為（15﹣5）米．∴漁輪的航程BC約為10海里，海軍艦艇的航程AB約為26海里．9．春節(jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處大樓的大屏幕時(shí)出現(xiàn)了“新年快樂(lè)”幾個(gè)大字，小明想利用剛學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測(cè)得“新”字底端D的仰角為60°，再沿著坡面AB向上走到B處，測(cè)得“新”字頂端C的仰角為45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假設(shè)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)）．（1）求點(diǎn)B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD長(zhǎng)保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)≈1.732）【解答】解：（1）如圖，過(guò)B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD約為13.4m．10．（2020?新昌縣校級(jí)模擬）如圖，某學(xué)校體育場(chǎng)看臺(tái)的頂端C到地面的垂直距離CD為2m，看臺(tái)所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為30°，在點(diǎn)M處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