專題18一次方程(組)和一次不等式(組)的綜合(原卷版+解析)

專題18一次方程（組）和一次不等式（組）的綜合（原卷版）第一部分典例剖析+針對訓練類型一一元一次方程與不等式的綜合典例1（2022春?楊浦區(qū)校級期中）當m為何值時，關于x的方程x?m2針對訓練1．（2021春?虎林市期末）已知關于x的方程x?2x?m3=2?x3典例2（2021春?安徽月考）已知（2a﹣2）x|a|+m＞0是關于x的一元一次不等式．（1）則a的值為．（2）若不等式的解集是x＜4，則實數m的值為．針對訓練2．（2022春?高郵市期末）若不等式3x+a＞2的解集是x＞1，則a＝．類型二二元一次方程組與一元一次不等式的綜合典例3（2022春?鎮(zhèn)平縣月考）已知關于x，y的方程組x+y=3a+4①x?y=7a?4②的解滿足不等式3x﹣2y＜11，求a針對訓練1．（2022春?青羊區(qū)校級月考）關于x，y的二元一次方程組3x+y=1+3ax+3y=1?a的解滿足不等式x+y＞﹣2，求a2．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）已知關于x、y的二元一次方程組2x+y=kx?2y=3（k（1）若該方程組的解x、y滿足3x﹣y＞4，求k的取值范圍；（2）若該方程組的解x、y均為正整數，且k≤12，直接寫出該方程組的解．類型三二元一次方程組與一元一次不等式組的綜合典例4（2022?南京模擬）已知關于x、y的方程組2x+y=4mx+2y=2m+1（實數m（1）若x+y＝1，求實數m的值；（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范圍；（3）若不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整數解，求a的取值范圍．針對訓練1．（2022?南京模擬）已知關于x、y的方程組x+y=?m?7x?y=3m+1的解滿足x≤0，y（1）用含m的代數式分別表示x和y；（2）求m的取值范圍；（3）在m的取值范圍內，是否存在一個整數使不等式2mx﹣1＜2m﹣x的解集為x＞1．若不存在，請說明理由，若存在，請求出這樣的整數值m．2．（2022春?樂安縣期中）若關于x的不等式組x?24＜x?134x?m≤4?x恰有2個整數解，且關于x，y

專題提優(yōu)訓練1．（2022春?確山縣期末）若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＞6是關于x的一元一次不等式，則該不等式的解集為．2．（2022春?鄖西縣期中）定義一種運算：a?b=a，a≥bb，a＜b，則不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是3．（2021秋?冷水灘區(qū)校級期中）如果關于x的方程x+2m﹣3＝3x+7的解為不大于2的非負數，求m的取值范圍．4．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小整數解是方程2x﹣ax＝3的解，求代數式4a?145．（2021春?武侯區(qū)校級月考）若關于x，y的方程組x+2y=3m?62x+y=3的解滿足x+y＜2，求出滿足條件的m6．（2021春?龍口市期末）若關于x，y的二元一次方程組2x+y=2?3mx+2y=4的解滿足x+y＞?32

7．（2022春?濱海新區(qū)期末）若點M（x，y）的坐標滿足方程組2x+y=5k+2x?y=k?5（1）求點M的坐標（用含k的式子表示x，y）；（2）若點M在第二象限，求k的取值范圍；（3）若點M在第一象限，且2（k+1）＜7，則滿足條件的整數k有幾個？8．（2019春?崇川區(qū)校級期中）閱讀下列材料：問題“已知x﹣y＝2且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2，又∵x＞1∴y+2＞1，∴y＞﹣1又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①同理得：1＜x＜2②，∴﹣1+1＜x+y＜0+2，即0＜x+y＜2．請按照上述方法，完成下列問題：（1）已知關于x、y的方程組x?2y=a3x?5y=2a+1的解均為負數，若a﹣b＝3且b＜1，求a+b（2）已知y＞1，x≤﹣1，若x﹣y＝a成立，求x+y的取值范圍（結果用含a的式子表示）．

