專題12相似三角形的性質(zhì)(原卷版+解析)

專題12相似三角形的性質(zhì)考點一利用相似三角形的性質(zhì)求解考點二相似三角形應(yīng)用舉例考點三利用相似求坐標(biāo)考點四在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形考點五相似三角形——動點問題考點六相似三角形的綜合問題考點一利用相似三角形的性質(zhì)求解例題：（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）若，且周長比為4：9，則其對應(yīng)邊上的高的比為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南·永州柳子中學(xué)九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）兩個相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個三角形的周長之比為_______．3．（2021·廣西·北師大平果附屬學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．(1)求CE的長；(2)若△ABC的面積為，求△ADE的面積．考點二相似三角形應(yīng)用舉例例題：（2021·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知零件的外徑為，現(xiàn)用個交叉卡鉗（兩條尺長和相等，）測量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·九年級期末）如圖，路燈A與地面的距離米，身高1.6米小明與路燈底部的距離米，則小明影子長_______米．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為了測量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同時量得BC＝0.3m，CE＝2m，則樓高DE為______m．考點三利用相似求坐標(biāo)例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，則點坐標(biāo)為___________．【變式訓(xùn)練】1．（2020·江蘇·景山中學(xué)九年級階段練習(xí)）在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形．在如圖的方格中，作格點和相似（相似比不為1），則點的坐標(biāo)是_________．2．（2020·江蘇泰州·九年級階段練習(xí)）已知點A(2，0)，點B(b，0)(b＞2)，點P是第一象限內(nèi)的動點，且點P的縱坐標(biāo)為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的點P坐標(biāo)為_________．考點四在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形例題：（2022·四川·渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形，請按以下要求作圖．(1)在圖1中畫出格點△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面積比為；(2)在圖2中將△ABC繞著某格點逆向時針旋轉(zhuǎn)90°得到格點△PFG，其中C與P對應(yīng)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南洛陽·九年級期末）如圖，在5×5的邊長為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點三角形（即三角形的各頂點都在小正方形的頂點上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫出與△DEF相似且面積最大的格點三角形，并直接寫出其面積．2．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖，在方格紙中，點A，B，C都在格點上（△ABC稱為格點三角形，即格點△ABC），用無刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個點D，使；(2)在圖2中作一個格點△CEF，使△CEF與△ABC相似．考點五相似三角形——動點問題例題：（2022·山東煙臺·八年級期末）如圖，中，，，，動點P從點A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運動，動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，分別與交于點E，F(xiàn)，連接，設(shè)動點P與動直線同時出發(fā)，運動時間為t秒．當(dāng)t為__________時，與相似．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．點P從點B開始沿BA邊向終點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點A開始沿AO邊向終點O以1厘米/秒的速度移動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動．若P、Q同時出發(fā)，運動時間為t（s）．當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運動．當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P、Q運動時間為t（s）．(1)當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為9？(2)當(dāng)△PBQ與△ABC相似時，t的值是多少？考點六相似三角形的綜合問題例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E，點F分別在線段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求證：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2021·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）求證EG2＝GF?AF；（3）若AG＝3，EG＝，求BE的長．2．（2021·福建省詔安第一中學(xué)九年級期中）如圖，已知正方形ABCD，點E為AB上的一點，，交BD于點F．(1)如圖1，直按寫出的值_______；(2)將△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當(dāng)BE=BA時，其他條件不變，△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為何值時EA=ED?請在圖3或備用圖中畫出圖形并求出的值．一、選擇題1．（2020·北京市第五十六中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2021·甘肅·武威第三中學(xué)九年級期中）已知，若△ABC與△DEF的對應(yīng)邊之比為3∶4，則△ABC與△DEF的面積之比為（