9．（2022?青縣二模）解方程組x+y=3①2x?3y=1②（1）下面給出了部分解答過程：將方程②變形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③把方程①代入③得：…請完成解方程組的過程；（2）若方程的x+y=32x?3y=1解滿足0＜ax﹣3y＜4，求整數a10．（2022春?福清市期末）閱讀理解：定義：使方程（組）與不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）：的“理想解”，例如：已知方程2x﹣1＝1與不等式x+1＞0，x＝1當x＝1時，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同時成立，則稱“x＝1”是方程2x﹣1＝1與不等式x+1＞0的“理想解”．問題解決：（1）請判斷方程3x﹣5＝4的解是此方程與以下哪些不等式（組）的“理想解”（直接填寫序號）①2x﹣3＞3x﹣1；②2（x﹣1）≤4；③x+1＞0x?2≤1（2）若x=my=n是方程組x+2y=62x+y=3q與不等式x+y＞1的“理想解”，求（3）當k＜3時，方程3（x﹣1）＝k的解都是此方程與不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，若m+n≥0且滿足條件的整數n有且只有一個，求m的取值范圍．專題18一次方程（組）和一次不等式（組）的綜合（解析版）第一部分典例剖析+針對訓練類型一一元一次方程與不等式的綜合典例1（2022春?楊浦區(qū)校級期中）當m為何值時，關于x的方程x?m2思路引領：本題首先要解這個關于x的方程，求出方程的解，根據解是非負數，可以得到一個關于m的不等式，就可以求出m的范圍．解：解關于x的方程x?m2?1=2x+m3得由題意，得﹣5m﹣6≥0解這個不等式，得m≤?6總結提升：此題考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟練掌握方程及不等式的解法是解本題的關鍵．針對訓練1．（2021春?虎林市期末）已知關于x的方程x?2x?m3=2?x3思路引領：根據題意可以先求出方程的解，然后根據關于x的方程x?2x?m3=2?x3的解是非負數，即x解：∵x?2x?m去分母得3x﹣（2x﹣m）＝2﹣x去括號，合并同類項得2x＝2﹣m∴x＝1?m∵關于x的方程x?2x?m∴1?m2≥∵m是正整數，∴m＝1和2．總結提升：此題考查了一元一次不等式的整數解，關鍵是把字母m看作一個常數來解．典例2（2021春?安徽月考）已知（2a﹣2）x|a|+m＞0是關于x的一元一次不等式．（1）則a的值為．（2）若不等式的解集是x＜4，則實數m的值為．思路引領：（1）利用一元一次不等式的定義判斷即可求出a的值；（2）把a的值代入不等式，根據已知解集確定出m的值即可．解：（1）∵（2a﹣2）x|a|+m＞0是關于x的一元一次不等式，∴|a|＝1，2a﹣2≠0，解得：a＝﹣1；（2）把a＝﹣1代入得：﹣4x+m＞0，解得：x＜m∵不等式的解集為x＜4，∴m4解得：m＝16．故答案為：（1）﹣1；（2）16．總結提升：此題考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式的定義，熟練掌握不等式的解法是解本題的關鍵．針對訓練2．（2022春?高郵市期末）若不等式3x+a＞2的解集是x＞1，則a＝．思路引領：不等式移項得到3x＞2﹣a，根據解集是x＞1，得到2﹣a＝3，從而求解．解：∵3x+a＞2，∴3x＞2﹣a，∵不等式3x+a＞2的解集是x＞1，∴2﹣a＝3，解得：a＝﹣1．故答案為﹣1．總結提升：考查了不等式的解集，解不等式依據不等式的性質．類型二二元一次方程組與一元一次不等式的綜合典例3（2022春?鎮(zhèn)平縣月考）已知關于x，y的方程組x+y=3a+4①x?y=7a?4②的解滿足不等式3x﹣2y＜11，求a思路引領：先利用加減消元法解二元一次方程組，求得用a表示的x、y，根據方程組的解滿足不等式3x﹣2y＜11可得關于a的不等式，解不等式即可．解：x+y=3a+4①x?y=7a?4②①+②，得：2x＝10a，即x＝5a，將x＝5a代入①，得：5a+y＝3a+4，解得：y＝﹣2a+4，∴方程組的解為x=5ay=?2a+4∵方程組的解滿足不等式3x﹣2y＜11，∴3×5a﹣2（﹣2a+4）＜11，解得：a＜1．故a的取值范圍是a＜1．總結提升：本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式，熟練掌握解二元一次方程組的基本方法和解不等式的基本步驟是解題的關鍵．