）A．4∶3 B．3∶4 C．16∶9 D．9∶163．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點G，若△DEG的面積是1，則五邊形DABFG的面積是（）A．11 B．12 C． D．4．（2021·湖南·李達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，，若＝1：3，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm二、填空題6．（2022·吉林吉林·九年級期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，∠ADE=∠C，四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．若DE=3，則BC的長為_______．7．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點P、A、C在一條直線上，點P、B、D在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，點P到橫桿AB的距離是1m，則點P到地面的距離等于______m．8．（2022·湖南·衡陽市第十七中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，BC＝10，D、E分別為AB、AC的中點，連接BE、CD交于點O，OD＝3，OE＝4，則△ABC的面積為_____．9．（2021·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A′B′CD′，B′C與AD交于點E，AD的延長線與A′D′交于點F．當(dāng)矩形A'B'CD'的頂點A'落在CD的延長線上時，則EF＝_____．10．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D為AB邊上一點，AD＝3BD，CD＝2，點E在直線AC上，∠CDE＝45°，則AE＝______．三、解答題11．（2021·黑龍江·肇東市第七中學(xué)校九年級階段練習(xí)）小紅用下面的方法來測量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度：如圖，在水平地面點E處放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)大樓的距離AE＝20m．當(dāng)她與鏡子的距離CE＝2.5m時，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.5m，請你幫助小紅計算大樓的高度．12．（2021·黑龍江·肇東市第七中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿AB向點B以2m/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度運動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，4秒后停止運動．則在開始運動后第幾秒，△BPQ與△BAC相似？13．（2022·安徽·合肥市廬陽中學(xué)二模）已知，平分交于，交于．(1)求證：∽；(2)連接，若，，，求的長度．14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D，F(xiàn)，E分別在AB，BC，AC邊上，DFAC，EFAB．(1)求證：△BDF∽△FEC．(2)設(shè)．①若BC＝15，求線段BF的長；②若△FEC的面積是16，求△ABC的面積．15．（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D為BC邊上的一點．過點D作射線DE⊥DF，分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)．(1)當(dāng)D為BC的中點，且DE⊥AB，DF⊥AC時，如圖①，______．(2)①若D為BC的中點，將∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到圖②位置時，______．②若改變點D的位置，且時，求的值，請就圖③的情形寫出解答過程．(3)如圖③連接EF，當(dāng)BD＝______時，△DEF與△ABC相似．16．（2022·山東·東營市墾利區(qū)郝家鎮(zhèn)中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，，，點、分別是邊、的中點，連接，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時，______；②當(dāng)時，______．(2)拓展探究試判斷：當(dāng)時，的大小有無變化？請僅就圖的情形給出證明．(3)問題解決繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至、、三點在同一條直線上時，如圖3-1，圖3-2，求線段的長．（3）①如圖3-1中，當(dāng)點E在AB的延長線上時，②如圖3-2中，當(dāng)點E在線段AB上時，專題12相似三角形的性質(zhì)考點一利用相似三角形的性質(zhì)求解考點二相似三角形應(yīng)用舉例考點三利用相似求坐標(biāo)考點四在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形考點五相似三角形——動點問題考點六相似三角形的綜合問題考點一利用相似三角形的性質(zhì)求解例題：（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）若，且周長比為4：9，則其對應(yīng)邊上的高的比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，周長比為4：9，∴兩個三角形的相似比為4：9，∵對應(yīng)邊上的高的比等于相似比，∴對應(yīng)邊上的高的比為4：9．故選B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)．熟記相似三角形的周長比，對應(yīng)邊上的三線比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南·永州柳子中學(xué)九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵△ABC~△DEF，∴∠A＝∠D＝50°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）兩個相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個三角形的周長之比為_______．【答案】：2【分析】相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積之比為3：4，∴相似比是：2，∵相似三角形的周長比等于相似比，∴這兩個三角形的周長之比為：：2，故答案為：：2．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．3．（2021·廣西·北師大平果附屬學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．(1)求CE的長；(2)若△ABC的面積為，求△ADE的面積．【答案】(1)CE=2cm(2)△ADE的面積為．【分析】（1）設(shè)CE=xcm，根據(jù)平行線分線段成比例定理得代入可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行得相似，則面積比等于相似比的平方，可得結(jié)論．（1）解：設(shè)cm，則cm，∵，∴，∵cm，cm，∴，∴，∴，∴cm，（2）解：∵，∴，∴，∵的面積為，∴的面積為．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定及平行線分線段成比例定理，在三角形相似的判定中常用平行相似的判定方法；還要熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積比等于相似比的平方．考點二相似三角形應(yīng)用舉例例題：（2021·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知零件的外徑為，現(xiàn)用個交叉卡鉗（兩條尺長和相等，）測量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】先根據(jù)題意證明△AOB∽△COD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AB，問題得解．【詳解】解：∵兩條尺長AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，∵OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，∵CD＝12mm，∴AB＝24mm，∴零件的厚度為mm．故選：A．【點睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的內(nèi)孔直徑AB是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·九年級期末）如圖，路燈A與地面的距離米，身高1.6米小明與路燈底部的距離米，則小明影子長_______米．【答案】5【分析】根據(jù)題意可得CDAB，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得CDAB，∴?EDC~?EBA，∴，∴，∴DE=5米，故答案為：5．【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為了測量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同時量得BC＝0.3m，CE＝2m，則樓高DE為______m．【答案】10【分析】如圖，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△DEC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它們的余角相等），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案為：10．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．考點三利用相似求坐標(biāo)例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，則點坐標(biāo)為___________．【答案】【分析】過點B作BC⊥OA于點C，由題意易得OA=10，然后由勾股定理可得，進(jìn)而可得△BOC∽△AOB，設(shè)OC=x，則有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．【詳解】解：過點B作BC⊥OA于點C，如圖所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵點，∴OA=10，∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，∴點B的坐標(biāo)為；故答案為．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·江蘇·景山中學(xué)九年級階段練習(xí)）在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形．在如圖的方格中，作格點和相似（相似比不為1），則點的坐標(biāo)是_________．【答案】或【分析】要求△ABC與△OAB相似，因為相似比不為1，由三邊對應(yīng)相等的兩三角形全等，知△OAB的邊AB不能與△ABC的邊AB對應(yīng)，則AB與AC對應(yīng)或者AB與BC對應(yīng)并且此時AC或者BC是斜邊，分兩種情況分析即可．【詳解】根據(jù)題意：OA=2，OB=1，AB=，△ABC和△OAB相似應(yīng)分兩種情況討論，當(dāng)∠BAC=90°時，如圖，△ABC即為所作∵△ABC∽△OBA，

AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，解得BC=5，∴OC=4，∴C點坐標(biāo)為(4，0)，當(dāng)∠ABC=90°時，AB∶OB=∶BA，=，=5，此時C點坐標(biāo)為(3，2)，綜上所述，C點坐標(biāo)為(4，0)或(3，2)，故答案為：（4，0）或（3，2）．【點睛】本題考查了作圖-相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進(jìn)行簡單的相似變換作圖．2．（2020·江蘇泰州·九年級階段練習(xí)）已知點A(2，0)，點B(b，0)(b＞2)，點P是第一象限內(nèi)的動點，且點P的縱坐標(biāo)為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的點P坐標(biāo)為_________．【答案】【分析】如圖，分類討論：（1）；（2），根據(jù)相似三角形的相似比列式計算出b的值，寫出點P的坐標(biāo)即可．【詳解】由題意可得：OA=2，OB=b，AP=，如圖：（1）當(dāng)時，，OA=AB=2，b=4，P(2，)；（2）當(dāng)時，，，解得：b=9±，P(2，3±)；綜上：P的坐標(biāo)為：(2，)，(2，3±)．故答案為：(2，)，(2，3±)．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，分類討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出對應(yīng)邊的長度進(jìn)而寫出點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．考點四在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形例題：（2022·四川·渠縣崇德實驗學(xué)校九年級期末）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形，請按以下要求作圖．(1)在圖1中畫出格點△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面積比為；(2)在圖2中將△ABC繞著某格點逆向時針旋轉(zhuǎn)90°得到格點△PFG，其中C與P對應(yīng)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合位似中心得出答案；（2）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案．（1）如圖，（案不唯一）（2）如圖，【點睛】此題主要考查了位似變換以及旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)題意得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南洛陽·九年級期末）如圖，在5×5的邊長為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點三角形（即三角形的各頂點都在小正方形的頂點上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫出與△DEF相似且面積最大的格點三角形，并直接寫出其面積．【答案】(1)相似，見解析(2)圖見解析，面積為5【分析】（1）相似，分別求出每個三角形的三條邊長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似判斷即可；（2）根據(jù)勾股定理得出三角形各邊長，利用邊長之比相等，作出面積最大的格點三角形即可．(1)△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；(2)如圖，△MNP即為所求，．