針對訓練1．（2022春?青羊區(qū)校級月考）關于x，y的二元一次方程組3x+y=1+3ax+3y=1?a的解滿足不等式x+y＞﹣2，求a思路引領：將兩方程相加可得4x+4y＝2+2a，即x+y=a+1解：將兩方程相加可得4x+4y＝2+2a，則x+y=a+1由x+y＞﹣2可得a+12解得a＞﹣5，所以a的取值范圍為：a＞﹣5．總結提升：本題主要考查解一元一次不等式的能力，解題的關鍵是根據題意列出關于a的不等式．2．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）已知關于x、y的二元一次方程組2x+y=kx?2y=3（k（1）若該方程組的解x、y滿足3x﹣y＞4，求k的取值范圍；（2）若該方程組的解x、y均為正整數，且k≤12，直接寫出該方程組的解．思路引領：（1）根據題意得到關于k的不等式，解不等式即可求得；（2）解方程組用含有k的代數式表示出x和y，結合1＜k≤12即可求出k的值，進而求得方程組的解．解：（1）2x+y=k①x?2y=3②①+②得，3x﹣y＝k+3，∵方程組的解x、y滿足3x﹣y＞4，∴k+3＞4，解得k＞1；（2）2x+y=k①x?2y=3②①×2+②得5x＝2k+3，①﹣②×2得5y＝k﹣6，解得x=2k+35，∵方程組的解x、y均為正整數，且1＜k≤12，∴k＝11，∴方程組的解為x=5y=1總結提升：本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式，二元一次方程的解的應用，能靈活運用知識點求出k的值是解此題的關鍵．類型三二元一次方程組與一元一次不等式組的綜合典例4（2022?南京模擬）已知關于x、y的方程組2x+y=4mx+2y=2m+1（實數m（1）若x+y＝1，求實數m的值；（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范圍；（3）若不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整數解，求a的取值范圍．思路引領：（1）由①+②可得：x+y=6m+13，再由x+y＝1，可得（2）由①﹣②可得：x﹣y＝2m﹣1，再由﹣1＜x﹣y＜5，可得﹣1＜2m﹣1＜5，即可求解；（3）先求不等式的解集為x≥a?12，再由不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整數解，可得關于解：（1）2x+y=4m①x+2y=2m+1②由①+②得：3x+3y＝6m+1，即3（x+y）＝6m+1，∴x+y=6m+1∵x+y＝1，∴6m+13=1，解得：（2）2x+y=4m①x+2y=2m+1②由①﹣②得：x﹣y＝2m﹣1，∵﹣1＜x﹣y＜5，∴﹣1＜2m﹣1＜5，解得：0＜m＜3；（3）2x≥a﹣1，解得：x≥a?1∵不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整數解，∴a?12≤1，解得：總結提升：本題主要考查了解二元一次方程組，一元一次不等式組的應用，熟練掌握二元一次方程組，一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．針對訓練1．（2022?南京模擬）已知關于x、y的方程組x+y=?m?7x?y=3m+1的解滿足x≤0，y（1）用含m的代數式分別表示x和y；（2）求m的取值范圍；（3）在m的取值范圍內，是否存在一個整數使不等式2mx﹣1＜2m﹣x的解集為x＞1．若不存在，請說明理由，若存在，請求出這樣的整數值m．思路引領：（1）首先對方程組進行化簡即可求得含m的表示x和y得代數式；（2）根據方程的解滿足的解滿足x≤0，y＜0得到不等式組，解不等式組就可以得出m的范圍，然后求得m的值；（3）根據不等式2mx+x＜2m+1的解集為x＞1，求出m的取值范圍，即可解答．解：（1）x+y=?m?7①x?y=3m+1②①+②得2x＝2m﹣6，所以，x＝m﹣3；①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，所以，y＝﹣2m﹣4，故含m的代數式分別表示x和y為x=m?3y=?2m?4（2）∵x≤0，y＜0，∴m?3≤0?2m?4＜0解得﹣2＜m≤3；（3）不等式變形為：（2m+1）x＜2m+1，∵原不等式的解集是x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜?1又∵﹣2＜m≤3∴﹣2＜m＜?1∵m為整數，∴m＝﹣1．總結提升：本題考查了解二元一次方程組和一元一次不等式，解決本題的關鍵是求出方程組的解集．2．（2022春?樂安縣期中）若關于x的不等式組x?24＜x?134x?m≤4?x恰有2個整數解，且關于x，y思路引領：表示出不等式組的解集，由不等式組恰有2個整數解，確定出m的范圍，再由方程組有整數解，確定出符合題意整數m的值即可．解：不等式組整理得：x＞?2x≤∵不等式組恰有2個整數解，∴﹣2＜x≤m+4∴0≤m+4解得：﹣4≤m＜1，即整數m＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，方程組mx+y=4①3x?y=0②①+②得：（m+3）x＝4，解得：x=4把x=4m+3代入②得：y∵方程組的解為整數，∴m＝﹣4，﹣2，﹣1．總結提升：此題考查了解一元一次不等式組的整數解，以及二元一次方程組的解，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．專題提優(yōu)訓練1．（2022春?確山縣期末）若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＞6是關于x的一元一次不等式，則該不等式的解集為．思路引領：根據一元一次不等式的定義得出|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．解：由題意得：|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，∴m＝2或m＝0且m≠2，∴m＝0，∴原不等式可化為：﹣2x﹣3＞6，解得：x＜﹣4.5，∴該不等式的解集為x＜﹣4.5．總結提升：本題考查了一元一次不等式的定義和解法，根據一元一次不等式的定義求出m的值是解題的關鍵．2．（2022春?鄖西縣期中）定義一種運算：a?b=a，a≥bb，a＜b，則不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是思路引領：分2x+1≥2﹣x和2x+1＜2﹣x兩種情況，根據新定義列出不等式組分別求解可得．解：由新定義得2x+1≥2?x2x+1＞3或2x+1＜2?x解得x＞1或x＜﹣1，故答案為：x＞1或x＜﹣1．總結提升：此題考查的是一元一次不等式組的解法，求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．3．（2021秋?冷水灘區(qū)校級期中）如果關于x的方程x+2m﹣3＝3x+7的解為不大于2的非負數，求m的取值范圍．思路引領：表示出一元一次方程的解，根據解不大于2的非負數，確定出m的范圍即可．解：方程x+2m﹣3＝3x+7，整理得：x＝m﹣5，∵方程的解為不大于2的非負數，∴0≤m﹣5≤2，解得：5≤m≤7．總結提升：此題考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟練掌握各自的性質及解法是解本題的關鍵．4．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小整數解是方程2x﹣ax＝3的解，求代數式4a?14思路引領：經移項、合并同類項進而求得已知不等式得解集，進而確定其最小整數解；再把最小整數解代入方程求得a，再把a值代入代數式即可求解．解：∵5x﹣2＜6x+1，∴x＞﹣3，則x的最小整數為x＝﹣2，把x＝﹣2代入2x﹣ax＝3得，﹣4+2a＝3，∴a＝3.5；當a＝3.5時，4a?14總結提升：本題考查解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是關鍵．5．（2021春?武侯區(qū)校級月考）若關于x，y的方程組x+2y=3m?62x+y=3的解滿足x+y＜2，求出滿足條件的m思路引領：方程組兩方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范圍，確定出m的所有非負整數解即可．解：方程組兩式相加，得3x+3y＝3m﹣3，即x+y＝m﹣1，∵x+y＜2，∴m﹣1＜2，∴m＜3，則滿足條件的m的所有非負整數值為0，1，2．總結提升：本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式，解題的關鍵是根據題意列出關于m的不等式．6．（2021春?