【點睛】此題考查了作圖—相似變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似變換的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識解決問題．2．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖，在方格紙中，點A，B，C都在格點上（△ABC稱為格點三角形，即格點△ABC），用無刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個點D，使；(2)在圖2中作一個格點△CEF，使△CEF與△ABC相似．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，從而得出點D的位置；（2）根據(jù)∠ACB=90°，AC=2BC，即可畫出△CEF．（1）解：如圖1所示，點D即為所求，（2）如圖2所示，△CEF即為所求，【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點五相似三角形——動點問題例題：（2022·山東煙臺·八年級期末）如圖，中，，，，動點P從點A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運動，動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，分別與交于點E，F(xiàn)，連接，設(shè)動點P與動直線同時出發(fā)，運動時間為t秒．當(dāng)t為__________時，與相似．【答案】6或【分析】分別用t表示OP與OE的長度，根據(jù)與都是直角，當(dāng)與相似時，O與O是對應(yīng)點，因此分∽與∽兩種情況討論,根據(jù)相似列方程解之即可．【詳解】解：∵動點P從點A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運動，，∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，∴OE=tcm，根據(jù)與都是直角，O與O是對應(yīng)點，因此分∽與∽兩種情況討論，當(dāng)∽，即時，，解得：，當(dāng)∽，即時，，解得：，綜上所述：當(dāng)t=6或時，與相似，故答案時：6或．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似進(jìn)行討論分析是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．點P從點B開始沿BA邊向終點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點A開始沿AO邊向終點O以1厘米/秒的速度移動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動．若P、Q同時出發(fā)，運動時間為t（s）．當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？【答案】【分析】利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：∵AO＝6厘米，BO＝8厘米，∴AB＝＝＝10（厘米），∵點P的速度是每秒1個單位，點Q的速度是每秒1個單位，∴AQ＝t厘米，AP＝（10﹣t）厘米，①∠APQ是直角時，△APQ∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP是直角時，△AQP∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝，綜上所述，t＝時，△APQ與△AOB相似．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)對應(yīng)邊成比例兩相似三角形的判定分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運動．當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P、Q運動時間為t（s）．(1)當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為9？(2)當(dāng)△PBQ與△ABC相似時，t的值是多少？【答案】(1)3s(2)或【分析】（1）經(jīng)過秒，的面積等于9，先用含的代數(shù)式分別表示和的長度，再代入三角形面積公式，列出方程，即可將時間求出；（2）利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可．（1）解：由題意得，，，則．，由題意得，解得，所以運動時間為；（2）解：若當(dāng)時，．即，解得；當(dāng)時，．即，解得．綜上所述，當(dāng)與相似時，的值是或．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及相似三角形的判定．關(guān)鍵是用含時間的代數(shù)式準(zhǔn)確表示和的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列出一元二次方程，進(jìn)行求解．考點六相似三角形的綜合問題例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E，點F分別在線段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求證：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠BAD=∠DAC，再根據(jù)∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，進(jìn)而根據(jù)兩角分別相等的三角形相似可證；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，進(jìn)而根據(jù)等角對等邊得出AE=AF，再根據(jù)及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定．第（1）問能根據(jù)角的等量代換得出角相等及熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵；第（2）問根據(jù)相似得出比例式及根據(jù)比例式得出線段的關(guān)系是解的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）求證EG2＝GF?AF；（3）若AG＝3，EG＝，求BE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．【詳解】（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，，∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO?AF．∵，∴；（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．∵，∴，整理得：FG2+3FG-10=0．解得：FG=2，F(xiàn)G=-5（舍去）．∵∴∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即，∴．∴．【點睛】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO?AF是解題答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關(guān)鍵．2．（2021·福建省詔安第一中學(xué)九年級期中）如圖，已知正方形ABCD，點E為AB上的一點，，交BD于點F．