龍口市期末）若關于x，y的二元一次方程組2x+y=2?3mx+2y=4的解滿足x+y＞?32思路引領：把m看作已知數表示出方程組的解，代入已知不等式求出解集即可確定出m的范圍．解：由方程組2x+y=2?3mx+2y=4得3x+3y＝6﹣3m∴x+y＝2﹣m，∵關于x，y的二元一次方程組2x+y=2?3mx+2y=4的解滿足x+y＞?∴2﹣m＞?3解得m＜7總結提升：此題考查了解一元一次不等式以及二元一次方程組的解，根據方程組的未知數系數特點，得出x+y＝2﹣m，是解答本題的關鍵．7．（2022春?濱海新區(qū)期末）若點M（x，y）的坐標滿足方程組2x+y=5k+2x?y=k?5（1）求點M的坐標（用含k的式子表示x，y）；（2）若點M在第二象限，求k的取值范圍；（3）若點M在第一象限，且2（k+1）＜7，則滿足條件的整數k有幾個？思路引領：（1）運用加減消元法解此方程組；（2）由題意構造不等式組并求解；（3）由題意構造不等式組并求解，并確定出符合條件的k的值．解：（1）2x+y=5k+2①x?y=k?5②①+②得，3x＝6k﹣3，解得x＝2k﹣1，把x＝2k﹣1代入②得，2k﹣1﹣y＝k﹣5，解得y＝k+4，∴該方程組的解為x=2k?1y=k+4∴點M的坐標為（2k﹣1，k+4）；（2）由題意得不等式組2k?1＜0k+4＞0解得﹣4＜k＜1∴k的取值范圍﹣4＜k＜1（3）由題意得不等式組2k?1＞0k+4＞0解得12∴滿足條件的整數k有1，2，即滿足條件的整數k有2個．總結提升：此題考查了含字母參數的方程組與不等式組綜合問題的解決能力，關鍵是能對以上題目正確求解，并確定出符合條件的字母參數的值．8．（2019春?崇川區(qū)校級期中）閱讀下列材料：問題“已知x﹣y＝2且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2，又∵x＞1∴y+2＞1，∴y＞﹣1又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①同理得：1＜x＜2②，∴﹣1+1＜x+y＜0+2，即0＜x+y＜2．請按照上述方法，完成下列問題：（1）已知關于x、y的方程組x?2y=a3x?5y=2a+1的解均為負數，若a﹣b＝3且b＜1，求a+b（2）已知y＞1，x≤﹣1，若x﹣y＝a成立，求x+y的取值范圍（結果用含a的式子表示）．思路引領：（1）根據閱讀材料所給的解題過程，分別求得a、b的取值范圍，然后再來求a+b的取值范圍；（2）根據閱讀材料所給的解題過程，直接套用方法與步驟解答即可．解：（1）解方程組x?2y=a3x?5y=2a+1得x=2?a由題意，得2?a＜01?a＜0則原不等式組的解集為a＞2；∵a﹣b＝3，a＞2，∴a＝b+3＞2，∴b＞﹣1，∴a+b＞1，又∵a+b＝2b+3，b＜1，∴a+b＜5．故1＜a+b＜5；（2）∵x﹣y＝a，∴x＝y(tǒng)+a又∵x≤﹣1，∵y+a≤﹣1，∴y≤﹣1﹣a，又∵y＞1，∴1＜y≤﹣1﹣a…①同理得：a+1＜x≤﹣1…②由①+②：2+a＜x+y≤﹣2﹣a，∴x+y的取值范圍是：2+a＜x+y≤﹣2﹣a．總結提升：本題考查了一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是仔細閱讀材料，理解解題過程，難度一般．9．（2022?青縣二模）解方程組x+y=3①2x?3y=1②（1）下面給出了部分解答過程：將方程②變形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③把方程①代入③得：…請完成解方程組的過程；（2）若方程的x+y=32x?3y=1解滿足0＜ax﹣3y＜4，求整數a思路引領：（1）用代入消元法求解即可．（2）把方程組的解代入不等式組，得到關于a的不等式組，解得即可．解：（1）下面給出了部分解答過程：將方程②變形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③把方程①代入③得：2×3﹣5y＝1，解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝2，∴原方程組的解是x=2y=1（2）由（1）可知方程的x+y=32x?3y=1解為x=2∵方程的x+y=32x?3y=1解滿足0＜ax﹣3y∴0＜2a﹣3＜4，解得32＜a∴整數a為2或3．總結提升：本題考查了解二元一次方程組，一元一次不等式的整數解，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．10