(1)如圖1，直按寫出的值_______；(2)將△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當(dāng)BE=BA時，其他條件不變，△EBF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為何值時EA=ED?請在圖3或備用圖中畫出圖形并求出的值．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)畫圖見解析，α的值為30°或150°，【分析】由是正方形ABCD的對角線，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，則可求出邊相等，進(jìn)而可知，根據(jù)邊之間的等量關(guān)系可知，故可知；由（1）知，，，，進(jìn)而可知邊之間的比例關(guān)系，由旋轉(zhuǎn)知，，故可證明，根據(jù)相似比可證明邊之間的等量關(guān)系；（3）連接DE，CE根據(jù)邊相等的條件，以及角相等的條件可知AE=DE，BE=CE，由四邊形ABCD是正方形，可知，AB=BC，進(jìn)而可得△BCE是等邊三角形，，進(jìn)而可證，即：，同理，也可證明△BCE是等邊三角形，，即：．(1)是正方形ABCD的對角線，∴∠ABD=45°，，，，，，，，，故答案為：；(2)，理由：由（1）知，，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，；(3)如圖3，連接DE，CE∵EA=ED，∴點E在AD的中垂線上，∴AE=DE，BE=CE，∵四邊形ABCD是正方形，，AB=BC，，∴△BCE是等邊三角形，，，即：，如圖4，同理，△BCE是等邊三角形，，即：，故答案為：30°或150°．【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意將變換后的圖像畫出來并構(gòu)造適合的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2020·北京市第五十六中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】證明利用對應(yīng)邊對應(yīng)成比例即可求出．【詳解】解：∵∴∴∴∴故選C．【點睛】本題考查三角形的相似和性質(zhì)綜合，證明三角形相似并找準(zhǔn)對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．2．（2021·甘肅·武威第三中學(xué)九年級期中）已知，若△ABC與△DEF的對應(yīng)邊之比為3∶4，則△ABC與△DEF的面積之比為（

）A．4∶3 B．3∶4 C．16∶9 D．9∶16【答案】D【分析】利用相似三角形的面積比是相似比的平方直接解題即可．【詳解】解：∵，△ABC與△DEF的對應(yīng)邊之比為3:4，∴△ABC與△DEF的相似比為3:4，即△ABC與△DEF的面積之比為：9:16．故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點G，若△DEG的面積是1，則五邊形DABFG的面積是（）A．11 B．12 C． D．【答案】D【分析】連接BG，先由平行四邊形的性質(zhì)得ADBC，AD=BC及∠E=∠CFG；再由F為BC中點及DE：AD=1：3得DE：CF的比值；然后由∠E=∠CFG，∠DGE=∠CGF證得△DGE∽CGF，最后由相似三角形的面積比等于相似比的平方及△CFG和△BGC之間的關(guān)系，可得答案．【詳解】解：如圖，連接BG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD=BC，∴∠E=∠CFG，∵F為BC中點，∴FC=BC=AD，∵DE：AD=1：3，∴DE：BC=1：3，∴DE：CF=2：3，∵∠E=∠CFG，∠DGE=∠CGF，∴△DGE∽CGF，∴DG：CG=DE：CF=2：3，∴，∴，取AD的中點Q，連接FQ，∴FQDG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ=1：2.5=2：5，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及等高三角形的面積關(guān)系等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖南·李達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，，若＝1：3，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，得出；證明，，得到，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：，；；，，，∴∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定及其性質(zhì)來分析、判斷、推理或解答．5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm【答案】A【分析】連接圖2、圖3中的BD，圖2中證明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)求得BD，在圖3中證明四邊形EFDB是矩形，求得BD，進(jìn)而作差即可求解．【詳解】解：如圖2，連接BD，∵AE=CF=28，BE=DF=35

，∴，又∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴，又EF=20，∴，解得：BD=45，如圖3，連接BD，∵BEDF，BE=DF，∴四邊形EFDB是平行四邊形，∵∠BEF=90°，∴四邊形EFDB是矩形，則BD=EF=20，∴從閉合到打開B，D之間的距離減少了45-20=25（mm），故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)，理解題意，會利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決實際問題是解答的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·吉林吉林·九年級期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，∠ADE=∠C，四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．若DE=3，則BC的長為_______．【答案】6【分析】證明△ADE∽△ACB，可得，即可求解．【詳解】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴，∵四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．∴，∴，∵DE=3，∴BC=6．故答案為：6【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點P、A、C在一條直線上，點P、B、D在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，點P到橫桿AB的距離是1m，則點P到地面的距離等于______m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于點F，利用AB∥CD，推導(dǎo)△PAB∽△PCD，再利用相似三角形對應(yīng)高之比是相似比求解即可．【詳解】解：如圖，過點P作PF⊥CD于點F，交AB于點E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形對應(yīng)高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)高之比是相似比是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南·衡陽市第十七中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，BC＝10，D、E分別為AB、AC的中點，連接BE、CD交于點O，OD＝3，OE＝4，則△ABC的面積為_____．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定證明△DOE與△BOC相似，再利用勾股定理的逆定理得出△BOC是直角三角形，進(jìn)而得出面積即可．【詳解】解：∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DEBC，∴△DOE∽△BOC，∴∵OD＝3，OE＝4，∴OB=8，OC=6，∵BC=10，∴∴△BOC是直角三角形，∴△BOC的面積是24，∵，∴△BEC的面積是36，∵為的中點．∴△ABC的面積是72，故答案為：72．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中線性質(zhì)、勾股定理的逆定理，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運算，證明出△BOC是直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（2021·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A′B′CD′，B′C與AD交于點E，AD的延長線與A′D′交于點F．當(dāng)矩形A'B'CD'的頂點A'落在CD的延長線上時，則EF＝_____．【答案】##【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，再證明得，證明得，分別計算DF和DE的長即可得解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A′B′CD′，∴，，，在中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴DF，同理可得，∴，∴，∴ED，∴EF＝ED+DF，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．10．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D為AB邊上一點，AD＝3BD，CD＝2，點E在直線AC上，∠CDE＝45°，則AE＝______．【答案】3或18##18或3【分析】分點E在AC上和在AC的延長線上兩種情況求解．【詳解】當(dāng)點E在線段AC上時，因為∠ACB＝90°，CA＝CB，所以∠EAD=∠CBA=45°，因為∠CDE＝45°，∠CDA=∠EDC+∠ADE=∠B+∠BCD，所以∠ADE=∠BCD，所以△ADE∽△BCD，所以，因為AD＝3BD，所以AD=，BD=，所以，解得AE=．因為∠CDE＝45°=∠A，∠ECD=∠CDA，所以△CED∽△CDA，所以，因為CD＝2，所以AC×CE=40，所以即，因為AE+CE=AC=，所以所以，解得AE=3或AE=-3（舍去）．當(dāng)點E在線段AC的延長線上時，設(shè)DE與BC的交點為M，因為∠CDE＝45°，∠DCM=∠BCD，所以△CDM∽△CBD，所以，因為CD＝2，AC=BC，所以BC×CM=40即，因為∠A=∠CDE＝45°，∠EDB=∠A+∠E,∠DCA=∠E+∠CDE，所以∠EDB=∠DCA，因為∠A=∠B＝45°，所以△BDM∽△ACD，所以，因為AD＝3BD，AC=BC，AB=，所以AD=，BD=，所以，解得BM=．因為BM+CM=AC，所以所以，解得AC=8或AC=-8（舍去）．作，交AC于點N，所以，所以所以CN=2，因為=5，所以，所以，解得CE=10，所以AE=CE+AC=18．綜上所述AE的長為3或18和18或3．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，分類思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·黑龍江·肇東市第七中學(xué)校九年級階段練習(xí)）小紅用下面的方法來測量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度：如圖，在水平地面點E處放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)大樓的距離AE＝20m．當(dāng)她與鏡子的距離CE＝2.5m時，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.5m，請你幫助小紅計算大樓的高度．【答案】大樓AB的高為12m【分析】根據(jù)反射定律和垂直定義得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：如圖，∵根據(jù)反射定律知：∠FEB=∠FED，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴，∵CE=2.5m，DC=1.5m，∴，∴AB=12∴大樓AB的高為12m．【點睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．12．（2021·黑龍江·肇東市第七中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿AB向點B以2m/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度運動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，4秒后停止運動．則在開始運動后第幾秒，△BPQ與△BAC相似？【答案】當(dāng)x=0.8秒或2秒時，△BPQ與△BAC相似．【分析】設(shè)在開始運動后第x秒，△BPQ與△BAC相似，由題意表示出AP，PB，BQ，分兩種情況考慮：當(dāng)∠BPQ=∠C，∠B=∠B時，△PBQ∽△CBA；當(dāng)∠BPQ=∠A，∠B=∠B時，△BPQ∽△BAC，分別由相似得比例，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)在開始運動后第x秒，△BPQ與△BAC相似，由題意得：AP=2xcm，PB=（8-2x）cm，BQ=4x，分兩種情況考慮：當(dāng)∠BPQ=∠C，∠B=∠B時，△PBQ∽△CBA，∴，即，解得：x=0.8，當(dāng)x=0.8秒時，△BPQ與△BAC相似；當(dāng)∠BPQ=∠A，∠B=∠B時，△BPQ∽△BAC，∴，即，解得：x=2，當(dāng)x=2秒時，△BPQ與△BAC相似．綜上，當(dāng)x=0.8秒或2秒時，△BPQ與△BAC相似．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．13．（2022·安徽·合肥市廬陽中學(xué)二模）已知，平分交于，交于．(1)求證：∽；(2)連接，若，，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)11【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；（2）由（1）的結(jié)果和平行線的性質(zhì)證明∽，進(jìn)而可得為等腰三角形，最后證明∽并結(jié)合相應(yīng)的計算即可解答．（1）證明：平分，，又，∽；（2）解：∽，，，

，，∽，，平分，∴∠DAG=∠CAG，，∴為等腰三角形，，，即，解得：，，，，∽，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上的定理并熟練的運用．14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D，F(xiàn)，E分別在AB，BC，AC邊上，DFAC，EFAB．(1)求證：△BDF∽△FEC．(2)設(shè)．①若BC＝15，求線段BF的長；②若△FEC的